[L2] RÉDUCTION - DÉMO CAYLEY-HAMILTON (via Comatrices) #9

Réduction des endomorphismes - Partie 8: Démonstration de Cayley-Hamilton avec les comatrices.
On rappelle les bases de l'algèbre linéaire vues en première année et on présente l'idée générale du programme de deuxième année. Réduire un endomorphisme, c'est trouver une base de diagonalisation. Pourquoi faire ? Afin de simplifier les calculs matriciels et de visualiser l'information contenue dans l'endomorphisme à l'aide d'un nombre réduit de scalaires.
Un endomorphisme u de E (un K-ev) sera diagonalisable si et seulement s'il existe une base de E constituée de vecteurs propres de u.
Un endomorphisme de E (un K-ev) sera trigonalisable si et seulement si le polynôme caractéristique de u est scindé sur K.

[@vegetossgss1114]

Quelle démonstration de Caley-Hamilton préfères-tu? :)

[@vegetossgss1114]

PQ(A) = P(A)Q(A)
Je pensais que c'était évident qu'un polynôme d'endomorphisme commutait avec lui même!
Donc s'il s'agit de deux polynômes d'endomorphismes, et non pas de P et X (c'est à dire Q(X)=X) , ce n'est plus garanti?
C'est bien ça?
Je ne comprends pas comment A^j et q_j peuvent ne pas commuter. q-j n'est-il pas un scalaire?! :)
Les q_j sont des matrices?! Je suis un peu perdu haha

[@gwezenni]

Les pi et qj sont bien des matrices (si la réponse t’intéresse encore mdr)

[@pascalpoisson8482]

La formule de la miniature n’est pas homogène. Il manque l’identité.

[@nayelprepa]

En effet il manque l’identité sur la miniature ! Merci pour ton œil attentif 🤝