Ce qui ne cesse de m’étonner et que - pour vous dire la vérité, je vous jalouse - ce n’est pas votre cursus brillantissime, votre pédagogie exceptionnelle, mais votre sincère humilité.
Une solution d'apparence si simple mais qui cache derrière elle toute la difficulté pour la trouver et aussi l'historique débat bien connu dans le monde des mathématiques sur l'axiome du choix... Vraiment superbe, merci beaucoup !
Je viens d'achever le visionnage de la vidéo, et je comprends maintenant toute l'élégance de la résolution proposée ! Excellente pédagogie, tout est compréhensible (même par moi XD) avec de très beaux schémas ! C'est parfait ! Merci !
C'est beau ! Merci d'avoir partagé cette énigme salement dingue. Sauf erreur de ma part, on ne s'est absolument pas servi du fait que les objets à deviner étaient des réels, ça aurait très bien pu être des fonctions ou n'importe quoi d'autre. Ce n'est pas que ça jette le discrédit sur l'axiome du choix mais, bon, il faut bien avouer que quand même un petit peu.
Cette solution (très interessante) me fait me révolter contre l'axiome du choix. Je n'avais jamais compris jusqu'ici pourquoi certains le rejettent, ou, a minima, tâchent de s'en passer pour leurs démonstrations !
En effet on peut voir cette solution comme un autre exemple de conséquence très contre intuitive de l'axiome du choix, et on peut s'en servir comme d'un argument pour le rejeter !
Je n'avais pas la soluce....mais ce n'est pas sans me rappeler,de façon très lointaine évidemment,la diagonale de Cantor...ici il s'agit de suites....mais la preuve de cette énigme dans sa logique,sa démarche m'y a fait penser ...alors...il fallait peut-être avoir en tête aussi l'axiome du choix....en tout cas excellent exercice...merci !
Je suis en train de regretter le fait de l'avoir raconté à tous va, puisque j'ai promis de donner la réponse à ces personnes ( je les renverrai vers ta vidéo) Super bien expliqué !
Je viens de redécouvrir la chaîne (découverte il y a 4 ans avec sa première vidéo !) C'est parti pour rattraper toutes tes vidéos, ça va prendre un peu de temps 😅
Bonjour, La solution est très élégante en effet. Merci pour le partage. Il y a un point qui me gêne car pour trouver l'élément de E qui correspond à une des V-1 autres suites, chaque voyageur va devoir ouvrir une infinité de chambres . Il faut bien ouvrir toutes les chambres de la suite u i pour vérifier qu'elles contiennent la même chose que la suite v i. On pourrait avoir qqs millions d'éléments consécutifs égaux mais que cela s'arrête à un moment. Comment peut-il ouvrir et comparer une infinité d'éléments ?
Je pense qu'en physique c'est assez peu pertinent de parler des conséquences contre intuitives de l'axiome du choix car les problèmes viennent en général de l'infini, ce qui ne se réalise jamais en physique. Après il est possible que dans certains cas mathématiques ça puisse apparaître...
@@antoinebrgt hmmm oui mais en physique on utilise plein de théorèmes dont certains découlent peut être de l'axiome du choix non ? La construction de l'intégrale de Lebesgue, de la géométrie riemannienne etc ça ne requiert pas l'axiome du choix ?
@@chainonsmanquants1630 Pour la géométrie non riemannienne non je ne pense pas, et pour l'intégrale de Lebesgue je ne sais pas mais je ne pense pas qu'on en ait réellement besoin. Je ne crois pas connaître de théorie physique dépendant de l'axiome du choix, mais je peux me tromper évidemment.
@@antoinebrgt d'accord merci, mais si cet axiome n'est utilisé nulle part dans les théories qu'on emploie pour la physique, pourquoi s'ennuyer avec cet axiome ? C'est étonnant non ? Il doit bien apporter plus que quelques paradoxes comme Banach tarski et autres. Pour l'intégrale de Lebesgue il me semble que toute la construction de l'ensemble des boreliens ainsi que l'ensemble des parties mesurables de R ( boreliens + négligeables) est motivée par l'axiome du choix car (dans mes souvenirs) si on retire l'axiome du choix alors toute partie de R est mesurable. Pour construire des parties non mesurables on requiert toujours l'axiome du choix.
@@chainonsmanquants1630 l'axiome du choix peut être utilisé dans la formalisation des théories physiques, mais je pense qu'il n'est pas possible de tester physiquement s'il est vrai ou pas, même en principe. De la même façon je ne suis pas sûr qu'on puisse faire quoi que ce soit de physique avec des parties non mesurables... Mais après oui dans les maths de la physique on ne se prive pas de l'utiliser ! Voir par exemple l'article "The Axiom of Choice in Quantum Theory" par Norbert Brunner, Karl Svozil, Matthias Baaz.
Merci pour cette super vidéo, l'idée de 'sacrifier' le voyageur qui 'converge' le plus tard pour permettre aux autres d'être sûrs de se trouver dans la bonne zone est super astucieux. J'ai une question bête, pour des suites infinies comme ça, pouvez-vous nous donner une explication 'intuitive' de pourquoi à un moment donné les suites se rejoignent forcément. Dans la mesure où elles ne se terminent pas il est possible de ne jamais atteindre ce moment. Non?
Deux suites équivalentes (selon la relation d'équivalence définie en début de vidéo) se rejoignent forcément par définition des classes d'équivalences. Deux suites sont équivalentes ssi elles se rejoignent à partir d'un certain indice fini (c'est identique à dire que deux suites sont équivalentes ssi elles ne diffèrent que par un nombre fini d'éléments). Comme vi est choisi équivalent à hi, hi et vi "convergent" forcément car vi est choisi "convergent" vers hi. (et pour choisir vi équivalent à hi, on utilise l'axiome du choix)
@@michelthayse5928 merci pour votre réponse. Je crois comprendre que parce qu’elles sont équivalentes par définition elles ont une fin commune. Ce qui me chagrine c’est que l’énoncé ne dit pas qu’elles sont équivalentes. On parle d’hôtel infini de vérification infinies etc. Et je comprends tout à fait que si la suite était finie l’astuce serait intuitive. Mais honnêtement pour une suite infinie, je ne vois pas pourquoi elles seraient équivalentes. Ça n’a pas l’air évident comme ça. :)
Disons que cette définition n'est pas implémentable en pratique (c'est un peu le propre de tout ce qui est infini), et si les suites étaient finies, la relation d'équivalence définie ici perdrait tout son intérêt (toutes les suites seraient équivalentes).
Tout d'abord, un énorme Merci pour tes lumières. Ensuite, ça n'a pas tout à fait à voir avec le problème (quoique) mais est-ce qu'en se plaçant du point de vue de Aleph1, les entiers ne ressembleraient pas à des réels ?
Oui c'est tellement déroutant qu'on peut penser pouvoir prouver que c'est impossible ! En fait d'une certaine façon on peut, si on n'accepte pas l'axiome du choix alors il y a des modèles de la théorie des ensemble où ce n'est pas possible (voir le lien en description). C'est ce qui fait le charme de cette énigme !
Merci Antoine pour cette démonstration que je n’aurais pas imaginée. J’avais pourtant retourné le problème dans tous les sens. Une question toutefois : les nombres dans les chambres sont des nombres réels qui est indénombrable. En préparation, les visiteurs ont donc préparé l’ensemble E des classes d’équivalence sur les suites réelles, ensemble qui semble donc lui-même indénombrable. Les visiteurs doivent déterminer à partir des hvi LA suite vi représentante de sa « ligne ». Ma question : si E est indénombrable, le voyageur i lorsqu’il essaye de déterminer LA représentante de sa ligne a donc le choix entre une infinité non dénombrable de classes d’équivalences entre Nmax -1 et Nmax rendant donc son choix impossible non ? La non unicité du choix de vi entre Nmax et Nmax-1 dans l’hypothèse d’un ensemble indénombrable me paraît donc faire échouer la stratégie. Ne faudrait-il pas imposer que les nombres dans les chambres appartiennent à un ensemble dénombrable ou dans le cas contraire démontrer que E est dénombrable (ce qui ne me semble pas évident) ?
Je ne suis pas sûr de comprendre pourquoi le fait que l'ensemble est indénombrable implique qu'il n'est pas possible de faire un choix... Par exemple si je demande de trouver parmi toutes les fonctions dérivables sur R celle qui est égale à sa dérivée et vaut 1 en 0, j'arrive à trouver que c'est exp, même si l'ensemble est indénombrable.
@@antoinebrgt merci pour la réponse Antoine. Pour être plus précis, je ne comprends pas comment on peut faire correspondre un élément (vi)j de l’ensemble de départ E indénombrable (j’admets que l’axiome du choix le permet) à une suite partielle d’éléments (hi)j, i>N de l’ensemble d’arrivée H dénombrable lui en ne connaissant. En effet, entre la suite partielle des hi pour i>N-1 et la suite partielle des hi pour i>N, il y a une infinité de suites dont la classe d’équivalence dans E est différente et cet ensemble n’est pas ordonné. J’admets volontiers qu’une telle surjection entre E et H existe, mais je m’interroge sur la méthode permettant d’identifier chaque « élément » de la suite hi à un élément dans vi. Je ne sais pas si j’ai ainsi mieux expliqué ma difficulté, mais si je devais l’illustrer avec un exemple presque similaire, l’entier naturel 2 peut-il légitimement être égalisé avec le réel 2? En informatique par exemple, c’est proscrit, et quelque chose me dit qu’égaliser 2 éléments d’ensembles différents dans mon exemple N et R nécessite des précautions surtout si leurs cardinaux sont si différents (le premier dénombrable, l’autre non), et d’autant plus que contrairement à N et R, il n’est pas donné de relation d’ordre entre les éléments de E qui permette de « classer » les vi de telle sorte que l’on puisse une fois le représentant choisi de déterminer un autre élément qui ne diffère que d’un seul symbole par rapport à la séquence ordonnée vi choisie. En gros par rapport à l’exemple précédent, imaginons que Pi soit un élément de mon ensemble indénombrable de départ, je souhaite savoir comment trouver un rationnel (ensemble dénombrable) qui ne varie que d’un seul digit par rapport à Pi. Je ne suis pas certain que cette opération ait un sens car R est continu alors que Q ne l’est pas (en tout cas l’opération de comparaison symbole à symbole mériterait d’être explicitée). J’ai conscience que ce que j’écris peut sembler confus, aussi je vous remercie par avance si vous prenez le temps de m’expliquer ce point.
@@austin8179 Non je pense que le problème vient de votre compréhension de la définition de E. La valeur de u_i pour i>N détermine un unique élément v de E, et la valeur de u_i pour i>N+1 détermine aussi un unique élément de E, et c'est le même v. En fait on peut prendre la valeur de u_i pour i>M pour n'importe quel M, et on trouve toujours v ! Pour déterminer v, on n'a besoin que d'un segment terminal de la suite u, aussi loin soit-il.
@@antoinebrgt Merci Antoine, donc si par exemple l’élément de ma suite de départ est par exemple les digits de Pi, je peux trouver un rationnel élément de l’ensemble d’arrivée qui diffère d’un nombre fini de digits avec Pi ?
@@austin8179 non on ne peut pas trouver de rationnel, puisque les décimales d'un rationnel ne sont périodiques et celles de pi ne le sont pas. Ou peut-être que je n'ai pas compris la question ?
Je pense avoir saisi le principe de la solution. Mais si j'ai bien compris cela ne marche que parce qu'on suppose qu'il y a une infinité de chambres ? Si on fixe un nombre de chambres la solution ne tient plus (désolé si la question parfait futile, je suis pas matheux ^^) ?
On peut faire une version finie du problème, en supposant que l'hôtel possède N chambres. On se ramène au cas infini en imaginant que les chambres manquantes N, N + 1, N + 2, .... contiennent le nombre 0 par exemple. Dans ce cas on a affaire à une seule classe d'équivalence (toutes les suites sont presque nulles). L'algorithme marche pareil mais cette fois il est fini et on n'a pas besoin d'axiome du choix (E est réduit par exemple à la suite nulle). Evidemment c'est un peu moins spectaculaire, mais ça peut être une étape pour la compréhension de la version infinie du problème.
@@antoinebrgt Non ! Cette solution ne marche pas avec un nombre fini de chambres et le problème n'est sans doute pas soluble dans ce cas. En effet : L'unique suite de E est la suite nulle. Supposons que la chambre N-1 ne contient pas 0. Alors l'algorithme proposé conduit les visiteurs à une prédiction sur la chambre N qui n'existe pas dans cette version du problème !! L'infini joue là-dedans un rôle essentiel...
@@alexandretemkine7866 Ah oui je pense que j'avais mal compris la remarque, il est clair que l'infini joue un rôle essentiel dans la construction. Il y a cependant des versions finies de cette énigme (voir par exemple sur le blog de D. Madore).
Merci pour cette solution. Mais y aurait il un lien entre l'axiome du choix et le théorème d'incertitude de Godel ? Autrement dit, on suppose que E est constructible (proposition vraie) sans jamais pouvoir le prouver (proposition non démontrable).
@@samuelblarre4522 il n'y a pas de méthode constructive en effet, mais l'axiome du choix permet de prouver que cet ensemble existe, donc avec cet axiome, l'existence est tout à fait démontrable :) Donc oui il y a un problème de construction explicite, mais non ce n'est pas relié à une quelconque non démontrabilité
La méthode de la porte fermée de la salle de cours. Si tu n'arrives pas le premier devant la porte, tu n'as pas besoin d'essayer de l'ouvrir pour la savoir fermée, tu dois juste supposer que tes camarades ont bien fait leur travail avant toi.
malgré le soin apporté à la démo, elle pourrait gagner en clarté si l'on n'utilisait pas des concepts physiques (l'hôtel, les touristes) en même temps que des concepts purement mathématiques (les infinis, qui plus est incluant le continuum R), les premiers incluant la notion de temps, les deuxièmes en faisant fi (lecture instantanée d'un nombre infini de données, de longueur elle-même infinie). Et pour s'éviter de faire le grand écart entre la physique et les mathématiques, il faudrait s'interdire de toucher au concept des infinis pour faire de la physique correctement. J'aime à dire que pi est de longueur finie et s'affine avec le temps, que c'est une horloge indiquant l'état instantané de notre géométrie
Bonsoir Je tiens à vous féliciter (et vous remercier) pour cette étude sur le paradoxe de l'hôtel de Hilbert, bien plus riche que celles que j'avais pu voir. De plus quasiment à chaque étape vous ouvrez des couloirs de réflexions aux curieux en mathématiques. Vous faites intervenir l'Axiome du Choix. Cela tombe bien car je n'ai jamais réussi à bien le comprendre (même en disposant du Bourbaki !) Je vais donc réécouter cette vidéo plusieurs fois jusqu'à ce que cela rentre. Si je vous disais que je ne comprends pas la règle de trois, le croiriez-vous ? Et bien c'est pourtant le cas. Je remarque souvent des petits problèmes mathématiques qui ne nécessitent pas un haut niveau, mais dont l'analyse est très fructueuse. Avant de poursuivre je vous confierai que souvent je "vois" les objets mathématiques auxquels je réfléchis. Cela amène à des constats intéressants, à progresser plus facilement dans l'étude du problème en cours. Cependant il ne faut pas exagérément en faire état car il existe de nombreux cas où cela ne sert à rien, comme par exemple étudier des équations non polynomiales. En revanche cela me fait soupçonner que les résolutions d'équations algébriques sont équivalentes à des rotations dans des espaces mathématiques abstraits. Je vous enverrai quelques exemples un autre jour. Parmi les "petits problèmes" que je remarque il y en a deux que j'appelle des conjectures car je n'ai pas pu faire de démonstrations, concernant des emboîtements de sphères de 2 à n dimensions. Or récemment j'ai trouvé une méthode graphique pour développer une de ces conjectures. Si elle est exacte il y aurait une corrélation intéressante entre des emboîtements de sphères et la suite des nombres premiers. D'ici à quelques jours j'espère pouvoir vous envoyer ces conjectures dans des commentaires sous vos vidéos. J'ai aussi rédigé deux autres études, mais qui nécessitent un pdf. Je vous communique une de mes autres adresses mail, afin qu'en retour vous puissiez m'indiquer une des vôtres. Voici : pgfieldzegma@icloud.com . La seconde de ces deux études est une réflexion sur la notion d'ensemble vide, que je trouve très mal construite et même auto-réréfente. Avez-vous de l'Aspirine à la maison car je vais à présent vous soumettre un problème de logique qui semble très anodin, mais auquel aucune des personnes à qui je l'ai posée a pu trouver la solution. Il faut penser chaque signifiant avec une balance d'apothicaire/ Soit F l'ensemble des cours d'eau appelés fleuves qui ne se jettent dans aucun autre. Soit R l'ensemble des cours d'eau appelés rivières qui se jettent dans un autre. Ces définitions associées sont-elles correctes ? Sinon que faut-il changer et pourquoi ? Amicalement. NEKO`
@@antoinebrgt Bonsoir. Merci de m'avoir répondu. Bon, qu'en est-il de ces deux définitions. Elles sont correctes et comme vous l'écrivez standard, mais pour le géographe. Pour le logicien cela ne va vraiment pas. Elles amènent sur des "ensembles" inconsistants. Le mot inconsistant devant être pris dans son sens mathématique, c'est à dire que l'on arrive sur des objets qui ne sont pas biens définis et avec lesquelles les notions comme l'appartenance ne peuvent être énoncées de façon valide. Je vais vous expliquer le problème. Prenez une feuille de papier et un stylo. Sur le bord gauche de la feuille vous tracez une ligne verticale qui représente la côte. A gauche la mer et à droite les terres. Partant d'un point arbitraire sur le côté droit vous tracez une ligne (droite ou sinueuse, peu importe) qui rejoint la côte. Nous avons créé un fleuve que l'on appellera F1. Partant ensuite d'un autre point arbitraire sur la partie droite, vous tracez une ligne qui rejoint le fleuve F1. Nous avons créé la rivière R1. Ensuite partons d'un troisième point arbitraire sur la partie droite et traçons une ligne allant jusqu'à la côte, MAIS en faisant une boucle sur cette ligne. De quoi s'agit-il ? D'une rivière. On pourrait le penser car elle se jette dans elle-même au niveau de la boucle. Or, elle se jette dans un cours d'eau qui n'est PAS AUTRE. Elle se jette à ce niveau dans elle-même. Ce troisième objet n'est donc en fait ni une rivière, ni un fleuve. Pour les deux éventualité il y a un petit point de détail obérant la validité des deux définitions. Vous allez me dire que c'est couper les cheveux en quatre, mais non, car la logique n'admet pas l'ambiguité, même implicite ou par omission. On a de meilleures définitions en écrivant : Soit F l'ensemble des cours d'eau appelés fleuves qui ne se jettent dans aucun autre. Soir R l'ensemble des cours d'eau appelés rivières qui se jettent dans un autre, ensemble tel qu'il existe AU MOINS un tel cours d'eau qui ne se reconnecte pas avec lui-même. Cela suffit, ce simple ajout permet de préciser que qui est un fleuve et ce qui est une rivière. Il n'est pas nécessaire de poser une condition similaire sur la définition des fleuve, car ayant défini ce qu'est une rivière, l'ajout est suffisamment englobant pour qu'il ne soit pas nécessaire de le répéter pour les fleuves. J'espère que cela vous a plu. Comme écrit tout à l'heure, pouvez-vous m'envoyer un mail sur cette adresse : pgfieldzegma&icloud.com afin que j'obtienne une adresse de votre part à laquelle je pourrais envoyer quelques écrits au format pdf. Dans certains cas il faudra que je rédige les documents car le plus souvent j'étudie et énonce le problème entièrement mentalement (comme Tesla, dirais-je si j'étais prétentieux) et ensuite seulement je rédige. Certains textes seront courts car je n'ai pas pu aller plus loin qu'une hypothèse, d'autres occupent quelques pages, mais rassurez-vous je ne vous enverrai pas une "thèse", et rappelez vous que j'aime examiner des petits détails sur lesquels on passe le plus souvent sans remarquer la beauté ou la bizarrerie de ce qu'ils contiennent. Par exemple, si en physique quantique entre deux phénomènes inverses la probabilité est toujours différente de 1/2 ou même de (1/2)+/- h cela signifie que le phénomène est plus complexe que ce que l'on croyait. Je m'intéresse beaucoup à ces petites asymétries, comme celle de la force nucléaire faible, celle de la légère différence de résultats de désintégrations entre les mésons K0 et anti-mésons K0. Parfois on rétablit l'équilibre statistique en introduisant un bon couplage. Au lieu de ne prendre que (P) on va prendre (CP). Dans certains cas cela ne suffit pas il faut approfondir le phénomène. Bon allez je termine par une blague. Vous formez un numéro sur votre téléphone et un répondeur vous annonce : "Le numéro que vous avez demandé n'existe pas. Veuillez tourner votre combiné d'un quart de tour et recommencer. Bonne soirée, et à bientôt j'espère. NEKO
On peut visualiser les résolutions d'équations algébriques (ou plutôt l'ensemble de ses solutions). L'idée est de remplacer une équation algébrique par la courbe, la surface,… à laquelle elle donne lieu. Ainsi, on remplace l'étude de l'équation X^2 + Y^2 - 1 = 0 par l'étude d'un cercle. Dans certains bons cas, on obtient un dictionnaire permettant de passer dans les deux sens de l'algèbre à la géométrie (je renvoie à la vidéo d'il y a 3 ans de cette chaîne, « Le dictionnaire entre l'algèbre et le géométrie (le nullstellensatz) »). On appelle de tels objets des « variétés algébriques », même si ce nos jours l'étude de ces dernières utilisent la théorie des « schémas »… Si l'on voulait avoir des solutions explicites de solutions d'équations algébriques en une variable, cela s'inscrirait plutôt dans la « théorie de Galois », qui là encore, admet une interprétation géométrique (liée à l'étude des « revêtements » et du « groupe fondamental »), à l'aide du « groupe fondamental étale » d'un schéma.
@@blabla4768 Merci beaucoup. Je n'ai donc pas trop pensé de travers. Je vais donc suivre votre cours sur les variétés algébriques. Et d'autant plus que m'étais rendu compte que l'on peut faire de la topologie sans aucun support géométrique. En plaisantant je dirait que je vais noter sur mon cahier de textes : Cours de topologie avec le Professeur Antoine. Bonne journée. NEKO
Petite remarque "pratique". Le catalogue E des uniques représentants pour la relation d'équivalence existe (en acceptant l'axiome du choix) mais les voyageurs pour réaliser leur prédiction ont besoin d'identifier les représentants des suites de chambres visitées, comment font-ils ? Parcourir une infinité dénombrable de chambres doit moins me déranger que parcourir l'infinité non dénombrable de E sans doute...
Certes, j'imagine qu'on peut dire que l'ensemble E vient avec une fonction f qui a toute suite associe l'unique élément de E en relation avec cette suite. Le calcul effectif de ce f est en effet un problème (qui revient en fait à l'utilisation initiale de l'axiome du choix), je le concède !
autrement dit, est-ce que l'on fait intervenir les touristes dans l'hôtel pour que l'on puisse désigner les suites u comme si l'on pouvait les compter, les indexer? Mais peut-on faire intervenir une vue de l'esprit quand ce n'est pas vraiment mathématisable?
L’énigme ayant été présentée sous une forme matérielle (des personnes visitant un hotel), je pense qu’il faut garder ce principe dans la présentation de la solution. Celle ci dit donc ici chaque visiteur avait sur lui un dictionnaire de cet ensemble E, listant et décrivant de façon exhaustive chaque suite de cet ensemble. S’agissant d’un ensemble infini de suites infinies, on parle donc ici d’un dictionnaire de taille infinie. Or mon intuition me dit qu’on est avec ce dictionnaire sur une ”classe” d’infini au dessus de celle de l’hotel (meme dans un univers ou de tels hotels existeraient physiquement, la faisabilité d’un tel dictionnaire ne me semble pas du tout garantie - et donc la faisabilité de cette solution non plus. Il existe probablement une terminologie plus precise pour designer différents types d’infinis). Au final cette solution me donne l’impression de ”tricher” avec les règles de l’univers de l’enigme, je ne suis pas vraiment convaincu...
Comment les mathématiciens peuvent-ils s'accorder sur le choix de E ? L'axiome du choix dit qu'un tel E existe mais ne donne aucun moyen de le construire et donc aucun moyen de communiquer quel E a été choisi...
Certes il y a des obstacles pratiques, et on est bien d'accord que de toute façon cette énigme serait difficile à implémenter dans le monde réel ! Cependant mathématiquement il n'y a pas de difficulté à partager un ensemble donné une fois qu'il a été construit par l'axiome du choix.
Bonjour. Je suis chercheur en physique et j'ai 56 ans. Ce qui m'amène c'est la question suivante : que penser de l'utilisation de l'axiome du choix ? Le théorème de Banach-Tarski qui utilise beaucoup cet axiome montre qu'une sphère égale deux sphères. Ma réaction première et de tout mettre à la poubelle : si une théorie m'amène à contredire l'observation, je l'utilise avec beaucoup de pincettes voire pas du tout. De la même manière je trouve dans beaucoup d'ouvrages de cosmologie l'appel à la somme som(1,infini,n). Les auteurs disent qu'on s'est bien que ça vaut -1/12 et continuent le calcul. Ma réaction est de m'arrêter là. La mathématique est selon moi le langage avec lequel on peut décrire le monde, pas plus. C'est une preuve de modestie dont peu font preuve je le reconnais. Je vous livre là une pensée et je vous souhaite un très brillant avenir !
Bonjour, j'ai bien compris la solution. J'ai bien saisi que c'était la construction de E qui faisait tout. Mais j'ai quand même un petit souci sur comment un mathématicien qui rentre dans une chambre peut identifier un nombre réel. Si celui ci est écrit de manière aléatoire(pour le mathématicien) en décomposition décimale cela me parait un poil long^^. Je comprend que c'est une question un peu pratico pratique elle m'avait déjà bien ralenti à l'énoncé de l'énigme. Dans le cas où les nombres sont écris de manière "nommée" (comme Pi)(déjà cela me semble impossible avec un alphabet dénombrable), pour qu'un mathématicien puisse connaitre ce nombre il faudrait qu'il connaisse un nombre de nombre de la taille des réels( supérieur à celui du nombre d'atome dans son corps) , sinon il ne sait même pas à quoi ce nombre correspond et c'est donc difficile d'en apprendre quelque chose. Enfin j'ai bien compris que ce n'était pas vraiment le sens de l'énigme mais je me suis mis à la place d'un mathématicien du groupe et je trouvais déjà que j'allais passer ma vie entière dans la première chambre de l'hôtel. Mais merci beaucoup pour le partage. Premier bilan: l'axiome du choix ... faut savoir ce que l'on fait. Deuxième bilan: Même avec, je préférerai pas être dans le groupe de 1000.^^(même si j'ai l'impression qu'en le supposant on peut répondre à beaucoup des mes questions)
Personnellement, je ne suis pas convaincu. Un peu sur le plan théorique mais surtout sur le plan pratique. Sur le plan pratique: - il faut ouvrir une infinité de portes, or ce n’est pas possible. - Ensuite, il faut définir concrètement l’ensemble E, or c’est physiquement impossible. Sur le plan théorique, je suis un peu perplexe car R^N est beaucoup plus grand que N, donc E l’est aussi et je ne vois pas comment en ouvrant N portes (ie un nombre dénombrable de portes), nous n’aurions qu’une suite qui lui corresponde dans l’espace E qui, lui, n’est probablement pas dénombrable.
Sur le fait que ça ne soit pas faisable en pratique, on est bien d'accord, c'est le cas à partir du moment où l'énigme invoque des données infinies. Par contre du point de vue théorique non, il y a bien une bijection entre E et les classes d'équivalences de suites réelles, c'est facile à prouver (c'est la définition!)
@@antoinebrgt alors… j’en reviens à ce que je disais: si E est non dénombrable (comme je le pensais), comment après avoir ouvert N portes tombe-t-on sur une seule suite ? Il y en a une infinité….
@@marcpremium7442 Je ne comprends vraiment pas le problème, par définition pour toute suite (u_n) de nombres réels, il existe une unique suite (v_n) appartenant à E telle que u_n et v_n sont égaux pour n assez grand. L'ensemble E est indénombrable, l'ensemble des suites aussi.
le point faible c'est la relation d'équivalence parce que comment être sûr que l'élément v qui représente une suite la représente de façon non ambigüe? c.a.d on suppose donc qu'il existerait une bijection mathématique entre R^N et E mais évidemment on ne peut la définir mathématiquement. ça suppose donc qu'il existe mathématiquement des choses indéfinissables mathématiquement, ça ressemble à une contradiction.
Non il n'y a pas de bijection entre R^N et E, il y a une bijection entre R^N/~ et E. R^N/~ est l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation "terminer de la même façon".
@@antoinebrgt oui je me suis mal exprimé, ça n'enlève rien au commentaire. comment peut on affirmer que quelque chose existe mathématiquement sans s'assurer qu'elle est définie mathématiquement? bref comment démontre t on qu'il y a bijection entre R^N/~ et E sans même définir au moins une bijection? parce que si j'ai bien compris il peut y avoir toute sorte de classes d'équivalence comme {1, pi, 4, cos(pi/3),... etc..} et non uniquement des {1 1 1 1 ....} ou {4 4 4 4 ... } L'axiome du choix (wikipedia) est bien illustré, je trouve, par l'histoire de la paire de chaussette indiscernable qu'on met tous les matins, ça postule qu'il existe une fonction qui détermine sans ambigüité quelle chaussette on met à droite ou à gauche, le pb ne se pose pas avec les chaussures la fonction existe on est sûr de ne pas se tromper, pour les chaussettes j'en mettrais pas ma main au feu, :-) on dirait que seul le hasard peut répondre à ce pb de choix mais c'est non déterminé, par def.
@@GH-li3wj Oui en effet l'axiome du choix dit qu'une telle bijection existe, sans la construire explicitement. C'est la raison pour laquelle cet axiome est controversé, il garantit l'existence d'objets que l'on ne peut pas construire explicitement (si on le pouvait, on n'aurait pas besoin d'ajouter cet axiome!). Donc ici on démontre bien que cette bijection existe (et il faut bien comprendre que c'est très intuitif!), mais on ne la construit pas.
Alors oui... donc on associe des suites d'hôtel à des suites mathématiques pour trouver si un mec a une chance de se tromper moins 1... Même si je ne doute pas que la réponse soit exacte, quand je vois ce genre de problème artificiel accompagner une réponse aussi artificielle et alambiquée, je me dis que les maths se sont perdues en chemin. J'ai toujours eu des difficultés à trouver ce genre de mathématiques réellement "intelligentes", encore moins belles ou élégantes... Mais plutôt rébarbatives et autoritaires. La vraie élégance des math selon moi se trouve dans des math qui savent s'adapter aux questions et à la vision du monde de gens qui n'y connaisse rien. Quelque chose qui transforme notre vision du monde et nous emmène plus loin, comme la géométrie de Gaspard Monge ou ses premiers théorèmes sur l'optimisation des déplacements. Là j'ai seulement l'impression que c'est l'inverse: les mathématicien font les réponses et les questions qui les arrangent, comme l'écho d'anciennes habitudes obsolètes. En d'autres termes: de la branlette intellectuelle.
Je ne comprends vraiment pas les écritures de maths qui généralisent un problème. Ici, on dirait une sorte de crypto de suite. Je ne vois aucun rapport arithmétique entre U et V. Division euclidienne de quoi? Toute la démonstration n est jamais illustrée par un ex de nombre. Et meme oe voyageur voit tout les nombres qui l interesse en suivant le plan, il ne verra jamais le contenu derrière. Le fait de connaître 999 999 nombres sur 1000020, les 21 manquants sont choisis dans R. Il y a encore pas mal de possibilités. Sans parler du côté pratique, il faut des mémoires d ordinateur xD
Ce qui ne cesse de m’étonner et que - pour vous dire la vérité, je vous jalouse - ce n’est pas votre cursus brillantissime, votre pédagogie exceptionnelle, mais votre sincère humilité.
Merci beaucoup, je ne sais quoi répondre :)
Une solution d'apparence si simple mais qui cache derrière elle toute la difficulté pour la trouver et aussi l'historique débat bien connu dans le monde des mathématiques sur l'axiome du choix... Vraiment superbe, merci beaucoup !
Je viens d'achever le visionnage de la vidéo, et je comprends maintenant toute l'élégance de la résolution proposée ! Excellente pédagogie, tout est compréhensible (même par moi XD) avec de très beaux schémas ! C'est parfait ! Merci !
Merci pour les schémas (content qu'ils soient quand même compréhensibles :D) !
Je ne suis encore qu'au premier tiers de la vidéo mais je tiens déjà à vous remercier pour la qualité du contenu que vous proposez !
Merci !
C'est beau ! Merci d'avoir partagé cette énigme salement dingue. Sauf erreur de ma part, on ne s'est absolument pas servi du fait que les objets à deviner étaient des réels, ça aurait très bien pu être des fonctions ou n'importe quoi d'autre. Ce n'est pas que ça jette le discrédit sur l'axiome du choix mais, bon, il faut bien avouer que quand même un petit peu.
Haha oui je suis bien d'accord!
Cette solution (très interessante) me fait me révolter contre l'axiome du choix. Je n'avais jamais compris jusqu'ici pourquoi certains le rejettent, ou, a minima, tâchent de s'en passer pour leurs démonstrations !
En effet on peut voir cette solution comme un autre exemple de conséquence très contre intuitive de l'axiome du choix, et on peut s'en servir comme d'un argument pour le rejeter !
Je n'avais pas la soluce....mais ce n'est pas sans me rappeler,de façon très lointaine évidemment,la diagonale de Cantor...ici il s'agit de suites....mais la preuve de cette énigme dans sa logique,sa démarche m'y a fait penser ...alors...il fallait peut-être avoir en tête aussi l'axiome du choix....en tout cas excellent exercice...merci !
Je suis en train de regretter le fait de l'avoir raconté à tous va, puisque j'ai promis de donner la réponse à ces personnes ( je les renverrai vers ta vidéo)
Super bien expliqué !
Oui c’est fait pour :)
Je viens de redécouvrir la chaîne (découverte il y a 4 ans avec sa première vidéo !) C'est parti pour rattraper toutes tes vidéos, ça va prendre un peu de temps 😅
Bonjour, La solution est très élégante en effet. Merci pour le partage. Il y a un point qui me gêne car pour trouver l'élément de E qui correspond à une des V-1 autres suites, chaque voyageur va devoir ouvrir une infinité de chambres . Il faut bien ouvrir toutes les chambres de la suite u i pour vérifier qu'elles contiennent la même chose que la suite v i. On pourrait avoir qqs millions d'éléments consécutifs égaux mais que cela s'arrête à un moment. Comment peut-il ouvrir et comparer une infinité d'éléments ?
est ce que certains physiciens étudient la physique en rejetant l'axiome du choix ? vu que cet axiome permet autant de résultats contre intuitifs ?
Je pense qu'en physique c'est assez peu pertinent de parler des conséquences contre intuitives de l'axiome du choix car les problèmes viennent en général de l'infini, ce qui ne se réalise jamais en physique. Après il est possible que dans certains cas mathématiques ça puisse apparaître...
@@antoinebrgt hmmm oui mais en physique on utilise plein de théorèmes dont certains découlent peut être de l'axiome du choix non ?
La construction de l'intégrale de Lebesgue, de la géométrie riemannienne etc ça ne requiert pas l'axiome du choix ?
@@chainonsmanquants1630 Pour la géométrie non riemannienne non je ne pense pas, et pour l'intégrale de Lebesgue je ne sais pas mais je ne pense pas qu'on en ait réellement besoin. Je ne crois pas connaître de théorie physique dépendant de l'axiome du choix, mais je peux me tromper évidemment.
@@antoinebrgt d'accord merci, mais si cet axiome n'est utilisé nulle part dans les théories qu'on emploie pour la physique, pourquoi s'ennuyer avec cet axiome ? C'est étonnant non ? Il doit bien apporter plus que quelques paradoxes comme Banach tarski et autres.
Pour l'intégrale de Lebesgue il me semble que toute la construction de l'ensemble des boreliens ainsi que l'ensemble des parties mesurables de R ( boreliens + négligeables) est motivée par l'axiome du choix car (dans mes souvenirs) si on retire l'axiome du choix alors toute partie de R est mesurable. Pour construire des parties non mesurables on requiert toujours l'axiome du choix.
@@chainonsmanquants1630 l'axiome du choix peut être utilisé dans la formalisation des théories physiques, mais je pense qu'il n'est pas possible de tester physiquement s'il est vrai ou pas, même en principe. De la même façon je ne suis pas sûr qu'on puisse faire quoi que ce soit de physique avec des parties non mesurables...
Mais après oui dans les maths de la physique on ne se prive pas de l'utiliser ! Voir par exemple l'article "The Axiom of Choice in Quantum Theory" par
Norbert Brunner, Karl Svozil, Matthias Baaz.
Alors Dico, tu as trouvé ?
Merci pour cette super vidéo, l'idée de 'sacrifier' le voyageur qui 'converge' le plus tard pour permettre aux autres d'être sûrs de se trouver dans la bonne zone est super astucieux.
J'ai une question bête, pour des suites infinies comme ça, pouvez-vous nous donner une explication 'intuitive' de pourquoi à un moment donné les suites se rejoignent forcément.
Dans la mesure où elles ne se terminent pas il est possible de ne jamais atteindre ce moment.
Non?
Deux suites équivalentes (selon la relation d'équivalence définie en début de vidéo) se rejoignent forcément par définition des classes d'équivalences. Deux suites sont équivalentes ssi elles se rejoignent à partir d'un certain indice fini (c'est identique à dire que deux suites sont équivalentes ssi elles ne diffèrent que par un nombre fini d'éléments). Comme vi est choisi équivalent à hi, hi et vi "convergent" forcément car vi est choisi "convergent" vers hi. (et pour choisir vi équivalent à hi, on utilise l'axiome du choix)
@@michelthayse5928 merci pour votre réponse.
Je crois comprendre que parce qu’elles sont équivalentes par définition elles ont une fin commune.
Ce qui me chagrine c’est que l’énoncé ne dit pas qu’elles sont équivalentes. On parle d’hôtel infini de vérification infinies etc.
Et je comprends tout à fait que si la suite était finie l’astuce serait intuitive.
Mais honnêtement pour une suite infinie, je ne vois pas pourquoi elles seraient équivalentes.
Ça n’a pas l’air évident comme ça. :)
Disons que cette définition n'est pas implémentable en pratique (c'est un peu le propre de tout ce qui est infini), et si les suites étaient finies, la relation d'équivalence définie ici perdrait tout son intérêt (toutes les suites seraient équivalentes).
@@antoinebrgt oui c’est assez fou comme truc :) merci pour votre réponse.
Tout d'abord, un énorme Merci pour tes lumières.
Ensuite, ça n'a pas tout à fait à voir avec le problème (quoique)
mais est-ce qu'en se plaçant du point de vue de Aleph1, les entiers ne ressembleraient pas à des réels ?
Cette histoire est incroyable ! Je voyais vraiment cela comme étant impossible en regardant l'énigme, je pensais même pouvoir le prouver...
Oui c'est tellement déroutant qu'on peut penser pouvoir prouver que c'est impossible ! En fait d'une certaine façon on peut, si on n'accepte pas l'axiome du choix alors il y a des modèles de la théorie des ensemble où ce n'est pas possible (voir le lien en description). C'est ce qui fait le charme de cette énigme !
Ça me rappelle la belle époque de science4all !
Haha merci, ça c’est un compliment !
Merci Antoine pour cette démonstration que je n’aurais pas imaginée. J’avais pourtant retourné le problème dans tous les sens. Une question toutefois : les nombres dans les chambres sont des nombres réels qui est indénombrable. En préparation, les visiteurs ont donc préparé l’ensemble E des classes d’équivalence sur les suites réelles, ensemble qui semble donc lui-même indénombrable. Les visiteurs doivent déterminer à partir des hvi LA suite vi représentante de sa « ligne ». Ma question : si E est indénombrable, le voyageur i lorsqu’il essaye de déterminer LA représentante de sa ligne a donc le choix entre une infinité non dénombrable de classes d’équivalences entre Nmax -1 et Nmax rendant donc son choix impossible non ? La non unicité du choix de vi entre Nmax et Nmax-1 dans l’hypothèse d’un ensemble indénombrable me paraît donc faire échouer la stratégie. Ne faudrait-il pas imposer que les nombres dans les chambres appartiennent à un ensemble dénombrable ou dans le cas contraire démontrer que E est dénombrable (ce qui ne me semble pas évident) ?
Je ne suis pas sûr de comprendre pourquoi le fait que l'ensemble est indénombrable implique qu'il n'est pas possible de faire un choix... Par exemple si je demande de trouver parmi toutes les fonctions dérivables sur R celle qui est égale à sa dérivée et vaut 1 en 0, j'arrive à trouver que c'est exp, même si l'ensemble est indénombrable.
@@antoinebrgt merci pour la réponse Antoine. Pour être plus précis, je ne comprends pas comment on peut faire correspondre un élément (vi)j de l’ensemble de départ E indénombrable (j’admets que l’axiome du choix le permet) à une suite partielle d’éléments (hi)j, i>N de l’ensemble d’arrivée H dénombrable lui en ne connaissant. En effet, entre la suite partielle des hi pour i>N-1 et la suite partielle des hi pour i>N, il y a une infinité de suites dont la classe d’équivalence dans E est différente et cet ensemble n’est pas ordonné. J’admets volontiers qu’une telle surjection entre E et H existe, mais je m’interroge sur la méthode permettant d’identifier chaque « élément » de la suite hi à un élément dans vi. Je ne sais pas si j’ai ainsi mieux expliqué ma difficulté, mais si je devais l’illustrer avec un exemple presque similaire, l’entier naturel 2 peut-il légitimement être égalisé avec le réel 2? En informatique par exemple, c’est proscrit, et quelque chose me dit qu’égaliser 2 éléments d’ensembles différents dans mon exemple N et R nécessite des précautions surtout si leurs cardinaux sont si différents (le premier dénombrable, l’autre non), et d’autant plus que contrairement à N et R, il n’est pas donné de relation d’ordre entre les éléments de E qui permette de « classer » les vi de telle sorte que l’on puisse une fois le représentant choisi de déterminer un autre élément qui ne diffère que d’un seul symbole par rapport à la séquence ordonnée vi choisie. En gros par rapport à l’exemple précédent, imaginons que Pi soit un élément de mon ensemble indénombrable de départ, je souhaite savoir comment trouver un rationnel (ensemble dénombrable) qui ne varie que d’un seul digit par rapport à Pi. Je ne suis pas certain que cette opération ait un sens car R est continu alors que Q ne l’est pas (en tout cas l’opération de comparaison symbole à symbole mériterait d’être explicitée). J’ai conscience que ce que j’écris peut sembler confus, aussi je vous remercie par avance si vous prenez le temps de m’expliquer ce point.
@@austin8179 Non je pense que le problème vient de votre compréhension de la définition de E. La valeur de u_i pour i>N détermine un unique élément v de E, et la valeur de u_i pour i>N+1 détermine aussi un unique élément de E, et c'est le même v. En fait on peut prendre la valeur de u_i pour i>M pour n'importe quel M, et on trouve toujours v ! Pour déterminer v, on n'a besoin que d'un segment terminal de la suite u, aussi loin soit-il.
@@antoinebrgt Merci Antoine, donc si par exemple l’élément de ma suite de départ est par exemple les digits de Pi, je peux trouver un rationnel élément de l’ensemble d’arrivée qui diffère d’un nombre fini de digits avec Pi ?
@@austin8179 non on ne peut pas trouver de rationnel, puisque les décimales d'un rationnel ne sont périodiques et celles de pi ne le sont pas. Ou peut-être que je n'ai pas compris la question ?
Je pense avoir saisi le principe de la solution. Mais si j'ai bien compris cela ne marche que parce qu'on suppose qu'il y a une infinité de chambres ? Si on fixe un nombre de chambres la solution ne tient plus (désolé si la question parfait futile, je suis pas matheux ^^) ?
On peut faire une version finie du problème, en supposant que l'hôtel possède N chambres. On se ramène au cas infini en imaginant que les chambres manquantes N, N + 1, N + 2, .... contiennent le nombre 0 par exemple. Dans ce cas on a affaire à une seule classe d'équivalence (toutes les suites sont presque nulles). L'algorithme marche pareil mais cette fois il est fini et on n'a pas besoin d'axiome du choix (E est réduit par exemple à la suite nulle). Evidemment c'est un peu moins spectaculaire, mais ça peut être une étape pour la compréhension de la version infinie du problème.
Oui c'est une excellente remarque ! Et en effet on sent bien comment ça marche avec cet exemple fini !
@@antoinebrgt
Non ! Cette solution ne marche pas avec un nombre fini de chambres et le problème n'est sans doute pas soluble dans ce cas. En effet :
L'unique suite de E est la suite nulle. Supposons que la chambre N-1 ne contient pas 0. Alors l'algorithme proposé conduit les visiteurs à une prédiction sur la chambre N qui n'existe pas dans cette version du problème !!
L'infini joue là-dedans un rôle essentiel...
@@alexandretemkine7866 Ah oui je pense que j'avais mal compris la remarque, il est clair que l'infini joue un rôle essentiel dans la construction. Il y a cependant des versions finies de cette énigme (voir par exemple sur le blog de D. Madore).
Super vidéo ! Ce concept est top !
Merci pour cette solution. Mais y aurait il un lien entre l'axiome du choix et le théorème d'incertitude de Godel ? Autrement dit, on suppose que E est constructible (proposition vraie) sans jamais pouvoir le prouver (proposition non démontrable).
Non, ici c'est parfaitement démontrable, justement en utilisant un axiome !
@@antoinebrgt Oui mais il n'y a aucune méthode connue pour construire E. Or il en faudrait une?
@@samuelblarre4522 il n'y a pas de méthode constructive en effet, mais l'axiome du choix permet de prouver que cet ensemble existe, donc avec cet axiome, l'existence est tout à fait démontrable :)
Donc oui il y a un problème de construction explicite, mais non ce n'est pas relié à une quelconque non démontrabilité
@@antoinebrgt ok merci!
La méthode de la porte fermée de la salle de cours. Si tu n'arrives pas le premier devant la porte, tu n'as pas besoin d'essayer de l'ouvrir pour la savoir fermée, tu dois juste supposer que tes camarades ont bien fait leur travail avant toi.
malgré le soin apporté à la démo, elle pourrait gagner en clarté si l'on n'utilisait pas des concepts physiques (l'hôtel, les touristes) en même temps que des concepts purement mathématiques (les infinis, qui plus est incluant le continuum R), les premiers incluant la notion de temps, les deuxièmes en faisant fi (lecture instantanée d'un nombre infini de données, de longueur elle-même infinie). Et pour s'éviter de faire le grand écart entre la physique et les mathématiques, il faudrait s'interdire de toucher au concept des infinis pour faire de la physique correctement. J'aime à dire que pi est de longueur finie et s'affine avec le temps, que c'est une horloge indiquant l'état instantané de notre géométrie
Bonsoir
Je tiens à vous féliciter (et vous remercier) pour cette étude sur le paradoxe de l'hôtel de Hilbert, bien plus riche que celles que j'avais pu voir. De plus quasiment à chaque étape vous ouvrez des couloirs de réflexions aux curieux en mathématiques.
Vous faites intervenir l'Axiome du Choix. Cela tombe bien car je n'ai jamais réussi à bien le comprendre (même en disposant du Bourbaki !) Je vais donc réécouter cette vidéo plusieurs fois jusqu'à ce que cela rentre.
Si je vous disais que je ne comprends pas la règle de trois, le croiriez-vous ? Et bien c'est pourtant le cas.
Je remarque souvent des petits problèmes mathématiques qui ne nécessitent pas un haut niveau, mais dont l'analyse est très fructueuse.
Avant de poursuivre je vous confierai que souvent je "vois" les objets mathématiques auxquels je réfléchis. Cela amène à des constats intéressants, à progresser plus facilement dans l'étude du problème en cours. Cependant il ne faut pas exagérément en faire état car il existe de nombreux cas où cela ne sert à rien, comme par exemple étudier des équations non polynomiales.
En revanche cela me fait soupçonner que les résolutions d'équations algébriques sont équivalentes à des rotations dans des espaces mathématiques abstraits. Je vous enverrai quelques exemples un autre jour.
Parmi les "petits problèmes" que je remarque il y en a deux que j'appelle des conjectures car je n'ai pas pu faire de démonstrations, concernant des emboîtements de sphères de 2 à n dimensions. Or récemment j'ai trouvé une méthode graphique pour développer une de ces conjectures. Si elle est exacte il y aurait une corrélation intéressante entre des emboîtements de sphères et la suite des nombres premiers.
D'ici à quelques jours j'espère pouvoir vous envoyer ces conjectures dans des commentaires sous vos vidéos. J'ai aussi rédigé deux autres études, mais qui nécessitent un pdf. Je vous communique une de mes autres adresses mail, afin qu'en retour vous puissiez m'indiquer une des vôtres. Voici : pgfieldzegma@icloud.com . La seconde de ces deux études est une réflexion sur la notion d'ensemble vide, que je trouve très mal construite et même auto-réréfente.
Avez-vous de l'Aspirine à la maison car je vais à présent vous soumettre un problème de logique qui semble très anodin, mais auquel aucune des personnes à qui je l'ai posée a pu trouver la solution. Il faut penser chaque signifiant avec une balance d'apothicaire/
Soit F l'ensemble des cours d'eau appelés fleuves qui ne se jettent dans aucun autre.
Soit R l'ensemble des cours d'eau appelés rivières qui se jettent dans un autre.
Ces définitions associées sont-elles correctes ? Sinon que faut-il changer et pourquoi ?
Amicalement.
NEKO`
Pour le problème final, oui j'ai l'impression qu'il s'agit de la définition standard de fleuve et rivière, non ?
@@antoinebrgt Bonsoir. Merci de m'avoir répondu. Bon, qu'en est-il de ces deux définitions. Elles sont correctes et comme vous l'écrivez standard, mais pour le géographe.
Pour le logicien cela ne va vraiment pas. Elles amènent sur des "ensembles" inconsistants. Le mot inconsistant devant être pris dans son sens mathématique, c'est à dire que l'on arrive sur des objets qui ne sont pas biens définis et avec lesquelles les notions comme l'appartenance ne peuvent être énoncées de façon valide.
Je vais vous expliquer le problème. Prenez une feuille de papier et un stylo. Sur le bord gauche de la feuille vous tracez une ligne verticale qui représente la côte. A gauche la mer et à droite les terres.
Partant d'un point arbitraire sur le côté droit vous tracez une ligne (droite ou sinueuse, peu importe) qui rejoint la côte. Nous avons créé un fleuve que l'on appellera F1.
Partant ensuite d'un autre point arbitraire sur la partie droite, vous tracez une ligne qui rejoint le fleuve F1. Nous avons créé la rivière R1.
Ensuite partons d'un troisième point arbitraire sur la partie droite et traçons une ligne allant jusqu'à la côte, MAIS en faisant une boucle sur cette ligne.
De quoi s'agit-il ? D'une rivière. On pourrait le penser car elle se jette dans elle-même au niveau de la boucle.
Or, elle se jette dans un cours d'eau qui n'est PAS AUTRE. Elle se jette à ce niveau dans elle-même. Ce troisième objet n'est donc en fait ni une rivière, ni un fleuve. Pour les deux éventualité il y a un petit point de détail obérant la validité des deux définitions.
Vous allez me dire que c'est couper les cheveux en quatre, mais non, car la logique n'admet pas l'ambiguité, même implicite ou par omission.
On a de meilleures définitions en écrivant :
Soit F l'ensemble des cours d'eau appelés fleuves qui ne se jettent dans aucun autre.
Soir R l'ensemble des cours d'eau appelés rivières qui se jettent dans un autre, ensemble tel qu'il existe AU MOINS un tel cours d'eau qui ne se reconnecte pas avec lui-même.
Cela suffit, ce simple ajout permet de préciser que qui est un fleuve et ce qui est une rivière. Il n'est pas nécessaire de poser une condition similaire sur la définition des fleuve, car ayant défini ce qu'est une rivière, l'ajout est suffisamment englobant pour qu'il ne soit pas nécessaire de le répéter pour les fleuves.
J'espère que cela vous a plu. Comme écrit tout à l'heure, pouvez-vous m'envoyer un mail sur cette adresse : pgfieldzegma&icloud.com afin que j'obtienne une adresse de votre part à laquelle je pourrais envoyer quelques écrits au format pdf.
Dans certains cas il faudra que je rédige les documents car le plus souvent j'étudie et énonce le problème entièrement mentalement (comme Tesla, dirais-je si j'étais prétentieux) et ensuite seulement je rédige.
Certains textes seront courts car je n'ai pas pu aller plus loin qu'une hypothèse, d'autres occupent quelques pages, mais rassurez-vous je ne vous enverrai pas une "thèse", et rappelez vous que j'aime examiner des petits détails sur lesquels on passe le plus souvent sans remarquer la beauté ou la bizarrerie de ce qu'ils contiennent.
Par exemple, si en physique quantique entre deux phénomènes inverses la probabilité est toujours différente de 1/2 ou même de (1/2)+/- h cela signifie que le phénomène est plus complexe que ce que l'on croyait. Je m'intéresse beaucoup à ces petites asymétries, comme celle de la force nucléaire faible, celle de la légère différence de résultats de désintégrations entre les mésons K0 et anti-mésons K0.
Parfois on rétablit l'équilibre statistique en introduisant un bon couplage. Au lieu de ne prendre que (P) on va prendre (CP). Dans certains cas cela ne suffit pas il faut approfondir le phénomène.
Bon allez je termine par une blague. Vous formez un numéro sur votre téléphone et un répondeur vous annonce : "Le numéro que vous avez demandé n'existe pas. Veuillez tourner votre combiné d'un quart de tour et recommencer.
Bonne soirée, et à bientôt j'espère.
NEKO
On peut visualiser les résolutions d'équations algébriques (ou plutôt l'ensemble de ses solutions). L'idée est de remplacer une équation algébrique par la courbe, la surface,… à laquelle elle donne lieu. Ainsi, on remplace l'étude de l'équation X^2 + Y^2 - 1 = 0 par l'étude d'un cercle. Dans certains bons cas, on obtient un dictionnaire permettant de passer dans les deux sens de l'algèbre à la géométrie (je renvoie à la vidéo d'il y a 3 ans de cette chaîne, « Le dictionnaire entre l'algèbre et le géométrie (le nullstellensatz) »). On appelle de tels objets des « variétés algébriques », même si ce nos jours l'étude de ces dernières utilisent la théorie des « schémas »…
Si l'on voulait avoir des solutions explicites de solutions d'équations algébriques en une variable, cela s'inscrirait plutôt dans la « théorie de Galois », qui là encore, admet une interprétation géométrique (liée à l'étude des « revêtements » et du « groupe fondamental »), à l'aide du « groupe fondamental étale » d'un schéma.
@@blabla4768 Merci beaucoup. Je n'ai donc pas trop pensé de travers. Je vais donc suivre votre cours sur les variétés algébriques. Et d'autant plus que m'étais rendu compte que l'on peut faire de la topologie sans aucun support géométrique.
En plaisantant je dirait que je vais noter sur mon cahier de textes : Cours de topologie avec le Professeur Antoine.
Bonne journée.
NEKO
Petite remarque "pratique". Le catalogue E des uniques représentants pour la relation d'équivalence existe (en acceptant l'axiome du choix) mais les voyageurs pour réaliser
leur prédiction ont besoin d'identifier les représentants des suites de chambres visitées, comment font-ils ? Parcourir une infinité dénombrable de chambres doit moins me déranger que parcourir l'infinité non dénombrable de E sans doute...
Certes, j'imagine qu'on peut dire que l'ensemble E vient avec une fonction f qui a toute suite associe l'unique élément de E en relation avec cette suite. Le calcul effectif de ce f est en effet un problème (qui revient en fait à l'utilisation initiale de l'axiome du choix), je le concède !
@@antoinebrgt Merci pour la réponse et pour toutes les vidéos de la chaîne qui me font regretter de ne pas avoir étudié un peu plus la physique !
en désignant les suites ui de E, on a l'impression que l'on suppose que le cardinal de E est celui de N, ce dont je ne pense pas à priori
autrement dit, est-ce que l'on fait intervenir les touristes dans l'hôtel pour que l'on puisse désigner les suites u comme si l'on pouvait les compter, les indexer? Mais peut-on faire intervenir une vue de l'esprit quand ce n'est pas vraiment mathématisable?
L’énigme ayant été présentée sous une forme matérielle (des personnes visitant un hotel), je pense qu’il faut garder ce principe dans la présentation de la solution. Celle ci dit donc ici chaque visiteur avait sur lui un dictionnaire de cet ensemble E, listant et décrivant de façon exhaustive chaque suite de cet ensemble. S’agissant d’un ensemble infini de suites infinies, on parle donc ici d’un dictionnaire de taille infinie. Or mon intuition me dit qu’on est avec ce dictionnaire sur une ”classe” d’infini au dessus de celle de l’hotel (meme dans un univers ou de tels hotels existeraient physiquement, la faisabilité d’un tel dictionnaire ne me semble pas du tout garantie - et donc la faisabilité de cette solution non plus. Il existe probablement une terminologie plus precise pour designer différents types d’infinis). Au final cette solution me donne l’impression de ”tricher” avec les règles de l’univers de l’enigme, je ne suis pas vraiment convaincu...
époustouflant
très joli
Comment les mathématiciens peuvent-ils s'accorder sur le choix de E ? L'axiome du choix dit qu'un tel E existe mais ne donne aucun moyen de le construire et donc aucun moyen de communiquer quel E a été choisi...
Certes il y a des obstacles pratiques, et on est bien d'accord que de toute façon cette énigme serait difficile à implémenter dans le monde réel ! Cependant mathématiquement il n'y a pas de difficulté à partager un ensemble donné une fois qu'il a été construit par l'axiome du choix.
@@antoinebrgt OK, supposons que les voyageurs ont tous en eux le même "selecteur".
Bonjour. Je suis chercheur en physique et j'ai 56 ans. Ce qui m'amène c'est la question suivante : que penser de l'utilisation de l'axiome du choix ?
Le théorème de Banach-Tarski qui utilise beaucoup cet axiome montre qu'une sphère égale deux sphères. Ma réaction première et de tout mettre à la poubelle : si une théorie m'amène à contredire l'observation, je l'utilise avec beaucoup de pincettes voire pas du tout. De la même manière je trouve dans beaucoup d'ouvrages de cosmologie l'appel à la somme som(1,infini,n). Les auteurs disent qu'on s'est bien que ça vaut -1/12 et continuent le calcul. Ma réaction est de m'arrêter là. La mathématique est selon moi le langage avec lequel on peut décrire le monde, pas plus. C'est une preuve de modestie dont peu font preuve je le reconnais. Je vous livre là une pensée et je vous souhaite un très brillant avenir !
Je pense qu'on est tous bien d'accord que cette énigme n'a rien de physiquement réalisable en effet !
Bonjour, j'ai bien compris la solution. J'ai bien saisi que c'était la construction de E qui faisait tout. Mais j'ai quand même un petit souci sur comment un mathématicien qui rentre dans une chambre peut identifier un nombre réel. Si celui ci est écrit de manière aléatoire(pour le mathématicien) en décomposition décimale cela me parait un poil long^^. Je comprend que c'est une question un peu pratico pratique elle m'avait déjà bien ralenti à l'énoncé de l'énigme. Dans le cas où les nombres sont écris de manière "nommée" (comme Pi)(déjà cela me semble impossible avec un alphabet dénombrable), pour qu'un mathématicien puisse connaitre ce nombre il faudrait qu'il connaisse un nombre de nombre de la taille des réels( supérieur à celui du nombre d'atome dans son corps) , sinon il ne sait même pas à quoi ce nombre correspond et c'est donc difficile d'en apprendre quelque chose. Enfin j'ai bien compris que ce n'était pas vraiment le sens de l'énigme mais je me suis mis à la place d'un mathématicien du groupe et je trouvais déjà que j'allais passer ma vie entière dans la première chambre de l'hôtel. Mais merci beaucoup pour le partage.
Premier bilan: l'axiome du choix ... faut savoir ce que l'on fait.
Deuxième bilan: Même avec, je préférerai pas être dans le groupe de 1000.^^(même si j'ai l'impression qu'en le supposant on peut répondre à beaucoup des mes questions)
Personnellement, je ne suis pas convaincu. Un peu sur le plan théorique mais surtout sur le plan pratique.
Sur le plan pratique:
- il faut ouvrir une infinité de portes, or ce n’est pas possible.
- Ensuite, il faut définir concrètement l’ensemble E, or c’est physiquement impossible.
Sur le plan théorique, je suis un peu perplexe car R^N est beaucoup plus grand que N, donc E l’est aussi et je ne vois pas comment en ouvrant N portes (ie un nombre dénombrable de portes), nous n’aurions qu’une suite qui lui corresponde dans l’espace E qui, lui, n’est probablement pas dénombrable.
Sur le fait que ça ne soit pas faisable en pratique, on est bien d'accord, c'est le cas à partir du moment où l'énigme invoque des données infinies.
Par contre du point de vue théorique non, il y a bien une bijection entre E et les classes d'équivalences de suites réelles, c'est facile à prouver (c'est la définition!)
@@antoinebrgt j’ai du mal à concevoir que l’axiome du choix permette de transformer un ensemble non dénombrable en un ensemble dénombrable…
@@marcpremium7442 non, les deux ensembles sont bien indénombrables
@@antoinebrgt alors… j’en reviens à ce que je disais: si E est non dénombrable (comme je le pensais), comment après avoir ouvert N portes tombe-t-on sur une seule suite ? Il y en a une infinité….
@@marcpremium7442 Je ne comprends vraiment pas le problème, par définition pour toute suite (u_n) de nombres réels, il existe une unique suite (v_n) appartenant à E telle que u_n et v_n sont égaux pour n assez grand.
L'ensemble E est indénombrable, l'ensemble des suites aussi.
le point faible c'est la relation d'équivalence parce que comment être sûr que l'élément v qui représente une suite la représente de façon non ambigüe? c.a.d on suppose donc qu'il existerait une bijection mathématique entre R^N et E mais évidemment on ne peut la définir mathématiquement. ça suppose donc qu'il existe mathématiquement des choses indéfinissables mathématiquement, ça ressemble à une contradiction.
Non il n'y a pas de bijection entre R^N et E, il y a une bijection entre R^N/~ et E.
R^N/~ est l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation "terminer de la même façon".
@@antoinebrgt oui je me suis mal exprimé, ça n'enlève rien au commentaire. comment peut on affirmer que quelque chose existe mathématiquement sans s'assurer qu'elle est définie mathématiquement? bref comment démontre t on qu'il y a bijection entre R^N/~ et E sans même définir au moins une bijection? parce que si j'ai bien compris il peut y avoir toute sorte de classes d'équivalence comme {1, pi, 4, cos(pi/3),... etc..} et non uniquement des {1 1 1 1 ....} ou {4 4 4 4 ... }
L'axiome du choix (wikipedia) est bien illustré, je trouve, par l'histoire de la paire de chaussette indiscernable qu'on met tous les matins, ça postule qu'il existe une fonction qui détermine sans ambigüité quelle chaussette on met à droite ou à gauche, le pb ne se pose pas avec les chaussures la fonction existe on est sûr de ne pas se tromper, pour les chaussettes j'en mettrais pas ma main au feu, :-) on dirait que seul le hasard peut répondre à ce pb de choix mais c'est non déterminé, par def.
@@GH-li3wj Oui en effet l'axiome du choix dit qu'une telle bijection existe, sans la construire explicitement. C'est la raison pour laquelle cet axiome est controversé, il garantit l'existence d'objets que l'on ne peut pas construire explicitement (si on le pouvait, on n'aurait pas besoin d'ajouter cet axiome!). Donc ici on démontre bien que cette bijection existe (et il faut bien comprendre que c'est très intuitif!), mais on ne la construit pas.
Alors oui... donc on associe des suites d'hôtel à des suites mathématiques pour trouver si un mec a une chance de se tromper moins 1...
Même si je ne doute pas que la réponse soit exacte, quand je vois ce genre de problème artificiel accompagner une réponse aussi artificielle et alambiquée, je me dis que les maths se sont perdues en chemin.
J'ai toujours eu des difficultés à trouver ce genre de mathématiques réellement "intelligentes", encore moins belles ou élégantes... Mais plutôt rébarbatives et autoritaires.
La vraie élégance des math selon moi se trouve dans des math qui savent s'adapter aux questions et à la vision du monde de gens qui n'y connaisse rien. Quelque chose qui transforme notre vision du monde et nous emmène plus loin, comme la géométrie de Gaspard Monge ou ses premiers théorèmes sur l'optimisation des déplacements. Là j'ai seulement l'impression que c'est l'inverse: les mathématicien font les réponses et les questions qui les arrangent, comme l'écho d'anciennes habitudes obsolètes.
En d'autres termes: de la branlette intellectuelle.
Oui c'est de la branlette intellectuelle, est-ce un mal pour autant ?
Quant à la beauté, c'est subjectif, chacun ses goûts !
Je ne comprends vraiment pas les écritures de maths qui généralisent un problème. Ici, on dirait une sorte de crypto de suite. Je ne vois aucun rapport arithmétique entre U et V. Division euclidienne de quoi? Toute la démonstration n est jamais illustrée par un ex de nombre. Et meme oe voyageur voit tout les nombres qui l interesse en suivant le plan, il ne verra jamais le contenu derrière. Le fait de connaître 999 999 nombres sur 1000020, les 21 manquants sont choisis dans R. Il y a encore pas mal de possibilités. Sans parler du côté pratique, il faut des mémoires d ordinateur xD
Il faut bien garder à l'esprit que cette énigme ne peut pas être réalisée dans le monde réel, ne serait-ce parce qu'il y a une infinité de boîtes :)
@@antoinebrgt ok, jeu maths de raisonnements
Ah oui la solution fait 30 min quand-même
Haha oui j’ai essayé de bien expliquer en détail et de donner des exemples, mais j’aurais pu faire bien plus court !
Cette énigme n'a aucun sens!