Lineare Gleichungssysteme (LGS) lösen - Gauß Verfahren
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- เผยแพร่เมื่อ 20 ก.ค. 2024
- Um lineare Gleichungssysteme (LGS) zu lösen, gibt es viele Möglichkeiten. Ein Verfahren, das immer funktioniert, einfach zu erlernen ist und eine gute Laufzeit hat, ist das Gauß Verfahren. Damit bringst du ein LGS in Zeilen-Stufen-Form aus der sich die Lösungsmenge ziemlich einfach bestimmen lässt. Wie das Gauß Verfahren funktioniert, erfährst du in diesem Video!
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Inhalt:
0:00 Was ist das Gauß Verfahren?
0:33 Beispiel mit quadratischem LGS
2:23 Gauß Verfahren
4:32 Gauß Verfahren "Freestyle" Variante
6:03 Vollständiger Rechenweg am Beispiel
13:03 Lösung des LGS
16:27 Alternative Vorgehensweisen
17:52 #WERBUNG
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
Ich wünsche dir ein langes Leben. Friede sei mit dir.
Er ist ein MatheGOTT, die leben doch ewig? ;D
Amen
Grad nach einem Jahr noch mal den Kommentar gelesen. Macht mich einfach glücklich, danke 😘
@@MathePeter Gerne doch. :* Die Prüfung habe ich damals übrigens bestanden. :p
@@bigbaldin Naja, dass sie ewig leben, ist das womit sie nicht rechnen. :D
Der Bob Ross der Mathematik. Danke!
Du schaffst es den Stoff in 20min besser zu vermitteln als mein Prof in 90 min ...
Chapeau !
Wie gut ist das denn bitteschön erklärt? 10/10
Hey MathePeter, ich muss wirklich mal ein riesengroßes Dankeschön aussprechen. Ich studiere Elektrotechnik im zweiten Semester und besonders in Höhere Mathematik finde ich das Skript von unserer Professorin überhaupt nicht selbsterklärend. Aber durch deine Videos, von denen ich mir jetzt schon unzählige angesehen habe, habe ich es immer verstanden. Du erklärst es einfach so unglaublich gut und vor allem greifbar, meiner Meinung nach sogar verständlicher als Daniel Jung. Schöne Woche noch! :)
Same!!!
Etwa die gute rwth Aachen? :D
@@AlpakaAntifa nö BTU Cottbus😝
@Xa4 Und?? Bist du bald fertig :D?
@@rehanafzal8145 ja noch ein Semester und der Bachelor ist durch🤭
Ja, das habe ich mich auch vorhin gefragt, weil ich Peter nur heute gefunden habe, obwohl ich viel im TH-cam für die Fächer Mathematik sowie Physik unterwegs bin! Der Typ kann unglaublich gut erklären!
Ich bin wirklich fasziniert von deiner Leistung. Ich habe in 3 verschiedenen Ländern gelebt in 3 verschiedenen Kontinenten und dort dementsprechend die Schule besucht und muss sagen, dass kein Lehrer sein Wissen so gut und professionell vermitteln kann wie du es tust! Nun studiere ich an einer Uni und muss auch sagen, dass deine Erklärung um Welten besser ist als die vom Prof!
Danke dir!
Vielen lieben Dank, das ist echt ein starkes Kompliment!! :)
Super erklärt! Durch deine positive Aura und der perfekten Video Verhältnisse merkt man gar nich wie schnell die 18 min. vorbeigehen.
Ich wünschte jeder würde seine Arbeit, so wie du, temperamentvoll ausüben. Ich finde es super toll von dir, dass du noch die Hintergrundinformationen erklärst und das nicht als selbstverständlich siehst, solche Kleinigkeiten zu wissen.
Mach weiter so💪🏻
Du bist eine absolute Legende, Peter! Danke für die super Erklärung!
Bin grad über fasziniert mit was für einer Begeisterung du diese Aufgaben löst . Weiter so 🙏🏼
Die Lösung von LGSen verkacke ich iwie immer. Dank dir habe ich nun eine schnelle, effiziente Methode gefunden, diese zu lösen!
Das beste Video, was ich zu diesem Thema gesehen habe. Ich finde es besonders hilfreich, wie du den Zusammenhang zwischen dem Gleichungssystem und der Matrix bzw. auch der Matrix-Vektor-Form gezeigt hast. Alle Schritte nachvollziehbar und keine Sekunde gelangweilt. Ich bin begeistert
Also einfach perfekt! Deine Videos gehen zwar etwas länger aber das ist gut so weil so hat man alles super verstanden und weiß auch wo es herkommt und warum es so ist :)
VIELEN DANK :)
@MathePeter: Ich habe einen wichtigen Vorschlag für dich. Alle TH-cam-Lehrer nutzen zur vereinfachten Erklärung eines Themas auch einfache Beispiele (was verständlich ist). Dadurch kommen allerdings kompliziertere Aufgaben nahezu nie in solchen Videos vor, weshalb viele Leute weiterhin ratlos, bei den ihnen gestellten Aufgaben bleiben. Ich würde empfehlen bei solchen Übungs-Videos immer eine einfache Aufgabe zur Erklärung der Grund-Thematik und eine kompliziertere Aufgabe zur Vorgehensweise bei möglichen Abweichungen vom Grundschema vorzurechnen. Oder aber diese Abweichungen am Ende aktiv ansprechen und auch dafür Lösungen parat stellen. Dieses Problem hatten mehrere Kommilitonen und ich schon so häufig. Das man trotz diverser Online-Videos, Bücher etc. dennoch nicht klar kam, weil sie nicht ansatzweise ganzheitlich auf die verschiedenen Ausprägungen einer Aufgabenstellung eingehen. Dies ist mir ein sehr wichtiges Anliegen, dass das Tutoren viel stärker mit einbauen. Ansonsten sind deine Videos TOP!
Danke dir, genau das ist mein Plan. Darum ist gleich das nächste Video ein Unterbestimmtes Gleichungssystem, indem ich alle möglichen Fälle erkläre, die auftreten können, schau mal rein :)
Wahnsinn, beste Erklärung die ich bisher gefunden habe. Er sieht schon voraus, was mir passiert wäre und erklärt die Hintergründe. TOP!
Vielen Danke für die tollen Videos, ich studiere im zweiten Semester Wing und die Skripte sind absolute Katastrophe - dank deinen Videos verstehe ich den Stoff endlich.
Super Video, High Quality, enthusiastisch und man kommt super mit.
Vielen dank!
Endlich hab ich es verstanden! Einfach und sympathisch erklärt. Vielen Dank für das hilfreiche Video! 😊
Danke man, hat echt weitergeholfen ❤️
Durch dich ist Mathe einfach leicht und verständlich geworden. Du bist einfach eine Wucht.
Danke :D
Vielen Dank für deine Videos, und deine positive Ausstrahlung macht das lernen in der manchmal ganz schön trüben Klausurenphase etwas angenehmer.
Ich liebe dich !!! Diese Begeisterung beim erklären 💪🏽😍 Vielen lieben Dank. Machst du richtig richtig tooooll🙏🏽
SSSSSUIIIIIIIIIIIIII, deine Videos sind der neue Benchmark für top Qualität Erklärungsvideos.
Mega nett und simpel erklärt.
VG und vielen Dank
Hammer danke hab es noch nie so gut erklärt gehört und das ganze noch fröhlich sympathisch anstatt s im a trocken
Weiter so!!! 👍👍👍
Er erklärt sehr gut, die aufgaben macht er durch Formeln sehr leicht)))))))
Morgen Mathe Klausur und du hast mich gerettet vielen Dank !!😊
Super, verständliche und fachliche Erklärungen….mach weiter so :)
Sehr verständlich erklärt, angenehme Stimme, sehr gutes Beispiel. Danke:)
cool dass das Video in kleine Teile geteilt ist dass man genau sieht wann was kommt!
Danke habe mir so viele Videos angeschaut.... Dank dir verstehe ich es. Mach weiter so😊
Einfach super verständliche Erklärung mille grazie!
Sehr gute erklärung ! Velen dank ! Ich wünsche dir alles gute !
Deine Videos sind super! Danke dafür!
MathePeter du bist großartig!! Danke
Genau das habe ich vor ein/zwei Wochen von dir gesucht... Perfektes Timing :)
PS: Liebe deine Videos, werde sie mir auf jeden Fall nächstes Jahr fürs Abi ansehen
Danke dir, das freut mich! Wenn du besondere Videowünsche hast zu kommenden Themen im Abi, sag Bescheid :)
du bist der beste Peter! vielen Dank für dieses verständliche Video!!!
Sehr gute und ausführliche Erklärung!
ich danke dir, ich bin in der Vorlesung verzweifelt und im August schreiben wir die Klausur !
Danke für dieses Video. Endlich eine idiotensichere Handlungsanweisung, mit der man nichts falsch machen kann. Davor habe ich so ziemlich jeden Fehler gemacht, den du angesprochen hast und deswegen hat es manchmal ewig gedauert, zur Lösung zu kommen. Fühl dich geküsst.
Bist wohl ein Mathe-Erklär Gott!
Danke!!!! Du rettest mir so das 1. Semester 😂❤️
Sehr gutes Video. Mega sympathisch. Hat mir sehr geholfen danke!
Du bist wie eine Vaterfigur für mich
Danke man!!!
Danke! Sehr hilfreiches Video.
Tolles Video
Danke für deine Hilfe!!!
Gruß aus Stuttgart
Mal wieder awesome. Lerne gerade viel über Matrizen und kannte den Gaus-Algorithmus eigentlich schon gut, aber mir war klar, dass du in dem Video sicher wieder irgendwelche kleinen hilfreichen Tricks zeigst (wie das Freestyle-Zeugs), was ich dann doch noch nicht wusste :D
Kannst du vielleicht demnächst mal Videos machen zu abstraktem Zeugs wie Vektorräumen, Basis, Körper, Ring, ... und das ganze trockene Zeugs? Wäre von dir sicher verständlich und gut erklärt!
Das will ich alles noch machen. Nur erst mal ein paar Grundlagen, um die Reichweite vom Kanal zu vergrößern :)
Danke man. Super erklärt ❤️☝🏻
Absolut Klasse, Danke
Einfach geil erklärt 💪🏽💪🏽💪🏽
Vielen vielen Dank! Ich habe es nun endlich verstanden! Die Mathekursarbeit am Mittwoch kann kommen. ;)
Super, viel Erfolg!! Sag Bescheid, wenn noch Fragen sind :)
Sehr, sehr sehr gut! Danke
Top erklärt! Danke
Beste Erklärung von allen. 😍
Super und verständlich erklärt! Mein Abo hast du
Sehr gut erklärt!
Du bist einfach nur Klasse... LG
Vielen vielen Dank Peter
Weiter so super 👍🏼
Sehr gutes Video, danke!
Peter, du bist genial
sehr gut erklärt danke!!!
Danke für dieses aufschlussreiche Video!
Sehr gerne!
Super erklärt👍
DANKESCHÖN! 🙏❤️
Sehr gerne!
Sehr starkes video alle Daumen nach oben.
Top mal wieder!
Vielen Dank! :-)
Sehr gutes Video!
Tolles Video, gleich abonniert 👍🏻😄
Tolles Video
weiter so ....
Digga du bist der beste
Sehr gut erklärt!👍
Vielen Dank!
Bitte weiter so! :)
Ich wurde noch nie so gesafed
sehr gutes video, das hat mir wirklich guten einblick verschafft. eine frage noch: du schreibst die zeilen ab in denen keine rechenoperation stattgefunden hat. ist das immer so?
Ja absolut immer! :)
der einzige bei dem ich mathe verstehe
Toll erklärt wirklich
daaaanke!
So ein Boss
Nur das Beste Dir!!!
Danke dir 🥰
Ehrenmann!
Geil erklärt 👍
Ich habe viele Mathe TH-cam Videos geschaut, aber dein Video zum Gaus-Verfahren ist das beste Video, das man schauen kann. Ich hätte eine Frage und zwar man schreibt die Lösungsmenge anderes um wie bei Menge usw. Kannst du vielleicht mal ein Video dazu machen? Ich brauche die Lösungsmenge zur Bestimmung der Lineareabhängigkeit und- Unabhängigkeit von Vektoren.Ich würde mich sehr freuen!
Vielen Dank lieber Peter!
Überragendes Video! schon abonniert!
Vielen lieben Dank!! 😊
Grundsätzlich kannst du die Lösungsmenge genauso auf wie bei anderen Mengen. Hast du dazu eine Frage?
@@MathePeter Ja, grundsätzlich schon! Meine Frage wäre es, wann ist es beispielsweise unendlich Lösungen bzw. genau eine Lösung usw, da ich die Lineareabhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren mit Hilfe des Gaus-Verfahrens bestimmen muss, weißt du?
Schau mal hier: th-cam.com/video/9nfSJkV3qF4/w-d-xo.html
Da gehts um die Lösbarkeit von Linearen Gleichungssystemen. Also wann du genau eine Lösung hast, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Um es spannend zu machen in Abhängigkeit von Parametern.
@@MathePeter Vielen Dank lieber Peter nochmals!
Legendeee!
Dankee!!
dir auch danke schön!
Mathe ist so geil
Ja wenn man es dank solcher videos endlich verstanden hat jedoch kommt in der schule dann soforr das neue thema und man ist wieder beim anfang
super mann
Danke für das Video! Was ist denn, wenn es keine oder unendlich viele Lösungen gibt? Was kommt dann raus, bzw. geht man mit dem selben Schema vor, wie du es gezeigt hast? LG und frohe Weihnachten :)
Wenn es keine Lösung gibt, dann wars das. Wenn es unendlich viele Lösungen gibt, musst du für jede Nullzeile einen Parameter einführen. Wie das geht, erkläre ich in diesem Video hier: th-cam.com/video/K7L4yKB1JaE/w-d-xo.html
@@MathePeter danke für deine Antwort:)
Sogar noch besser erklärt als Daniel Jung xD
Hey Peter, muss beim Zeilentausch nicht das Vorzeichen geändert werden? Oder ist dies nur beim Berechnen der Determinante zu beachten?
Nur bei der Berechnung der Determinante, die Lösungsmenge in einem LGS bleibt gleich.
Jetzt versteh ich auch endlich was mein Prof mir sagen will 🤔 schonmal überlegt ein Lehrbuch zu verfassen?
Ich denke dein erklärtaltent dürfte für Studenten sehr gefragt sein, was Informatiker und Wirtschafts Mathe angeht
Vielen Dank!! Hab ich tatsächlich. Wenn ich mal eins veröffentlichen sollte, wird es aber noch eine ganze Weile dauern. Denn dann soll es der absolute Hammer sein! :)
Hallo Herr Dr.Prof. MathePeter ....kann man auch den Rang bei einer 4x4 Matrix bestimmen ?!
Na klar, du kannst du Rang einer beliebigen (mxn)-Matrix berechnen.
Ist nur Multiplikation und Division möglich oder kann man auch in einer Zeile etwas addieren oder subtrahieren? Lg🌿
Nur Multiplikation und Division. Schreib dir eine Zeile mal wieder als Gleichung auf. Wenn du da einfach was addieren oder subtrahieren würdest und es dann versuchst wieder in das Tableau zu schreiben, dann funktioniert das ja nicht.
Hallo erstmal vielen Dank für das tolle Video😍, was mir nur nicht ganz klar geworden ist.. was mache ich denn wenn ich am Anfang in der dritten Zeile bei x2 eine Null habe? Denn dann kann ich ja dort nichts mehr subtrahieren oder dividieren um bei x2 eine Null zu erzeugen 🤨
Wenn du ganz am Anfang in der dritten Zeile zweite Spalte eine Null hast, dann ist das eh erst mal egal. Denn beim Erzeugen der Nullen in der ersten Spalte, wird sich die Null mit hoher Wahrscheinlichkeit noch mal ändern.
Top
auch wenn das Video etwas länger ist als die anderen Videos zum LGS ist es umso verständlicher! Weiter so!
Kann man die Zeilen beliebig tauschen, oder gibt es da bestimmte Regeln/Voraussetzungen?
Zeilen können jederzeit getauscht werden ohne Probleme.
danke man, Sie haben mir den arsch gerettet
Hey Peter! Wie sieht es aus wenn man im Gleichungssystem mit bsp. 3 Variablen in jeder Spalte=0 hat? Denn, schafft man dann die 0 zu erzeugen, und man berechnet schließlich die Variablen, so kommt immer 0 raus. Hast du eine Ahnung wie man so etwas alternativ angehen könnte? Beste mathematische Grüße🌿
Du meinst wenn man eine komplette (3x3)-Nullmatrix bekommt? In dem Fall setzt man alle Variablen zu Parametern und hat als Lösung für das homogene LGS die drei Einheitsvektoren. s*(1,0,0)+t*(0,1,0)+u*(0,0,1).
Wie wäre das Vorgehen bei einer 4x4 Matrix? Es ergibt sich für mich nicht ganz welche Zahlen dann in das Dreieck gehören.
Alle Zahlen, die unter der Hauptdiagonale stehen.
Was würde man denn jetzt tun wenn man überall für x1 die selbe zahl hat? was wovon abziehen? Und kann man auch die x1 x2 und x3 beliebig verschieben sodass wenn z.b. jetzt bei x2 in der zweiten zeile eine 0 steht, dass man die x2 spalte nach vorne schiebt und die zeile nach ganz unten, damit man wieder links unten die 0 hat?
Meinst du den Fall, wenn man in der ersten Spalte überall eine "1" steht? Dann hast du den angenehmsten Fall: Einfach in der zweiten Zeile rechnen (II)-(I), in der dritten Zeile rechnen (III)-(I), etc. Dann bleibt nur in der ersten Zeile ein "1" stehen, darunter sind alles Nullen. Und Spalten kannst du auch beliebig tauschen, wenn du die Spaltenbezeichnung mit vertauscht.