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備忘録👏。【背理法→ √2 が 有理(比)数であると仮定する。】√2＝q/p ( pとqは 互いに素な自然数 ) とおくことができる。« 解その1. 教科書のやり方 → 互いに素に矛盾する » « 解その2. 素因数分解 → 2p²＝q² これより ( 素因数2が偶数個 )＝( 素因数2が奇数個 ) で矛盾する »
やめて！、
素因数分解って単純だけどすごいですね。
無限降下法でも証明できますね
数研出版の教科書を使って学習しているのですが、教科書の方法もより分かりやすくしてくれてとても助かります。
②の証明では「p,qが互いに素」であることも削れますね。②の前に具体的な数値での説明があるので、イメージが湧きやすいですね。参考になります。
①では証明の過程に「p,qが互いに素」という条件を利用いていないのに最後だけ「p,qが互いに素」と矛盾すると結論づけているところもモヤモヤ感が残るんですよね。いや「p,qが互いに素」という仮定が矛盾するならその条件を除去して証明を始めてもええやん。それでも最後までたどりつけるやん。的な…。
@@スコッチ-q3w 背理法の意味わかってます？ 矛盾を出すために計算しているんですけど……。
@@あとってもマイルド 「p,qが互いに素」という前提を置くことによって矛盾が生じる、というなら背理法ですが、証明の過程で「p,qが互いに素」ということを何ら使っていないのに「『p,qが互いに素』に矛盾する」と結論づけることに違和感があると言っているのですよ。
@@スコッチ-q3w p,q互いに素の前提がないと、p,qがともに2の倍数でも何の問題もないことになって背理法の証明できませんよ？
@@スコッチ-q3w √2を有理数と仮定した時に、これを既約分数として表す（公約数があるときは約分できるから、有理数はいつでも既約分数で表せる）と、互いに素である整数p,q（p≠0）を使って√2＝q/pと書けて、この等式から②、③が導かれ矛盾するという議論であり、 p,qは互いに素であるという条件は√2が有理数であるという仮定から導かれるため除去できない、ということではないでしょうか。
p^2とq^2に素因数2が入ってない場合はどうするんだ！と思いましたが, 偶数個には素因数2が0個の時も含めているんですね. 驚きました.
あなたのコメントでようやく理解しました、ありがとう。
ええと、2p^2=q^2 だから左辺に２が現れている以上、右辺には必ず２は最低１個含まれているはずなので、p^2は最低２個以上の２の冪を含むと解釈できます。０個はあり得ませんよ。それだと等号自体が成り立たなくなります。
ミカエル剣 等号成り立ってないから背理法で証明できたんじゃないかな
ミカエル剣 は？
ミカエル剣 僕もそう思うんですけど違うんですか？
別解√2を有理数と仮定すると、q pを互いに素な正の整数として √2＝q/p と書ける。√2は整数でない(1
q^2 : 2 の倍数 ==> q : 2 の倍数対偶を照明を行うことで簡単に確認できるq : 2 の倍数でない すなわち奇数である ==> q^2 : 2 の倍数でない すなわち奇数である奇数の平方は奇数なので，この対偶命題は真である．例）q=2n+1 とすると q^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1 となり，確認できる．
【素数の基本性質より、p×pが素数2の倍数⇒pまたはpが2の倍数 ∴pは2の倍数 】 ともいける
@@ddkk9583 それを証明してるんですよ
√2はひとよひとよにひとみごろなので無理数
@卓 【abが2の倍数ならばaまたはbが2の倍数】というのは定義ではないので，結局証明が必要ということが言いたかったのです．もちろん素数の基本性質ですけど，基本性質である以上証明できますからね．証明は結局コメント主さんのものとほとんど同じになると思います．
@卓 倍数の定義はそれで良いと思いますが，結局どうやってab＝2k（k：整数）から【 a または b が2の倍数】を証明しますか？私は結局コメント主さんの証明になると思うのですが．
素因数使った証明数学ガールに載ってたなぁ感動した
当時、どうしてもうまく飲み込めなかったけどたまたま正則連分数展開を知って理解出来た時の喜び
この証明カッコイイから好き
素因数分解の一意性か～！勉強になります！
大学への数学の月刊号で見たことありました。
ちょうど見たかったんですよー！ありがとうございます
解説が丁寧でわかり易かった
自分は高校でできた問題で一番めんどかった証明ですw割り算もできなかったやつがここまでできたのは塾の先生に感謝です。。
いや、、 めっちゃ分かりやすい！ありがとうございました
②で、1. √２を有理数と定義している。2. (√２)＾２＝２3.素因数の定義 以上３点から「素因数２の個数」について議論しても無意味かと思った（因数√２はいずれも偶数個）のですが、どうなんですか。詳しい方教えてください。。
佐藤光一 もう少し詳しく考えを示していただけるとありがたいのですが、一つ言えるのは「因数√2」とおっしゃっていますが、√2は有理数であって整数とは限らないので√2は因数と捉えられないという事です。
Masaki Koga 返信ありがとうございます。「p=1でないことは明らか。」みたいなことが一言あると良いということでしょうか。整数とは限らない→整数かもしれない と思ったという感じです
昔から、教科書の背理法の前提で「p、qは互いに素」と文章で書いているのがずっとモヤモヤしてます（「互いに素」を数式上で表せないものか）。教科書の背理法の論理では、「√2を有理数と仮定したのが矛盾」ではなく、「p/qと書いただけでは、p、qが互いに素の分数を表現し尽くすことができない」ことが証明されただけではないかと…うーん。（だから私は文系なのでしょう）
表現できないから無理数なんですそれが無理数なんです
2の個数が合わない，より，単に素因数の個数が合わない，でいいのでは？
背理法は「pでないとすると矛盾、従ってp」で、この証明は「有理数とすると矛盾、従って有理数でない（無理数）」なので背理法と言わずに「否定の導入」と呼ぶこともあります。排中律のもとでは同じですが
この証明を使うと、最初の互いに素という断りをなくしても良いのですか？
素因数分解の一意性を使っていいのかとか、平方数の素因数は偶数個というのは既知として使っていいのかという疑問もないではないですが、別解を知ると豊かな気持ちになります。同様の方法で素数のn乗根(n≧2)が無理数であることも示せますね。偶奇ではないけど。
②の証明では「素因数分解の一意性より」という一言が欲しいところですが、高校数学だと素因数分解の可能性と一意性を勉強しないのが問題ですね高校の範囲で証明するのはめっちゃ大変です
平方数は素因数2を偶数個持つというのは以下の2パターンなわけですね。1.底が偶数であるとき、2乗することで2を偶数個持つ。2.底が奇数であるとき、2乗しようが元々底が2を持っていないので2を0個持つ。2乗することで2が奇数個あるというパターンは無くなると。√3なら偶数→3の倍数として進めていけばよいですね。オシャンティーな証明ですね。
p^2 q^2は平方数なので素因数2を偶数個持つのとこでなで素因数2を持つことが分かるのですか?
偶数個持つ，というのは「0個持つ＝持たない＝奇数である」というのも含んでいます．誤解の生む表現であったのは申し訳ないです．
素因数2ではなく例えば3であってもどっちみちq^2に素因数2を奇数個含んでしまうことになりますよね？
@@黒い牛 √3の時であれば、“３に焦点を当てて(今回で言う２を３に変えて)議論する”ことになるとは思いますが、√2の証明で３に焦点を当てて考えるのでは、矛盾を導けないのでは？
@@to-po4268 具体的に言えば、例えばp＝(2^m)n(ここで、mは任意の自然数か0、nは2を素因数に持たない素数か合成数)のとき、2p^2＝2((2^m)n)^2 ＝2((2^m)^2)(n^2) ＝(2^(2m+1))(n^2)で2p^2は素因数として2を奇数個持つことになる。同様の議論が素因数分解の一意性からp＝(q^m)n(ここで、qは任意の素因数、mは任意の自然数か0、nはpを素因数に持たない素数か合成数)のとき、2p^2＝2((q^m)n)^2 ＝2((q^m)^2)(n^2) ＝(q^(2m+1))(n^2)で2p^2は素因数としてqを奇数個持つことになる。で、いかがでしょうか。
指数がかける2されるから
す、すげー・・・。こんな証明方法もあったのか
文系を卒業して50年たちます。電卓で2、√と押すと、1.4142・・・と表示されます。無理数は自然数の分数では表せないとのこと、では計算機の中でどのような計算をして1.4142・・・を計算しているのか教えてください。
定期テストの記述で〜 2p^2=q^2でp=2^n×p'(nは0以上の整数、p'は奇数)q=2^m×q'(上同様)とおくと2^n+1×p'^2=2^m×q'^2となり、素因数2の数が異なることはありえないので〜とかでokですか？
「素因数分解の一意性に矛盾するので」の方がいいと思います。
こういう証明はありですか？√2=q/pより2=q^2/p^2p^2、q^2は互いに素であり、左辺は整数なのでq^2=1よってp^2=2すなわちp=±√2pが整数であることに矛盾するので√2は無理数
なるほど
最初の式で√2は整数でないからpは1でないとすれば両辺2乗した式で2が整数であることと直ちに矛盾をだせます。
なぜこんな解法を思いつくですか？高校１年ですが大学入試ではこういう思考力が必要かと思うと悲しくなります。。。。
寧ろ高1でこの内容に触れられた事を幸運に思えば如何かな？
これは解法を覚えたほうがいい何もないところから思考するのは凡人には難しいから、理解からの暗記をして、色んな常識が身に付けば、ある程度の問題は解けるようになるし、入試は解けなきゃいけない標準問題が解ければ合格できるから
次の論法ではダメですか？等式 2*p^2=q^2 において、左辺に含まれる素因数 2 の個数は奇数で、右辺に含まれる素因数 2 の個数は偶数だから矛盾。
連分数展開の証明を見たときはびっくりした
いつも動画拝見させて頂いてます。疑問なのですが、以前に脅威の方が「解法暗記で数学の実力は上がらない」と言ってたのですが、どうでしょうか？自分自身は理1を目指してて解法暗記とは言わないまでも、理解しながら解法を頭に入れるという近しいことをしてます。本試験では80/120を取りたいです。このやり方はダメなんでしょうか？その場合どういう勉強の仕方が良いのでしょうか？
解法暗記だけでは限界があると思いますが，解法暗記もある程度はしなければ実力はつかないはずです．僕は数学というのは経験の学問だと思っていて，受験数学というのも様々な問題を解くことを通じて「こういう対象はこういう扱い方をするといいんだな」っていう「数学の感覚」をたくさん例を見て，より難しい問題に挑む性格があると思うのです．具体的にどのようにされているのかはわかりませんが，ちゃんと理解していれば問題ないと思います．解けない問題にぶつかっても諦めないでしっかり考えるようにすれば，思考力は鍛えられるはずです．これから様々な問題に当たるといいと思います．
Maßaki Koga 返信ありがとうございます。なるほど、奥が深そうです……。そりゃある程度の解法を知らなきゃ何もしょうがないですね。とりあえず今のやり方で行ってみます。ありがとうございました。これからも動画楽しみにしてます。
M6 UTokyo 横から失礼しますが、理解の深さの問題だと思いますよ。たとえば今回の問題の教科書の方の解法について、√2p=qを二乗していましたが、二乗した理由は、「この後の『左辺は2の倍数よりq^2も2の倍数』〜『②,③はp,qが互いに素であることに矛盾』までの流れまで全て頭に浮かんでいるから」ではなく「√2は途方も無い小数で有理数か無理数かも判別がつかなくて、p,qの条件を絞れないから」だと思います。全ての所作に「この後の流れまで頭に浮かんだから」以外の理由がつけられたら覚えなくても次は解けると思います。
素因数を用いる証明のところで、2p^2=q^2の時点で左辺の素因数が2m+1個、右辺の素因数が2n個（m,n自然数）で素因数分解の一意性に反するから無理数である、という証明の方が多少簡潔ではないでしょうか？
僕は中学生なので詳しくはよく分かりません。とりあえずあなたのコメントを見て思ったことを書きます。間違っていたらご指摘ください。素因数を用いる証明では①の部分の式が用いられています。ですが「q^2:2の倍数⇒q:2の倍数」は含まれていません。そのため左辺と右辺を「2m+1」と「2n」に表せられないのではないでしょうか？それとその証明は動画内で紹介されていた教科書の証明と内容が同じではありませんか？以上です。間違っていた時はすみませんm(__)m
ゆうゆう 左辺と右辺の「2m+1」と「2n」は素因数の個数です。仮にp、qの素因数の個数をm、nとおいたとき、p^2の素因数の個数が2m個、q^2の素因数の個数が2n個になるので2p^2は2m+1個になる、ということです。また私が言及している証明とこの動画の証明は異なっていますよ。高校1年の範囲ですので仕方がないですが
チクソン なるほど。そういうことか。完全に僕の理解不足でした。丁寧にご説明ありがとうございます。自分は数学が好きでふと疑問に思ったことが解決されて今とても嬉しいです。P.S.そうなると「素因数分解の一意性に反する」というのは「平方数は素因数を偶数個持つという性質に反する」という意味になるのでしょうか？もしよろしければお教えください。お願い致します。
ゆうゆう こちらこそありがとうございました。「素因数分解の一意性に反する」とは、2p^2=q^2という等式が成り立っているのにもかかわらず、左辺の素因数の個数がが偶数個、右辺の素因数の個数が奇数個になっている、つまり2通りの素因数分解ができてしまっているということです。素因数分解はたった1通りにしかできないため、定義に反しているということです。
チクソン ようやくあなたの証明を理解できました。本当になるほど、の一言に尽きます。全くお恥ずかしい限りです笑確かに2通りもの素因数分解ができるはずがありませんね。勉強になりました。こんな僕にとても分かりやすく説明して下さり本当にありがとうございました。
なんで素因数2を持つことがわかるんですか？なぜ2を持つことがわかるんですか？教えてください
素因数2を「偶数個もつ」と言ってるので、持たないときも「素因数2を0個もつ」と言い換えられるからですね。0は偶数です。
「平方数は素因数を偶数個持つ」という命題は、答案内で、自明なものとして扱って良いのですか？
ちょっと疑問が....。10:00 あたりで「平方数は素因数を偶数個持つ」とありますが、１は平方数だと思いますが、素因数を１個しか持たないかと思います。（1^2とか1^0のように偶数個にもできますが。）0も同様です。でも、素因数分解に、0や1は登場しないので問題ないのでしょうか？
1は素数ではないので、「素」因数にはならないのかもしれません。
@@いーあー-h6m なるほどです。
@@sylpheed9 明らかなミスです。 「１以外の」というべきでした。この方独自の証明を見たかった。他にもいっぱい証明の方法はあるから。。期待はずれかな。
互いに素じゃないことの矛盾を示したらどうして、有理数じゃないってことになるんですか？
√2=q/pと表すことができたのは「√2が有理数である」としたからです。pとqが互いに素であるということに矛盾が生じるということは「√2が有理数である」という仮定が間違っているということです。よって√2は有理数ではない、つまり√2は無理数であるということです。
アルトリウス騎士 大体は、わかりましたが互いに素でなくても、有理数であることは、変わらないんじゃないか、と思いまして、これは、どう考えればいいでしょうか？
ひとつのピース √2が有理数であるとすると分数の形にすることができます。分数で表すことが出来るのであれば分子と分母が互いに素である状態まで約分で持って行くことができます。つまり有理数は絶対にq/p(pとqは互いに素)と表せるということです。ですが√2=q/pを変換などしていくとpとqは共に2の倍数、つまり公約数2を持っていることがわかります。有理数であるならば互いに素であるpとqを用いてq/pと表せるはずなのに、pとqは互いに素ではない。であれば有理数ではないということです。僕も高校1年生なので分かりづらく的を得ていない答えかもしれません。長々と失礼しましたm(_ _)m
なんか難しそうなこと言ってるけど√2=p/q（p/qは既約分数）ここでいう既約分数っていうのは整数の範囲で既に約分しきった分数のこと。例えば3/2 これは3と2が互いに素です。（既約分数）これが6/4 これは2で割れますよね。6と4はそれぞれ2を共通因数に持つから互いに素とは言えない。（既約分数でない）まとめると、既約分数（割り切った分数）は共通の因数をもたないから互いに素であることが保証されるってこと。
素因数2を偶数個もつのところで、コメントを読んでいたら√2だから2に着目した。とかかれていたのですが、なぜ√2だったら2に着目するのですか？他に着目したら証明は難しくなるのでしょうか。
2p²=q²のところで、左辺に2が表れているので、そこに着目した方が良いです例えばここで3に着目しても、pとqがもつ素因数3の個数が一緒かもしれなくて、この時は何も情報が得られないですよね
𝑝,𝑞は整数じゃなく自然数と書いた方が良さそう。𝑝≠0とか言わなくて良いし、2乗するときの同値性も保たれる
2番目の証明鮮やかで好きです。1番目のやつは何回も書いて覚えたりしてましたけど、なんかアホらしくなってきました。
素因数分解の一意性は証明せずに使ってよいのですか？
1が1であることの証明は必要ですか？と同じニュアンスの質問ですよ？自明なものは証明に用いて良いのです。
全然ちがいますよ。もしこれが自明なら、√２が無理数であることも自明になります。証明問題で、自明は禁句です。
あい 全く同じこと書こうと思ってたら、やっぱりありました笑笑
一意でなくてもでなくても成り立ちますよ！可換なので！
素因数分解の一意性を証明しなければ基本的には使ってはならないと思います。凄い長くなりますけどね。笑
①√2 の定義 ２乗すれば2となる正の数 または 一辺が1の正方形の対角線の長さ 有理数の定義 整数分の整数で表される数（量）をまず明確にしてスタートする②1＾2＋1^2=（p/q）＾2 （ｐ、ｑは整数）が矛盾をいえばよい③生徒は 循環しない無限小数だからそりゃ無理数と思っている数直線 と 有理数の稠密性を事前に触れておくとなぜ議論になるかがわかる④教科書の方法で互いに素としない解答では 繰り返して無限にｐ、ｑが2で割り切れることになり矛盾とできる(無限降下法)
a^2=2b^2を満たす整数a.bは存在しないことの証明にも使えますね
ふつうに『素因数の数が、左辺と右辺で一致しない』ので、√２は無理数では、ダメなんですか？素因数2の個数に着目する旨みはどこにあるんですか
西島智大 「素因数の個数が、左辺と右辺で一致していないから…」だけを謳っても左辺と右辺で一致しない根拠はどこにあるのでしょうか。その根拠こそが素因数2の偶奇です。ですから、今回においてこの着目は必要です。
松田翔太 なぜ２の遇奇により一致しないとわかるんですか？そこってなぜ証明省けるんですか？
素因数の数なんて分からないとおもうのですが。
それだと素因数分解の一意性を証明しなくて良いのですか？
確か動画中でも言った気がしますが，素因数分解の一意性は，整数論の基本的な定理なので証明しなくて良いです．（受験数学における問題は素因数分解の一意性を用いるものが多々あふれています）
返信ありがとうございます
2*p^2=q^2 とすると forall d:prime in N (d|p -> d|q) により gcd(p,q)=1 に反するから，pを割り切る素数はない．つまり，p^2=1．
これ見てやっと、素因数分解で√2が無理数であることの証明を理解できた。(a^m)^n=a^mnの性質が平方数の素因数分解にそのまま利用できるのが味噌だったのか。2p^2=q^2だからq^2は２の倍数の二乗で、つまり絶対に素因数に２を持ち、その個数は絶対に偶数個になると。なのに2p^2は2を一個余分に持ってるから、pが2の倍数であろうがなかろうが、どのみち、素因数２の個数は奇数個になると。素因数２の数が片や奇数個で片や偶数個は矛盾するから√2は有理数との仮定が崩れるわけか。
そもそも、「平方数なら素因数を偶数個もつ」を使っていいのなら「p^2が2の倍数ならpも2の倍数」も使っていいのでは？
逆に、「p^2が2の倍数ならpも2の倍数」を使ってはいけないのなら、「平方数なら素因数を偶数個もつ」も使ってはいけない気がするのですが、
p^2が2の倍数ならpも2の倍数を、平方数なら素因数を偶数個もつで、示せますね。
@@bromobenzenecute716 そうなんですか？
以前、某大学入試に、√2が無理数であることを背理法を用いずに証明せよという問題があったと記憶していますが、そちらも分かれば動画にアップしてください
これ中学生でもなんとなく理解できそうだな用語とか知らないからなんとなくだろうけど
僕中３ですけど完全に理解できました。説明が分かりやすいですし話している内容もそこまで難しくなかったので。数学ってやはり面白いです。解へのアプローチが無数に存在するのだから。
nick okita 中1だけど小学生の時から高校数学とかはかじってたからこんなの常識だった
√2の根号内には素因数が奇数個しかない。よって√2は無理数ってことですか？
2p^2=q^2で、q^2は素因数である2を偶数個（2個以上）持つから、q^2/2で、p^2も2を素因数に持つ数で、平方数だから、p^2も2を偶数個持つのか！だから左辺が奇数個になって矛盾するのか。わかった
全然わかんねぇ…明日のテスト終わったな。おやすみなさい
この人は頭が良すぎて超絶イケメンにしか見えない
Patricia Mara頭の良い人がイケメンに見える病気か何かですか？
@@アルシオーネ-d2h 頭の良い人はカッコイイよ
二番目の証明は代々木ゼミナールの荻野先生も紹介していました。
受験生の時に見ておきたかった。
これって、√3の時にはどうなりますか？偶奇の議論では行けない気がするのですが、、、
素因数の個数について、偶奇の議論をするので、問題ないと思います！3p^2=q^2 ⇔3p^2は素因数3を奇数個、 q^2は素因数3を偶数個もつ。
pの2乗が素因数2を偶数個もつのはなぜわかるんですか？qの2乗はわかりますけど...
あ、0は偶数でした、すみません
右辺で(素因数2を)偶数個持つから左辺も偶数個持つそうしたら2p^2で偶数個、p^2で奇数個持つとなるしかしp^2は平方数なので偶数個持つはずだここで矛盾が起きると捉えるのもいいかと…
q^2が2個持つ時点で等式を成立させるならp^2も1個は持つここで平方数の性質上p^2は2個持つってことじゃないでしょうか？
この動画に限って言えば、pとqは0ではないので素因数2を0個持つってことは起き得ないと思います…ただ、平方数の素因数を偶数個も持つという性質を考える上ではその偶数個という枠の中には0個というのも含まれています！
田中太郎 p,qが奇数であれば、素因数2を0個持ちますよ
平方数に必ず2が素因数をもつのは何で？ってなりますよね？
mじゅんぺ なぜ偶数個存在することが、持つことになる？0個持つと偶数個であると言うのは同値であり、素因数2を持たないことにも同値である。
berserk Kings なるほど！分かりましたありがとうございます
berserk Kings さん正論ですが、今回の場合は左辺が２の倍数、よって右辺にも２が最低因数として１個は存在し、平方数であることから因数２の数は２以上の偶数個になります。今回に限っていうと、０個はあり得ませんよ。間違った解釈になります。
ミカエル剣 色んな所でそれ言ってるけど普通に間違っとるでww誤った解釈する人増えるからやめたれや背理法理解してる？
@@ch-gp6rx それな。しかも上のこの人のコメントにGoodついてんのも怖い
①で「p,qは互いに素」と仮定するのは、後の議論で必要になるから仮定するのであって、有理数を整数/整数でおくときに常にするわけではない。例えば log_10 2 が無理数であることの証明には。互いに素の条件は必要ない。結果から逆算して必要が判明したものを、しれっと仮定する姿勢はいかがなものでしょう？
なまけたろう 僕自身は何回もやっているのでこの場合は互いに素の仮定が必要で、時としていらない場合もあるということを知っているんですけどそれを伝えきれなかったというのは教える側として足りなかったです。ご指摘ありがとうございます、申し訳ありません。
誠実なお返事、有難うございます。陰ながら応援しています。
明快☀️ありがとうございます
√2が無理数であることの証明は背理法を使わなくてもできる（この動画の証明も実は背理法ではないが）√2はx^2-2=0の正の解のことである x^2-2=0の正の有理数解の候補は１と２だけである１と２はx^2-2=0の解ではないよって√2は有理数ではない√2は無理数である
正の有理解の候補が1,2のみが謎分数、例えば1/3は有理数ですよ
流石にその定理を用いるのは問題のレベルに対して飛躍しすぎかと
@@ぴおみず普通にこれを使わせる入試問題はあるんですよねぇ…
その入試問題のレベルって√2が無理数であることを証明するようなレベルじゃないですよね...というかあなたのおかげでこの定理知れたので感謝してますよ ありがとうございます
11:47頭良い
おおお！！楽だあああ！！！！
高1です。数学が得意なんですが唯一この証明だけうまく理解出来てませんでした。けれどこの動画のおかげで完璧に理解出来ました！本当にありがとうございます！
これ好き
私はとある教育機関の教員により，背理法の使用を禁止されています．
なんで？
翔子さんかわいい
すごくわかりやすいけど「数」の書き方きになるww
後者ってルート3でも通用しますよね？
うなくーる はい、その場合素因数3に着目することになりますね
Masaki Koga 素早いお返事ありがとうございます( ¨̮ )
u kana (¨̮)
というかルートの中身が何であろうと通用しそう(4、9、16とかの平方数は当然除くとして)
1番目なんで分子と分母は互いに素なんですか？
1/2を2/4とか6000/12000って書かないのと同じでは？
この方法いいっすなぁ
平方数は3で割って、余らないか、1余るかだから3で割って2になるから無理数であるっていうのは証明になる？
どうだろう…気になる
平方数はあくまで整数として定義されているので，整数でないことは証明できますが，有理数であるかの証明としては十分性が保たれていないと思います。
どーやって90の素因数分解を頭の中でやってるんですか！？
古賀さんではありませんが、90=6×15みたいに分解するとパッと頭の中でできますよ！
10の倍数の時は3^2(2×5）ってやれば頭の中でできます
ありがとうございます！
面白い！！
最近、算数を始めたのですが、√2/2=1/√2な時点で｢うっ・・・・｣てなりました。
隙間日和 大丈夫か？
算数で√使うってどこの小学校ですか
②の証明昨日塾でやった！
左辺のmod3が0,2で右辺が0,1だから両方3の倍数だから互いに素に反してるってやってもいい？
素因数2を偶数個持つは素因数2を0個持つ＝持たないと同値
同値ではなく必要条件ですね。
もかぶ 失敬メモ程度にコメントしました
左辺が②を掛けるとなぜ 奇数乗になるのかわからない人 相当数います。多分ですけど。そこを簡単に説明して欲しかったたです。。。例えば、3の2乗×3の5乗は、指数は足し 3の5乗ですけど この場合は 文字なので違います。
11:40 「素因数２を偶数個」ではなく「素因数を偶数個」ですね。pの素因数として２が含まれるとは限りませんから（例：p=3の場合）。
3=2^0*3^1
Hiroaki Masuda 0なんだよなあ
すばらしいですな
高校の教科書に書いてなかったぞ！（40年前・・・）
素因数分解の一意性は証明しなくていいのだろうか
そうですよね。素因数分解の一意性の証明はそんなに易しくはないのです。つまり、よい定理を使えば簡単に証明できるわけです。ルート２が無理数であることの証明は、素因数の分解の一意性よりは易しいのです。ですから、このお話は試験のときにどうかくかという問題なのでしょう。
なぜ左辺が2の倍数なら右辺も2の倍数なんですか？
＝で結ばれているので同じ数を表しているんですよね。なので片方が二の倍数の場合両方二の倍数とわかります
無理数の定義のされ方が～ではないという先にあった定義を否定したものを定義にしているのか。
学校の先生が同じ素因数を使った証明をしてたのを思い出した。
これ√3は無理？
素因数の個数に注目する！ エレガント😃
僕が聞き漏らしただけかもしれないけど、②の証明をするときにp≠0に言及しないとよくないんじゃないかな
ぬさもとりあえず ここまで同じって一度書いたからいいんじゃない？？
世界広がるわ
√2が有理数であるとする 「ほう」√2=q/pとする 「あ、もう無理だ」
有理数＝分数で表せるかどうかってことだからそのまんまだよ。
正しくは整数分の整数で表せるかどうかだけどね。分数で表せるかどうかだけだったらπ/2も含むので…。
@@クスリ松村-m9s ナイスアシスト
@@hotaiiinntyou いや、無理と無理数をかけてる小ボケでしょ
narbay Wat そんな秀逸だったのか…？
すごいなこれ
何故互いに素でないといけないのでしょうか？
有理数は必ずp/q(pとqは互いに素)で表すことができるからです
@@user-ToriGatobu4 p/q が本当に有理数全体を表してるかどうかは疑問が残る。有理数の定義そのものだから大丈夫だろうけど。
@@鈴木正-j1j "有理数の定義そのもの"って自分で言ってるのに何に疑問をもってんだ？
0も偶数だからか、、
これって√2を二乗して、2が一個（奇数個）しかないから無理数じゃだめですか、、？
11:46 p^2もq^2も素因数に2持ってたらp,qは互いに素じゃなくね？てかpは持ってなくても成り立つやろ
0も偶数
@@ささみ-r8t7n 0を因数に持ってたらその数も0だろ
@@tv_retaliotv8671 素因数の個数の話
@@ささみ-r8t7n なるほど理解しましたわご迷惑をお掛けしました
@@tv_retaliotv8671 理解してくれればそれでええよ
11:30 平方数だからといって素因数２を持つとは限らない。ここは減点されるだろう
0も偶数なので大丈夫でしょ。
![Masaki Koga [数学解説]](http://yt3.ggpht.com/iS7yH2FXiUzPK9lxif6LZbtrxwlWeUWrpKuQc76MyOq_5YG7C5y9jPoZiw4Od2nmFYjSLRf9PTM=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
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備忘録👏。【背理法→ √2 が 有理(比)数であると仮定する。】
√2＝q/p ( pとqは 互いに素な自然数 ) とおくことができる。
« 解その1. 教科書のやり方 → 互いに素に矛盾する »
« 解その2. 素因数分解 → 2p²＝q² これより ( 素因数2が偶数個 )＝( 素因数2が奇数個 ) で矛盾する »
やめて！、
素因数分解って単純だけどすごいですね。
無限降下法でも証明できますね
数研出版の教科書を使って学習しているのですが、教科書の方法もより分かりやすくしてくれてとても助かります。
②の証明では「p,qが互いに素」であることも削れますね。②の前に具体的な数値での説明があるので、イメージが湧きやすいですね。参考になります。
①では証明の過程に「p,qが互いに素」という条件を利用いていないのに最後だけ「p,qが互いに素」と矛盾すると結論づけているところもモヤモヤ感が残るんですよね。
いや「p,qが互いに素」という仮定が矛盾するならその条件を除去して証明を始めてもええやん。それでも最後までたどりつけるやん。的な…。
@@スコッチ-q3w 背理法の意味わかってます？ 矛盾を出すために計算しているんですけど……。
@@あとってもマイルド 「p,qが互いに素」という前提を置くことによって矛盾が生じる、というなら背理法ですが、証明の過程で「p,qが互いに素」ということを何ら使っていないのに「『p,qが互いに素』に矛盾する」と結論づけることに違和感があると言っているのですよ。
@@スコッチ-q3w p,q互いに素の前提がないと、p,qがともに2の倍数でも何の問題もないことになって背理法の証明できませんよ？
@@スコッチ-q3w √2を有理数と仮定した時に、これを既約分数として表す（公約数があるときは約分できるから、有理数はいつでも既約分数で表せる）と、互いに素である整数p,q（p≠0）を使って√2＝q/pと書けて、この等式から②、③が導かれ矛盾するという議論であり、 p,qは互いに素であるという条件は√2が有理数であるという仮定から導かれるため除去できない、ということではないでしょうか。
p^2とq^2に素因数2が入ってない場合はどうするんだ！と思いましたが,
偶数個には素因数2が0個の時も含めているんですね. 驚きました.
あなたのコメントでようやく理解しました、ありがとう。
ええと、2p^2=q^2 だから左辺に２が現れている以上、右辺には必ず２は最低１個含まれているはずなので、p^2は最低２個以上の２の冪を含むと解釈できます。０個はあり得ませんよ。それだと等号自体が成り立たなくなります。
ミカエル剣 等号成り立ってないから背理法で証明できたんじゃないかな
ミカエル剣 は？
ミカエル剣 僕もそう思うんですけど違うんですか？
別解
√2を有理数と仮定すると、q pを互いに素な正の整数として √2＝q/p と書ける。
√2は整数でない(1
q^2 : 2 の倍数 ==> q : 2 の倍数
対偶を照明を行うことで簡単に確認できる
q : 2 の倍数でない すなわち奇数である ==> q^2 : 2 の倍数でない すなわち奇数である
奇数の平方は奇数なので，この対偶命題は真である．
例）q=2n+1 とすると q^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1 となり，確認できる．
【素数の基本性質より、p×pが素数2の倍数⇒pまたはpが2の倍数 ∴pは2の倍数 】 ともいける
@@ddkk9583 それを証明してるんですよ
√2はひとよひとよにひとみごろなので無理数
@卓
【abが2の倍数ならばaまたはbが2の倍数】というのは定義ではないので，結局証明が必要ということが言いたかったのです．
もちろん素数の基本性質ですけど，基本性質である以上証明できますからね．
証明は結局コメント主さんのものとほとんど同じになると思います．
@卓
倍数の定義はそれで良いと思いますが，結局どうやって
ab＝2k（k：整数）
から【 a または b が2の倍数】を証明しますか？
私は結局コメント主さんの証明になると思うのですが．
素因数使った証明数学ガールに載ってたなぁ
感動した
当時、どうしてもうまく飲み込めなかったけどたまたま正則連分数展開を知って理解出来た時の喜び
この証明カッコイイから好き
素因数分解の一意性か～！勉強になります！
大学への数学の月刊号で見たことありました。
ちょうど見たかったんですよー！ありがとうございます
解説が丁寧でわかり易かった
自分は高校でできた問題で一番めんどかった証明ですw
割り算もできなかったやつがここまでできたのは塾の先生に感謝です。。
いや、、 めっちゃ分かりやすい！
ありがとうございました
②で、
1. √２を有理数と定義している。
2. (√２)＾２＝２
3.素因数の定義
以上３点から「素因数２の個数」について議論しても無意味かと思った（因数√２はいずれも偶数個）のですが、どうなんですか。
詳しい方教えてください。。
佐藤光一 もう少し詳しく考えを示していただけるとありがたいのですが、一つ言えるのは「因数√2」とおっしゃっていますが、√2は有理数であって整数とは限らないので√2は因数と捉えられないという事です。
Masaki Koga 返信ありがとうございます。
「p=1でないことは明らか。」みたいなことが一言あると良いということでしょうか。
整数とは限らない→整数かもしれない と思ったという感じです
昔から、教科書の背理法の前提で「p、qは互いに素」と文章で書いているのがずっとモヤモヤしてます（「互いに素」を数式上で表せないものか）。
教科書の背理法の論理では、「√2を有理数と仮定したのが矛盾」ではなく、「p/qと書いただけでは、p、qが互いに素の分数を表現し尽くすことができない」ことが証明されただけではないかと…うーん。
（だから私は文系なのでしょう）
表現できないから無理数なんです
それが無理数なんです
2の個数が合わない，より，単に素因数の個数が合わない，でいいのでは？
背理法は「pでないとすると矛盾、従ってp」で、この証明は「有理数とすると矛盾、従って有理数でない（無理数）」なので背理法と言わずに「否定の導入」と呼ぶこともあります。排中律のもとでは同じですが
この証明を使うと、最初の互いに素という断りをなくしても良いのですか？
素因数分解の一意性を使っていいのかとか、平方数の素因数は偶数個というのは既知として使っていいのかという疑問もないではないですが、別解を知ると豊かな気持ちになります。同様の方法で素数のn乗根(n≧2)が無理数であることも示せますね。偶奇ではないけど。
②の証明では「素因数分解の一意性より」という一言が欲しいところですが、
高校数学だと素因数分解の可能性と一意性を勉強しないのが問題ですね
高校の範囲で証明するのはめっちゃ大変です
平方数は素因数2を偶数個持つというのは以下の2パターンなわけですね。
1.底が偶数であるとき、2乗することで2を偶数個持つ。
2.底が奇数であるとき、2乗しようが元々底が2を持っていないので2を0個持つ。
2乗することで2が奇数個あるというパターンは無くなると。√3なら偶数→3の倍数として進めていけばよいですね。
オシャンティーな証明ですね。
p^2 q^2は平方数なので素因数2を偶数個持つのとこでなで素因数2を持つことが分かるのですか?
偶数個持つ，というのは「0個持つ＝持たない＝奇数である」というのも含んでいます．誤解の生む表現であったのは申し訳ないです．
素因数2ではなく例えば3であってもどっちみちq^2に素因数2を奇数個含んでしまうことになりますよね？
@@黒い牛 √3の時であれば、“３に焦点を当てて(今回で言う２を３に変えて)議論する”ことになるとは思いますが、√2の証明で３に焦点を当てて考えるのでは、矛盾を導けないのでは？
@@to-po4268 具体的に言えば、例えばp＝(2^m)n(ここで、mは任意の自然数か0、nは2を素因数に持たない素数か合成数)のとき、
2p^2＝2((2^m)n)^2
＝2((2^m)^2)(n^2)
＝(2^(2m+1))(n^2)
で2p^2は素因数として2を奇数個持つことになる。
同様の議論が素因数分解の一意性からp＝(q^m)n(ここで、qは任意の素因数、mは任意の自然数か0、nはpを素因数に持たない素数か合成数)のとき、
2p^2＝2((q^m)n)^2
＝2((q^m)^2)(n^2)
＝(q^(2m+1))(n^2)
で2p^2は素因数としてqを奇数個持つことになる。
で、いかがでしょうか。
指数がかける2されるから
す、すげー・・・。こんな証明方法もあったのか
文系を卒業して50年たちます。
電卓で2、√と押すと、1.4142・・・と表示されます。無理数は自然数の分数では表せないとのこと、では計算機の中でどのような計算をして1.4142・・・を計算しているのか教えてください。
定期テストの記述で
〜 2p^2=q^2で
p=2^n×p'(nは0以上の整数、p'は奇数)
q=2^m×q'(上同様)
とおくと
2^n+1×p'^2=2^m×q'^2
となり、素因数2の数が異なることはありえないので〜とかでokですか？
「素因数分解の一意性に矛盾するので」の方がいいと思います。
こういう証明はありですか？
√2=q/pより
2=q^2/p^2
p^2、q^2は互いに素であり、左辺は整数なのでq^2=1
よってp^2=2すなわちp=±√2
pが整数であることに矛盾するので
√2は無理数
なるほど
最初の式で√2は整数でないからpは1でないとすれば
両辺2乗した式で2が整数であることと直ちに矛盾をだせます。
なぜこんな解法を思いつくですか？高校１年ですが大学入試ではこういう思考力が必要かと思うと悲しくなります。。。。
寧ろ高1でこの内容に触れられた事を幸運に思えば如何かな？
これは解法を覚えたほうがいい
何もないところから思考するのは凡人には難しいから、理解からの暗記をして、色んな常識が身に付けば、ある程度の問題は解けるようになるし、入試は解けなきゃいけない標準問題が解ければ合格できるから
次の論法ではダメですか？
等式 2*p^2=q^2 において、
左辺に含まれる素因数 2 の個数は奇数で、
右辺に含まれる素因数 2 の個数は偶数だから矛盾。
連分数展開の証明を見たときはびっくりした
いつも動画拝見させて頂いてます。疑問なのですが、以前に脅威の方が「解法暗記で数学の実力は上がらない」と言ってたのですが、どうでしょうか？自分自身は理1を目指してて解法暗記とは言わないまでも、理解しながら解法を頭に入れるという近しいことをしてます。本試験では80/120を取りたいです。このやり方はダメなんでしょうか？その場合どういう勉強の仕方が良いのでしょうか？
解法暗記だけでは限界があると思いますが，解法暗記もある程度はしなければ実力はつかないはずです．
僕は数学というのは経験の学問だと思っていて，受験数学というのも様々な問題を解くことを通じて「こういう対象はこういう扱い方をするといいんだな」っていう「数学の感覚」をたくさん例を見て，より難しい問題に挑む性格があると思うのです．
具体的にどのようにされているのかはわかりませんが，ちゃんと理解していれば問題ないと思います．解けない問題にぶつかっても諦めないでしっかり考えるようにすれば，思考力は鍛えられるはずです．これから様々な問題に当たるといいと思います．
Maßaki Koga 返信ありがとうございます。なるほど、奥が深そうです……。そりゃある程度の解法を知らなきゃ何もしょうがないですね。とりあえず今のやり方で行ってみます。ありがとうございました。これからも動画楽しみにしてます。
M6 UTokyo 横から失礼しますが、理解の深さの問題だと思いますよ。たとえば今回の問題の教科書の方の解法について、√2p=qを二乗していましたが、二乗した理由は、「この後の『左辺は2の倍数よりq^2も2の倍数』〜『②,③はp,qが互いに素であることに矛盾』までの流れまで全て頭に浮かんでいるから」ではなく「√2は途方も無い小数で有理数か無理数かも判別がつかなくて、p,qの条件を絞れないから」だと思います。
全ての所作に「この後の流れまで頭に浮かんだから」以外の理由がつけられたら覚えなくても次は解けると思います。
素因数を用いる証明のところで、2p^2=q^2の時点で左辺の素因数が2m+1個、右辺の素因数が2n個（m,n自然数）で素因数分解の一意性に反するから無理数である、という証明の方が多少簡潔ではないでしょうか？
僕は中学生なので詳しくはよく分かりません。
とりあえずあなたのコメントを見て思ったことを書きます。
間違っていたらご指摘ください。
素因数を用いる証明では①の部分の式が用いられています。
ですが「q^2:2の倍数⇒q:2の倍数」は含まれていません。
そのため左辺と右辺を「2m+1」と「2n」に表せられないのではないでしょうか？
それとその証明は動画内で紹介されていた教科書の証明と内容が同じではありませんか？
以上です。間違っていた時はすみませんm(__)m
ゆうゆう 左辺と右辺の「2m+1」と「2n」は素因数の個数です。仮にp、qの素因数の個数をm、nとおいたとき、p^2の素因数の個数が2m個、q^2の素因数の個数が2n個になるので2p^2は2m+1個になる、ということです。また私が言及している証明とこの動画の証明は異なっていますよ。高校1年の範囲ですので仕方がないですが
チクソン なるほど。そういうことか。
完全に僕の理解不足でした。丁寧にご説明ありがとうございます。
自分は数学が好きでふと疑問に思ったことが解決されて今とても嬉しいです。
P.S.そうなると「素因数分解の一意性に反する」というのは「平方数は素因数を偶数個持つという性質に
反する」という意味になるのでしょうか？
もしよろしければお教えください。お願い致します。
ゆうゆう こちらこそありがとうございました。「素因数分解の一意性に反する」とは、2p^2=q^2という等式が成り立っているのにもかかわらず、左辺の素因数の個数がが偶数個、右辺の素因数の個数が奇数個になっている、つまり2通りの素因数分解ができてしまっているということです。素因数分解はたった1通りにしかできないため、定義に反しているということです。
チクソン ようやくあなたの証明を理解できました。
本当になるほど、の一言に尽きます。全くお恥ずかしい限りです笑
確かに2通りもの素因数分解ができるはずがありませんね。
勉強になりました。こんな僕にとても分かりやすく説明して下さり
本当にありがとうございました。
なんで素因数2を持つことがわかるんですか？なぜ2を持つことがわかるんですか？教えてください
素因数2を「偶数個もつ」と言ってるので、持たないときも「素因数2を0個もつ」と言い換えられるからですね。0は偶数です。
「平方数は素因数を偶数個持つ」という命題は、答案内で、自明なものとして扱って良いのですか？
ちょっと疑問が....。
10:00 あたりで「平方数は素因数を偶数個持つ」とありますが、１は平方数だと思いますが、素因数を１個しか持たないかと思います。（1^2とか1^0のように偶数個にもできますが。）0も同様です。
でも、素因数分解に、0や1は登場しないので問題ないのでしょうか？
1は素数ではないので、「素」因数にはならないのかもしれません。
@@いーあー-h6m なるほどです。
@@sylpheed9 明らかなミスです。 「１以外の」というべきでした。この方独自の証明を見たかった。他にもいっぱい証明の方法はあるから。。期待はずれかな。
互いに素じゃないことの矛盾を示したらどうして、有理数じゃないってことになるんですか？
√2=q/pと表すことができたのは「√2が有理数である」としたからです。
pとqが互いに素であるということに矛盾が生じるということは「√2が有理数である」という仮定が間違っているということです。よって√2は有理数ではない、つまり√2は無理数であるということです。
アルトリウス騎士
大体は、わかりましたが互いに素でなくても、有理数であることは、変わらないんじゃないか、と思いまして、これは、どう考えればいいでしょうか？
ひとつのピース
√2が有理数であるとすると分数の形にすることができます。分数で表すことが出来るのであれば分子と分母が互いに素である状態まで約分で持って行くことができます。
つまり有理数は絶対にq/p(pとqは互いに素)と表せるということです。
ですが√2=q/pを変換などしていくとpとqは共に2の倍数、つまり公約数2を持っていることがわかります。
有理数であるならば互いに素であるpとqを用いてq/pと表せるはずなのに、pとqは互いに素ではない。であれば有理数ではないということです。
僕も高校1年生なので分かりづらく的を得ていない答えかもしれません。長々と失礼しましたm(_ _)m
なんか難しそうなこと言ってるけど√2=p/q（p/qは既約分数）
ここでいう既約分数っていうのは整数の範囲で既に約分しきった分数のこと。
例えば3/2 これは3と2が互いに素です。（既約分数）
これが6/4 これは2で割れますよね。6と4はそれぞれ2を共通因数に持つから互いに素とは言えない。（既約分数でない）
まとめると、既約分数（割り切った分数）は共通の因数をもたないから互いに素であることが保証されるってこと。
素因数2を偶数個もつ
のところで、コメントを読んでいたら√2だから2に着目した。とかかれていたのですが、
なぜ√2だったら2に着目するのですか？他に着目したら証明は難しくなるのでしょうか。
2p²=q²のところで、左辺に2が表れているので、そこに着目した方が良いです
例えばここで3に着目しても、pとqがもつ素因数3の個数が一緒かもしれなくて、この時は何も情報が得られないですよね
𝑝,𝑞は整数じゃなく自然数と書いた方が良さそう。𝑝≠0とか言わなくて良いし、2乗するときの同値性も保たれる
2番目の証明鮮やかで好きです。
1番目のやつは何回も書いて覚えたりしてましたけど、なんかアホらしくなってきました。
素因数分解の一意性は証明せずに使ってよいのですか？
1が1であることの証明は必要ですか？と同じニュアンスの質問ですよ？自明なものは証明に用いて良いのです。
全然ちがいますよ。
もしこれが自明なら、√２が無理数であることも自明になります。
証明問題で、自明は禁句です。
あい 全く同じこと書こうと思ってたら、やっぱりありました笑笑
一意でなくてもでなくても成り立ちますよ！可換なので！
素因数分解の一意性を証明しなければ基本的には使ってはならないと思います。
凄い長くなりますけどね。笑
①√2 の定義 ２乗すれば2となる正の数 または 一辺が1の正方形の対角線の長さ
有理数の定義 整数分の整数で表される数（量）
をまず明確にしてスタートする
②1＾2＋1^2=（p/q）＾2 （ｐ、ｑは整数）が矛盾をいえばよい
③生徒は 循環しない無限小数だからそりゃ無理数と思っている
数直線 と 有理数の稠密性を事前に触れておくとなぜ議論になるかがわかる
④教科書の方法で互いに素としない解答では 繰り返して無限にｐ、ｑが2で割り切れることになり矛盾とできる(無限降下法)
a^2=2b^2を満たす整数a.bは存在しないことの証明にも使えますね
ふつうに
『素因数の数が、左辺と右辺で一致しない』ので、√２は無理数
では、ダメなんですか？
素因数2の個数に着目する旨みはどこにあるんですか
西島智大
「素因数の個数が、左辺と右辺で一致していないから…」だけを謳っても左辺と右辺で一致しない根拠はどこにあるのでしょうか。
その根拠こそが素因数2の偶奇です。
ですから、今回においてこの着目は必要です。
松田翔太 なぜ２の遇奇により一致しないとわかるんですか？そこってなぜ証明省けるんですか？
素因数の数なんて分からないとおもうのですが。
それだと素因数分解の一意性を証明しなくて良いのですか？
確か動画中でも言った気がしますが，素因数分解の一意性は，整数論の基本的な定理なので証明しなくて良いです．（受験数学における問題は素因数分解の一意性を用いるものが多々あふれています）
返信ありがとうございます
2*p^2=q^2 とすると forall d:prime in N (d|p -> d|q) により gcd(p,q)=1 に反するから，pを割り切る素数はない．つまり，p^2=1．
これ見てやっと、素因数分解で√2が無理数であることの証明を理解できた。
(a^m)^n=a^mnの性質が平方数の素因数分解にそのまま利用できるのが味噌だったのか。
2p^2=q^2だからq^2は２の倍数の二乗で、つまり絶対に素因数に２を持ち、その個数は絶対に偶数個になると。なのに2p^2は2を一個余分に持ってるから、pが2の倍数であろうがなかろうが、どのみち、素因数２の個数は奇数個になると。素因数２の数が片や奇数個で片や偶数個は矛盾するから√2は有理数との仮定が崩れるわけか。
そもそも、「平方数なら素因数を偶数個もつ」を使っていいのなら「p^2が2の倍数ならpも2の倍数」も使っていいのでは？
逆に、「p^2が2の倍数ならpも2の倍数」を使ってはいけないのなら、「平方数なら素因数を偶数個もつ」も使ってはいけない気がするのですが、
p^2が2の倍数ならpも2の倍数を、平方数なら素因数を偶数個もつで、示せますね。
@@bromobenzenecute716 そうなんですか？
以前、某大学入試に、√2が無理数であることを背理法を用いずに証明せよという問題があったと記憶していますが、そちらも分かれば動画にアップしてください
これ中学生でもなんとなく理解できそうだな
用語とか知らないからなんとなくだろうけど
僕中３ですけど完全に理解できました。
説明が分かりやすいですし話している内容もそこまで難しくなかったので。
数学ってやはり面白いです。解へのアプローチが無数に存在するのだから。
nick okita 中1だけど小学生の時から高校数学とかはかじってたからこんなの常識だった
√2の根号内には素因数が奇数個しかない。よって√2は無理数ってことですか？
2p^2=q^2で、
q^2は素因数である2を偶数個（2個以上）持つから、
q^2/2
で、p^2も2を素因数に持つ数で、平方数だから、
p^2も2を偶数個持つのか！
だから左辺が奇数個になって矛盾するのか。
わかった
全然わかんねぇ…明日のテスト終わったな。おやすみなさい
この人は頭が良すぎて超絶イケメンにしか見えない
Patricia Mara
頭の良い人がイケメンに見える病気か何かですか？
@@アルシオーネ-d2h 頭の良い人はカッコイイよ
二番目の証明は代々木ゼミナールの荻野先生も紹介していました。
受験生の時に見ておきたかった。
これって、√3の時にはどうなりますか？偶奇の議論では行けない気がするのですが、、、
素因数の個数について、偶奇の議論をするので、問題ないと思います！
3p^2=q^2
⇔3p^2は素因数3を奇数個、
q^2は素因数3を偶数個もつ。
pの2乗が素因数2を偶数個もつのはなぜわかるんですか？qの2乗はわかりますけど...
あ、0は偶数でした、すみません
右辺で(素因数2を)偶数個持つから左辺も偶数個持つ
そうしたら2p^2で偶数個、p^2で奇数個持つとなる
しかしp^2は平方数なので偶数個持つはずだ
ここで矛盾が起きる
と捉えるのもいいかと…
q^2が2個持つ時点で等式を成立させるならp^2も1個は持つ
ここで平方数の性質上p^2は2個持つってことじゃないでしょうか？
この動画に限って言えば、pとqは0ではないので素因数2を0個持つってことは起き得ないと思います…
ただ、平方数の素因数を偶数個も持つという性質を考える上ではその偶数個という枠の中には0個というのも含まれています！
田中太郎
p,qが奇数であれば、素因数2を0個持ちますよ
平方数に必ず2が素因数をもつのは何で？ってなりますよね？
mじゅんぺ なぜ偶数個存在することが、持つことになる？
0個持つと偶数個であると言うのは同値であり、素因数2を持たないことにも同値である。
berserk Kings なるほど！分かりました
ありがとうございます
berserk Kings さん
正論ですが、今回の場合は左辺が２の倍数、よって右辺にも２が最低因数として１個は存在し、平方数であることから因数２の数は２以上の偶数個になります。今回に限っていうと、０個はあり得ませんよ。間違った解釈になります。
ミカエル剣 色んな所でそれ言ってるけど普通に間違っとるでww
誤った解釈する人増えるからやめたれや
背理法理解してる？
@@ch-gp6rx それな。しかも上のこの人のコメントにGoodついてんのも怖い
①で「p,qは互いに素」と仮定するのは、後の議論で必要になるから仮定するのであって、有理数を整数/整数でおくときに常にするわけではない。例えば log_10 2 が無理数であることの証明には。互いに素の条件は必要ない。結果から逆算して必要が判明したものを、しれっと仮定する姿勢はいかがなものでしょう？
なまけたろう 僕自身は何回もやっているのでこの場合は互いに素の仮定が必要で、時としていらない場合もあるということを知っているんですけど
それを伝えきれなかったというのは教える側として足りなかったです。ご指摘ありがとうございます、申し訳ありません。
誠実なお返事、有難うございます。陰ながら応援しています。
明快☀️ありがとうございます
√2が無理数であることの証明は背理法を使わなくてもできる（この動画の証明も実は背理法ではないが）
√2はx^2-2=0の正の解のことである
x^2-2=0の正の有理数解の候補は１と２だけである
１と２はx^2-2=0の解ではない
よって√2は有理数ではない
√2は無理数である
正の有理解の候補が1,2のみが謎
分数、例えば1/3は有理数ですよ
流石にその定理を用いるのは問題のレベルに対して飛躍しすぎかと
@@ぴおみず普通にこれを使わせる入試問題はあるんですよねぇ…
その入試問題のレベルって√2が無理数であることを証明するようなレベルじゃないですよね...
というかあなたのおかげでこの定理知れたので感謝してますよ ありがとうございます
11:47頭良い
おおお！！楽だあああ！！！！
高1です。数学が得意なんですが唯一この証明だけうまく理解出来てませんでした。けれどこの動画のおかげで完璧に理解出来ました！本当にありがとうございます！
これ好き
私はとある教育機関の教員により，背理法の使用を禁止されています．
なんで？
翔子さんかわいい
すごくわかりやすいけど「数」の書き方きになるww
後者ってルート3でも通用しますよね？
うなくーる はい、その場合素因数3に着目することになりますね
Masaki Koga 素早いお返事ありがとうございます( ¨̮ )
u kana (¨̮)
というかルートの中身が何であろうと通用しそう
(4、9、16とかの平方数は当然除くとして)
1番目なんで分子と分母は互いに素なんですか？
1/2を2/4とか6000/12000って書かないのと同じでは？
この方法いいっすなぁ
平方数は3で割って、余らないか、1余るかだから3で割って2になるから無理数であるっていうのは証明になる？
どうだろう…気になる
平方数はあくまで整数として定義されているので，整数でないことは証明できますが，有理数であるかの証明としては十分性が保たれていないと思います。
どーやって90の素因数分解を頭の中でやってるんですか！？
古賀さんではありませんが、90=6×15みたいに分解するとパッと頭の中でできますよ！
10の倍数の時は3^2(2×5）ってやれば頭の中でできます
ありがとうございます！
面白い！！
最近、算数を始めたのですが、√2/2=1/√2な時点で｢うっ・・・・｣てなりました。
隙間日和
大丈夫か？
算数で√使うってどこの小学校ですか
②の証明昨日塾でやった！
左辺のmod3が0,2で右辺が0,1だから両方3の倍数だから互いに素に反してるってやってもいい？
素因数2を偶数個持つは素因数2を0個持つ＝持たないと同値
同値ではなく必要条件ですね。
もかぶ 失敬
メモ程度にコメントしました
左辺が②を掛けるとなぜ 奇数乗になるのかわからない人 相当数います。多分ですけど。そこを簡単に説明して欲しかったたです。。。例えば、3の2乗×3の5乗は、指数は足し 3の5乗ですけど この場合は 文字なので違います。
11:40 「素因数２を偶数個」ではなく「素因数を偶数個」ですね。pの素因数として２が含まれるとは限りませんから（例：p=3の場合）。
3=2^0*3^1
Hiroaki Masuda 0なんだよなあ
すばらしいですな
高校の教科書に書いてなかったぞ！（40年前・・・）
素因数分解の一意性は証明しなくていいのだろうか
そうですよね。素因数分解の一意性の証明はそんなに易しくはないのです。つまり、よい定理を使えば簡単に証明できるわけです。ルート２が無理数であることの証明は、素因数の分解の一意性よりは易しいのです。ですから、このお話は試験のときにどうかくかという問題なのでしょう。
なぜ左辺が2の倍数なら右辺も2の倍数なんですか？
＝で結ばれているので同じ数を表しているんですよね。なので片方が二の倍数の場合両方二の倍数とわかります
無理数の定義のされ方が～ではないという先にあった定義を否定したものを定義にしているのか。
学校の先生が同じ素因数を使った証明をしてたのを思い出した。
これ√3は無理？
素因数の個数に注目する！ エレガント😃
僕が聞き漏らしただけかもしれないけど、②の証明をするときにp≠0に言及しないとよくないんじゃないかな
ぬさもとりあえず
ここまで同じって一度書いたからいいんじゃない？？
世界広がるわ
√2が有理数であるとする 「ほう」
√2=q/pとする 「あ、もう無理だ」
有理数＝分数で表せるかどうか
ってことだからそのまんまだよ。
正しくは整数分の整数で表せるかどうかだけどね。
分数で表せるかどうかだけだったらπ/2も含むので…。
@@クスリ松村-m9s ナイスアシスト
@@hotaiiinntyou
いや、無理と無理数をかけてる小ボケでしょ
narbay Wat
そんな秀逸だったのか…？
すごいなこれ
何故互いに素でないといけないのでしょうか？
有理数は必ずp/q(pとqは互いに素)で表すことができるからです
@@user-ToriGatobu4
p/q が本当に有理数全体を表してるかどうかは疑問が残る。
有理数の定義そのものだから大丈夫だろうけど。
@@鈴木正-j1j
"有理数の定義そのもの"って
自分で言ってるのに何に疑問をもってんだ？
0も偶数だからか、、
これって√2を二乗して、2が一個（奇数個）しかないから無理数じゃだめですか、、？
11:46 p^2もq^2も素因数に2持ってたらp,qは互いに素じゃなくね？てかpは持ってなくても成り立つやろ
0も偶数
@@ささみ-r8t7n 0を因数に持ってたらその数も0だろ
@@tv_retaliotv8671 素因数の個数の話
@@ささみ-r8t7n なるほど理解しましたわ
ご迷惑をお掛けしました
@@tv_retaliotv8671 理解してくれればそれでええよ
11:30 平方数だからといって素因数２を持つとは限らない。
ここは減点されるだろう
0も偶数なので大丈夫でしょ。