[ALGEBRA #12] - Principio di Induzione: enunciato ed esempi
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- เผยแพร่เมื่อ 18 ต.ค. 2024
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In questo video sono trattati, nell'ordine, i seguenti argomenti:
Principio di Induzione (I FORMA) 00:31
Esempio 1 03:41
Esempio 2 08:15
Principio di Induzione (II FORMA) 11:58
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![[ALGEBRA #13] - Teorema Fondamentale dell'Aritmetica: enunciato e dimostrazione](http://i.ytimg.com/vi/hlEDEpmKeFs/mqdefault.jpg)
![[ALGEBRA #13] - Teorema Fondamentale dell'Aritmetica: enunciato e dimostrazione](/img/tr.png)
ATTENZIONE: al minuto 10:30 ho aggiunto alla somma il numero (2n-2), ma ovviamente ho sbagliato perché (2n-2) è un numero pari, mentre noi vogliamo sommare solo i primi n numeri dispari. Basta sostituire (2n-2) con (2n-3) che è proprio l'n-1esimo numero dispari. In ogni caso questo non pregiudica il seguito della dimostrazione, che è corretta.
erano settimane che provavo a capirci qualcosa, con te mi sono bastati 7 minuti di video! grazie davvero!
l'algebra purtroppo è trattata da pochi .. bravissimo continua così, magari se ci porti il fantastico mondo delle cardinalità di insiemi, un argomento molto profondo e interessante
Sei veramente bravo, dopo anni sono riuscito a capire questo maledetto principio di induzione haha. Davvero ma davvero complimenti❤❤
scusami ma la somma di n numeri dispari non dovrebbe essere 1+3+5...+2n-1+n? perchè scrivi 1+2+3, 2 non è pari?
Hai ragione, è che a furia di fare somme di numeri naturali generici (in questo periodo sto lavorando molto con le sommatorie) ormai scrivere 1+2+3... è diventato automatico. Perdonami per l'inconveniente, anzi ti ringrazio per avermelo fatto notare. Ovviamente ti sarai accorta che l'errore non pregiudica assolutamente la dimostrazione, che resta comunque valida ;)
@@cirogallo1286 certo! perchè poi tutta la somma compreso il 2 inserito per errore vale per la proprietà, però non capivo proprio perchè fosse li, pensavo ci fosse una motivazione che io non riuscivo a cogliere :) Grazie per la risposta
Un'osservazione che spero possa migliorare la comprensione a chi non nota l'errore (che di per sé non pregiudica il senso della dimostrazione): credo che alla riga che si riferisce a P(n-1), tenendo presente che l'n-esimo numero dispari è pari a 2n-1 come giustamente segnalato, si debba scrivere più correttamente P(n-1)=1+3+...+((2n-1)-2). A parer mio in questo modo il nesso con P(n) subito dopo appare sicuramente più evidente.
@@languagediscoverer Sono assolutamente d'accordo. Ti ringrazio per l'osservazione!
Ciao Ciro, inanzitutto complimenti per il video, fatto benissimo. Avrei però un dubbio, sicuramente stupido in quanto non sono un asso in materia. Nel video utilizzi nel passo induttivo, sia per la definizione sia negli esempi, n-1, però sul mio libro viene utilizzato n+1 e non riesco a capire il nesso.
Ciao, ti ringrazio per i complimenti. Si, solitamente sui libri si può trovare anche la versione con
P(n) ==> P(n+1)
ma l'importante, come dicevo nel video, è il metodo; infatti se ci pensi, dimostrare che
P(n-1)==> P(n) equivale a dimostrare che P(n) ==> P(n+1), è solo una questione di punti di vista. Per convincertene puoi provare a dimostrare la proposizione sulla somma dei primi n numeri naturali con
P(n) ==> P(n+1)
Se non riesci, basta scrivermi di nuovo, ma riuscirò a risponderti tra circa due orette perchè sono in treno con poca connessione ;)
@@cirogallo1286 perfetto, grazie mille.
@@cirogallo1286 Per quanto riguarda la dimostrazione della formula della somma dei primi n numeri naturali, nel passo induttivo, mi esce che si somma n(n+1)/2 a (n+1) ed esce (n+1)(n+2)/2 che sarebbe n(n+1)/2 con n+1 al posto di n, è corretto come ragionamento?
@@vincenzostanganelli Si, è corretto :)
Non sarebbe più semplice considerare n+1 nel passo anziché n-1?
ma la base induttiva si può fare anche con 0?
Bel video, hai spiegato in modo semplice e completo il principio di induzione,continua così 💪
Grazie mille, sono davvero contento che i video stiano risultando utili
Io non sono un asso in mate... ma nel minuto 7:37 nell'espressione che stai trattando.... ovviamente nel passaggio prima... non ce un errore?
Ciao, a quale errore ti riferisci?
n(n-1)+2n..... sempre se non. Mi sbaglio non fa n^2+2 o no?
@@Ilfreebooterdelsocio n(n-1)+2n = n^2 -n +2n = n^2 + n
Video eccezionale :) ma al minuto 3:38 p(n0) non é uguale a p(1) scusa se mi sbaglio, comunque sei un grande continua così!
domanda un po stupida... visto che espliciti la loro assenza... questi fantomatici numeri naturali negativi... quali sarebbero?
Scusa però provando a prendere come numero dispari generico (2n+1) invece che (2n-1) non riesco a dimostrare P(n). Eppure un numero generico dispari si può scrivere in tutte e due le forme...spero che tu possa colmare questo mio dubbio
Ciao, in realtà io non ho indicato un "generico" numero dispari, che ovviamente puoi scrivere come 2n+1, ma proprio l'n-esimo numero dispari. Consideriamo ad esempio n=1. Il primo numero dispari è 1, che puoi scrivere come 2*1-1 (2n-1), ma non come 2*1+1 (2n+1). Questo dovrebbe anche dare un senso al fatto che la dimostrazione non viene sommando 2n+1 nella proposizione P(n): non viene perché la proposizione P(n) riguarda la somma dei primi n numeri dispari, ma se "alla fine" arrivi a sommare 2n+1 hai cambiato proposizione perché 2n+1 non è l'n-esimo numero dispari. Scusa il giro di parole, ma spero di essere riuscito a chiarire il tuo dubbio.
@@cirogallo1286 Ho capito, grazie mille
scusami ma scontato non è niente nella vita, grazie per l'aiuto
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1:11 non viene dimostrato che dalla verità dell'antecedente segua quella del conseguente dell'implicazione, ma si dimostra solo che sia vera l'implicazione tout-court (cioè che non accada che l'antecedente sia vero e il conseguente falso).
Sei anche bravo. Se fai un esempio con i numeri si capisce meglio. L esempio della somma dei numeri dispari non è chiara per nulla
10:40 perché 2n-2? Se 2n-1 è dispari 2n-2 è pari
4:48 qui non dovevi usare il simbolo di implicazione, fa confusione!
Tu non hai idea dell'amore che provo per te in questo momento, no homo
aspetta.... cosa è una proposizione?
è un'affermazione, che può essere vera o falsa. "tutti i numeri pari sono divisibili per due" è una proposizione. Un caso particolare di proposizione è il predicato, che è una proposizione che dipende da uno o più elementi variabili. "x^2>0 per ogni x diversa da 0" è un predicato, perché dipende da x. Quindi la proposizione P(n) presa in esempio nel video è un predicato.
Troppo astratto come concetto non riesco a capire 😢
(2m - 1 ) ?
Non riesco a capire quale sia la domanda :(
@@cirogallo1286 nell'esempio 2 , non ho capito come hai trovato (2m -1)
Premetto che è una proposizione che esula dal problema in questione, cioè non conta capire perché vale, ma ti basta sapere che vale (puoi convincertene sostituendo dei naturali ad n). Detto ciò, ti dico che ho evitato di dimostrarlo perché anche in questo caso la dimostrazione si fa per induzione. Ora, per stuzzicarti ti imposto il problema e se vuoi ti lascio del tempo per dimostrarlo da te (come esercizio); se invece vuoi che ti dia subito la soluzione non c'è problema, basta che me lo scrivi ;)
Qui ti imposto il problema:
P(n) = l'n-esimo numero dispari è (2n-1)
Applicare il principio di induzione per dimostrare la proposizione per ogni n>n0
@@cirogallo1286 grazie mille, lo svolgo subito
Ciro Gallo Bho non riesco a farlo riportare (sì, con un anno di ritardo 😂)
inutile
Non solo fai pochi esempi numerici ma fai anche errori. Non sei didattico. Sembri un prof dell università. Tanta schiuma poca birra da bere