Fun integer problems for the Math Olympiad

[@karin___05]

理解したらめちゃめちゃ面白いけど、
実際に初見でこの問題出されたら、
涙で問題が読めないと思う。

[@だまけいと]

@@真人間-n4i げんげんならできそうと思ってしまう

[@沖田研司]

涙💧が意味不明。

[@リサーレ-p5g]

@@沖田研司感動の涙でしよ？

[@user-lm8ue1vl2o]

この問題作った人が1番すごい

[@user-sk9cl4oo6e]

すげぇなあ、教え方めちゃめちゃ上手いわ

[@根本涼汰]

河野玄斗さん教えるの上手い

[@藤堂高虎-c1v]

うまそうだけどごめん🙇わかんね

[@りんご飴-r4l]

@@藤堂高虎-c1v 自分が理解しようとしてないからだろ

[@藤堂高虎-c1v]

@@りんご飴-r4l ごめんお前が返信してねぇー期間でわかったわ

[@ANN-r1t9o]

すごいな〜
この人が分からない問題と向き合った時の反応が見てみたい

[@れおぽん-h1t]

整数問題は思考過程こそが大事だと思うので、河野先生の問題への向き合い方や解く視点を知ることができて、とても勉強になります！

[@Khaiyam0903]

すごくおもしろかったです
積の形の正体に笑っちゃったり2^N+2^Nが2^N+1になってあわてたり
そんな自分でも非常に楽しかったです
改めて河野さんがこれら問題たちを一つ一つ選んでupしてくれていると思えば
うれしさも感謝もひとしおです
いつもありがとう！

[@いろはす-q3w]

むっず...こんなん解けないわ。解けた人ほんと尊敬

[@みっく-x7g]

よろしいかな、って言い方がほんとに好き

[@c.k1219]

別解
(a+b)^2の形にするのがゴールだから
(2^27+2^n)^2と予想
展開して
4^27+2^28×2^n+4^n
これを与式と係数比較してあげるとn=972
数オリなら途中式求められないから結構ガバガバだけど大丈夫だと思う

[@あいうえお-c3p7r]

天才...?

[@ぱんてぃ-z4g]

すげえ

[@raiha_mh]

この場合、そのnは本当に最大なんだろうかという疑問が残る気がするんですけど、どうなんでしょうか

[@nazo_no_message]

厳密さを少し加えると、(2^250+2^N)^2も考えるべきってとこかな？でもこれは答え出すだけなら考えるまでもないよね。これで問題ない？

[@sss-mj8ms]

2行目をどうやって出したのか教えて欲しいです

[@appearenceace4096]

これは数学っていう概念を理解してるような人じゃないと解けないだろうなぁ
だからこそ数オリに出されてるんだろうけど

[@MT-qt9dz]

4が平方数なのでとりあえず4^27で括ってみて、(2x+1)^2=4x^2+4x+1の形に近い、と気付けば簡単に答えが出せる気がします。

[@ヤマガラ-s3b]

つまづいたら問題文を再確認すると道が拓けるかも、と学んだ

[@伊藤実-n4f]

差というより、
(K-1)(K+1)=8
だったら8の約数は1，2、4、8と
4つあるけどKが最大となるには
K+2を8と置けば良い、するとK−2が1
となり結局のところ約数の差が一番大きい組に分ければいいと言う意味だ。
Kが最大になるには

[@Vtuber_kenty]

9:05 ここまで参考にさせて頂きましたが、そこからは何とか自力で解けました😅

[@かっさん-y6u]

ただ足し算しただけで草

[@クリリンクリリンリンリン]

めっちゃ頭良くて草

[@user-oe3kd9px5b]

すげええええ

[@ナカトモ-t9f]

相変わらず分かりやすい解説

[@user-jtgajo]

難しい問題を初見で解いてる過程を見たい

[@さいとうかんさい]

これは面白い。「最大の」がこんなに鍵を握るなんて。

[@西久保林太郎-n8e]

4^27+4^500+4^n=k^2·····①
k=4^a+2^bと置く
(ここをこう置く理由は割愛します)
k^2=2^2b+2^(b+1)∙4^a+4^2a·····②
①と②の対応する指数を比較
2a=n,2b=2∙27,a+(b+1)/2=500
これを解く
b=27
a+14=500
a=486
n=2∙486
よってn=972

[@あいよ-w3x]

最大を証明しなきゃ

[@1秒に1000人の凡人]

ここをこう置く理由が一番知りたいんだが…
数学弱者にあなたの脳内を覗かせてくださいな

[@ケロケロ-k5e]

塾講やってるけどこんなに教え方上手い人いないよ...
やめるか迷う

[@ベルガモ-z6z]

本当に頭がいい人は教えるのも上手い。塾の先生が言ってたえ

[@レブロンジェームズ公式]

整数徹底解説動画お願いします

[@はしけん-v4t]

問題を捌いていくぅ

[@user-cf1wz2gt7c]

高一でも簡単に理解できるってのが最高に面白い

[@アゴメガネ男子]

1:15 捌いていくッ！

[@1-4-7s]

全く同じ問題2次で出ないかな〜ww

[@qb3926]

類題は本当に出そう

[@はっしゅどぽてと-d5k]

1:14 捌いていくぅ

[@yt-rq8nc]

頭が豆腐みたいに柔らかいですね。(誉め言葉です)
私は別の意味で豆腐みたいな脳ミソですが笑

[@ふぁんくしょなるいくうぇいしょん]

4^a+4^b+4^cが平方数となる正の整数の組(a,b,c)は(m,m+n,m+2n-1)と任意のその並び替え

[@hiro-ty8we]

すごいとしか言いようがない

[@TukamaeTeiTene]

やってみたけど、思ってたより簡単で面白かった

[@だいどら]

解説聞いてるだけで楽しいw

[@ここあ-g6p]

頭おかしいだろ笑

[@watermelon3288]

@@ここあ-g6p ブックオフなのに本ないんですけど

[@ピコラ-y5i]

7:09
(k^2+2^n)(k^2-2^n)=(4^473+1)×1から
k^2+2^n=4^473+1･･･①
k^2-2^n=1･･･②
①-②より
2×2^n=4^473
2^(n+1)=2^946
n=945
差⇒距離ですね

[@jo5319]

うっわぁスッゲ！！ゾクッとする！！

[@癒やしチャンネル-c5x]

文系だけどなぜか毎回見てしまう

[@赤飯と歩く]

数学オリンピックと名のつくモノの中では非常に簡単ですね。
1988年の国際数学オリンピック第6問解説してくれないかな、個人的に好きな問題なので...(笑)

[@矢印-z9j]

Vieta jumpingゲー

[@赤飯と歩く]

ですね

[@赤飯と歩く]

Vieta jumping 知らずに完答した方々強すぎませんかね

[@joycon_breaker]

聞いたらすっと入ってくるから整数問題は好かれてるんだと思う

[@のの-e6d]

1:13
魚みたいにいうな！気まぐれクックか！

[@shun560]

頭柔らかすぎだろ

[@クラロワクラクラ-m4r]

1:14 捌いていく⤴︎

[@カッキー遠さく]

片栗粉恐怖症

[@わん-i6g]

デデン

[@かねもち-i2j]

聞いたことあるな

[@ポルポト-q6y]

余った数字はね、ご近所さんに配りたいと思います

[@toaru_math]

おもしろい問題。
難易度はJMO予選5-6番くらいかな。

[@zero56420960]

楽しい解説なので30秒を10分に感じる！

[@地医牛]

数学苦手だから、解けたの嬉しい😃

[@NatureJapan3776]

答えのみで良いなら、4²⁷+4⁵⁰⁰+4ⁿ=4²⁷(1+2*2⁹⁴⁵+2²ⁿ⁻⁵⁴) なので、2n-54=945*2の時が最大で、この時n=972 ＼(^O^)／
m²の次の平方数は(1+m)²=1+2m+m²だから、nが大きくなりすぎると、平方数にならんのよねぇ～

[@ジョン永遠]

n=972のとき平方数になることはいえても, n>=973では平方数にならないことはいえないよね
つまり最大かどうかはわからずたまたま正答だった

[@NatureJapan3776]

@@ジョン永遠
「m²の次の平方数は(1+m)²=1+2m+m²」の部分を解釈できてますか？
2²ⁿ⁻⁵⁴は平方数(2ⁿ⁻²⁷)²ですが、次の平方数は？と考えてみてください。→(1+2ⁿ⁻²⁷)²
1+2*2⁹⁴⁵の部分が固定値なので、nが大きいと次の平方数まで足りない。

[@ジョン永遠]

@@NatureJapan3776
ありがとうございます。わかりました。
n-27≧1のとき2²ⁿ⁻⁵⁴は平方数(2ⁿ⁻²⁷)²だから，もしそれより大きい1+2*2⁹⁴⁵+2²ⁿ⁻⁵⁴が平方数になるならば
1+2*⁹⁴⁵+(2ⁿ⁻²⁷)²≧(1+2ⁿ⁻²⁷)²=1+2*2ⁿ⁻²⁷+(2ⁿ⁻²⁷)²　∴n-27≦945 等号(n=972)の時は確かに平方数.　■

[@カズ-t4h2h]

数学オリンピックは、ほんとに思考力問われる問題多いから良く2次試験の対策に解いてました。

[@くくちきさき]

2次試験対策ってちなみにどこの大学出身ですか？笑

[@あいりちゃん-c1x]

対策に向いてない気がするけど

[@raymond9588]

抜群に教え方うまいな

[@大学生-z2n]

いや分かりやす！

[@asu2487]

4^27+4^500+4^n=(2^27)^2+2•2^999+(2^n)^2
2^27•2^n=2^999
27+n=999
n=972
って考えたけど違うんやね

[@gejqijdhkdnwjdkn2h9267r]

解けました❗
嬉しい

[@rm-rv2df]

わ、か、、、り、や、、す、い、、、めちゃくちゃ参考になります

[@りゅーのすけ-r6w]

3:53秒あたりの式から
4^N+4^473+1={4^(x)+1}^2[x>1]…①
となるxを考えました。
①の右辺を展開して、
(右辺)=4^(2x)+2×4^(x)+1
両辺の対応する指数を比較して
2x=N(N=n-27)…②
x+1/2=473…③
となり、③より
x=945/2
これを②に代入して
945=n-27
n=945+27=972
と解いてみましたがこれ合ってますでしょうか。

[@uKhaiyam]

00:59 04:22 整数問題の3箇条
06:44 答えから逆算
08:08 よろしいですかね
08:57 よろしいかな

[@根本涼汰]

河野玄斗はどうやって勉強とかやっていて頭がいいのですか教えて下さい

[@27歳貯金900万ニート]

好きになる

[@fyuu_0211]

明日で現役生最後の日です

[@ししゃも-b1n]

受験生最後の日にしてこいよ

[@user-hitonokokorotokanainka]

@@ししゃも-b1n かっこよ

[@ジョンろう-w5m]

数学オリンピックは、ただの数学の知識わ問われるだけでなく、思考力もやはり大事だと感じました。難しい…。

[@ジョンろう-w5m]

@@真人間-n4i 僕らみたいな凡人には解けません笑

[@ジョンろう-w5m]

@@真人間-n4i 言いたいことは分かります‪w

[@しゅん-s8z2v]

大学院修了したけどまた大学入試からやり直したくなってくる

[@okina_naayo]

すごいスッキリ…

[@junemt.1691]

ほ、ほほぉーーーーーん。。。
奥が深い。

[@ゆい-w7z7o]

何も考えずに何となく
(4^x+1)^2＝k^2(＝1+4^473+4^N)
って置いて解いて、大きい方のN取ったら答え合ってたんだけど、だめかな…？

[@江戸川ぱんくん]

4^x+1の形の自然数の平方数となるnの最大値は求められてますが、それ以外の形かもしれませんよね？

[@montalker]

1 + 4^473 + 4^N が平方数になればいいからこれを二次方程式的に考えたらN=946になるかなと思ったんだけど、これってどうなんだろう？

[@soshark]

アホな私は何も考えずにとりあえずログつけます()

[@タッツー-e9b]

感動するね

[@s009kawa]

2進数で考えた時になんとなくy=10...010...010...0の形だろうなと思ったら答えが出たけど最大であることが示せなかった
yがこの形に限ることを示せればいいのだけれど

[@ぐりーーーん信者]

分かりやすいはずだけど一つもわからんw

[@kochaaan]

nが最大の時=差が最大は思いつかんて、、、、、

[@user-haruto420]

これってなんでこうなるんでしょうか…

[@こいつの友達あいつの友達]

なるほど。
つまり9×Nは無セキツイ動物ってことねぇ

[@ホタルイカ-s1f]

こんなに凄い問題が沢山出る数学オリンピックにももう出れないんだなぁって感じた(高３)

[@振りむけば名無し]

(与式)=2^2n+2・2^(972+27)+2^54
=(2^n+2^27)^2
となるのはn=972ってしたけど
これが最大ってのはこれからじゃきついかな？

[@スクデ-l4x]

京大目指して予習したいんですが授業動画とか出せませんか？河野さんから学びたいです

[@roseluca8352]

きみ頭いいね、東大行くといいよ

[@ああ-z2s6k]

医者とか向いてそうだよね

[@gozytang]

弁護士もいけそうな顔してる

[@dutcuiasuy3163]

頭脳王でもいいとこ行くんじゃないかな

[@地面との内積0チャンネル-c3u]

きっと投球100キロ出せるよ

[@user-ho5ss7om2i]

会社創ってもうまくいきそう

[@sinoa7000]

数学オリンピックの問題って誰が作ってるの？

[@hugoabe1809]

ハーバード大生

[@矢印-z9j]

Olympianです(クソリプ)

[@gamepoy4436]

この人でも手も足も出ない天才が数学オリンピックのメダリスト達か

[@らさ-h9r]

はい

[@tbeturan9887]

n=264という答えを出したけど論証がわからないと思ったら答えも違いました😤

[@国語が苦手な国語教師]

捌いていくっ！

[@元独裁者ペニーズバーン-z3i]

頭脳王勝ちましたか

[@ロン-u2n]

言われたら分かったけど、自分でこの発想が生まれる気がしない

[@yoshikiyo9488]

1+4∧473+4∧N-27=1+4×4∧472+4∧N-27だから
(1+2×4∧472)∧2=1+4×4∧472+4×4∧944=1+4∧473+4∧945
よってN-27=945
すなわちN=972
で解いたら答えだけでた。
なんか足りないような気がする
もう一つのパターンは(1+2×4∧236)∧2で考えると
(1+2×4∧236)∧2=1+4×4∧236+4×4∧472=1+4∧237+4∧473
N−27=237でN=264
やっぱりN=972
動画の解答は思いつかない

[@しょへ-p4u]

分からんけどおもろい!

[@Coolantoolant]

平方根……??となって詰まった俺、、

[@kansai0214]

途中で4^473+1を計算し始めるのを想像して笑っちまった…

[@GS-np4dv]

はー、なるほどね笑わかったわかった。
つまりは、4が平方数ってことでしょ？

[@スカラ-e4m]

うわーくそおもろ

[@子猿-x5y]

ただひたすら頭のいい人だと思ってたけど 教えんのもこんな上手いとは…

[@HS-mf6ov]

(4^a+2*4^b)^2=4^2a+4^(2b+1)+4^(a+b+1)
となることを利用して指数で絞り込んだら解けたけど、これって一般性が欠けてそうで怖い。

[@えぬ-i3x]

4:20あたりまでは同じ考え方なのですが、その後の考え方が違ったので、どなたかに添削?評価?していただきたいです。累乗の記号の出し方が分からなかったので、それっぽい∧で代用します。(めっちゃ省略して要点だけ書きます)
奇数の平方数は整数kを使って4・k(k+1)+1と表せるので、
4・k(k+1)+1=4 ∧473+4∧n−27+1
k(k+1)=4∧472+4∧n−28
nが最大のとき、
4∧272+4∧n−28=4∧472(4∧472+1)
4∧n−28=4∧944
n=972

[@アプリに問題が発生しました]

早稲田基幹理工行ってきました
英語で死にました

[@erissa2216]

最後って4のＮ乗だから486じゃないんですか？教えてください！

[@ko518]

2のN乗と4のN乗の値はもちろん違いますがN=n-27という値自体は変わりません。

[@erissa2216]

@@ko518 理解出来ました！ありがとうございました！

[@user-dk6yj6nw9c]

頭どうなってんすか

[@Channel-h2u]

いや、頭柔らかいなー　すごいわ

[@田舎者-h2c]

水上くんとコラボして欲しい

[@一ノ瀬美空しか勝たん]

平方数って
2乗の数字のことですか？？
数学ホンマに難しくて分からない…

[@のんたん-n6p]

そうです

[@the6001]

用語や、公式の暗記は必須(難しいとか以前の話)

[@一ノ瀬美空しか勝たん]

@@のんたん-n6p ありがとうございます！！

[@一ノ瀬美空しか勝たん]

@@the6001 高校の時、先生がそんなこと言ってましたわ笑

[@勉強-g6w]

指数が偶数って表現したほうがわかりやすいかも

[@山本本山-n3l]

4^473の計算を根性でします

[@rickye840]

平方数を(a+b)^2 として4^27をa^2 4^500を2ab 4^nをb^2にして解いた方が早く解けました。解き方的に問題ないですか？

[@27歳貯金900万ニート]

それぞれがその値に対応する場合での最大に過ぎない？

[@ああ-v8u5d]

河野玄斗と志田晶ってどっちが数学に関して頭いいんだろう

[@パンダさん-m1m]

間違いなく志田先生。志田先生は数学科を卒業してるし受験のプロである予備校の先生を何年もやってるからね。言うまでもなく河野さんはすごいけどね笑　ただ受験生時代の志田先生と比べれば、河野さんの方が数学ができるかもしれない

[@tvmasuo5367]

間違いなく河野。河野玄人は東大。志田は名古屋大。言うまでもない

[@27歳貯金900万ニート]

@@tvmasuo5367 はい数学エアプ

[@tvmasuo5367]

@@27歳貯金900万ニート でも多分、坂田アキラのほうが数学できると思う

[@あととスト]

こういう類の難しい良問って解き方合ってるか不安にならない？

[@do-butsu_tachi]

これって(2^x+2^y)^2を展開して指数で絞り込んでいったらあかんのかな

[@wtpotom]

僕それでやりました
ただ出た解がn=264,972が出るんですがその解が最大である証明ができなくて挫折しました

[@伊藤実-n4f]

差が一番大きくなるってどういうこと意味わからん。

[@等床場]

なんで差が最大だと積が最大になんの？

[@じげんりゅう]

逆算ていうヒントあったからとけた

[@かねもち-i2j]

8:45
揚げ足取りワイ
「2のラージn乗プラス1ではなく
2のラージnプラス1乗では」

[@wesleydeng71]

最小ｎ＝264 = (500+27+1)/2, 最大=972=500-27+1

[@ESU01USER]

多分答えは０か１、あっても２ぐらいでそれ以上じゃないことを証明していくんやろなぁ……
と思ったら全然違ったorz