Professor, coloquei meio simplório esse exercício final. Sejam m, n, k naturais; Hipótese: x par e y ímpar. Tese: x + y = 2k + 1 x + y = 2n + 2m + 1 = 2(n + m) + 1, logo k = n + m. x + y = 2k + 1. Verdadeiro. Uma dúvida, é necessário especificar quando for fazer prova indireta? Algumas pessoas preferem sinalizar quando é o caso da prova por indução.
Ótimo aula professor parabéns! Vc poderia gravar um vídeo falando sobre dedução de fórmulas e a sua diferença em relação a demonstração matemática? Agradeço! 👍
Aquino, acho que sem dificuldades resolver o exercício final por PROVA DIRETA, porém tentei em seguida resolver tal problema por PROVA INDIRETA, mas não tive êxito... Logo, não é possível resolver tal problema por PROVA INDIRETA ?
O fato de não conseguirmos resolver por prova indireta, não significa necessariamente que seja impossível resolver assim. Pode significar apenas que a gente (ainda) não encontrou um caminho! Note que podemos colocar o exercício final na forma condicional como: Se x é par e y é ímpar, então x + y é ímpar. A contrapositiva dessa condicional será: Se x + y é par, então x é ímpar ou y é par. Nesse formato, temos que: (i) hipótese: x + y é par; (ii) tese: x é ímpar ou y é par. Partindo da hipótese, temos que: x + y = 2n, para algum natural n. Vamos agora dividir a prova em dois casos possíveis. Caso 1) y é par. Se isso acontece, então a tese já é verdadeira e nem precisamos analisar o valor de x. Isso porque na tese temos uma disjunção. Isto é, temos um "ou" na sua formação. Sendo assim, para que a tese fique verdadeira, basta que qualquer uma das proposições simples que a compõe seja verdadeira. Caso 2) y é ímpar. Temos y = 2m + 1, onde m é natural. Usando a hipótese, ficamos com: x + y = 2n x + (2m + 1) = 2n x = 2n - 2m - 1 x = 2n - 2m - 2 + 1 x = 2(n - m - 1) + 1 Se estamos trabalhando no conjunto dos números naturais, precisamos justificar agora que n - m - 1 será natural. Lembrando que x + y >= y (pois x e y são naturais), temos que: 2n >= 2m + 1 Mas como m é natural, temos que: 2m + 1 > 2m Sendo assim, temos: 2n >= 2m + 1 > 2m 2n > 2m n > m Como n e m são naturais e n é maior do que m, então n - m >= 1 (isto é, a diferença entre eles é no mínimo 1) n - m - 1 >= 0 Com isso justificamos que o número n - m - 1 será um número natural. Feito isso, podemos dizer que: x = 2r + 1, onde r é o natural dado por r = n - m - 1. Sendo assim, x é ímpar e a tese fica verdadeira também para o Caso 2). Juntando então os Casos 1) e 2), podemos concluir a tese.
Professor, acho que seria legal se você usasse cores diferentes na hora de resolver o exercício, facilita o entendimento além de prender mais a atenção!
Show mestre Aquino gosto mto dessa parte da maths q é o rigor das demonstrações 👏👏👏👏👏✌
Excelente professor, suas aulas estão me ajudando muito, obrigado!
Fico feliz em saber!
Aula excelente! Muito bem explicado!
Obrigado! 😃
Nunca foi tao legal fazer demonstrações , vlw professor. ;)
Professor, coloquei meio simplório esse exercício final.
Sejam m, n, k naturais;
Hipótese: x par e y ímpar.
Tese: x + y = 2k + 1
x + y = 2n + 2m + 1 = 2(n + m) + 1, logo k = n + m.
x + y = 2k + 1. Verdadeiro.
Uma dúvida, é necessário especificar quando for fazer prova indireta? Algumas pessoas preferem sinalizar quando é o caso da prova por indução.
Ótimo aula professor parabéns! Vc poderia gravar um vídeo falando sobre dedução de fórmulas e a sua diferença em relação a demonstração matemática? Agradeço! 👍
Voadora no LIKE.....
Muito Rica a materia...
professor, no lugar de usar o conjunto dos números naturais na definição, segue a mesma resposta usando o conj. dos números inteiros?
Você fala na definição de par e ímpar? Caso seja isso, então sim.
@@LCMAquino Isso mesmo. Obrigada.
legal demais
Aquino, acho que sem dificuldades resolver o exercício final por PROVA DIRETA, porém tentei em seguida resolver tal problema por PROVA INDIRETA, mas não tive êxito... Logo, não é possível resolver tal problema por PROVA INDIRETA ?
O fato de não conseguirmos resolver por prova indireta, não significa necessariamente que seja impossível resolver assim. Pode significar apenas que a gente (ainda) não encontrou um caminho!
Note que podemos colocar o exercício final na forma condicional como:
Se x é par e y é ímpar, então x + y é ímpar.
A contrapositiva dessa condicional será:
Se x + y é par, então x é ímpar ou y é par.
Nesse formato, temos que:
(i) hipótese: x + y é par;
(ii) tese: x é ímpar ou y é par.
Partindo da hipótese, temos que:
x + y = 2n, para algum natural n.
Vamos agora dividir a prova em dois casos possíveis.
Caso 1) y é par.
Se isso acontece, então a tese já é verdadeira e nem precisamos analisar o valor de x. Isso porque na tese temos uma disjunção. Isto é, temos um "ou" na sua formação. Sendo assim, para que a tese fique verdadeira, basta que qualquer uma das proposições simples que a compõe seja verdadeira.
Caso 2) y é ímpar.
Temos y = 2m + 1, onde m é natural. Usando a hipótese, ficamos com:
x + y = 2n
x + (2m + 1) = 2n
x = 2n - 2m - 1
x = 2n - 2m - 2 + 1
x = 2(n - m - 1) + 1
Se estamos trabalhando no conjunto dos números naturais, precisamos justificar agora que n - m - 1 será natural. Lembrando que x + y >= y (pois x e y são naturais), temos que:
2n >= 2m + 1
Mas como m é natural, temos que:
2m + 1 > 2m
Sendo assim, temos:
2n >= 2m + 1 > 2m
2n > 2m
n > m
Como n e m são naturais e n é maior do que m, então
n - m >= 1 (isto é, a diferença entre eles é no mínimo 1)
n - m - 1 >= 0
Com isso justificamos que o número n - m - 1 será um número natural. Feito isso, podemos dizer que:
x = 2r + 1, onde r é o natural dado por r = n - m - 1.
Sendo assim, x é ímpar e a tese fica verdadeira também para o Caso 2).
Juntando então os Casos 1) e 2), podemos concluir a tese.
Professor , gostaria de sugestões sobre algum software que eu possa usar para deduzir fórmulas matemáticas.
Olá José, eu desconheço um software assim.
A prova é que tira a teima
Não entendi. Pq? "x - y = 2(x - y)" isso não é uma contradição?
Veja que na videoaula nós obtemos x - y = 2(k - y). Ou seja, do lado esquerdo aparece a letra "x" e no direito a letra "k".
08/09/2022
Eu achando que é aula de processo penal kkkkk
😂
Professor, acho que seria legal se você usasse cores diferentes na hora de resolver o exercício, facilita o entendimento além de prender mais a atenção!
Obg, entendi nada
ai a culpa n é dele, comentário desnecessário, eu entendi muito bem
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK