Чтобы найти предел lim(n → ∞) ((n+1) ∫[0,1] x^n * f(x) dx), разберёмся с интегралом. Так как f(x) непрерывна на [0, 1], она ограничена, обозначим M = max |f(x)|. Шаг 1: Приближение интеграла. Рассмотрим ∫[0,1] x^n * f(x) dx. При больших n функция x^n почти равна нулю на [0, 1) и вносит вклад только при x ≈ 1. При n → ∞ интеграл концентрируется около x = 1. Шаг 2: Предел интеграла. Запишем f(x) через её непрерывность при x = 1: ∫[0,1] x^n * f(x) dx ≈ f(1) ∫[0,1] x^n dx. Теперь найдём ∫[0,1] x^n dx: ∫[0,1] x^n dx = [x^(n+1)/(n+1)] (от 0 до 1) = 1/(n+1). Тогда ∫[0,1] x^n * f(x) dx ≈ f(1)/(n+1). Шаг 3: Умножим на (n+1) и возьмём предел: (n+1) ∫[0,1] x^n * f(x) dx ≈ (n+1) * (f(1)/(n+1)) = f(1). Таким образом, lim(n → ∞) ((n+1) ∫[0,1] x^n * f(x) dx) = f(1).
Это решение кажется мне сложным и неинтуитивным. Проще рассуждать так: эта величина линейна по f (другими словами, это линейный функционал), и на мономах она равна 1, значит на многочленах она равна f(1). Т.к. многочлены всюду плотны в С[0,1], достаточно доказать непрерывность этого функционала. Это легко, т.к. значение этого функционала легко оценить сверху нормой f.
@@ianovich_eduard Этим я и занимаюсь) Например, внеучебное время я провожу за исследованиями в области математики, так что суммы и произведения для меня знакомы, правда учителя не дают мне развиваться в этой области, говорят, учись, а не фигнёй занимайся. Но КАК ЖЕ это интресно! Я уже столько всего нашёл😊. Правда, не знаю, открыли ли это до меня
@ianovich_eduard получается C это все таки имеется ввиду пространство,понятно тогда извиняюсь просто в видео об этом не говорили и подумал что тут в другом смысле
Здравствуйте! lambda - это произвольная точка интервала [0,1] Мы разбили интеграл на сумму двух с произвольным lambda. Это можно сделать благодаря свойству определённого интеграла. От этого интеграл не меняется. А потом уже сделали lambda зависящим от n.
Спасибо, любопытная задача, хорошее решение. Кажется, проще взять lambda = 2^{1/\sqrt{n}}, а то к e приходить, это целая дополнительная (но и хорошо известная) история. Не обязательно брать скользящее \lambda. Зафиксировав любое 0 < lambda < 1, Вы уже доказали, что предел (верхний и нижний) между inf_{cє[lambda, 1]} f(c) и sup_{cє[lambda, 1]} f(c). А поскольку это для любого lambda < 1 и f -- непрерывна, то это f(1). Однако, как по мне, то лучше аппроксимировать f функцией из класса C^1 и проинтегрировать частями: f(1) - \int_0^1 x^{n+1}f'(x) dx -> f(1)
@@serhiislobodianiuk776, ну это читать здесь невозможно!) Если хотите, чтобы я ответил, пришлите мне в телеграм нормальный текст с формулами не в коде.
Ещё раз убедился в том, что восприятие, понимание и усвояемость математики во многом зависит от умения препода подать и объяснить материал. Данный разбор будет понятен только тем, кто и сам может решить данный пример. Со стороны видится так- сам себе рассказал- сам всё понял.
Полезная задачка и хорошо рассказал.
Эдуард Иванович, мне нравится ваш видеоурок :)
Отлично! Только я Алексеевич)
Извините😅
@@pronaxavagaming3524 , ничего бывает)
Чтобы найти предел lim(n → ∞) ((n+1) ∫[0,1] x^n * f(x) dx), разберёмся с интегралом. Так как f(x) непрерывна на [0, 1], она ограничена, обозначим M = max |f(x)|.
Шаг 1: Приближение интеграла. Рассмотрим ∫[0,1] x^n * f(x) dx. При больших n функция x^n почти равна нулю на [0, 1) и вносит вклад только при x ≈ 1. При n → ∞ интеграл концентрируется около x = 1.
Шаг 2: Предел интеграла. Запишем f(x) через её непрерывность при x = 1:
∫[0,1] x^n * f(x) dx ≈ f(1) ∫[0,1] x^n dx.
Теперь найдём ∫[0,1] x^n dx:
∫[0,1] x^n dx = [x^(n+1)/(n+1)] (от 0 до 1) = 1/(n+1).
Тогда ∫[0,1] x^n * f(x) dx ≈ f(1)/(n+1).
Шаг 3: Умножим на (n+1) и возьмём предел:
(n+1) ∫[0,1] x^n * f(x) dx ≈ (n+1) * (f(1)/(n+1)) = f(1).
Таким образом, lim(n → ∞) ((n+1) ∫[0,1] x^n * f(x) dx) = f(1).
@mndtr0 , ну это "почти" доказательство)
Это решение кажется мне сложным и неинтуитивным. Проще рассуждать так: эта величина линейна по f (другими словами, это линейный функционал), и на мономах она равна 1, значит на многочленах она равна f(1). Т.к. многочлены всюду плотны в С[0,1], достаточно доказать непрерывность этого функционала. Это легко, т.к. значение этого функционала легко оценить сверху нормой f.
Не думаю, что для первокурсника или второкурсника, это проще, так как Вы используете элементы функционального анализа.
Я школьник, и ничего не понимаю. Но это интересно :)
@@pronaxavagaming3524 , чтобы понимать нужно учиться.
@@pronaxavagaming3524 , но да, это интересно!
@@ianovich_eduard Этим я и занимаюсь)
Например, внеучебное время я провожу за исследованиями в области математики, так что суммы и произведения для меня знакомы, правда учителя не дают мне развиваться в этой области, говорят, учись, а не фигнёй занимайся. Но КАК ЖЕ это интресно! Я уже столько всего нашёл😊. Правда, не знаю, открыли ли это до меня
Я думал что это в пространстве ограниченных непрерывных функций(если мне не изменяет память)
Так функция, непрерывная на замкнутом отрезке, ограничена на нём)
@ianovich_eduard получается C это все таки имеется ввиду пространство,понятно тогда извиняюсь просто в видео об этом не говорили и подумал что тут в другом смысле
@@goldysniper4858, вообще , в видео об этом говорил.
@@goldysniper4858 , да, это пространство непрерывных функций.
Эдуард, добрый день!
Почему если lamda_n выбрать в другом виде, то ответ задачи не изменится?
Здравствуйте!
lambda - это произвольная точка интервала [0,1] Мы разбили интеграл на сумму двух с произвольным lambda. Это можно сделать благодаря свойству определённого интеграла. От этого интеграл не меняется. А потом уже сделали lambda зависящим от n.
Спасибо, любопытная задача, хорошее решение.
Кажется, проще взять lambda = 2^{1/\sqrt{n}}, а то к e приходить, это целая дополнительная (но и хорошо известная) история.
Не обязательно брать скользящее \lambda. Зафиксировав любое 0 < lambda < 1, Вы уже доказали, что предел (верхний и нижний) между inf_{cє[lambda, 1]} f(c) и sup_{cє[lambda, 1]} f(c). А поскольку это для любого lambda < 1 и f -- непрерывна, то это f(1).
Однако, как по мне, то лучше аппроксимировать f функцией из класса C^1 и проинтегрировать частями: f(1) - \int_0^1 x^{n+1}f'(x) dx -> f(1)
Спасибо! Но скользящее всё же нужно. Иначе нельзя утверждать, что c_2\to 1 !)
@@ianovich_eduard Почему нельзя? Просто двойной предел,
liminf_{lamvda->1_} [lim_{n->infty} f(c1)lambda^{n+1} + f(c2)(1-lambda^{n+1} )] >=
liminf_{lamvda->1_} [inf_{c2 є [lambda, 1]} f(c2)] = f(1)
аналогично limsup...
@@serhiislobodianiuk776, ну это читать здесь невозможно!) Если хотите, чтобы я ответил, пришлите мне в телеграм нормальный текст с формулами не в коде.
Итмо, как всегда, боится сильных соперников и может быть крутым только там, что само организует😂😂
Я по этому поводу сделаю специальное видео. Мне есть, что рассказать. Я сам закнчил ИТМО когда-то.
Ещё раз убедился в том, что восприятие, понимание и усвояемость математики во многом зависит от умения препода подать и объяснить материал. Данный разбор будет понятен только тем, кто и сам может решить данный пример. Со стороны видится так- сам себе рассказал- сам всё понял.
Простите, мой язвительный юный друг, но думаю не Вам меня учить, как "подавать" и объяснять материал)
@@ianovich_eduard Разве, я Вас чему-то учил, мой зрелый визави. Я высказал своё видение данного ролика.
@BG-zl7ld, Есть такая пословица: "Нет плохих учителей. Есть плохие ученики".
@@Dmitry_Yan Несложно догадаться кто придумал эту "поговорку", поскольку в оригинале она звучит в точности наоборот.
@BG-zl7ld, есть такая поговорка: "Нет плохих учителей. Есть плохие ученики"
Ei=0;n(n+1)!/(N-i)!F^(-i)(1)(-1)^i=f(1)
:-)