congruence & puissance • Montrer 31^n+6n-1 divisible par 9 • Difficile maths expertes arithmétique
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- เผยแพร่เมื่อ 1 ส.ค. 2024
- www.jaicompris.com/lycee/math/...
Congruence - Démontrer que pour tout entier naturel n, 31^n+6n-1 est divisible par 9
- comprendre pourquoi on n'a pas le droit de faire une table de congruence
- connaitre la technique chercher 31^?≡1 [9] puis faire la division euclidienne par ?
exercice difficile - maths terminale expertes arithmétique
Franchement merci professeur par contre je reconnais l'exercice était difficile mais je dois encore regarder ça pour comprendre. Merci
Yes j'ai bien réussi à faire l'exercice avant de voir la correction ! Super cool il faut une vraie intuition pour le résoudre
oui c'est un exo difficile
Merci professeur ❤
Merci beaucoup monsieur
Professeur,je vous fais mes compliments. Haiti
merciiiiii et amitiés à tous les élèves d'Haiti, très bonnes fêtes
C vrai exercice était difficile. Merci
merciiii et c'est important de faire aussi des exos dur
bien joué 🙂
Super bien expliqué, jai adoré cet exercice.
Pouvez-vous en proposer un autre du même acabit ?
merci le mieux est d'aller sur mon site, vous en trouverez plein d'autres: www.jaicompris.com/lycee/math/option-maths-expertes.php
très bonne année 2024
@@jaicomprisMaths j'y suis allé mais je n'y ai pas vu d'autres exercices identiques, avec un n en exposant et non en exposant
l'exo juste en dessous le 15 sur cette page www.jaicompris.com/lycee/math/arithmetique/congruence-Z.php est dans le meme esprit, je n'en ai pas d'autres désolé@@julieng.4375
Merci
Pourquoi n'avez-vous pas traité l'exercice comme dans la vidéo de l'exercice : 3*4^n + 2 divisible par 11 ? ,
Bonjour,
Merci pour les explications
Peut-on faire un raisonnement par re'currence?
oui ça marche aussi
- on initialise au rang 0 : 1+6*0-1 = 0 = 9*0
- si c'est vrai au rang n >=0, il existe un k >=0 tel que :
31^n +6n -1 = 9k
Equivalent, en multipliant par 31, à :
31^(n+1) + 186n -31 = 9k
31^(n+1) + (6n + 180n) + (6 -36-1) = 9k
31^(n+1) + 6(n+1) -1 = 9k - 180n +36 = 9*(k - 20n + 4)
d'où l'hérédité sur N
@@noa4953 mais comment deviens 6(n+1)=186 n...? S'il te plait
@@noa4953 pourquoi vous ne faites pas, Comme 31^(n+1)+(6n+1)-1
31^n. 31+6n+6 - 1=9k
Puis je fais la degradation de 31 en 29 et 9 pour prendre un 9 ici mais apres ça je ne pas connait comment continuer, pliz dct, dires și je dis faux ou non et comment completez
Bonjour, je veux lever une ambiguïté 31 congru à 4 [9] IMPLIQUE 31^n congru à 4^n [9]. Est ce qu'il y a équivalence entre les 2 ? Si oui, comment démontrer la réciproque ?
Non, la réciproque est fausse, il n'y a que l'implication qui est vraie comme toutes les propriétés de compatibilité de la congruence. Il suffit de trouver un contre-exemple pour montrer que la réciproque est fausse: 2² ≡ 4 ≡ 1 [3] et 4² ≡ 16 ≡ 1 [3] donc 2² ≡ 4² [3] mais 2 ≡ 2 [3] n'est pas congru à 4 ≡ 1 [3].
Oui, 31=4[9] 31^n=4^n[9] car 31, donc 4, est PREMIER avec le modulo, ici 9.
En effet, 9=2×4+1 donc (-2)×4=1[9] (**), ce qui signifie que l'INVERSE MODULO 9 de 4, donc de 31, est -2.
Ainsi 31^n= 4^n[9] ===> (-2)^(n-1)×31^n=(-2)^(n-1)×4^n[9] ce qui revient à 31=4[9] car (-2×31)^(n-1)=1 d'après (**).
Autrement dit, dans le sens:
• direct on multiplie par 31^(n-1)
• inverse (réciproque), on multiplie par l'inverse de 31^(n-1) cad (-2)^(n-1).
Il me semble qu'on peut aussi montrer que 4^n≡ (-6)n + 1 [9]
Et on procédé par disjonction des cas.
J'ai réussi à montrer en utilisant une méthode similaire, que si nous supposions ce que l'on cherche à démontrer est vrai, alors 9*(SOMME de 0 à n-1 des 4^k) congrue à 0 modulo 9
Or cette proposition est toujours vrai ! Ma question est donc la suivante, est-ce que cela suffit-il à démontrer notre proposition de départ ? En gros, si A => B et que B est toujours vrai, est-ce que cela implique que A est aussi toujours vrai ?
Tu peux faire une réccurence simple sinon
J'aime la methode, mais pouvons nous procéder par récurrence ?
oui c'est un peu subtile mais c un bon exo:
on suppose donc 9 divise 31^n+6n-1 et là faut penser que ça veut dire 31^n+6n-1=9k (k entier)
donc 31^n=9k-6n+1
et ensuite dans 31^(n+1)+6(n+1)-1=31*31^n+6n+5 et on pense à remplacer 31^n par 9k-6n+1 .....
Un chapitre très compliqué, les exos intéressants demandent toujours beaucoup d'intuition, c'est frustrant...
oui l'arithmétique, c'est un chapitre difficile
@@jaicomprisMaths Mais c'est ça qui est bien !!