[ENEM 2010] 157 📘 GEOMETRIA ESPACIAL Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de

[@whendervelleny7665]

Eu amo quando pesquiso uma questão e tem resolução desse canal kkkkkk

[@Licasi-x9q]

As melhores resoluções ❤

[@erikaoliveira5243]

Graças a Deus achei esse vídeo, assisti uns 3 e apenas com esse consegui entender, perfeito!

[@MrRepMite]

faltou nessa questao uma figura demonstrando o formato real da manilha, ou pelo menos uma indicacao de que se trata de um cilindro sem "tampa" ou "fundo", pois quando eh dito "envolvido homogeneamente", se vc nao tem o conhecimento do formato real do objeto, vc ira imaginar todo o cilindro (incluindo sua "tampa" e "fundo") sendo envolvido, o que leva a uma resolucao errada.

[@Ipivata]

ou seja, para acertar a questão tinha que saber oq era uma manilha, é brincadeira viu enem

[@pamelakadjaoliveirafonseca639]

Finalmente entendi essa questao de forma pratica, sinceramente sua didatica é totalmente divina

[@profcaju]

🥰

[@orlandosantos1927]

Quando eu li a questão já entendi o que a questão estava pedindo! Resolvi e depois dei o play no vídeo para ver se estatava certo!

[@lunasousa0]

Poderia ter um caju pra toda matéria, o senhor destrincha a questão todinha ❤

[@francielleforte4386]

Como pode existir uma pessoa tão perfeita nas explicações das resoluções, só com você eu entendi. Muito obrigadaaaaa!

[@profcaju]

Uhull!!! Brigadão pela super força, Francielle 😊 Você é demais 🤗 Tmj. Grande abraço

[@matheusborgesloures7961]

Professor caju, nessa questão poderia achar a área total do cilindro e multiplicar por 0,2 que é a espessura e, assim acha o volume ?

[@GabrielSouza-m1w]

Eu consegui resolver esta questão com um rolo de etiqueta no meu trabalho para ficar fácil a visualização😂😂

[@teixeirapogg]

A questão não deveria falar que o concreto envolveria somente a área lateral? Nem todo mundo saberia que uma manilha é um tubo...

[@profcaju]

Olá, Xibatinha. Mesmo não sabendo o que é a manilha, com a história do enunciado podemos concluir que é um tubo... sendo um tubo que passa água por dentro, não podemos fechar a parte superior nem inferior... só podemos envolver a parte lateral.
Essa interpretação de texto fazia parte do que estava sendo cobrado nessa questão 🥰 Tmj. Grande abraço

[@pavieira]

A pressão da prova me faz emburrecer :((

[@profcaju]

Acontece ;( por isso treinamos para o nível estar lá em cima 🥰🥰

[@anaclaracorecha6462]

Eu errei porque somei 20 cm de espessura na altura em cima e em baixo ( duas bases). A questão não especifica que é apenas na lateral adicionado o concreto.

[@cryptosboy]

Manilha de esgoto não tem tampa

[@marcosvitor1308]

@@cryptosboy então teria que saber oq era manilha de esgoto pra responder esse questão asuhahsuhas. O ENEM me surpreender a cada dia

[@victorhugo-rf8rn]

O maior desafio seria interpretar e resolver os cálculos em 3 minutos

[@profcaju]

Com certeza, Victor Hugo 😊 Mas, lembre-se que esse valor de 3 minutos por questão é uma MÉDIA! Ou seja, existem questões que irão demorar menos do que 3 minutos, e outras questões irão demorar mais do que 3 minutos. 🤗 Tmj. Grande abraço

[@elita9005]

11²=121
12²=144
15²=225
25²=625

[@Ipivata]

conclusão: estudantes da nova geração não sabem o que é uma manilha

[@GlemselensElv]

Kkkkkkk estava calculando o volume do cone e não do cilindro kkklkkkkl

[@Jeancmendes]

Um dos poucos professores do TH-cam que n força a resposta.

[@alicemarques504]

meu deuuuuuus, mt fácil. Na hora do simulado eu usei o 3 sem ser 3,1 por falta de atenção e acabei marcando E

[@analuizabarbosa7346]

Achei q iria ter tampa e n achei nenhum resultado nas alternativas 🥴

[@walisonpereira6910]

Por que eu não poderia fazer área lateral ( 2.pi.r .h) x Espessura?
Eu fiz assim e deu a letra E... Não entendo porque não pode.

[@lucasmisael4000]

Sei que já faz muito tempo, mas também estava me perguntando isso. Creio, que quando contamos com a área lateral sendo constante está o erro, pois a primeira área lateral o raio é 1,2 a segunda o comprimento do raio diminui, pois, aquela área já foi ocupada. Seria como enrolar uma folha de almaço e tentar colocar ela 20 vezes para aumentar a espessura, como ela tem o mesmo tamanho então a espessura não aumentaria pois o espaço ocupado pela primeira será o mesmo que ocupado pelas pr[oximas.

[@JoaoPedro-up8lv]

Fiz as contas considerando a área das bases e, logicamente, não cheguei no resultado. Acho que o mínimo seria falar no enunciado que passa água pelo cilindro, ninguém é obrigado a saber o que é uma manilha de esgoto.

[@Ipivata]

a minha deu 72 reais, foi difícil!

[@franciscavitoria3341]

"Foi envolvido", mudou todos os meus cálculos. Vlw Caju! Abç.

[@profcaju]

🤗

[@nassondiniz4548]

Esse enem é uma palhaçada kkkkk to com cara de encanador pra saber o que diacho é uma manilha de esgoto

[@catiasilvaNelo]

Da onde veio esse 0,08?

[@profcaju]

Olá Catia. Por acaso você está se referindo ao 0,08 que falei em 8:53? É sempre legal indicar o tempo do vídeo que se encontra sua dúvida, facilita muito a vida de quem for responder... isso lhe ajuda a ter sua resposta mais rapidamente.
O 0,08 que apareceu no meio do cálculo é como eu faria o cálculo 1,44*4 de cabeça.
Pra multiplicar um número por 4, devemos multiplicar por 2, duas vezes, pois o 4 é 2*2.
Assim, temos que dobrar o 1,44 duas vezes para chegar até o resultado de 1,44*4.
Dobrando o 1,44 a primeira vez, temos 2,88. Essa é fácil.
Agora, temos que dobrar o 2,88, esse é mais difícil. Portanto, eu faço por partes. Separo o 2,88 como sendo 2,8 + 0,08, e dobro cada parte.
O dobro de 2,8 é 5,6, e o dobro de 0,08 é 0,16. Portanto, o dobro de 2,88 vai ser 5,6 + 0,16 = 5,76.
O cálculo de cabeça é legal pra gente fazer a resolução mais rapidamente. Mas, se você tem dificuldade nisso, faça o cálculo separadamente, no cantinho do papel, pra ter certeza que está calculando corretamente 🥰 Tmj. Grande abraço

[@MariaClaraSantosAraujo]

Professor, excelente resolução! Porque eu não poderia calcular o comprimento do cilindro, como se estivesse abrindo ele (utilizando 1,2 de raio na fórmula C= 2piR), e depois disso, fazer como se fosse uma planificação?
Fiz isso e deu 59,52 reais, não sei o que deu errado.
Quando encontrei o comprimento (7,44) multipliquei pela espessura (0,2) e depois pela altura (4), como se estivesse encontrando o volume de um "retângulo". O que fiz de errado?

[@profcaju]

Olá Maria Clara. Nós não podemos fazer, pois esse sólido planificado encontrado não terá o mesmo volume que o prisma de base retangular que você calculou.
Para ver que não terá o mesmo volume, acho mais fácil pensar no sentido contrário. Vamos começar pensando no sólido planificado. Esse sólido faz de conta que tem volume 100 m³, com uma espessura de 20 cm.
Agora imagine você enrolando esse sólido para formar o cilindro. Você consegue imaginar que o prisma vai começar a ficar enrugado na parte de dentro? Isso pq o cilindro tem menos cimento na parte de dentro do que o prisma. O prisma tem a mesma quantidade de cimento em toda extensão, pq ele é reto. Mas como a parte interna do cilindro é menor que a parte externa (tem raio menor), então há menos cimento na parte interna, e quando enrolamos fica tudo enrugado para compensar essa diferença.
Como esses dois sólidos possuem volumes diferentes, não podemos calcular do jeito que você pensou 🤗 Tmj. Grande abraço

[@physicsfan123]

Você pensou corretamente Maria, tendo em vista que no conteúdo abordado no Ensino médio não há explicação formal das equações de volume dos sólidos de revolução. Porém, se você tiver curiosidade pesquise sobre o método das cascas cilíndricas - esse tópico é visto no curso de Cálculo II. Para calcular o volume da casca, você teria que considerar a espessura infinitesimal do prisma dx (que será a espessura da casca cilíndrica). Veja como fica nesta figura: image.slidesharecdn.com/x2t0602cylindricalshells-100507034548-phpapp01/95/x2-t06-02-cylindrical-shells-2010-10-728.jpg?cb=1273204134. Com isso, obtém-se a equação V = ∫2.π.x.f(x).dx onde f(x) é a função que delimita a superfície de revolução (que nesse caso é a altura do Cilindro f(x) = 4). Por conseguinte, essa equação poderia ser traduzida como V = ∫2.π.r.4.dr, sendo os limites de integração o intervalo de 1 a 1,2. Após a integração tem-se, V = 8π.(1,44/2 - 1/2) = 4.π.0,44 = 5.456. Sendo assim, através do uso do cálculo diferencial, os excessos que o professor discutiu na analogia não são considerados. Por fim, eu acho que essa questão deveria ter sido anulada, pois muitos amigos meus fizeram da mesma maneira que você e acabaram marcando a alternativa "e", e com as técnicas abordadas no Ensino Médio não há como provar matematicamente que essa resolução está errada. A analogia que o professor fez é muito boa, porém não é uma demonstração matemática, por isso pode ficar um pouco confuso pra quem ainda não estudou cálculo.

[@riquemacedo7954]

@@physicsfan123 Verdade! Mas o pior de tudo é que tem uma alternativa pra quem respondeu dessa forma 🤦🏽‍♂️

[@profcaju]

Olá Thiago. Já que seu comentário está sendo bastante visto por aqui, e até sendo comentado, é importante eu deixar claro alguns pontos.
Desculpe-me lhe contrariar, mas sua conclusão não é válida nessa situação. Vou tentar abordar cada ponto divergente:
1) *Não há explicação formal das fórmulas dos volumes dos sólidos de revolução*
Realmente, não é abordado a demonstração formal no Ensino Médio, mas isso não é argumento para dizer que uma resolução errada está correta. É como dizer que poderíamos aplicar a fórmula do volume de uma esfera em um cubo pois não há uma demonstração formal da fórmula do volume da esfera no Ensino Médio. Nós conseguimos enxergar, sem demonstração formal, que um cubo não é uma esfera.
Assim como nessa questão, a manilha da questão é visivelmente diferente de um prisma que geraria o resultado apresentado pela letra E, não precisando de uma demonstração formal para chegarmos a essa conclusão, basta olhar.
No âmbito do Ensino Médio, fazer "demonstrações" mais palpáveis, mais práticas (menos formais) é algo totalmente válido, pois a Matemática envolvida no Ensino Médio é muito básica, e as pessoas que estão estudando nessa fase da vida não possuem a base necessária (nem, muitas vezes, a vontade) de aprender uma Matemática mais formal assim.
Ou seja, apenas com o "feeling" que apresentei no meu comentário já é suficiente para considerarmos errada a alternativa E.
*2) Método das cascas cilíndricas*
Esse método é válido apenas quando calculamos a SOMA DE INFINITAS cascas infinitesimais, ou seja, só é válido quando calculamos a integral que você citou (integral é um somatório). Mas, o cálculo apresentado pela colega, e dado como resposta a letra E, apresenta o volume apenas de UMA CASCA mais grossa, que não é infinitesimal... ou seja, é completamente diferente da situação das cascas cilíndricas, não podendo haver um paralelo do jeito que você apresentou.
*3) Os excessos que o professor discutiu na analogia não são considerados*
Na verdade o ponto chave aqui não é que os excessos que citei não são considerados na integral. No método das cascas cilíndricas os excessos NÃO EXISTEM por causa do fundamento do método mesmo.
Quando tratamos de cascas infinitesimais, o excesso que citei no meu comentário não existirá, pois cada casca infinitesimal envolvida na integral NÃO possui uma ESPESSURA suficiente para causar o enrugamento quando enrolada. Mas, quando tratamos a manilha apenas como uma CASCA GROSSA, como a colega apresentou, saímos do universo do método das cascas cilíndricas e os excessos passam a ter valor considerável, nos obrigando a levar em conta nos cálculos.
Concluindo, a teoria envolvida no Ensino Médio e essa questão estão perfeitamente elaboradas, não havendo a menor dúvida sobre sua validade e gabarito 🤗 Tmj. Grande abraço

[@physicsfan123]

@@profcaju Entendo perfeitamente os seus pontos professor, gostei bastante da sua explicação. Na primeira vez que me deparei com um tipo de questão similar, eu imaginei que a casca seria planificada sem nenhum tipo de deformação na estrutura física e, portando, o volume do prisma resultante seria igual ao da casca - no ensino médio, o meu professor explicou como fazer esse tipo de problema da mesma maneira que o senhor fez no vídeo, mas eu decidi fazer planificando no simulado, pois era mais rápido e muitas pessoas da minha sala acabaram pensando da mesma maneira. Depois disso, quando vi que tinha errado a questão, fiz a subtração do volume dos dois cilindros e obtive o resultado correto, daí perguntei ao meu professor e ele basicamente disse que esse tópico não poderia ser feito utilizando a planificação, porque o resultado iria ficar errado. Na época fiquei frustrado com isso (já que os meus livros também não mencionavam essa problemática), e como eu só possuía conhecimentos de Física e Química tentei usar isso pra justificar a minha resolução, então eu imaginei uma estrutura cilíndrica, como um cano de borracha, sendo cortada num segmento paralelo a altura e posteriormente esticada até formar um prisma. Por fim, conclui que essa estrutura possuía a mesma conformação atômica e densidade da casca e por isso considerei que o volume dela era o mesmo.
Consequentemente, eu acabei desistindo desse problema, mas quando vi isso em C2 esse ano fiquei bastante feliz. Resumindo, eu refleti e entendi melhor o exemplo da caixa de papelão, pois assim como no exemplo do cano cortado, o prisma formado pelo corte da caixa possui, de fato, o mesmo volume da casca. Entretanto, quando eu pensei sobre a caixa sendo enrolada, eu interpretei que a diferença do volume ocorre porque a circunferência é um "polígono" de lados infinitos, sendo assim a linearização da mesma obtém, no máximo, uma aproximação para o comprimento original dela, de maneira análoga, conclui que não é possível descrever o volume da planificação de um sólido de base circular, a não ser que seja utilizado Cálculo e um objeto ideal. No entanto, tanto a explicação formal quanto a analogia que o senhor fez não são vistas no Ensino Médio, devido a isso eu conclui anteriormente que essa questão não deveria ser cobrada, pois os livros do ensino médio também não explicam essa situação (que é o volume do sólido planificado, a explicação do volume da casca existe!), como por exemplo: no livro Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 10 de Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo (o melhor livro de Geometria Espacial de ensino médio, que eu conheço), há um capítulo dedicado a superfícies e sólidos de Revolução, porém não é discutido o problema que nós estamos discutindo agora - não há nenhum tipo de menção ou analogia a esse. Todavia, nesse tópico do ENEM a existência da alternativa “e” deixa claro que esse conhecimento prévio é exigido. Contudo, se essa não existisse a questão seria perfeitamente válida, já que o participante iria ver que estava errado e tentaria o outro método.

P.S. Eu concluí Cálculo II nesse semestre, mas ainda tenho algumas dúvidas sobre a teoria desse tópico, espero que C3 explique isso melhor kkk. Além disso, agradeço pela sua atenção professor, o senhor disponibiliza um conteúdo muito bom no seu canal (e ainda responde as dúvidas!), com certeza os seus vídeos estão ajudando muitos alunos durante a quarentena.

[@caioribeiro7898]

Resolução incrível !

[@profcaju]

Vlw pela força, Bacharel 🤗 Tmj. Grande abraço

[@ictorgrande]

o meu deu 56, aí marquei o mais próximo :)

[@marcosvitor1308]

Professor, por que não aumentou a altura de 4 para 4,4? você disse que o cilindro não tem tampa, mas a questão falou que o cilindro foi envolvido homogeneamente, ou seja igual para todos os lados

[@Ipivata]

fiquei com essa dúvida tb

[@palomamarques4483]

Como eu saberia que não vai concreto na tampa e na parte de baixo? A questão não fala nada sobre isso :(

[@profcaju]

Olá Paloma. Ótima pergunta 😊
Para concluírmos que não colocaremos concreto na tampa e na base, temos que entender o que é uma manilha (veja em no minuto 1:35).
Como essa manilha é um cano, não podemos tapar as extremidades! Se taparmos não irá passar água pelo cano. Por isso não podemos tapar a manilha com concreto 🤗 Tmj. Grande abraço

[@andreborges8768]

Obrigado prof Caju! Suas resoluções são super fáceis de entender, parabéns pelo trabalho!

[@lovestory-yk9ju]

nossa. o caju é mto fodaaaaaaaaaaaaaaa. valeu pela resolução!!!!!!!!!!!!!!!!

[@Meinicke1]

Valeu.

[@kevindonansan]

ata e agr eu tenho q saber q uma manilha não tem tampa? kkkkkkkkkk de qlqr modo, obrigado pela resolução prof!!

[@laismendonca1976]

obrigada prof

[@allvesmariia]

quando as coisas começam a fazer sentido na minha cabeça kkk

[@gabrielcomarc5110]

Olá, eu errei a questão por pensar que haveria acrescentado homogeneamente a massa, daí aumentaria na altura também 0,4 m, o que fiz de errado?

[@profcaju]

Olá, Gabriel. Eu falei mais ou menos sobre isso em 04:55.
Veja que temos um tubo que serve para ser conectado a outro tubo, depois a outro, depois a outro... para formar a tubulação de esgoto (uma tubulação não pode ter apenas 4 m de comprimento, tem que ser maior, por isso temos que pensar que irá engatar um tubo no outro).
Portanto, não teremos tampa nem chão nesse cilindro, apenas a casca de concreto em volta. Se colocássemos pra cima e pra baixo, na hora de engatar um tubo no outro estaríamos encostando concreto com concreto, o que não traria a vedação necessária.
O fato de ter dito "homogêneo" só quer dizer que não tem partes do concreto que serão mais espessas que outras partes. Tudo é da mesma espessura 🥰 Tmj. Grande abraço

[@rodrigogvrodrigues]

AAAH ENTENDIIIIIIIII

[@carlacristina3228]

Que explicação top, parabéns 👏👏

[@kaioandrade3011]

Professor, qual o nível dessa questão no enem?

[@gtxtiger813]

Difícil

[@jcufycugi6047]

Media

[@eusoumarinareis]

Muito obrigada por ser a pessoa que me faz não odia matemática! kk

[@riquemacedo7954]

Professor eu tenho uma dúvida
Eu resolvi de outra maneira: primeiro calculei a área da superfície lateral e depois multipliquei pela espessura
Fiz assim: V= 2pi.R. h . 0,2
Porque ao fazer assim o valor do volume da manilha da um resultado diferente do volume da maneira que você fez nessa resolução?
Gostei demais do vídeo parabéns 👏🏽👏🏽👏🏽

[@profcaju]

Olá Rique. Brigadão pela força 😊 Veja a resposta que dei para a usuária Maria Clara aqui nos comentários. Ela teve a mesma dúvida que você 🤗 Tmj. Grande abraço

[@larissalongo9170]

muito bom

[@emyllefv_]

Ótima explicação!!! Professor, toda vez que a questão falar do volume do material tenho que lembrar que será o total menos o volume do ar? Lembro que já caiu uma vez no Enem falando sobre a madeira em uma caixa e a resolução era semelhante a essa. Confundo muito e acabo fazendo o total apenas :/

[@profcaju]

Perfeito, Emylle. Pode tomar como uma regra de cálculo de material: volume exterior menos volume de ar 🤗 Tmj. Grande abraço

[@victorfigueiroa5193]

Nossa kkkkk comassim o Sr não sabia o que era manilha rsrsrsrrs

[@victorfigueiroa5193]

Mas, brincadeiras a parte, ótima resolução.

[@profcaju]

Poxa, pra mim "manilha" sempre foi aquela peça de aço pra unir dois cabos!!! rsrs... 😊 Vlw pela força 🤗 Tmj. Grande abraço

[@biaborges6795]

explicação topp, mt detalhada valeu prof

[@luisalisboa5708]

Excelente resoluçao, professor! Quando fiz, considerei que o novo raio seria 1,1, não 1,2. Por que a espessura, quando dada, nao faz referencia ao total? como o diâmetro?

[@skyllerboreal1475]

nossa, eu estava me perguntando o msm. n faz sentido

[@eusoumarinareis]

perfeito

[@igorlacerda8575]

Man, se não for abusar da sua generosidade, vc poderia me dar uma ajuda?
Bem, eu errei a questão, pensei que o produto da área lateral do cilindro pela espessura do concreto daria a resposta, isto é:
(2πR*h)(espessura) = V
Nessa linha, seguiria com os dados:
[2*(3,1)*(1)*(4)] (2/10) = 4,96
Multiplicando o resultado pelo custo por m^3:
Letra eco 49,60
Okay, está errado. Mas porque? Esse não seria um raciocínio válido?
Bom, obrigado desde já, não só por uma eventual ajuda, mas por todo o seu trabalho.

[@profcaju]

Olá Igor. Brigadão pela força 😊
Acredito que você tenha pensado como se fosse um PRISMA, não é? A fórmula do volume de um prisma qualquer é V=Ab⨉h. Daí você imaginou que a base seria a área lateral do cilindro e a altura seria a espessura. É isso?
Vou recapitular o que é um prisma. Um prisma é quando a gente pega uma figura plana qualquer e dá uma altura pra ela! Ou seja, a base do prisma sempre será uma figura plana!!! Na sua resolução, você considerou a área lateral como sendo a base, mas a área lateral não plana, por isso não podemos aplicar a fórmula desse jeito.
O concreto dessa questão forma um prisma, e podemos aplicar a fórmula do volume do prisma, sim. Mas devemos escolher a base correta e a altura correta. A base do prisma de concreto será uma coroa circular com raio maior 1,2 e raio menor 1,0. Daí podemos encontrar a área dessa coroa circular e dizer que vale "Ab".
A altura será os 4 m. Agora sim podemos aplicar a fórmula V=Ab⨉h 🤗 Tmj. Grande abraço

[@igorlacerda8575]

@@profcaju Saquei man, vlw

[@profcaju]

🤗

[@kerolaine.s.r.carvalho]

prof o senhor poderia pfvr resolver a questao do ENEM 2013 156 do caderno amarelo das torres puerta de Europa.
abraço

[@profcaju]

Ok, Kerolaine 😊 Adicionei sua solicitação na fila de gravação 🤗 Tmj. Grande abraço

[@wellitonbezerra9559]

Excelente professor!!!