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自分は背理法で全ての素数をかけて１を足すって奴が簡潔で好きだわ
PとQだっけ、
無限にあるって証明にはなるけど逆にいえば新しい素数見つけるためにはそれの1個前までの素数が見つかってないとこの考え方は適応されなくてそこが自分にいつも曖昧さを残すからなんかスッキリしないwex)2×3×5×7+1=221＝（素数） 2×3×5×7×221+1=48621≠（素数）(3で割り切れる)
@@ランボルギーニ-c8u ???
連続である必要はないのでは？あと計算間違ってますよ
@@ランボルギーニ-c8u3n+1が3で割り切れるわけなくない？
たまーに素数の正体を考えながら眠りにつくと、翌日気持ちよく目覚められる。これは私には素数が難しすぎていつの間にか気絶しているということの証明になるでしょうか。
草
ウィキャンドゥイット プッチで草
私は真に美しい証明を思いついたが、それを証明するにはこの余白は小さすぎる
+北中えーき そう
それ定期テストの問題分らなかった時に使えそう
+あいしてる あかんあかんw
ロアちゃん まぁそれが使えるはずのフェルマーの最終定理も解いちゃった人居るからこの言い訳使えなくなっちゃったはずだけどねw
tomo hara わかったよ
数学の世界の面白さが分かる良い動画です。思わず魅入ってあっという間に終わってました。それぞれの時代の3人の数学者がこういう形で証明をするという辺りがとてもいいですよね。
1個目の証明最大の素数Xがあると仮定する。この時のX
世の中がここまで便利になったのは理科、数学のおかげってことを忘れちゃだめだよ
別に忘れてもいいです
@@ああ-i6g2o 世の中がここまで便利になったのは理科、数学のおかげってことを忘れちゃだめだよ
@@ああ-i6g2o 普通にダメでしょw物理なんて微分積分だらけですよ
オイラーの証明、ザ・直感って感じ
直感って、おいらの証明ね。笑ったw
どういう思考を辿っていって解いたのかまるでわからないw
西洋の数学では、極限を厳密に考察しはじめたのは、彼の後に出てきたコーシーですからね()
１番目の証明は、３番目の証明の特別バージョンですね（双方とも、素因数分解の可能性[一意性は不要]を認めた上で）。２番目のは、証明といえるかどうか確信が持てません。オイラーの時代ならいいのかな？＜無限の値（状態？）を持つ式＞を有限の値を持つ式と同じ＜感覚＞で変形している。現在では、そのように変形していいという証明がなければ、＜証明＞とはならない気がしますけど、どうなんでしょうか。
証明1がすごくわかりやすくて良かったです！
スティルチェスのm+nの部分、言われればわかるけどあれを考えつくってのは凄いなぁって思った(語彙力)
分かりやすくて面白かったです！
漢字の書き順というのは小学生などが整って書きやすいような字が書けるための合理的な書く方法なのです大人になれば間違った書き順でもあるていど慣れてるので見れるように書けますが今覚えようとしている子供らに関しては合理的かつスピーディーに書ける書き順は大事だと思いますそれに画数の多い日本の漢字とアメリカの文字を比べるのはいささか見当違いです
わかりやすかったです！
オイラーの証明で、途中で∞回の引き算が入っているけど、素数が有限個なら有限回数目の引き算で割り切れるから、“素数は無限個ある”っていう前提があってこそ無限回引き算できるんじゃないの？
x=∞っていう前提からきてるんだと思う
山本元柳斎重國 3年前の質問に答えて下さりありがとうございます笑ただ、全ての整数の分数の和が無限大に発散することと、素数が無限個あることとは違うように思います。素数が有限であれば、それ以上の数は全て合成数ですから。
厳密に言うと、引き算を無限回ではなく、右辺が1になるまで行っている。その式を変形すると、xの解は、(たくさん続く素数の積)/(たくさん続く素数-1の積)という分数になる。まだここでは素数が無限個あるかは分からない。ただ、前提条件でx=∞としているので、この分数も無限大に発散するはずだが、ここで分子が有限の値、つまり全ての素数の積が有限の値だとすると、分数の値が１つに定まる⇔無限大ではない。素数が無限個あれば積も無限大、分数も無限大になるので前提条件を満たす。よって素数が有限ではなく無限個あると言える。長くなったけど合ってますかね…？
山本元柳斎重國 なるほど……確かに言われてみればこの引き算の時点では、素数が有限だろうと無限だろうと結果が同じになる様な計算方法ですね……納得が行きました、ありがとうございます！
見た瞬間に答えが解った。 俺には解らない！ と云う答えが。
無知の知ですね(
3番目が一番しっくり来てわかりやすかった
レオンルト・オイラーで草
ずーっと説明していって最後に一行めの文章と結び付く感じ好きｗ
オイラーの証明が好きです
素晴らしい動画をありがとう
sinxが前でcosxが後ろに来てしまっているときはなんか訳ありだなと感じてしまって合成しろって言われてるのかな?って一瞬心が揺れるけどね
素数大好きです。もっと素数についてやってほしいです。
ピタゴラス、1000年生きてて草
2つ目の証明に関する質問なのですが、無限大に発散するものを｢=S｣のように置いていいのでしょうか。
1の方法って、素数が3個あることに矛盾してるから、3個ではないことは証明できるけど、無限個あることは証明できないと思いましたもし無限個あるならば3個の部分をn個にして、数学的帰納法を用いて証明する方が正しいと思ったのですが、実際の場合どうなのでしょう？
ZAYN 【ゼイン】 数学的帰納法は使わない。①全ての素数がn個しか存在しなく最大の素数Xが存在すると仮定する。②2〜Xまでの全ての素数を掛け合わせた数Nを作りN+1という数を考える。③X＜N+1なのに素因数(2〜X)を持たないことを証明する。④N+1はXより大きく素因数をX以下に持たないのでこれは2〜Xに含まれない新しい素数となる。この議論により任意の素数より大きな素数が作れるので素数は限りなく存在する。
こうやってあのオイラーの級数理論はでてきたのか・・・なぜ、素数なのかが不思議でした。長年の疑問ですた(~_~
オイラー積ζ(s)=Πₚ1/(1-p⁻ˢ)ですね。
キューブって映画で正解出さないと殺される場面で、ある数字が素数か素数でないかの問いに ○○○○○２（○は数字）で数学者？が悩む場面があった 一桁が２で素数かどうか悩むなｗ
10進数ではない可能性が排除できないからじゃない？
秋月紅一 あ、なつかしいな
たいへんよくできました。 頭いいな
たいへんよくできました。 すげー
素数は数の構成分子、数は無限にある、よってそれを構成する素数も無限個なくてはならない。
例えば2の累乗は無限に存在していてそれらは素数の積として表すことができますが、それを構成する素数の種類は有限個ですよ。
@@あい-d9c1z その2の累乗が無限にある、半分根て返してますのと書き込み自体も忘れた。
③知らんかったけど感動した！
＞WOODEN3さんD=7はありえません。Dは素数の掛け算ですから、最低でも７が現れるのはD=2･3･5･7の時なので、このときのDはD=210となるかと思います。たかが高校生の意見ですが、参考にしてください。
２番目の証明は、- あらゆる素数について・・・同じ計算を無限回行うという時点で、すでに素数を無限にあるということを使ってるので証明になってないのでは？
「同じ計算を無限回実行する」ってのは、自然数が無限個あることを用いてるんじゃん？
素数のある分だけ ということですね
10000までの素数sosuu=[2];A=100000for L in range(3,A): chk=True for L2 in sosuu: if L%L2 == 0:chk=False if chk==True:sosuu.append(L)print(sosuu)
＞けん 広島さんｍ＋ｎはどんな素数でも割ることができないそして、どんな素数でも割ることができない自然数は１しかないので、ｍ＋ｎ＝１ですよ。
中学生の俺様が見るべきではなかったwwwコメント欄もハイレベルすぎて怖いよし。受験がんばろ。
ばすけりき 今ではもう高校三年生なんだね。なんか感動した
ばすけりき じゃあわしも今から頑張りまするわ
今となったら理解できてるのかな…笑笑俺も今受験生だからコメント残しとくわ。3年後にまた来るよ。じゃあな
のびたドラえもん 2年後にまた来るので、3年後にコメントよろ
3年後に戻ってきます
一個目が一番わかり易かったけど二個目は美しい
素因数分解出来ない、ってことすか。なるほど。
スティルチェスの証明は知らなかったのですが, 感覚的には最初の証明とスティルチェスの証明は似てますね.
字が数学できる人の字だなぁ、と思うんだがわかる人いる？
master ori わかる
何となく、ね
数学ができる人は文字の幅が同じ
このオイラーの公式ってあのいわゆる超難しそうなオイラーの素数無限のやつをわかりやすく説明してるの？？？？
二番目の証明法は発散級数同士の引き算(4:00-)なんて意味不明な計算をしてるから、厳密には不正解だよ。絶対に真似しちゃだめだよ。
追記、証明終わりにキチンと厳密さについてフォローされていました。
x-1/2xの時点でおかしいからな。1/2+1/4+1/6+・・・が正しい。
昔の証明はわかりやすい
オイラーの証明は少しエラトステネスの篩っぽい
画面越しにマジックの匂いがする
分かる
美しい証明を強引な計算というのは・・・合成数が何かも説明がないし、数学マニア向けで一般向けの説明ではないね。予備校でこんな教え方をするとクレームが来る。
この動画は全然駄目ですね。こういう授業をされたら怒りの質問攻めにするわ
お疲れさまでした
オイラーの証明は極限を無視してるから強引ってことですかね
めっちゃおもろい
説明を聞いてる限り、ピタゴラスの証明方法だと素数が無限個あるという命題が真であるとは言えないですよね・・・？何故ならどんなに素数を追いかけて行っても、無限個ある自然数を調べ尽くす事など不可能です。スティルチェスの証明は無駄が全く無くて美しいですね。すばらしかったです。
だから無限個調べるのは不可能だからそれをn個にしてやってもできるって言ってたじゃん
三つめの証明が格好いいとと思う
ピタゴラスの証明は中学生のぼくとしては一番理解度が高いものです。
実際にはすべての素数の積は4π^2になる不思議
解析接続という手法を使った場合だけだった気がしますが。。
有理数の計算で無理数に…
誰がなんと言おうと「素数」は無限なんだよ、だって「素数」だもん
そーっすぅか
たいへん貴重な数学解説を、ありがとうございました。令和元年5月9日(木)。
There are no captions ;-; I can't understand my fellow Asian brothers.
わかりやすい動画ありがとうございます。慌てなくていいから、字をもう少し丁寧に書いてくださると観ていて安心します。
証明②って無限なの？収束するくないですか？
vc lobertode xが発散することは最初に言ってますよ
ありがとうございます
2:40 レオンハルトなのに、文字はレオンルトになってるよ！
全く理解できないわけではないがやっぱまだ自分は勉強不足ってわかったわ...
ピタゴラスのやつだけ知ってた
ここまでは誰でも出来る。素数の規則性をみつけたら人類の脳の進歩へつながる。
Pqr＋1は合成数なんですか？
杉両 素数はp.q.rの3つだけだと仮定してるのでそれ以外は合成数になるのでは？
この動画の説明は全然ダメです。普通は 素数を有限個と仮定して、それを全部かけて１を足したものも素数、だから矛盾と説明します。
帰納法
ｐ,q,rがそれぞれ２、３、５のときに合成数にはならないよ？
+i ssei 合成数にならないからむしろ都合がいいんですよ？この証明が背理法であることをお忘れなく.素数が3個しか存在しないと仮定すると, 2×3×5+1=31は定義上合成数でなければならない.しかし, 31は2でも3でも5でも割り切れないから, 素数である. よって矛盾.同様の議論を進めていけば, 素数が4個だろうが5個だろうが矛盾します.だからこそ, 素数は有限個しかないという命題が否定され素数は無限に存在するということが証明されるのです.
そうですね！ありがとうございます！
+9cmParabellum 質問なのですが、p,q,rをそれぞれ3,5,7にしてはいけないのでしょうか？もしそれをしていいのであれば、3・5・7+1＝106＝2^2・3^3となり、①は成り立つ。でも、そもそもp・q・r+1がp,q,rで割り切れないことと合成数の関係を理解できていないので、もしよろしければ教えてもらえませんか。
「p・q・r」が意味するところは有限個のみ存在すると仮定された素数の総乗です。2が素数であることは自明です。したがって2も3も5も7も11も13も……あらゆる素数を掛け合わせないと題意が満たせません。有限個しかないはずの素数を「「「すべて」」」掛けあわせ、そうしてできた合成数に1を足すと、新たな素数が誕生する。しかし、新たな素数が生まれるのはおかしい。なぜならこの世に存在する素数はすべて使い尽くしていたはずだからである。したがって素数が有限個しかないという前提が間違っていたのだ。つまり素数は無限に存在する。というのがこの証明の趣旨です。p・q・r+1が、p,q,rのいずれでも割り切れない、というのも自明な話です。もしp・q・r+1が合成数であれば、有限個しか無いと仮定された素数p,q,rいずれかで、割り切れなければなりません。ところが、例えばpでくくるとp・q・r+1=p×(qr+1/p)qrは当然整数ですが、pは2以上であるため1/pは整数になりえません整数と整数でないものを足せば、和は整数でないものになります。したがって、p・q・r+1はpの倍数ではないわけです。これが、qでもrでも言えます。qの倍数でもrの倍数でもない。つまり、p・q・r+1は1以外に素因数分解ができない数。すなわち素数ということになるわけです。
+9cmParabellum 証明の趣旨はとても良くわかりました。ありがとうございます。ただ、素数を有限個と仮定した場合、その素数は必ず2から始まらなければいけないということでいいのでしょうか。
ちなみに，発散する級数は文字にはおけませんよ
P、Q、Rが2.3.5として、それにプラス1になったら、31。それって合成数にならないんじゃないですか？
多美 ならないから素数が有限個だと矛盾するだから素数は無限個あるっていう証明だと思いますバカが失礼しましたm(_ _)m
数学が得意な人は字が下手という偏見
３番目の最後のところよって ｍ＋ｎ＝１ ていうのはおかしいんじゃ？・・・よって ｍ もしくは ｎ＝１という結論になるかとおもった
素数を有限だと仮定して、最初から最後までかけたものをDとしたとき、D=mnと無理矢理２つの数の掛け算に分ける。この時、m+nというのはどんな素数でも割り切れない、つまり、1しかありえないってことです。けどm+n=1ってのはD=mnと矛盾してるから、素数は有限ではないって証明です。昔のコメントに返信失礼しました。
けん広島さ、m+n=1になるのが正しいことだなんて、数学得意なら高校生でも分かるぞ
レオンルト・オイラーって誰やねん
最後のm+n=1じゃなくてam+bn=1となるa,bが存在するじゃないですか？
ばか発言
おもしろい！
スティルチェスが、一番わかりやすい気がする、 オイラーはなんか、平民の俺とIQが違いすぎてわからないw
数学科の友達に一時間くらいオイラーの話聞かされたときはまいったよ
master ori まいったよ
些細なことですがレオンハルト・オイラーじゃないですか？
素数を全部掛けたら 4π^2 になるんだっけ(?)
ピタゴラス86歳って長生きしすぎじゃね？笑笑
去る猿 76やぞ
ピタゴラスはベジタリアンだった
実際にこの書き方でも良いのですか？こういう感じだったような証明素数が有限個しかないと仮定する。その有限個の素数全体を p1,p2,⋯,pn とおく。素因数分解の一意性より，∏i=1n∑k=0∞1pki=∑k=1∞1k⋯(※)この等式の右辺は無限大となる。→調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明一方，この等式の左辺は無限等比級数の公式から計算できる：∏i=1n∑k=0∞1pki=∏i=1npipi−1これは有限値なので，有限＝無限となり矛盾。
koichi koichi 記法が分からんからTeX打ちで書いて
2個目の「＝∞」が気になる…
本当は→だけど、言いたい事が分かれば、重要な所でないのでどうでも良いよ。
青の数学で見た気がする...
はじめて見た、青の数学読んでる人いいよな
一個目だよね
合成数ってなんだよってなる
mao 大まかに素数じゃない数だと思って大丈夫だと思います(ただし1は素数じゃないし合成数じゃない)
Yamaguchi S １って素数じゃないんですか？
これから言うことは全て嘘です え？常識じゃね？
破壊[される]機関車 ザーマス そうですけど僕の上のコメントの人があたかも1は素数でないように仰っていたので
これから言うことは全て嘘です 1は素数じゃないと思いますよ？
よくわかりましたありがとう「πの歴史」かかれているオイラーの公式に良く出てきました。たいしたものですね。
一つ目はサイダックによる証明に似ているな
なるほど。さっぱり分からん。
氷菓1039 さり気なくすごい矛盾してるんじゃねーよwwwwwwwwwwwwww
T S ごめんなさいぃぃぃぃ
皆さんこのネタ分からないのかよ
チャイカム 特にお前恥っず
D=πpの下にあるpはなんですか？
③って①と使っている考え方が似ているような、、、
(1)ピタゴラスの証明は有名であるが, 矛盾を導出する部分で誤解されやすいので詳しく書くべき. 具体的には, ②よりp,q,rでない素数sが存在する. 之は①に矛盾である. といった一文が必要である. 之がないと, pqr+1が素数であると思い込んでしまう場合が見受けられるからである. (2)オイラーの証明は, 最初から背理法を用いることを宣言すべき. 有限項の積の有限性を仮定するならば, “強引な割り算”を実行する必要性がありません. また, 素因数分解の一意性を用いていると思うのですが, 言及すべきではないでしょうか.
ん? 何? 分かんなかった。あと100回位説明して。
キヨミズハルカ あと100回再生してください笑
@@ababanban おもしろ
一つ目の証明の意味がわかりません(´･ω･`)なぜ①と②が矛盾するのでしょうか、pqr+1をp、q、rで割り切ることが出来なくても、ほかの数で割り切ることができるかもしれません現に、2×3×5×7×11×13+1=59×509ですこれについての説明をお願いします
ケンター KENTAA その場合、始めにあなたは｢素数は2,3,5,7,11,13のみである｣ということを仮定してますね。つまり2×3×5×7×11×13+1は例え59か509で割り切れたとしてもあなたが仮定した｢素数｣では割り切ることができません。ここで、全ての数は何かしらの素数で割り切ることが出きる(素因数分解ができる)ということに反してしまうため、矛盾であるといっています。背理法は始めにした仮定が矛盾することを証明することで仮定が間違っていたということを言うという方法です。慣れないうちは難しいですがなれるとそうでもないので頑張りましょう
Saku 丁寧なご説明ありがとうございます仮定した素数で割り切ることが出来なければ合成数とはいえなかったのですね納得することが出来ましたこの証明は小5くらいから気になっていて、きちんと理解することが出来ていなかったのでとてもありがたいです。
レオンルト…
2番目の証明（？）は、無限大から無限大を引く時点で議論が破綻していると思うのですが…？
小学生の時、よくそれで名前書いたわ〜
数学できねえやつって理解しようとしてねーじゃん
中３の自分何もわかりません
『調和級数』というのでしょうか。
1/素数って無限じゃないよね？
ふみん。 無限やね
？
オイラーの証明は美しいですね
んにゃぴ...よく分かんなかったです(高校生並の感想)
{p,q,r}={2,3,5}ならpqr+1は素数になりますよ結果には影響がありませんが
Deathell Ng 素数になってしまうから、矛盾が導けるんですよ。
レオンハルトがレオンルトになってる
D=7だったらm+n=8で、D/2=4ではないのか...。
自分は背理法で全ての素数をかけて１を足すって奴が簡潔で好きだわ
PとQだっけ、
無限にあるって証明にはなるけど逆にいえば新しい素数見つけるためにはそれの1個前までの素数が見つかってないとこの考え方は適応されなくてそこが自分にいつも曖昧さを残すからなんかスッキリしないw
ex)2×3×5×7+1=221＝（素数）
2×3×5×7×221+1=48621≠（素数）(3で割り切れる)
@@ランボルギーニ-c8u ???
連続である必要はないのでは？
あと計算間違ってますよ
@@ランボルギーニ-c8u3n+1が3で割り切れるわけなくない？
たまーに素数の正体を考えながら眠りにつくと、翌日気持ちよく目覚められる。これは私には素数が難しすぎていつの間にか気絶しているということの証明になるでしょうか。
草
ウィキャンドゥイット プッチで草
私は真に美しい証明を思いついたが、それを証明するにはこの余白は小さすぎる
+北中えーき そう
それ定期テストの問題分らなかった時に使えそう
+あいしてる あかんあかんw
ロアちゃん
まぁそれが使えるはずのフェルマーの最終定理も解いちゃった人居るからこの言い訳使えなくなっちゃったはずだけどねw
tomo hara わかったよ
数学の世界の面白さが分かる良い動画です。思わず魅入ってあっという間に終わってました。それぞれの時代の3人の数学者がこういう形で証明をするという辺りがとてもいいですよね。
1個目の証明
最大の素数Xがあると仮定する。
この時のX
世の中がここまで便利になったのは理科、数学のおかげってことを忘れちゃだめだよ
別に忘れてもいいです
@@ああ-i6g2o
世の中がここまで便利になったのは理科、数学のおかげってことを忘れちゃだめだよ
@@ああ-i6g2o 普通にダメでしょw物理なんて微分積分だらけですよ
オイラーの証明、ザ・直感って感じ
直感って、おいらの証明ね。笑ったw
どういう思考を辿っていって解いたのかまるでわからないw
西洋の数学では、極限を厳密に考察しはじめたのは、彼の後に出てきたコーシーですからね()
１番目の証明は、３番目の証明の特別バージョンですね（双方とも、素因数分解の可能性[一意性は不要]を認めた上で）。
２番目のは、証明といえるかどうか確信が持てません。オイラーの時代ならいいのかな？＜無限の値（状態？）を持つ式＞を有限の値を持つ式と同じ＜感覚＞で変形している。現在では、そのように変形していいという証明がなければ、＜証明＞とはならない気がしますけど、どうなんでしょうか。
証明1がすごくわかりやすくて良かったです！
スティルチェスのm+nの部分、言われればわかるけどあれを考えつくってのは凄いなぁって思った(語彙力)
分かりやすくて面白かったです！
漢字の書き順というのは小学生などが整って書きやすいような字が書けるための合理的な書く方法なのです
大人になれば間違った書き順でもあるていど慣れてるので見れるように書けますが今覚えようとしている子供らに関しては合理的かつスピーディーに書ける書き順は大事だと思います
それに画数の多い日本の漢字とアメリカの文字を比べるのはいささか見当違いです
わかりやすかったです！
オイラーの証明で、途中で∞回の引き算が入っているけど、素数が有限個なら有限回数目の引き算で割り切れるから、“素数は無限個ある”っていう前提があってこそ無限回引き算できるんじゃないの？
x=∞っていう前提からきてるんだと思う
山本元柳斎重國 3年前の質問に答えて下さりありがとうございます笑
ただ、全ての整数の分数の和が無限大に発散することと、素数が無限個あることとは違うように思います。素数が有限であれば、それ以上の数は全て合成数ですから。
厳密に言うと、引き算を無限回ではなく、右辺が1になるまで行っている。その式を変形すると、xの解は、(たくさん続く素数の積)/(たくさん続く素数-1の積)という分数になる。まだここでは素数が無限個あるかは分からない。ただ、前提条件でx=∞としているので、この分数も無限大に発散するはずだが、ここで分子が有限の値、つまり全ての素数の積が有限の値だとすると、分数の値が１つに定まる⇔無限大ではない。素数が無限個あれば積も無限大、分数も無限大になるので前提条件を満たす。よって素数が有限ではなく無限個あると言える。
長くなったけど合ってますかね…？
山本元柳斎重國 なるほど……確かに言われてみればこの引き算の時点では、素数が有限だろうと無限だろうと結果が同じになる様な計算方法ですね……
納得が行きました、ありがとうございます！
見た瞬間に答えが解った。
俺には解らない！
と云う答えが。
無知の知ですね(
3番目が一番しっくり来てわかりやすかった
レオンルト・オイラーで草
ずーっと説明していって最後に一行めの文章と結び付く感じ好きｗ
オイラーの証明が好きです
素晴らしい動画をありがとう
sinxが前でcosxが後ろに来てしまっているときは
なんか訳ありだなと感じてしまって
合成しろって言われてるのかな?
って一瞬心が揺れるけどね
素数大好きです。
もっと素数についてやってほしいです。
ピタゴラス、1000年生きてて草
2つ目の証明に関する質問なのですが、無限大に発散するものを｢=S｣のように置いていいのでしょうか。
1の方法って、素数が3個あることに矛盾してるから、3個ではないことは証明できるけど、無限個あることは証明できないと思いました
もし無限個あるならば3個の部分をn個にして、数学的帰納法を用いて証明する方が正しいと思ったのですが、
実際の場合どうなのでしょう？
ZAYN 【ゼイン】 数学的帰納法は使わない。
①全ての素数がn個しか存在しなく最大の素数Xが存在すると仮定する。
②2〜Xまでの全ての素数を掛け合わせた数Nを作りN+1という数を考える。
③X＜N+1なのに素因数(2〜X)を持たないことを証明する。
④N+1はXより大きく素因数をX以下に持たないのでこれは2〜Xに含まれない新しい素数となる。
この議論により任意の素数より大きな素数が作れるので素数は限りなく存在する。
こうやってあのオイラーの級数理論はでてきたのか・・・
なぜ、素数なのかが不思議でした。
長年の疑問ですた(~_~
オイラー積
ζ(s)=Πₚ1/(1-p⁻ˢ)ですね。
キューブって映画で正解出さないと殺される場面で、ある数字が素数か素数でないかの問いに ○○○○○２（○は数字）で数学者？が悩む場面があった 一桁が２で素数かどうか悩むなｗ
10進数ではない可能性が排除できないからじゃない？
秋月紅一 あ、なつかしいな
たいへんよくできました。 頭いいな
たいへんよくできました。 すげー
素数は数の構成分子、数は無限にある、よってそれを構成する素数も無限個なくてはならない。
例えば2の累乗は無限に存在していてそれらは素数の積として表すことができますが、それを構成する素数の種類は有限個ですよ。
@@あい-d9c1z その2の累乗が無限にある、半分根て返してますのと書き込み自体も忘れた。
③知らんかったけど感動した！
＞WOODEN3さん
D=7はありえません。
Dは素数の掛け算ですから、
最低でも７が現れるのは
D=2･3･5･7
の時なので、
このときのDはD=210
となるかと思います。
たかが高校生の意見ですが、参考にしてください。
２番目の証明は、
- あらゆる素数について・・・同じ計算を無限回行う
という時点で、すでに素数を無限にあるということを使ってるので
証明になってないのでは？
「同じ計算を無限回実行する」ってのは、自然数が無限個あることを用いてるんじゃん？
素数のある分だけ ということですね
10000までの素数
sosuu=[2];A=100000
for L in range(3,A):
chk=True
for L2 in sosuu:
if L%L2 == 0:chk=False
if chk==True:sosuu.append(L)
print(sosuu)
＞けん 広島さん
ｍ＋ｎはどんな素数でも割ることができない
そして、どんな素数でも割ることができない自然数は１しかないので、ｍ＋ｎ＝１ですよ。
中学生の俺様が見るべきではなかったwww
コメント欄もハイレベルすぎて怖い
よし。受験がんばろ。
ばすけりき 今ではもう高校三年生なんだね。なんか感動した
ばすけりき じゃあわしも今から頑張りまするわ
今となったら理解できてるのかな…笑笑
俺も今受験生だからコメント残しとくわ。3年後にまた来るよ。じゃあな
のびたドラえもん 2年後にまた来るので、3年後にコメントよろ
3年後に戻ってきます
一個目が一番わかり易かったけど二個目は美しい
素因数分解出来ない、ってことすか。なるほど。
スティルチェスの証明は知らなかったのですが, 感覚的には最初の証明とスティルチェスの証明は似てますね.
字が数学できる人の字だなぁ、と思うんだがわかる人いる？
master ori わかる
何となく、ね
数学ができる人は文字の幅が同じ
このオイラーの公式ってあのいわゆる超難しそうなオイラーの素数無限のやつをわかりやすく説明してるの？？？？
二番目の証明法は発散級数同士の引き算(4:00-)なんて意味不明な計算をしてるから、
厳密には不正解だよ。絶対に真似しちゃだめだよ。
追記、証明終わりにキチンと厳密さについてフォローされていました。
x-1/2xの時点でおかしいからな。1/2+1/4+1/6+・・・が正しい。
昔の証明はわかりやすい
オイラーの証明は少しエラトステネスの篩っぽい
画面越しにマジックの匂いがする
分かる
美しい証明を強引な計算というのは・・・合成数が何かも説明がないし、数学マニア向けで一般向けの説明ではないね。予備校でこんな教え方をするとクレームが来る。
この動画は全然駄目ですね。
こういう授業をされたら怒りの質問攻めにするわ
お疲れさまでした
オイラーの証明は極限を無視してるから強引ってことですかね
めっちゃおもろい
説明を聞いてる限り、ピタゴラスの証明方法だと素数が無限個あるという命題が真であるとは言えないですよね・・・？
何故ならどんなに素数を追いかけて行っても、無限個ある自然数を調べ尽くす事など不可能です。
スティルチェスの証明は無駄が全く無くて美しいですね。すばらしかったです。
だから無限個調べるのは不可能だからそれをn個にしてやってもできるって言ってたじゃん
三つめの証明が格好いいとと思う
ピタゴラスの証明は中学生のぼくとしては一番理解度が高いものです。
実際にはすべての素数の積は4π^2になる不思議
解析接続という手法を使った場合だけだった気がしますが。。
有理数の計算で無理数に…
誰がなんと言おうと「素数」は無限なんだよ、だって「素数」だもん
そーっすぅか
たいへん貴重な数学解説を、ありがとうございました。令和元年5月9日(木)。
There are no captions ;-; I can't understand my fellow Asian brothers.
わかりやすい動画ありがとうございます。
慌てなくていいから、字をもう少し丁寧に書いてくださると観ていて安心します。
証明②って無限なの？
収束するくないですか？
vc lobertode xが発散することは最初に言ってますよ
ありがとうございます
2:40 レオンハルトなのに、文字はレオンルトになってるよ！
全く理解できないわけではないがやっぱまだ自分は勉強不足ってわかったわ...
ピタゴラスのやつだけ知ってた
ここまでは誰でも出来る。
素数の規則性をみつけたら人類の脳の進歩へつながる。
Pqr＋1は合成数なんですか？
杉両 素数はp.q.rの3つだけだと仮定してるのでそれ以外は合成数になるのでは？
この動画の説明は全然ダメです。
普通は 素数を有限個と仮定して、それを全部かけて１を足したものも素数、だから矛盾と説明します。
帰納法
ｐ,q,rがそれぞれ２、３、５のときに合成数にはならないよ？
+i ssei 合成数にならないからむしろ都合がいいんですよ？
この証明が背理法であることをお忘れなく.
素数が3個しか存在しないと仮定すると, 2×3×5+1=31は定義上合成数でなければならない.
しかし, 31は2でも3でも5でも割り切れないから, 素数である. よって矛盾.
同様の議論を進めていけば, 素数が4個だろうが5個だろうが矛盾します.
だからこそ, 素数は有限個しかないという命題が否定され
素数は無限に存在するということが証明されるのです.
そうですね！ありがとうございます！
+9cmParabellum 質問なのですが、p,q,rをそれぞれ3,5,7にしてはいけないのでしょうか？もしそれをしていいのであれば、3・5・7+1＝106＝2^2・3^3となり、①は成り立つ。でも、そもそもp・q・r+1がp,q,rで割り切れないことと合成数の関係を理解できていないので、もしよろしければ教えてもらえませんか。
「p・q・r」が意味するところは有限個のみ存在すると仮定された素数の総乗です。
2が素数であることは自明です。
したがって2も3も5も7も11も13も……あらゆる素数を掛け合わせないと題意が満たせません。
有限個しかないはずの素数を「「「すべて」」」掛けあわせ、そうしてできた合成数に1を足すと、新たな素数が誕生する。
しかし、新たな素数が生まれるのはおかしい。
なぜならこの世に存在する素数はすべて使い尽くしていたはずだからである。
したがって素数が有限個しかないという前提が間違っていたのだ。
つまり素数は無限に存在する。
というのがこの証明の趣旨です。
p・q・r+1が、p,q,rのいずれでも割り切れない、というのも自明な話です。
もしp・q・r+1が合成数であれば、有限個しか無いと仮定された素数p,q,rいずれかで、割り切れなければなりません。
ところが、例えばpでくくると
p・q・r+1=p×(qr+1/p)
qrは当然整数ですが、pは2以上であるため1/pは整数になりえません
整数と整数でないものを足せば、和は整数でないものになります。したがって、p・q・r+1はpの倍数ではないわけです。
これが、qでもrでも言えます。qの倍数でもrの倍数でもない。
つまり、p・q・r+1は1以外に素因数分解ができない数。すなわち素数ということになるわけです。
+9cmParabellum 証明の趣旨はとても良くわかりました。ありがとうございます。ただ、素数を有限個と仮定した場合、その素数は必ず2から始まらなければいけないということでいいのでしょうか。
ちなみに，発散する級数は文字にはおけませんよ
P、Q、Rが2.3.5として、それにプラス1になったら、31。それって合成数にならないんじゃないですか？
多美
ならないから素数が有限個だと矛盾する
だから素数は無限個ある
っていう証明だと思います
バカが失礼しましたm(_ _)m
数学が得意な人は字が下手という偏見
３番目の最後のところ
よって ｍ＋ｎ＝１ ていうのはおかしいんじゃ？・・・
よって ｍ もしくは ｎ＝１という結論になるかとおもった
素数を有限だと仮定して、最初から最後までかけたものをDとしたとき、
D=mn
と無理矢理２つの数の掛け算に分ける。
この時、m+nというのはどんな素数でも割り切れない、つまり、1しかありえないってことです。
けどm+n=1ってのはD=mnと矛盾してるから、素数は有限ではないって証明です。
昔のコメントに返信失礼しました。
けん広島さ、m+n=1になるのが正しいことだなんて、数学得意なら高校生でも分かるぞ
レオンルト・オイラーって誰やねん
最後のm+n=1じゃなくてam+bn=1となるa,bが存在するじゃないですか？
ばか発言
おもしろい！
スティルチェスが、一番わかりやすい気がする、
オイラーはなんか、平民の俺とIQが違いすぎてわからないw
数学科の友達に一時間くらいオイラーの話聞かされたときはまいったよ
master ori まいったよ
些細なことですがレオンハルト・オイラーじゃないですか？
素数を全部掛けたら 4π^2 になるんだっけ(?)
ピタゴラス86歳って長生きしすぎじゃね？笑笑
去る猿 76やぞ
ピタゴラスはベジタリアンだった
実際にこの書き方でも良いのですか？こういう感じだったような
証明
素数が有限個しかないと仮定する。その有限個の素数全体を p1,p2,⋯,pn
とおく。
素因数分解の一意性より，∏i=1n∑k=0∞1pki=∑k=1∞1k⋯(※)
この等式の右辺は無限大となる。→調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明
一方，この等式の左辺は無限等比級数の公式から計算できる：
∏i=1n∑k=0∞1pki=∏i=1npipi−1
これは有限値なので，有限＝無限となり矛盾。
koichi koichi 記法が分からんからTeX打ちで書いて
2個目の「＝∞」が気になる…
本当は→だけど、言いたい事が分かれば、重要な所でないのでどうでも良いよ。
青の数学で見た気がする...
はじめて見た、青の数学読んでる人
いいよな
一個目だよね
合成数ってなんだよってなる
mao 大まかに素数じゃない数だと思って大丈夫だと思います
(ただし1は素数じゃないし合成数じゃない)
Yamaguchi S １って素数じゃないんですか？
これから言うことは全て嘘です え？常識じゃね？
破壊[される]機関車 ザーマス そうですけど僕の上のコメントの人があたかも1は素数でないように仰っていたので
これから言うことは全て嘘です 1は素数じゃないと思いますよ？
よくわかりました
ありがとう
「πの歴史」かかれているオイラーの公式に良く出てきました。
たいしたものですね。
一つ目はサイダックによる証明に似ているな
なるほど。さっぱり分からん。
氷菓1039 さり気なくすごい矛盾してるんじゃねーよwwwwwwwwwwwwww
T S ごめんなさいぃぃぃぃ
皆さんこのネタ分からないのかよ
チャイカム 特にお前恥っず
D=πpの下にあるpはなんですか？
③って①と使っている考え方が似ているような、、、
(1)ピタゴラスの証明は有名であるが, 矛盾を導出する部分で誤解されやすいので詳しく書くべき.
具体的には, ②よりp,q,rでない素数sが存在する. 之は①に矛盾である. といった一文が必要である.
之がないと, pqr+1が素数であると思い込んでしまう場合が見受けられるからである.
(2)オイラーの証明は, 最初から背理法を用いることを宣言すべき.
有限項の積の有限性を仮定するならば, “強引な割り算”を実行する必要性がありません.
また, 素因数分解の一意性を用いていると思うのですが, 言及すべきではないでしょうか.
ん? 何? 分かんなかった。あと100回位説明して。
キヨミズハルカ あと100回再生してください笑
@@ababanban おもしろ
一つ目の証明の意味がわかりません(´･ω･`)
なぜ①と②が矛盾するのでしょうか、
pqr+1をp、q、rで割り切ることが出来なくても、ほかの数で割り切ることができるかもしれません
現に、2×3×5×7×11×13+1=59×509です
これについての説明をお願いします
ケンター KENTAA その場合、始めにあなたは｢素数は2,3,5,7,11,13のみである｣ということを仮定してますね。つまり2×3×5×7×11×13+1は例え59か509で割り切れたとしてもあなたが仮定した｢素数｣では割り切ることができません。
ここで、全ての数は何かしらの素数で割り切ることが出きる(素因数分解ができる)ということに反してしまうため、矛盾であるといっています。
背理法は始めにした仮定が矛盾することを証明することで仮定が間違っていたということを言うという方法です。慣れないうちは難しいですがなれるとそうでもないので頑張りましょう
Saku 丁寧なご説明ありがとうございます
仮定した素数で割り切ることが出来なければ合成数とはいえなかったのですね
納得することが出来ました
この証明は小5くらいから気になっていて、きちんと理解することが出来ていなかったのでとてもありがたいです。
レオンルト…
草
2番目の証明（？）は、無限大から無限大を引く時点で議論が破綻していると思うのですが…？
小学生の時、よくそれで名前書いたわ〜
数学できねえやつって理解しようとしてねーじゃん
中３の自分何もわかりません
『調和級数』というのでしょうか。
1/素数って無限じゃないよね？
ふみん。 無限やね
？
オイラーの証明は美しいですね
んにゃぴ...よく分かんなかったです(高校生並の感想)
{p,q,r}={2,3,5}ならpqr+1は素数になりますよ
結果には影響がありませんが
Deathell Ng 素数になってしまうから、矛盾が導けるんですよ。
レオンハルトがレオンルトになってる
D=7だったらm+n=8で、D/2=4ではないのか...。