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なんとなくワイエルシュトラス置換の逆をやるのかなと思ったけど部分的にはあってるのかな
～=sinθ とおく採点者「は？」
被積分関数の要素である１＋x^2と√１＋x^4でできる直角三角形を定義することからこういうふうに置き換えるわけですね。いやー面白い。
初めの全く冗談に聞こえない
このチャンネルの動画見るとまるで自分の頭が良くなったかのような感覚に陥る
x=e^(-t) で置換したら cosh(t) と sinh(t) を含む広義積分になって、さらに何回か置換したら 1/(1+x^2) の単純な広義積分になった。
ドヤ顔大好き
「はい、えー、嘘ですね。」
どや顔の下り始まった時点で「終わるオチやりそう。」って思ったらその通りだった。
今回のやり方は不定積分だと変数を戻すのが大変です。結構スマートな原始関数の求め方を紹介します。三角関数は使いません。∫(1-x^2)/(1+x^2)√(1+x^4)dx=∫(1/x^2-1)/(1/x+x)√(1/x^2+x^2)dx ※分母分子x^2で割った=∫-(1-1/x^2)/(x+1/x)√{(x+1/x)^2-2}dxx+1/x=u(1-1/x^2)dx=du-∫1/u√(u^2-2)du√(u^2-2)=tu^2-2=t^2u^2=t^2+22udu=2tdtudu=tdt=-∫u/u^2√(u^2-2)du=-∫t/(t^2+2)tdt=-∫1/(t^2+2)dt=-(1/2)∫1/{(t/√2)^2+1}=-(1/2)√2arctan(t/√2)+C=-(1/√2)arctan[√{(u^2-2)/2}]+C=-(1/√2)arctan[√[(1/2){(x+1/x)^2-2}]]+C=-(1/√2)arctan√{(1+x^4)/2x^2}+C□このやり方だと、動画の定積分を求めるときに広義積分がでてきます。x=0が定義域外なので。
この動画に会えてよかった…ずっと夜に興奮しっぱなしです。積分楽しいなぁ
数学に特化した人の冗談って、面白いけどたまについていけなくなる感覚に陥る...w
Akitoさんの声を聞くとモチベーション上がります！ありがとうございます。
ドヤ顔終わるのかと思ったが、再生シークバーを見ると全然進んでないしw
ひと目見てsinに置き換えしたとき、えっっ…と声が出てしまった。
今年の東大で出てもおかしくなかった問題
ドヤ顔草相変わらず勉強になりました
√2x/(1+x^2)の[0,1]での単調性もdx/dθを計算する段階で保証されてるのだなぁ。何度も見直したい積分動画です。
前半のどや顔の展開草
このような方法はどうでしょうか？他の問題でも根号を消す時に使えるかもしれない方法です今回厄介なのは1/√(1+x⁴)ですので，こいつを置換していきますただしy=1/√(1+x⁴)とそのまま置換するのではなく，敢えてy=x/√(1+x⁴)と置換してみます(xが余分に出てきますがこのまま勧めます)y=x/√(x⁴+1)とするとy²=x²/(x⁴+1)1/y²=(x⁴+1)/x²=x²+1/x²-2/y³dy=2x-2/x³dxdx=x³/y³(1-x⁴)dyここでdyにx³が入ってきますが，1/√(1+x⁴)=x/√(1+x⁴)･1/x=y･1/xの1/xと掛け合わせられx²,x⁴のみが残りますので大丈夫です(ここでようやくはじめの置換で現れた余分なxが消去されます)x:0→1.y:0→1/√2y=x/√(1+x⁴)でしたからx²/(1+x⁴)=y²(x⁴+1)=x²/y²となります(これは後々使います)∴I=∫[0,1/√2](1-x²)/(1+x²)･y/x･x³/y³(1-x⁴)dy=∫[0,1/√2]1/(1+x²)²･x²/y²dy=∫[0,1/√2]x²/y²(1+x⁴+2x²)dy1+x⁴=x²/y²でしたので=∫[0,1/√2]x²/y²(x²/y²+2x²)dyここで分子と分母でx²が約分され全てのxが消去されます=∫[0,1/√2]1/y²(1/y²+2)dy=∫[0,1/√2]1/(2y²+1)dyと，tan置換の形になりますので√2y=tanθと置換すれば=∫[0,π/4]1/√2dθ=π/4√2A.π/4√2となります
9:12位までの式にはたどり着いたのに半角の公式で次数下げれることに頭が及びませんでした…。なんか綺麗な形たから合ってるとは思ったんだけど…。
色んな要素（お笑い要素）
wolfram知らずに受験終えちゃったから高校生に伝えたい…
くわわ なんですかそれ
@@しゃむねこ-j3j ggrks
変態痴漢積分
留数定理(大嘘)嘘エンディング大爆笑しました🤣
原始関数を求めてみました。∫(1-x^2)/(1+x^2)√(1+x^4)dxx=tanuと置換dx=1/cos^2ududx=(1+x^2)du1/(1+x^2)dx=du=∫(1-tan^2u)/√(1+tan^4x)du=∫(cos^2u-sin^2u)/√(cos^4u-sin^4u)du=∫cos2u/√{(sin^2u+cos^2u)^2-2sin^2ucos^2u}du=∫cos2u/√(1-2(sin2u/2)^2)du=∫cos2u/√(1-sin^2(2u)/2)du=∫√(2)cos2u/√(2-sin^2(2u))dusin2u=√2siny (-π/2
0→1で定積分すると、[(1/√2)arcsin{√2x/(1+x^2)}](0→1)=(1/√2)(arcsin{√(2)/2}-arcsin0)(1/√2)π/4π/4√2
ファイ使ってくるの草
√は上手く置換する方法はないって発想が無かったからx^2=tanθと置いて迷走。
こんなん大学入試で出したら非難轟々だろうの
こういう問題ってsinθ置換の演習に紛れてたら解けるんですが、１問だけでボンと出てくると面を喰らいますよね
置換まで書いた方がいいのでしょうか？いつも積分の式だけ書いてそのまま答えにしてしまいます、、※2019第一問などのような積分の問題については別です。問題の途中で積分計算が出てくるものについての話です。
これはどこ大レベルに相当するんですか？
ごりごりごり押しで溶けたけどその置換があったかー無理です。
やっぱキャラ変してますよね？w 面白いw
やっぱり...スゴすぎる...！！数検とか余裕で満点とってそう笑
今日の動画は短かったなぁ～
まず仕組みがあやふやにしか理解してない人は何でtanで置くのか分かってないだろうからそこ説明ほしいなー
ドヤ顔の練習します！
今日の本当草
同じような問題ないですか？！自分でやってみたい！
突然の嘘w
うぽつです！ここまでくると∫√tanx dxとかも見てみたいです
nezuさんこんなところにw
どんだけ痴漢するねん
ヨーグルト ドヤ顔で痴漢
すげぇ！
ワイ大学新1年(関数電卓ﾎﾟﾁｰ
かしこい
Neko Matsuri 買ったばっかで使ってみたいンゴ
いちこめぇぇぇぇ！ほぇー、めちゃくちゃいろんなエッセンスが詰まった問題だなぁ〜
笑ったわ
ドヤ顔…。
さっぱりわからんｗ
冗談きついですよ〜
う ま い ち か ん
ワロス
に
草
なんとなくワイエルシュトラス置換の逆をやるのかなと思ったけど部分的にはあってるのかな
～=sinθ とおく
採点者「は？」
被積分関数の要素である１＋x^2と√１＋x^4でできる直角三角形を定義することからこういうふうに置き換えるわけですね。いやー面白い。
初めの全く冗談に聞こえない
このチャンネルの動画見るとまるで自分の頭が良くなったかのような感覚に陥る
x=e^(-t) で置換したら cosh(t) と sinh(t) を含む広義積分になって、さらに何回か置換したら 1/(1+x^2) の単純な広義積分になった。
ドヤ顔大好き
「はい、えー、嘘ですね。」
どや顔の下り始まった時点で「終わるオチやりそう。」って思ったらその通りだった。
今回のやり方は不定積分だと変数を戻すのが大変です。結構スマートな原始関数の求め方を紹介します。三角関数は使いません。
∫(1-x^2)/(1+x^2)√(1+x^4)dx
=∫(1/x^2-1)/(1/x+x)√(1/x^2+x^2)dx ※分母分子x^2で割った
=∫-(1-1/x^2)/(x+1/x)√{(x+1/x)^2-2}dx
x+1/x=u
(1-1/x^2)dx=du
-∫1/u√(u^2-2)du
√(u^2-2)=t
u^2-2=t^2
u^2=t^2+2
2udu=2tdt
udu=tdt
=-∫u/u^2√(u^2-2)du
=-∫t/(t^2+2)tdt
=-∫1/(t^2+2)dt
=-(1/2)∫1/{(t/√2)^2+1}
=-(1/2)√2arctan(t/√2)+C
=-(1/√2)arctan[√{(u^2-2)/2}]+C
=-(1/√2)arctan[√[(1/2){(x+1/x)^2-2}]]+C
=-(1/√2)arctan√{(1+x^4)/2x^2}+C□
このやり方だと、動画の定積分を求めるときに広義積分がでてきます。x=0が定義域外なので。
この動画に会えてよかった…ずっと夜に興奮しっぱなしです。積分楽しいなぁ
数学に特化した人の冗談って、面白いけどたまについていけなくなる感覚に陥る...w
Akitoさんの声を聞くとモチベーション上がります！ありがとうございます。
ドヤ顔
終わるのかと思ったが、再生シークバーを見ると全然進んでないしw
ひと目見てsinに置き換えしたとき、えっっ…と声が出てしまった。
今年の東大で出てもおかしくなかった問題
ドヤ顔草
相変わらず勉強になりました
√2x/(1+x^2)の[0,1]での単調性もdx/dθを計算する段階で保証されてるのだなぁ。
何度も見直したい積分動画です。
前半のどや顔の展開草
このような方法はどうでしょうか？他の問題でも根号を消す時に使えるかもしれない方法です
今回厄介なのは1/√(1+x⁴)ですので，こいつを置換していきます
ただしy=1/√(1+x⁴)とそのまま置換するのではなく，敢えて
y=x/√(1+x⁴)と置換してみます
(xが余分に出てきますがこのまま勧めます)
y=x/√(x⁴+1)とすると
y²=x²/(x⁴+1)
1/y²=(x⁴+1)/x²=x²+1/x²
-2/y³dy=2x-2/x³dx
dx=x³/y³(1-x⁴)dy
ここでdyにx³が入ってきますが，
1/√(1+x⁴)=x/√(1+x⁴)･1/x=y･1/xの1/xと掛け合わせられx²,x⁴のみが残りますので大丈夫です
(ここでようやくはじめの置換で現れた余分なxが消去されます)
x:0→1.y:0→1/√2
y=x/√(1+x⁴)でしたから
x²/(1+x⁴)=y²
(x⁴+1)=x²/y²となります
(これは後々使います)
∴I=∫[0,1/√2](1-x²)/(1+x²)･y/x･x³/y³(1-x⁴)dy
=∫[0,1/√2]1/(1+x²)²･x²/y²dy
=∫[0,1/√2]x²/y²(1+x⁴+2x²)dy
1+x⁴=x²/y²でしたので
=∫[0,1/√2]x²/y²(x²/y²+2x²)dy
ここで分子と分母でx²が約分され全てのxが消去されます
=∫[0,1/√2]1/y²(1/y²+2)dy
=∫[0,1/√2]1/(2y²+1)dy
と，tan置換の形になりますので
√2y=tanθと置換すれば
=∫[0,π/4]1/√2dθ=π/4√2
A.π/4√2となります
9:12位までの式にはたどり着いたのに半角の公式で次数下げれることに頭が及びませんでした…。なんか綺麗な形たから合ってるとは思ったんだけど…。
色んな要素（お笑い要素）
wolfram知らずに受験終えちゃったから高校生に伝えたい…
くわわ なんですかそれ
@@しゃむねこ-j3j ggrks
変態痴漢積分
留数定理(大嘘)
嘘エンディング大爆笑しました🤣
原始関数を求めてみました。
∫(1-x^2)/(1+x^2)√(1+x^4)dx
x=tanuと置換
dx=1/cos^2udu
dx=(1+x^2)du
1/(1+x^2)dx=du
=∫(1-tan^2u)/√(1+tan^4x)du
=∫(cos^2u-sin^2u)/√(cos^4u-sin^4u)du
=∫cos2u/√{(sin^2u+cos^2u)^2-2sin^2ucos^2u}du
=∫cos2u/√(1-2(sin2u/2)^2)du
=∫cos2u/√(1-sin^2(2u)/2)du
=∫√(2)cos2u/√(2-sin^2(2u))du
sin2u=√2siny (-π/2
0→1で定積分すると、
[(1/√2)arcsin{√2x/(1+x^2)}](0→1)
=(1/√2)(arcsin{√(2)/2}-arcsin0)
(1/√2)π/4
π/4√2
ファイ使ってくるの草
√は上手く置換する方法はないって発想が無かったからx^2=tanθと置いて迷走。
こんなん大学入試で出したら非難轟々だろうの
こういう問題ってsinθ置換の演習に紛れてたら解けるんですが、１問だけでボンと出てくると面を喰らいますよね
置換まで書いた方がいいのでしょうか？
いつも積分の式だけ書いてそのまま答えにしてしまいます、、
※2019第一問などのような積分の問題については別です。問題の途中で積分計算が出てくるものについての話です。
これはどこ大レベルに相当するんですか？
ごりごりごり押しで溶けたけどその置換があったかー
無理です。
やっぱキャラ変してますよね？w 面白いw
やっぱり...スゴすぎる...！！
数検とか余裕で満点とってそう笑
今日の動画は短かったなぁ～
まず仕組みがあやふやにしか理解してない人は何でtanで置くのか分かってないだろうからそこ説明ほしいなー
ドヤ顔の練習します！
今日の本当草
同じような問題ないですか？！
自分でやってみたい！
突然の嘘w
うぽつです！ここまでくると∫√tanx dxとかも見てみたいです
nezuさんこんなところにw
どんだけ痴漢するねん
ヨーグルト ドヤ顔で痴漢
すげぇ！
ワイ大学新1年(関数電卓ﾎﾟﾁｰ
かしこい
Neko Matsuri 買ったばっかで使ってみたいンゴ
いちこめぇぇぇぇ！
ほぇー、めちゃくちゃいろんなエッセンスが詰まった問題だなぁ〜
笑ったわ
ドヤ顔…。
さっぱりわからんｗ
冗談きついですよ〜
う ま い ち か ん
ワロス
に
草