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Welchen RADIUS hat der KLEINE Kreis?🤔📝 Mathe Aufgabe Geometrie
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- เผยแพร่เมื่อ 18 มิ.ย. 2024
- In diesem Video gibt es ein altes japanisches Geometrie Rätsel: Zwischen zwei größeren Kreise "angelehnt" befindet sich ein kleiner Kreis. Alle drei Kreise berühren einander und zudem berühren sie alle eine waagrechte Tangente, die unterhalb der 3 Kreise verläuft. Von den größeren beiden Kreisen kennen wir die Radien, diese sind nämlich 9 und 4. Die Aufgabe ist es herauszufinden wie groß der Radius des kleinsten Kreises ist.
Kommst du auf die Lösung? 😉
Welchen RADIUS hat der KLEINE Kreis?🤔📝 Mathe Aufgabe Geometrie
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Herzlichen Dank für diese sehr interessante Frage 🤓🙏
Wenn man die Kreise zeichnet, erkennt man leicht, dass der Unterschied zwischen den Radien des großen und des kleinen Kreises 5 Längeneinheiten beträgt. Verbindet man die beiden Kreise, ergibt diese Länge exakt r₁+r₂= 13 Längeneinheiten. Durch Anwendung des Satzes von Pythagoras erhält man x=12 Längeneinheiten. Stellt man die Pythagoras-Gleichung für beide Dreiecke auf, kann man die Variablen x und r bestimmen und somit den Radius des kleinen Kreises herausfinden.
Lösungsweg:
r₁= 9 [LE]
AD''= 9
r₂= 4
CD'= 4 [LE]
r₃= BD
r₁+r₂= 13
AC= 13 [LE]
BD=B'D'= B''D''= r
CB= CD' - B'D'
CB= 4- r
⇒
AB''= 9-r
CB'= 4-r
EB''= 4-r
⇒
AE= AB''-EB''
AE= 9-r-(4-r)
AE= 9-r-4+r
AE= 5
Nach dem Satz von Pythagoras gilt:
AE²+EC²= AC²
5²+EC²= 13²
EC= 13²-5²
EC= √144
EC= 12
EC= D''D'
⇒
12= D''D+DD'
für das Dreieck ΔAB''B gilt:
AB''= 9-r
BA= 9+r
B''B= x
⇒
Nach dem Satz von Pythagoras gilt:
AB''²+B''B²= BA²
(9-r)²+x²= (9+r)²
81-18r+r²+x²= 81+18r+r²
x²= 36r
x= √6²r
x= 6√r
für das Dreieck ΔBB'C gilt:
BB'= 12-x
B'C= 4-r
CB= 4+r
⇒
Nach dem Satz von Pythagoras gilt:
BB'²+B'C²= CB²
(12-x)²+(4-r)²= (4+r)²
144-24x+x²+16-8r+r²= 16+8r+r²
144-24x+x²= 16r
x²= 36r
x= 6√r
⇒
144-24*(6√r)+36r= 16r
144-144√r+20r=0
beide Seiten durch die 4 dividieren:
36- 36√r+5r=0
(36+5r)²= (36√r)²
1296+360r+25r²= 1296 r
1296-936r+25r²=0
umformen:
25r²-936r+1296=0
Δ= 936²-4*25*1296
Δ= 746.496
√Δ= 864
r₁= (936+864)/2*25
r₁= 1800/50
r₁= 36 > 12 ❗
r₂= (936-864)/2*25
r₂= 72/50
r₂= 36/25
⇒
r= 36/25
Der Radius von dem kleinen Kreis ist r₃= 36/25 [LE]
Alles sehr gut nachvollziehbar, allerdings ist es natürlich viel schwerer, selber die Lösung zu finden.
Ich mag deine Videos. Du hast immer schöne Geometrie-Aufgaben. Mir gefällt auch, dass du nicht je-des-mal wieder von vorne erklärst, dass man z.B. bei ax+ay das a ausklammern kann oder wie man Brüche dividiert.
Danke für deine netten Worte 🙏
Ist das nicht der Spezialfall der Kreise des Apollonius, wo einer der Kreise quasi den Radius unendlich hat?-
Jedenfalls schöne Aufgabe, gutes Video!
Grüße!
Wieso kürzt du 144/100 auf 36/25? 1,44 wäre doch einfacher
Habe ich auch gedacht 😂
Nur beim späteren weiterrechnen, sollte es nötig sein, wird es mit 1,44 wieder schwieriger, als mit nem Bruch. Das wäre meine Überlegung, wieso. Aber ich bin auch keine Matheexperte 🫣
Mein alternativer Lösungsweg:
~~~~~
Ich habe eben solche Strecken wie hier definiert.
Bleiben wir bei x, y und z,
sowie r für den gesuchten Radius des ganz kleinen Kreises.
---
Die Strecke "x"ist klar, wie hier beschrieben, mit "Pythagoras" berechenbar:
x = 12.
---
Wichtig ist, dass gilt:
x = y + z ‼️
---
Die Strecke "y" bildet
mit "9 + r" und "9 - r" ein rechtwinkliges Dreieck.
Analog bildet die Strecke "z"
mit "4 + r" und "4 - r" ebenfalls ein rechtwinkliges Dreieck.
---
Mit "Pythagoras" ergibt sich dann:
y² = (9 + r)² - (9 - r)²
y² = 36r²
y = 6 * Wurzel(r)
(Detaillierte Ausrechnung hänge ich an den Post an.)
Analog dazu:
z² = (9 + r)² - (9 - r)²
z² = 16r²
z = 4 * Wurzel(r)
(Detaillierte Ausrechnung hänge ich an den Post an.)
---
x = 12 = y + z
= 6 * Wurzel(r) + 4 * Wurzel(r)
10 * Wurzel(r) = 12
Wurzel(r) = 12/10 = 1,2
Jetzt linke und rechte Seite quadrieren:
r = 1,44 ‼️‼️🤓😸
=======
PS: Ist natürlich das gleiche
wie 36/25.
Detaillierte Ausrechnung von
y und z:
y² = (9 + r)² - (9 - r)²
Erste und zweite binomische Formel:
y² = 9² + 2*9*r + r² - (9² - 2*9+r + r²)
9² und r² heben sich auf.
Es bleibt...
y² = 2*9*r + 2*9*r = 36*r
y = 6 * Wurzel(r)
---
z² = (4 + r)² - (4 - r)²
Erste und zweite binomische Formel:
z² = 4² + 2*4*r + r² - (4² - 2*4+r + r²)
4² und r² heben sich auf.
Es bleibt...
z² = 2*4*r + 2*4*r = 16*r
z = 4 * Wurzel(r)
---
y + z = x = 12 = (6 + 4) * Wurzel(r)
Wurzel(r) = 12/10= 1,2
r = (1,2)² = 1,44 ‼️‼️
PS: Ist natürlich das gleiche wie
36/25.
Tja, so schnell passieren Denkfehler. Der Mittelpunkt des großen Kreises und der Mittelpunkt des mittleren Kreises werden verbunden. Und wer garantiert, dass die Strecke durch den Berührungspunkt der Kreise verläuft? Wenn nicht, dann ist die Strecke nicht 4 plus 9, sondern eventuell etwas länger. Autsch.
nein. es verläuft immer durch den berührungspunkt. erst denken, dann urteilen