O que eu vi nesse vídeo nesse momento me deixa ainda mais intrigado como a matemática é excepcional! Parbéns professor! Seu trabalho irá perdurar gerações e trará inspiração para eras!
Algo interessante de ser ver é olhar onde o número (0,d₁d₂...dᵢ...)₃ está na terá [0,1] O d₁ fala se ele está em [0,1/3], [1/3, 2/3] ou [2/3,1], ou seja se está no primeiro, segundo ou terceiro terço. Se d₁= 0 está no primeiro terço, se ser 1 está no segundo e se ser dois está no terceiro. Por isso que para está no conjunto de canto tem que 0 ou 2. Agora o d₂ fala em qual terço do conjunto que sobrou o número está. Por exemplo se d₁= 0 fala em qual terço de [0,1/3] ele está, ou seja, [0,1/9], [1/9,2/9] ou [2/9,1/3]. E assim pode diante, sempre o número fala em qual terço do conjunto anteior ele esta... De modo que se sempre ser o dᵢ ser 0 ou 2 estamos falando que sempre vai está no primeiro ou terceiro terço, e nunca no segundo terço. E como o conjunto de canto é exatamente o [0,1] conectando o segundo terço, ele vai dar exatamente o conjunto de canto. Dessa forma é fácil ver onde está o número escrito na base 3 pela reapresentação das etapas do conjunto do canto. Básicamente se ser 0 sabemos que está no conjunto a esquerda e ser 2 sabemos que está no conjunto a direita.
Sim. Considere uma sequência (x_n) tal que x_n pertence a {0, 2}. Um racional não periódico em K é da forma [x_1•3^(n-1) + ... + x_n]/3^n E um racional puramente periódico em K é da forma [x_1•3^(n-1) + ... + x_n]/(3^n - 1) A partir desses dois tipos de racionais, você obtém também os racionais periódicos mas não puramente. Então pra um racional pertencer a K, ele deve ter umas dessas formas
Não. É fácil de ver isso pela imagem, Q é denso ou seja não tem "buraco visível" (Q tem um monte de "buracos", só que nem um visível) Nós temos que o intevealo aberto (1/3, 2/3) não está em K (assim como muito outros intervalos abertos como (1/9,2/9), (7/27,8/27)...). E claramente nesse intevealos tem um número racional, como qualquer intevealo aberto não vazio (por isso que Q é denso). Por exemplo 1/2 não está em K (como 1/2 está em (1/3, 2/3)). Qualquer número na escrito base 3 que não obedece aquilo que se aparece o 1 ele está somente no final, não está em K, e se esse número ser escrito com número finito de digitos ele é racional. Por exemplo (0.12)₃ = 1/3 + 2/9 = 4/9 Também os números que na base 3 o 1 não parece no final e forma uma dízima também é racional Por exemplo (0.1111...)₃ = 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... = 1/3/(1-1/3) = 1/2.
O que eu vi nesse vídeo nesse momento me deixa ainda mais intrigado como a matemática é excepcional! Parbéns professor! Seu trabalho irá perdurar gerações e trará inspiração para eras!
Fico muito feliz que tenha gostado, Carlos!
Excelente vídeo! Esta aula vem facilitar bastante o entendimento de temas complexos como o trabalho de Cantor. 👍
Adoro esse assunto!
Maravilha, Professor! Excelente!
Muito obrigado, Eduardo!
Vídeo excelente! Lembro que ao ver esse conjunto no curso de Análise, meu cerébro deu um bug...
A cada dia chego a conclusão que o professor é uma pessoa muito dedicado à matemática
Em quê, é utilizado esse conjunto?
Por ser engenheiro achei q saberia. EM NADA!!!!
Algo interessante de ser ver é olhar onde o número (0,d₁d₂...dᵢ...)₃ está na terá [0,1]
O d₁ fala se ele está em [0,1/3], [1/3, 2/3] ou [2/3,1], ou seja se está no primeiro, segundo ou terceiro terço.
Se d₁= 0 está no primeiro terço, se ser 1 está no segundo e se ser dois está no terceiro.
Por isso que para está no conjunto de canto tem que 0 ou 2.
Agora o d₂ fala em qual terço do conjunto que sobrou o número está. Por exemplo se d₁= 0 fala em qual terço de [0,1/3] ele está, ou seja, [0,1/9], [1/9,2/9] ou [2/9,1/3].
E assim pode diante, sempre o número fala em qual terço do conjunto anteior ele esta...
De modo que se sempre ser o dᵢ ser 0 ou 2 estamos falando que sempre vai está no primeiro ou terceiro terço, e nunca no segundo terço. E como o conjunto de canto é exatamente o [0,1] conectando o segundo terço, ele vai dar exatamente o conjunto de canto.
Dessa forma é fácil ver onde está o número escrito na base 3 pela reapresentação das etapas do conjunto do canto.
Básicamente se ser 0 sabemos que está no conjunto a esquerda e ser 2 sabemos que está no conjunto a direita.
Puxa, que fascinante! Seria ppssivel formular um processo de descobrir se um racional qualquer entre 0 e 1 pertence ao conjunto K?
Sim. Considere uma sequência (x_n) tal que x_n pertence a {0, 2}. Um racional não periódico em K é da forma
[x_1•3^(n-1) + ... + x_n]/3^n
E um racional puramente periódico em K é da forma
[x_1•3^(n-1) + ... + x_n]/(3^n - 1)
A partir desses dois tipos de racionais, você obtém também os racionais periódicos mas não puramente. Então pra um racional pertencer a K, ele deve ter umas dessas formas
@@Ismar323 muito obrigado! Vou testar estas proposições aqui
Não. É fácil de ver isso pela imagem, Q é denso ou seja não tem "buraco visível" (Q tem um monte de "buracos", só que nem um visível)
Nós temos que o intevealo aberto (1/3, 2/3) não está em K (assim como muito outros intervalos abertos como (1/9,2/9), (7/27,8/27)...).
E claramente nesse intevealos tem um número racional, como qualquer intevealo aberto não vazio (por isso que Q é denso).
Por exemplo 1/2 não está em K (como 1/2 está em (1/3, 2/3)).
Qualquer número na escrito base 3 que não obedece aquilo que se aparece o 1 ele está somente no final, não está em K, e se esse número ser escrito com número finito de digitos ele é racional.
Por exemplo (0.12)₃ = 1/3 + 2/9 = 4/9
Também os números que na base 3 o 1 não parece no final e forma uma dízima também é racional
Por exemplo (0.1111...)₃ = 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... = 1/3/(1-1/3) = 1/2.