Superbe video mais "en même temps" @7:30 vous dite qu'on ne pourra avoir besion à étendre C car C est algébriquement clos, c'est discutable. C'est vrai pour résoudre des équations polynomiales mais il pas que les équations polynomiales dans la vie, il y a par exemple les rotations avec les quaternions etc
Désolé mais vous avez une connaissance beaucoup trop superficielle et vous dites des bêtises. Tout d’abord une aire peut très bien être négative. Il suffit de l’orienter. Ce que fait précisément le déterminant de deux vecteurs qui engendrent un parallélogramme. Cet invariant fondamental déjà connu des Grecs, donne la mesure algébrique (positive, négative ou nulle) d’un parallélogramme. Son signe rend compte de l’orientation précisément du parallélogramme. Or il se trouve que l’imaginaire pur « i » est précisément une telle aire positive du carré unité orienté dans le sens trigonométrique. Et cette aire orientée peut agir sur les points, les vecteurs, les aires orientées, à travers le produit algébrique (qui est la somme en 2D) du produit scalaire et du produit extérieur). Il peut aussi être décrit de façon parfaitement équivalente comme une rotation de +90° agissant sur les vecteurs du plan. Et les nombres complexes peuvent alors être représentés par des matrices 2D agissant sur les vecteurs du plan. Mais ils peuvent encore être représentés comme des vecteurs du plan. Et en particulier « i » sera représenté par le vecteur (0,1) du plan orienté, muni de cette fameuse multiplication des vecteurs, dont l’existence est restée si longtemps cachée aux yeux des mathématiciens. Les « nombres complexes » sont donc dans cette représentation de dimension 1, des vecteurs du plan, que l’on peut comme d’habitude sommer et dilater/contracter/inverser, mais qu’on peut en outre multiplier. Cette multiplication longtemps cachée est rendue possible par une très vieille identité remarquable connue d’Aristarque de Samos. Les « nombres complexes » sont donc des objects mathématiques qui peuvent être représentés de multiples façons et sur lesquels on peut définir des opérations arithmétiques d’addition/soustraction, inversion d’orientation, contraction/dilatation, mais aussi multiplication et division. En ce sens ils sont des « nombres », mais pas ceux usuels habituellement utilisés « sur la droite rationnelle », ou « réelle » (whatever that means). Il n’y a donc rien « d’étrange » à écrire a+bi, pas plus qu’il y en a à écrire a+b✔️5 dans une extension galoisienne du corps des rationnels, ou même 372 en écriture décimale de position. Chacun étant « à sa place » et ne se mélangeant pas aux autres intempestivement. Ces différentes représentations des « nombres complexes » étant toute valides et complémentaires pour saisir cette structure importante. En outre votre « démonstration » de « l’impossibilité » ou « l’incohérence » d’écrire i = ✔️-1, est incorrecte et sans valeur. Vous ne « démontrerez » rien du tout pour la bonne raison que vous utilisez un symbole ✔️ qui a été bien défini pour les nombres « réels » positifs, et pour rien d’autre à priori. Vous ne pouvez donc pas utiliser la règle ✔️(ab) = ✔️a✔️b , qui n’a été établie que pour les nombres « réels » positifs. En revanche elle peut parfaitement s’étendre aux nombres complexes, mais avec une contrainte supplémentaire et une seule, que ✔️(-1) a pour carré -1. Ainsi ✔️-121 = ✔️{(-1)121} = ✔️(-1)✔️121 = 11✔️(-1). Aussi c’est une idiotie beaucoup trop répandue dans « l’éducation nationale » que « l’on ne peut noter « i » comme ✔️(-1). On le peut au contraire sans problème, moyennant cette seule contrainte supplémentaire rappelée ci-dessus. Sachez enfin qu’il n’y a pas qu’un seul type de « nombres complexes » en 2D, mais trois!…
Cette vidéo commence bien. Une aire négative n'est pas possible, pas plus qu'un côté de carré négatif. Donc elle commence par nous dire que le produit de deux nombres positifs ne peut être négatif...
comment as tu fait pour tracer les surfaces complexes dans le cadre de l'équation du second degré (0.5 *x² - x +2) ? aurais tu un script python pour essayer de les tracer ?
Pourquoi n'a-t-on pas créé un autre nombre imaginaire pour le carré de deux nombres négatifs, ce qui le distinguerait du carré de deux nombres positifs ? Je ne vois pas immédiatement l’intérêt, mais cela permettrait au moins de les distinguer et de retrouver le réciproque si jamais un mathématicien souhaite faire le chemin inverse. Exemple : Si tu ne notes pas la racine d'un nombre, tout nombre positif peut être le carré de deux nombres positifs ou négatifs. Par contre, si tu utilises un indice 𝑚 m, cela signifierait que la racine de ce nombre est le carré de deux nombres négatifs. Par exemple, 4=2^2 ou (-2)^2 Pour éviter l’ambiguïté, on pourrait écrire. 4=2^2 et 4m=(-2)^2 J'ai l’impression que ça pose un problème. √(4m)=√((-2)^2) 2m=-2 m=-1 Cela voudrais dire que -1=1 Ce qui n'est pas tout a fait faux puisque cela reviens au fait qu'il y a deux solutions. Mon outils est donc inutile puisque il y a quoi qu'il arrive deux solutions. m=-1 ou 1 mais pas les deux en même temps si non cela voudrait dire que -1=1 ce qui est interdit.
Tu te mélange un peu les pinceaux, et c’est dû en partie à un mauvais enseignement dont tu as souffert sans le savoir. 4 a bien deux « racines carrées », 2 et -2, au sens où la « racine carrée » est définie comme le ou les nombres dont le carré vaut le nombre de départ. Mais le symbole ✔️4 est réservé (arbitrairement) à la racine positive 2. L’autre on la notre simplement -✔️2. C’est aussi simple que ça. Il n’y a donc rien à « inventer » de plus. Tout est en ordre. On aurait pu faire le contraire et définir ✔️4 = -2, mais on a choisi l’inverse. Ce choix est arbitraire, et « le plus simple ». Mais il faut garder toujours en tête qu’une équation du second degré, même sur R uniquement, à toujours potentiellement deux racines. Autrement dit, si elle en a une, son opposée (dans un repère bien choisi) est aussi une racine. Mais cette situation est particulière, car écrire une « équation » revient à travailler dans un contexte particulier et restrictif des courbes (quadratiques) de la forme : y = f(x). Donc sous forme dite « fonctionnelle ». Mais l’équation du cercle unité par exemple ne rentre pas dans cette restrictive, car elle s’écrit dans un repère orthonormé direct : x^2+y^2 = 1. Et il n’y a pas moyen de l’exprimer sous forme fonctionnelle, avec une fonction d’une seule variable. Dans le cas général donc, une parabole dont l’équation algébrique (pas nécessairement fonctionnelle) est toujours du second degré (quadratique), peut très bien être « penchée ». Ses deux racines n’apparaissent alors pas comme opposées l’une de l’autre. Mais cela redevient vrai dans un repère bien choisi, dont les axes sont ceux de symétrie de la parabole. Enfin pour l’imaginaire pur « i » que l’on peut tout aussi bien noter ✔️(-1), il peut être représenté de multiples façons. Comme un vecteur (0,1) du plan, ou comme une matrice 2D (de rotation) de 90°, agissant sur les vecteurs du plan, ou comme une aire unité orientée, etc. Sont carré étant une rotation de 180°, i.e une symétrie centrale, il est très normal et intuitif qu’il vaille « -1 ». Il faudrait dans ce cas mieux l’écrire -Id (l’opposé de la transformation Identité)
tu parles de "decouvrir l'existence" et ensuite de "creation", je sais que c'est un argument philosophique mais ca serait plus simple de s'en tenir a l'explication simple (et plus facile pour les neophytes): les nombres sont créés par les mathematiciens pour resoudre certains problemes, la creation de i rentre la dedans, on a pas "decouvert" la racine de -1, on l'a simplement definie, et on s'est rendu compte que c'etait extremement utile.
Non vous vous trompez totalement. La structure des « nombres complexes » existe en elle même. Elle existait avant qu’on la découvre, et existerait même si on l’oubliait. Elle était même déjà connue du Grec Aristarque de Samos à travers une identité remarquable qui permet leur existence. Il ne savait pas tout ce sur quoi cette identité ouvrait, mais il en tenait déjà une porte d’entrée. Ce qui est inventé par les humains mathématiciens sont en revanche les notations et les symboles, la façon d’en parler dans une langue définie, et un système de pensée. D’ailleurs il y de nombreuses façon de les décrire et de les représenter. Elles sont en partie équivalentes mais cela demande certaines connaissances pour le comprendre.
On peut imaginer que certains matheux se sont dit , mais comment je calcule comme d'habitude si x²=-1 ? Ca marchait et ca donnait des résultats nouveaux. Ca n'a pas été la révolution d'un seul mec. Après un certain nombre d'années , les matheux ont vu des miracles apparaitre et des applications concrètes dans le calcul de phénomènes quotidiens. Le résultat de cette idée simple est impressionnant dans la vraie vie.
Je ne comprends pas le 1e argument employé "l'aire du carré" "logiquement le résultat sera toujours positif"; il me semble que c'est valable pour toute aire pas spécialement celle d'un carré!
@@RayannMaths_ Du coup je ne vois pas le sens de l'argument logique et le rapport à "i". Le carrés sont positifs, les aires des rectangles sont positives, donc les produits sont positifs, et alors?
@@cainabel2553 ce que je veux dire par là, c’est que l’idée qu’un nombre au carré soit négatif est très contre intuitive, parce que le carré d’un nombre peut reprendre une l’aire d’un carré (qui est donc positive).
@@RayannMaths_ Non, tout comme une ligne (segment), une surface peut être orientée et sa mesure peut être négative, et c’est parfaitement naturel, tout comme la chiralité opposée des deux mains, ou comme un vecteur est orienté. On fait des flèches et des danses dans un sens giratoire bien défini, depuis la nuit des temps. C’est bien que l’orientation est une notion parfaitement « intuitive » et maitrisée par l’humanité et le monde vivant depuis « toujours ». Ni un lézard ni une baleine ne confondent leur tête et leur queue. Le matin est orienté vers le « zénith » du soleil et midi le plus chaud de la journée. Et inversement vers « minuit ». L’orientation est un concept et une réalité omniprésente et universelle. Les choses ne deviennent « contre intuitive » que lorsqu’on a mal compris le sujet et qu’on essaie de mal expliquer les choses, comme si on essayait d’expliquer qu’un canard est une vache.
l’ensemble H rajoute epsilon et j comme epsilon ^2=0 et j^2=1 mais sinon ce genre d’ensemble sont bien trop compliqué à la portais de très peu de personne leur complexité est sans précédent déjà parler d’hypercube en 4 d alors parle d’un hypercube en 8d rompiche
@@skopie-_-586 Non il n’y a pas de « epsilon » dans l’ensemble des Quaternions H, dont le carré vaut zéro. Il y a simplement deux autres « vecteurs » j et k, dont le carré, comme celui de « i » vaut -1. Vous confondez avec une autre structure important où ce epsilon sert notamment à construire un calcul différentiel parfaitement algébrique correspondant aux célèbres « infinitésimaux » du XVII ème siècle. En outre H n’est en rien « si compliqué » puisqu’il décrit au contraire parfaitement les rotations 3D, que l’on manipule chaque jour comme Mr Jourdain « sans le savoir ».
Petite erreur à 7:43, l'ensemble S n'est pas inclus dans ℝ (nombres réels), mais est bien inclus dans ℂ
Très intéressant
Superbe video mais "en même temps" @7:30 vous dite qu'on ne pourra avoir besion à étendre C car C est algébriquement clos, c'est discutable. C'est vrai pour résoudre des équations polynomiales mais il pas que les équations polynomiales dans la vie, il y a par exemple les rotations avec les quaternions etc
Calme et intéressant, ça me change !
Désolé mais vous avez une connaissance beaucoup trop superficielle et vous dites des bêtises. Tout d’abord une aire peut très bien être négative. Il suffit de l’orienter. Ce que fait précisément le déterminant de deux vecteurs qui engendrent un parallélogramme.
Cet invariant fondamental déjà connu des Grecs, donne la mesure algébrique (positive, négative ou nulle) d’un parallélogramme. Son signe rend compte de l’orientation précisément du parallélogramme.
Or il se trouve que l’imaginaire pur « i » est précisément une telle aire positive du carré unité orienté dans le sens trigonométrique. Et cette aire orientée peut agir sur les points, les vecteurs, les aires orientées, à travers le produit algébrique (qui est la somme en 2D) du produit scalaire et du produit extérieur).
Il peut aussi être décrit de façon parfaitement équivalente comme une rotation de +90° agissant sur les vecteurs du plan. Et les nombres complexes peuvent alors être représentés par des matrices 2D agissant sur les vecteurs du plan.
Mais ils peuvent encore être représentés comme des vecteurs du plan. Et en particulier « i » sera représenté par le vecteur (0,1) du plan orienté, muni de cette fameuse multiplication des vecteurs, dont l’existence est restée si longtemps cachée aux yeux des mathématiciens.
Les « nombres complexes » sont donc dans cette représentation de dimension 1, des vecteurs du plan, que l’on peut comme d’habitude sommer et dilater/contracter/inverser, mais qu’on peut en outre multiplier. Cette multiplication longtemps cachée est rendue possible par une très vieille identité remarquable connue d’Aristarque de Samos.
Les « nombres complexes » sont donc des objects mathématiques qui peuvent être représentés de multiples façons et sur lesquels on peut définir des opérations arithmétiques d’addition/soustraction, inversion d’orientation, contraction/dilatation, mais aussi multiplication et division. En ce sens ils sont des « nombres », mais pas ceux usuels habituellement utilisés « sur la droite rationnelle », ou « réelle » (whatever that means).
Il n’y a donc rien « d’étrange » à écrire a+bi, pas plus qu’il y en a à écrire a+b✔️5 dans une extension galoisienne du corps des rationnels, ou même 372 en écriture décimale de position. Chacun étant « à sa place » et ne se mélangeant pas aux autres intempestivement.
Ces différentes représentations des « nombres complexes » étant toute valides et complémentaires pour saisir cette structure importante.
En outre votre « démonstration » de « l’impossibilité » ou « l’incohérence » d’écrire i = ✔️-1, est incorrecte et sans valeur. Vous ne « démontrerez » rien du tout pour la bonne raison que vous utilisez un symbole ✔️ qui a été bien défini pour les nombres « réels » positifs, et pour rien d’autre à priori. Vous ne pouvez donc pas utiliser la règle ✔️(ab) = ✔️a✔️b , qui n’a été établie que pour les nombres « réels » positifs.
En revanche elle peut parfaitement s’étendre aux nombres complexes, mais avec une contrainte supplémentaire et une seule, que ✔️(-1) a pour carré -1. Ainsi ✔️-121 = ✔️{(-1)121} = ✔️(-1)✔️121 = 11✔️(-1). Aussi c’est une idiotie beaucoup trop répandue dans « l’éducation nationale » que « l’on ne peut noter « i » comme ✔️(-1). On le peut au contraire sans problème, moyennant cette seule contrainte supplémentaire rappelée ci-dessus.
Sachez enfin qu’il n’y a pas qu’un seul type de « nombres complexes » en 2D, mais trois!…
Cette vidéo commence bien. Une aire négative n'est pas possible, pas plus qu'un côté de carré négatif. Donc elle commence par nous dire que le produit de deux nombres positifs ne peut être négatif...
1:20 ce n'est pas parce que la fonction cube parcourt tous les réels que son graphe coupe toute droite. Cos + Id ne croise jamais Id -2, par exemple.
comment as tu fait pour tracer les surfaces complexes dans le cadre de l'équation du second degré (0.5 *x² - x +2) ?
aurais tu un script python pour essayer de les tracer ?
Pourquoi n'a-t-on pas créé un autre nombre imaginaire pour le carré de deux nombres négatifs, ce qui le distinguerait du carré de deux nombres positifs ? Je ne vois pas immédiatement l’intérêt, mais cela permettrait au moins de les distinguer et de retrouver le réciproque si jamais un mathématicien souhaite faire le chemin inverse.
Exemple : Si tu ne notes pas la racine d'un nombre, tout nombre positif peut être le carré de deux nombres positifs ou négatifs. Par contre, si tu utilises un indice
𝑚
m, cela signifierait que la racine de ce nombre est le carré de deux nombres négatifs. Par exemple,
4=2^2 ou (-2)^2
Pour éviter l’ambiguïté, on pourrait écrire.
4=2^2 et 4m=(-2)^2
J'ai l’impression que ça pose un problème.
√(4m)=√((-2)^2)
2m=-2
m=-1
Cela voudrais dire que -1=1
Ce qui n'est pas tout a fait faux puisque cela reviens au fait qu'il y a deux solutions.
Mon outils est donc inutile puisque il y a quoi qu'il arrive deux solutions.
m=-1 ou 1 mais pas les deux en même temps si non cela voudrait dire que -1=1 ce qui est interdit.
Tu te mélange un peu les pinceaux, et c’est dû en partie à un mauvais enseignement dont tu as souffert sans le savoir. 4 a bien deux « racines carrées », 2 et -2, au sens où la « racine carrée » est définie comme le ou les nombres dont le carré vaut le nombre de départ.
Mais le symbole ✔️4 est réservé (arbitrairement) à la racine positive 2. L’autre on la notre simplement -✔️2. C’est aussi simple que ça. Il n’y a donc rien à « inventer » de plus. Tout est en ordre.
On aurait pu faire le contraire et définir ✔️4 = -2, mais on a choisi l’inverse. Ce choix est arbitraire, et « le plus simple ».
Mais il faut garder toujours en tête qu’une équation du second degré, même sur R uniquement, à toujours potentiellement deux racines. Autrement dit, si elle en a une, son opposée (dans un repère bien choisi) est aussi une racine.
Mais cette situation est particulière, car écrire une « équation » revient à travailler dans un contexte particulier et restrictif des courbes (quadratiques) de la forme : y = f(x). Donc sous forme dite « fonctionnelle ». Mais l’équation du cercle unité par exemple ne rentre pas dans cette restrictive, car elle s’écrit dans un repère orthonormé direct : x^2+y^2 = 1. Et il n’y a pas moyen de l’exprimer sous forme fonctionnelle, avec une fonction d’une seule variable.
Dans le cas général donc, une parabole dont l’équation algébrique (pas nécessairement fonctionnelle) est toujours du second degré (quadratique), peut très bien être « penchée ». Ses deux racines n’apparaissent alors pas comme opposées l’une de l’autre. Mais cela redevient vrai dans un repère bien choisi, dont les axes sont ceux de symétrie de la parabole.
Enfin pour l’imaginaire pur « i » que l’on peut tout aussi bien noter ✔️(-1), il peut être représenté de multiples façons. Comme un vecteur (0,1) du plan, ou comme une matrice 2D (de rotation) de 90°, agissant sur les vecteurs du plan, ou comme une aire unité orientée, etc. Sont carré étant une rotation de 180°, i.e une symétrie centrale, il est très normal et intuitif qu’il vaille « -1 ». Il faudrait dans ce cas mieux l’écrire -Id (l’opposé de la transformation Identité)
tu parles de "decouvrir l'existence" et ensuite de "creation", je sais que c'est un argument philosophique mais ca serait plus simple de s'en tenir a l'explication simple (et plus facile pour les neophytes): les nombres sont créés par les mathematiciens pour resoudre certains problemes, la creation de i rentre la dedans, on a pas "decouvert" la racine de -1, on l'a simplement definie, et on s'est rendu compte que c'etait extremement utile.
Non vous vous trompez totalement. La structure des « nombres complexes » existe en elle même. Elle existait avant qu’on la découvre, et existerait même si on l’oubliait. Elle était même déjà connue du Grec Aristarque de Samos à travers une identité remarquable qui permet leur existence. Il ne savait pas tout ce sur quoi cette identité ouvrait, mais il en tenait déjà une porte d’entrée.
Ce qui est inventé par les humains mathématiciens sont en revanche les notations et les symboles, la façon d’en parler dans une langue définie, et un système de pensée. D’ailleurs il y de nombreuses façon de les décrire et de les représenter. Elles sont en partie équivalentes mais cela demande certaines connaissances pour le comprendre.
Petite erreur à la toute fin: "{-i:i} ⊄ C", je pense que tu voulais dire "{-i;i} ∈ C"
Sinon excellente vidéo comme d'hab
Il s'agit d'un ensemble contenant deux éléments donc on utilise le symbole inclus plutôt que appartient.
Il voulait surtout dire que {i,-i} n'est pas inclus dans R
@@jeanmariebigard2649 ou qu'il est inclus dans C oui
Je me suis trompé, je voulais dire qu'il n'est pas inclus dans R (ou qu'il est inclus dans C ça revient au même)
@@RayannMaths_ 👍
On peut imaginer que certains matheux se sont dit , mais comment je calcule comme d'habitude si x²=-1 ?
Ca marchait et ca donnait des résultats nouveaux. Ca n'a pas été la révolution d'un seul mec.
Après un certain nombre d'années , les matheux ont vu des miracles apparaitre et des applications concrètes dans le calcul de phénomènes quotidiens.
Le résultat de cette idée simple est impressionnant dans la vraie vie.
Le retour du goat 🔥
merci de t'aventurer sur des sujets un peu plus lointain que le lycée
C est les maths expertes du lycée en terminale
@@paulfrancoisantoine5752 je ne suis pas encore en terminal j'ai donc écrit en pensant que ca dépasse ce niveau
Je ne comprends pas le 1e argument employé "l'aire du carré" "logiquement le résultat sera toujours positif"; il me semble que c'est valable pour toute aire pas spécialement celle d'un carré!
c'est bien valable pour toute aire, pas spécifiquement celle du carré
@@RayannMaths_ Du coup je ne vois pas le sens de l'argument logique et le rapport à "i".
Le carrés sont positifs, les aires des rectangles sont positives, donc les produits sont positifs, et alors?
@@cainabel2553 ce que je veux dire par là, c’est que l’idée qu’un nombre au carré soit négatif est très contre intuitive, parce que le carré d’un nombre peut reprendre une l’aire d’un carré (qui est donc positive).
@@RayannMaths_ Non, tout comme une ligne (segment), une surface peut être orientée et sa mesure peut être négative, et c’est parfaitement naturel, tout comme la chiralité opposée des deux mains, ou comme un vecteur est orienté.
On fait des flèches et des danses dans un sens giratoire bien défini, depuis la nuit des temps. C’est bien que l’orientation est une notion parfaitement « intuitive » et maitrisée par l’humanité et le monde vivant depuis « toujours ». Ni un lézard ni une baleine ne confondent leur tête et leur queue. Le matin est orienté vers le « zénith » du soleil et midi le plus chaud de la journée. Et inversement vers « minuit ». L’orientation est un concept et une réalité omniprésente et universelle.
Les choses ne deviennent « contre intuitive » que lorsqu’on a mal compris le sujet et qu’on essaie de mal expliquer les choses, comme si on essayait d’expliquer qu’un canard est une vache.
N'y a t'il pas l'ensemble H au dessus de C (les quaternions)
Il y a bien des ensembles plus grand que C (H pour les quaternions, O pour les octonions et S pour les sédénions)
l’ensemble H rajoute epsilon et j comme epsilon ^2=0 et j^2=1 mais sinon ce genre d’ensemble sont bien trop compliqué à la portais de très peu de personne leur complexité est sans précédent déjà parler d’hypercube en 4 d alors parle d’un hypercube en 8d rompiche
@@skopie-_-586 Non il n’y a pas de « epsilon » dans l’ensemble des Quaternions H, dont le carré vaut zéro. Il y a simplement deux autres « vecteurs » j et k, dont le carré, comme celui de « i » vaut -1. Vous confondez avec une autre structure important où ce epsilon sert notamment à construire un calcul différentiel parfaitement algébrique correspondant aux célèbres « infinitésimaux » du XVII ème siècle.
En outre H n’est en rien « si compliqué » puisqu’il décrit au contraire parfaitement les rotations 3D, que l’on manipule chaque jour comme Mr Jourdain « sans le savoir ».