【入試頻出】受験で差がつく問題を発見してしまいました。。
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- เผยแพร่เมื่อ 11 ต.ค. 2024
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/ sakumontech
でんがんが"勉強法"の本を出しました！決して"天才"じゃない僕の全てをここに書き込みましたので、興味がある人は是非下記からお願いいたします。
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受験生へ
10:00くらいからの下の図では、ADは∠OAHの角の二等分線になっているので、その性質からOD:DHが3:1、すなわちr=OD=3/4OHと出す方が瞬時に導出することが出来ます。
OA:AH=√3:1, OD:DH=3:1 なのでADは二等分線ではないのでは？
MO:MH=OD:DHですね。
正しくはMDが∠OMHの二等分線です。
@@ひで-u4i
なるほど、確かに二等分線になっていますね
この視点は初耳でした
底辺高校に通ってる俺には頭のいい人の答案が見れるこのシリーズほんとに神すぎる
東工大作問サークルが永久機関笑
特に工夫せずに外接球の中心をD(0,0,0),その他の頂点を
O(0,0,(√3)/2),
A(0,(√6)/3,-(√3)/6),
B(-(√2)/2,-(√6)/3,-(√3)/6),
C((√2)/2,-(√6)/3,-(√3)/6),
P(x,y,z),xx+yy+zz≦3/4で
（求める内積の和）
=3xx+3yy+3(z-(1/√12))^2-1≧-1.
これで答えを出しました〜😊
なんやかんや耐える〜
解)OA=a,OB=b,OP=p,
OG=1/3(a+b+c)とおく.(全部→を、省略してる)
さて与式を整理したものをLと置くと、L=3|p|^2-3p・g
を得る.
これをpについて平方完成すると
L=3(p-g/2)^2-3/4|g|^2.
これより、p=g/2のとき
min｛L｝=-3/4|g|^2⋯⋯⋯⋯⋯⋯✮
を得る.
今、a･b=b･c=c･a=1
,|a|=|b|=|c|=√2 であるから
|g|^2=3/4を得る.
これを✮に代入して、
p=g/2のときLは最小値-1を得る.
って解いた人多そう(僕もこれです！)
訂正
|g|^2=4/3
でした
合同な三角形からのみなる四面体は、適当な直方体の角3つを切り落としてこれを得ると考えれば、元の直方体の対角線の半分がちょうどその四面体の外接球の半径に一致する。特に本問の場合は一辺1の立方体を考えてあげれば、でんがんさんの設定は秒で求めることができますネ！
OX=ベクトルOXとする
Oを始点として与式を変形
3OP²-(OA+OB+OC)OP
=3|OP-(OA+OB+OC)/6|²-3|(OA+OB+OC)/6|²
=> -3|(OA+OB+OC)/6|²=-1
等号成立はOP=(OA+OB+OC)/3×1/2のとき
(OA+OB+OC)/3×1/2はOから三角形ABCの重心までのベクトルを1/2倍したものであり
このとき明らかに点Pは四面体OABCおよびSの内部にある
おそらく制作者側の想定した解き方はこちらだと思われます。。
-3|(OA+OB+OC)/6|²=-1をどのように計算するのか教えてください
@@yuuki173
四面体OABCが一辺の長さが√2の正四面体であることから
lOAl²=lOBl²=lOCl²=2
OA・OB=OB・OC=OC・OA=1
lOA+OB+OCl²
=lOAl²+lOBl²+lOCl²+2(OA・OB+OB・OC+OC・OA)
=3*2+3*2=12
∴-3l(OA+OB+OC)/6l²=-3*12/36=-1
*はかけるを表してます
内積の計算ができてませんでした、ありがとうごさいました
@@yuuki173 👍
普通に解く方法
正四面体の重心(Sの中心)をGとする。
Gを始点とした位置ベクトルを小文字で表すことにすると(例えばGXベクトルをxと表す)、
o+a+b+c=0(ゼロベクトル)に注意して
与式=(p-o)･(3p-a-b-c)=(p-o)･(3p+o)
いま、|p|=r (0≦r≦(√3)/2)、∠OGP=θ(0°≦θ≦180°)のようにおくと
与式=3r²-(√3)rcosθ-3/4
(√3)rは0以上なので、与式が最小値をとるのは当然cosθ=1の時で、あとは平方完成などをしてあげれば難なく求まる
なぜ、与式が最小値を取るときcosθ=1なのですか？
@@dahlia7981主さんでなくすみません。
(√3)rの前がマイナスだからです。
自分もそれでやりました！座標とそのやり方を選べると1番良いですね！
立方体に正四面体ハメる発想だね。対角線をいい感じに結ぶと正四面体できるやつ。
受験生ガンバ
(OP・AP)+(OP・BP)+(OP・CP)＝k とおくと
⇒
│OP-(OA+OB+OC)/6│＝√(k+1)/3
でk≧-1
とすればすごく簡単に解ける。
ちなみに去年あたりの東工大本レもこのようにそのままベクトル方程式に直す問題があった。
Pが球の内部にあるってよりかは、Pが球面上にあるって問題にすれば、こっから図形的に解釈出来る問題にもなったかも
内積って、公式は覚えたけど、何やってるかよく分からないんですよね。
内積が大きい・小さいって何？
積分結果が大小⇔y=f(x)の占める面積・体積の大小
微分結果が大小⇔y=f(x)の傾きの大小
三角比の大小⇔角度の大小、直角三角形の辺の長さの比の大小
確率の大小⇔当たりやすさ(ランダムな試行に対する条件一致しやすさ)
内積・外積の大小⇔？？？
正射影ベクトルで理解した
15:33 互いに平行でなく零ベクトルでない3つのベクトルであっても、同一平面上にあれば一次独立ではありません。
“3”つ
2つの平面ベクトルが一次独立であるための必要十分条件は「互いに平行でなくゼロベクトルでない」ですが、3つの空間ベクトルが一次独立であるための必要十分条件は「互いに平行でなくゼロベクトルでない」ではないということには注意が必要ですね
これ見てやる気出たから明日の物件総論がんばろ
はなおさん、体調ぶっ壊してちょい大変そうっすね。
正直座標空間に置いたときの座標計算が面倒すぎておぞましかった。
ベクトル部分はめっちゃ基本。
この夏の頑張り: 国際学会通すべく頑張ります
会社の試験勉強がんばるよー
大学2年生です。OPAPが聞こえた瞬間頭の中ピコ太郎でいっぱいになったのでお風呂に入ります
△ABCの重心をGとすれば
与式＝3(POとPGの内積)
＝3(PO、PG各々の長さの2乗の和)/2-2
いま最小のみ考えているので三平方の定理からPは線分GO上にあるとしてよく(ここら辺はもう少し丁寧に述べよう)、簡単な二次関数の計算によりちょうどPがOGの中点にあるとき最小(Pが球の内部にあるのは自明)と分かる。最小値は2/3なので上式よりminは-1
おはりすめんてん
パワスピ入ってください！
OP=sOA+tOB+uOCとおいて(ただしs+t+u=1)
与式＝3OP^2-OP*OA+OP*OB+OP*OC
OP*OA+OP*OB+OP*OC
=(sOA+tOB+uOC)(OA+OB+OC)
=4s+4t+4u=4
よって3OP^2-4
OPの最小値は0だから最小値は-4
ってなるんだが何から間違ってる？
点PはA,B,Cがつくる平面上にあるとは限らないので、s+t+u=1 が言えないです
@@user-user-diffuser めちゃくちゃ基礎的なとこでした
ありがとうございます