@@SH-ly1uy Bayern, unsere Lehrkraft hat nur die 2te Ableitung vorgezogen. Dann kamen halt so ähnliche Aufgaben mit der 2ten Ableitung dran. Anspruchslevel war scho höher aber genau des Prinzip so
Besonders schön fand ich diesmal, die Kurve vor Augen zu haben und mir mal wieder zu vergegenwärtigen, was eigentlich die Ableitung der Funktion graphisch bedeutet. Vielen Dank! 👍😊👏🎶
Danke fürs Auffrischen meiner Abi Kenntnisse von vor 3 Jahren... Wusste tatsächlich noch alle Lösungen, danach hört es aber auf, also wäre ein Level 2 super! Vielen Dank für die anschaulichen Erklärungen❤
Immer wieder faszinierend, wenn man auf Anhieb etwas versteht, obwohl man eine 0 Punkte Niete im Abi war. Danke. Die meisten Mathelehrer früher waren Fachidioten jenseits von Gut und Böse und fachdidaktische Nieten. 😩
Liebe Susanne, deinem Video hab ich heute sehr Aufmerksam zugehört . Du hast es so gut erklärt das ich alles verstanden habe. Darüber hab ich mich sehr gefreut. Vielen Dank. 🤗💝👍
Bei Aufgabe e) geht es um die Änderungsrate. Ist diese Rate nicht ein Absolurtwert, so dass eine negative Änderungsrate vom Wert her größer sein kann als eine Positive? Oder habe ich das falsch verstanden?
Ein interessanter Ansatz. Ich glaube aber nicht, dass die Absolutwerte damit gemeint sind. Trotzdem wäre die Änderungsrate bei x=0,5 größer. Die Steigung ist dort 3,75 und im Intervall [1;2] - 2.
Ich möchte sogar noch weiter gehen. Die Änderung selbst wird durch die 1. Ableitung charakterisiert. Eine Rate (vom lat. ratio = Verhältnis) charakterisiert wiederum eine Ableitung des Steigungsverlaufs also die 2. Ableitung!
Bei e bin ich anderer Meinung. Wenn die Aufgabe gelautet hätte "die Steigung bei x=0 ist größer als die durchschnittliche Steigung im Intervall [1:2]" hättest du recht. Aber die Änderungsrate sagt, die Veränderung - egal ob nach oben oder nach unten - Also ist entscheidend der Betrag der Steigung. Also wenn die 2. Gerade stärker fällen sollte, als die erste steigt, wäre die Antwort falsch.
Denke ich auch. Es geht also um den Betrag der Steigung. Fehler passieren 😊 mich wundert, dass sonst keiner was sagt. Oder die Frage ist falsch gestellt und unklar.
Hallo. Erstmal vorweg, ich finde es toll, dass es diesen Kanal gibt, denn es wird alles viel verständlicher erklärt, als von den meisten Mathe Lehrern. Gibt es ein Video, in dem du die Grundlagen der Funktionen erklärst? Mein Sohn hat nämlich gerade das Problem, dass er mit der Kurvendiskussion auf Kriegsfuß steht und ich möchte das Thema gerne mit ihm zusammen von Grund auf lernen….. Vielen Dank für deinen Kanal und dir damit verbundene Arbeit.
Was vielleicht auf den ersten Blick nicht auffällt - hier allerdings in den zu prüfenden Aussagen auch keine Rolle spielt - ist, dass die Skalen von x- und y-Achse gar nicht gleich sind.
Da der Anstieg an einer Stelle der Funktion f(x) durch die erste Ableitung f'(x) bestimmt wird, machst du dasselbe wie beim Bestimmen von Extrempunkten, nur stellst du da nicht f'(x) = 0 sondern den angegeben Anstieg. Bei deinem Beispiel wäre die Ableitung -4/x³, dies würde gleichgesetzt mit den 0,5 des Anstiegs, also ist -4 = 0,5x³, also ist -8 = x³, und somit x=-2. Also hätte die Funktion 2/x² an der Stelle x = -2 den Anstieg m = 0,5.
Schön erklärt! Bei 4:00, Frage d), wo es um den VZW von f' an der Stelle x = 1 geht, würde ich statt eines Pluszeichens und Minuszeichens, oder zusätzlich dazu, noch zwei Tangentensteigungen einzeichnen, eine steigende Tangente links vom Hochpunkt, z.B. bei x = 0,5, eine fallende Tangente rechts vom Hochpunkt, z.B. bei x = 1,5.
Bei Aufgabe d), ist es nicht so dass erst nach dem HOP bei x=1, die Funktion streng monoton fallend ist? Also dass sie erst bei x=1,1 streng monoton fallend ist.
Lösung: a) Falsch. An der Stelle 1 ist die Kurve nicht bei 0, sondern bei 5 b) Falsch. Die erste Ableitung entspricht der Steigung der Kurve an dieser Stelle. An der Stelle 1 ist die Kurve aber an einem Wendepunkt, wodurch die Steigung 0 ist. c) Richtig. An der Stelle 3 hat die Kurve einen weiteren Wendepunkt und die Steigung ist 0. d) Richtig. Durch den Wendepunkt wechselt die Steigung von positiv zu negativ. e) Richtig. Die Änderungsrate ist ein anderes Wort für die Steigung. Die Steigung an x=0,5 ist größer als die Steigung zwischen 1 und 2, da die letztere negativ ist. f) Falsch. Die Ableitung zwischen 1 und 2 ist negativ, da die Kurve fallend ist.
Hallo Susanne, guten Morgen, ich hoffe, die letzten Tage waren für dich erholsam und Du konntest Dich etwas ablenken und Kraft tanken. Wie an anderer Stelle geschrieben: weiterhin viel Kraft und viele liebe Meschen, die Dich (unter)stützen können. Zur Mathe-Aufgabe: a) falsch f(1) ist nichts anderes als der Wert von y an der Stelle x=1.. Der ist hier 5, also ist f(1)=0 falsch b) falsch f'(1) ist die Steigung der Tangente am Punkt P(x, f(x)). Am Punkt P(x, f()) ist die Tangente waagrecht, hat als die Steigung 0. Somit ist die Aussage f'(1)=5 falsch c) wahr hier hat die Tangente die Steigung 0, weil die Tangente waagrecht ist. d) wahr. Lässt sich auch visuell anschaulich zeigen.... Vorstellung: ein Auto, das von links kommend auf der "Kurve' entlang nach rechts fährt ... zuerst fährt es bergauf (positive Steigung), kommt an der 'Bergkuppe' (waagrechte Tangente) an und fährt danach bergab (=Gefälle, ='negative' Steigung) e) kann ich nicht beantworten... schaue gleich dein Video 🙂 f) falsch x=1 liegt innerhalb des vorgegebenen Intervalls. Da jedoch bei x=1 ein Vorzeichenwechsel stattfindet (vergleiche hierzu d)) kann es im vorgegebenen Intervall nicht nur positive Werte geben. LG aus dem Schwabenland.
Hallo. Ich glaube bei Frage D ist der Betrag der Steigung gemeint. Trotzdem ist die Steigung der Tangente bei x = 0,5 höher weil steiler bergauf als bei der Geraden durch x=1 und x=2. Will sagen bergaufwärts geht es steiler rauf auf den Berg als bergab.
ist die Frage e, hätte ich auch gedacht, da steht nicht Steigung sonderen Änderungsrate, ist damit vielleicht der Betrag der Steigung gemeint. --------------------------------------------------------------- Susanne, Du hast einen sehr schöner Kanal, erinnert an eine sehr unbeschwerte Jugend mit viel Spass und nur kleinen Problemchen, im Vergleich zu dem heutigen Irrsinn Überall.
Wie immer tolles Video. Ist der Mittelwert einer Steigung zwischen 2 Punkten tatsächlich "nur" die Steigung der Geraden durch die 2 Punkte? Im vorgegebenen Fall ist die Antwort wurscht, weil es ja eindeutig ist. Aber Beweis dafür? Bist du Linkshänderin? Du zeichnest deine Blitze andersrum.
Die Fragen sind einfach, allerdings hätte ich nicht gewusst, was sich hinter dem Wort „Änderungsrate“ verbirgt. Ist das überhaupt ein definierter mathematischer Begriff oder nur eine Wortschöpfung ?
Die Antwort zu d.) hätte ich vermutlich falsch beantwortet. Bei x1 ist sie (zunächst) negativ. Bei exakt x=1 ist die Steigung doch weder positiv noch negativ. An diesem Punkt fällt zwar die positive Steigung weg, doch negativ ist sie dort (noch) nicht. D.h. Änderung ja, aber noch nicht negativ. Oder hab ich da mal wieder ein Brett vorm Kopf?😂
Eine stetige Funktion - und das ist f' - kann doch gar nicht anders als durch eine Nullstelle von + nach - kommen. Zu prüfen ist also streng genommen tatsächlich: i) f'(x) > 0 für x < 1 ii) f'(1) = 0 iii) f'(x) < 0 für x > 1 ... wobei ii) aus i), iii) und der Stetigkeit von f' direkt folgt. Im Umkehrschluss heißt das, dass du die Frage direkt mit "falsch" beantworten könntest, wenn f'(1) ≠ 0 wäre.
Schönes Video , aber ich hätte zum Allgemeinen Verständnis mal noch ne Frage. Ja du hast uns zu jeder Teilaufgabe gezeigt ob die jeweilige Angabe wahr oder falsch ist . Aber diese Aussage allein würde ja in einer Klausur nur einen Teil der Punkte bringen . Da ja in der Aufgabenstellung immer gefordert ist Begründe die Aussage. Meine Frage währe daher was sollte den als eine Begründung für die jeweiligen Punkte da stehen ?
Erstaunlich, wie die Termonologie abweicht. Ich kenne das als Scheitelwert, Pol-Wert, Null-Wert. Anhand dessen laesst sich Frequenz ueber Zeit usw ausrechnen.
Sicher das d) richtig ist? Es handelt sich doch um die Ableitungsfunktion welche an der stelle keinen Wechsel von plus zu minus hat. Oder verstehe ich etwas falsch
wie ist bei Aufgabe "e" "durchschnittlich" definiert? Ich verstehe darunter, dass alle momentanen Änderungsraten addiert werden und dann das arithmetische Mittel gebildet wird. Entspricht dieser Wert dann der von dir gezeigten Geraden oder liegt er irgendwo zwischen dem Graphen und deiner Geraden?
Die klassische Durchschnittsbildung "Summe/Anzahl" funktioniert hier nicht, weil die Anzahl nicht nur unendlich, sondern sogar unzählbar ist - es gibt also keine Anzahl. Die Steigung an einem Punkt ist ja über die Ableitung definiert. Und derern ursprüngliche Definition ist ein "unendlich kleines Steigungsdreieck", welches über die Formel (f(b) - f(a)) / (b - a) definiert ist. Für die Steigung im Punkt a bildet man für diesen Quotienten den Grenzwert b gegen a. Für die durchschnittliche Steigung auf einem Intervall [a; b] setzt man die Randwerte ein und bildet keinen Grenzwert. Die gesuchte Steigung ist hier also (f(2) - f(1)) / (2 - 1) = 3 - 5 = -2. Und das ist die Steigung dieser sogenannten durch die beiden Punkte gehenden Näherungsgeraden. Eigentlich hat man ja umgekehrt mit der Bestimmung der Steigung solcher Näherungsgeraden angefangen und ist so auf den o. gen. Quotienten gekommen.
@@teejay7578 Die klassische Durchschnittsbildung funktioniert hier in der Tat nicht, das heißt aber nicht, dass sie überhaupt nicht möglich ist. Ich schreibe dazu noch einen gesonderten Kommentar.
Mal angenommen, du möchtest den Mittelwert aller Funktionswerte einer gegebenen Funktion f(x) in einem Intervall a ≤ x ≤ b wissen. Wie von Tee Jay richtig beschrieben, funktioniert hier die klassische Durchschnittsbildung "Summe/Anzahl" nicht. Jetzt überlegst du dir, dich dem Mittelwert schrittweise anzunähern: Mittelwert aus zwei Werten: [f(a) + f(b)] / 2 Mittelwert aus drei Werten: [f(a) + f((a+b)/2) + f(b)] / 3 Mittelwert aus elf Werten (mit Δx = (b − a)/10): [f(a) + f(a + Δx) + f(a + 2Δx) + ... + f(a + 9Δx) + f(b)] / 11 Allgemein: Mittelwert aus n+1 Werten mit Δx = (b − a)/n ⇒ b = a + n*Δx [ Summe(i = 0,n) f(a + i*Δx) ] / (n + 1) Diesen letzten Ausdruck kann man etwas umschreiben: [ Summe(i = 0,n) f(a + i*Δx) ] / (n + 1) = [ Summe(i = 0,n) f(a + i*Δx) ] / [ Summe(i = 0,n) 1] = [ Summe(i = 0,n) f(a + i*Δx)*Δx ] / [ Summe(i = 0,n) Δx ] Im letzten Schritt wurden Zähler und Nenner jeweils mit Δx multipliziert, der Bruch wurde also einfach nur erweitert. Wenn man jetzt immer mehr Funktionswerte berücksichtigt, das heißt, wenn n immer größer wird, dann wird Δx gleichzeitig immer kleiner. Im Grenzfall n ⇾ ∞ gehen dann die Summen in Integrale über: Mittelwert = [ Integral(a,b) f(x)dx ] / [ Integral(a,b) dx ] = [ Integral(a,b) f(x)dx ] / (b − a) Jetzt möchtest du aber nicht den Mittelwert der Funktionswerte wissen, sondern den Mittelwert der momentanen Änderungsraten, also der Ableitungen. Wenn f'(x) die Ableitung von f(x) ist, dann gilt wegen Integral f′(x)dx = f(x) + c: Mittelwert der momentanen Änderungsraten = [ Integral(a,b) f'(x)dx ] / (b − a) = [ f(b) − f(a) ] / (b − a) Der Mittelwert aller Steigungen einer Funktion f(x) in einem Intervall a ≤ x ≤ b entspricht somit tatsächlich der Steigung der Gerade durch die beiden Punkte der Funktion, die das gegebene Intervall begrenzen. Vorsicht ist sicherlich dann geboten, wenn im betrachteten Intervall Unstetigkeiten, Definitionslücken oder Polstellen auftreten.
Ich hab die Aussage d) überhaupt nicht verstanden; läuft das nicht darauf hinaus zu entschieiden, ob eine 0 positiv oder negativ ist? Wie kann ein Punkt(!) ein Wechsel sein?
Hilfreiches Video aber bei manchen Aufgaben hast du, glaube ich, f mit f' verwechselt. Auf dem Schaubild wird f dargestellt, aber die meisten Aufgaben drehen sich um f', deshalb müsste d) eigentlich falsch sein. Vielleicht irre ich mich aber auch.
Hey, du hast da vielleicht einen kleinen Denkfehler :) Sie betrachtet die Steigung des Graphen, was ja der ersten Ableitung entspricht. Sprich: Ist der Graph f steigend, sind alle Werte für f' in diesem Bereich positiv. Der Hochpunkt von f ist bei f' dann die Nullstelle, weil die Steigung 0 ist. Danach ist die der Graph von f fallend, also die Steigung negativ, wodurch in diesem Bereich die Werte von f' negativ sind :) Schau dir gerne an, wie man den Graphen der Ableitungsfunktion zeichnet, dann sollte es bestimmt klar werden :)
@@markusmeyer6346 Danke, jetzt verstehe ich meinen Fehler. Ich dachte, dass bei d) mit Vorzeichenwechsel gemeint ist, dass sich dort ein Extrempunkt von f' befindet und es somit falsch ist.
Zuerst hab ich versucht die Aufgabe selbst zu lösen. Diese ist Fehlgeschlagen. Ich konnte mit Ableitungen und Intervallen nichts anfangen und verstehe sowas nicht.
Aufgabe 6 ist falsch, zumindest die Begründung. „Änderungsrate“ bedeutet in dem Zusammenhang nicht Steigung, sondern ÄNDERUNG. Dann ist es egal, ob es sich dabei von 2 auf 1 oder 1 auf 2 verÄNDERT, es kommt nur auf die Änderung ab und diese ist immer positiv. Mag sein dass das Ergebnis trotzdem richtig ist, aber die Begründung ist falsch
Hallo Susanne, die Aussagen Deiner Ergebnisse sind ja alle einfach nachzuvollziehen. Aber reicht denn die "Feststellung" auch als Begründung aus? Ich finde, dass eine Begründung weit aus mehr beinhaltet als eine Feststellung resp. Behauptung ja/nein.
Minute 6 ist doch aber nicht ganz richtig, oder? Weil groß bedeutet ja nicht automatisch positiv, der Wert kann auch negativ größer sein? Ich meine zumindestens, dass wir das so gelernt haben.
Das "begruende" ist irgendwie haeufig etwas... komisch. f(1) ist offensichtlich 5 nicht 0, wollt ihr mich verarschen? Reicht da als Antwort "Mach die Funzeln auf!"?
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Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Des Video is eines der hilfreichsten Mathe Videos bis jetzt, weil genau solche Aufgaben bei uns in den Klausuren in Q11/1 und Q11/2 drankamen
In welchem Bundesland? Die Fragen sind ja super einfach
@@SH-ly1uy Bayern, unsere Lehrkraft hat nur die 2te Ableitung vorgezogen. Dann kamen halt so ähnliche Aufgaben mit der 2ten Ableitung dran. Anspruchslevel war scho höher aber genau des Prinzip so
@@SH-ly1uykann nur Hamburg sein
Schön, dich wieder gesund und munter zu sehen und zu hören.
Besonders schön fand ich diesmal, die Kurve vor Augen zu haben und mir mal wieder zu vergegenwärtigen, was eigentlich die Ableitung der Funktion graphisch bedeutet. Vielen Dank! 👍😊👏🎶
Danke fürs Auffrischen meiner Abi Kenntnisse von vor 3 Jahren... Wusste tatsächlich noch alle Lösungen, danach hört es aber auf, also wäre ein Level 2 super! Vielen Dank für die anschaulichen Erklärungen❤
Hey Susanne, schönes Video, ruft Erinnerungen an meine Schulzeit wach, Dankeschön und herzliche Grüße!
Immer wieder faszinierend, wenn man auf Anhieb etwas versteht, obwohl man eine 0 Punkte Niete im Abi war.
Danke.
Die meisten Mathelehrer früher waren Fachidioten jenseits von Gut und Böse und fachdidaktische Nieten. 😩
Liebe Susanne, deinem Video hab ich heute sehr Aufmerksam zugehört . Du hast es so gut erklärt das ich alles verstanden habe. Darüber hab ich mich sehr gefreut. Vielen Dank. 🤗💝👍
Super Video, bei dir lernt man immer wieder dazu. :)
Dankeschön, das freut mich! 🥰
Bei Aufgabe e) geht es um die Änderungsrate. Ist diese Rate nicht ein Absolurtwert, so dass eine negative Änderungsrate vom Wert her größer sein kann als eine Positive? Oder habe ich das falsch verstanden?
Ein interessanter Ansatz. Ich glaube aber nicht, dass die Absolutwerte damit gemeint sind.
Trotzdem wäre die Änderungsrate bei x=0,5 größer. Die Steigung ist dort 3,75 und im Intervall [1;2] - 2.
Sehe ich genau so und wollte das anmerken. Aber da war jemand schneller 😊.
War auch mein Gedanke. Am Ergebnis ändert das zwar nichts, aber an der Begründung.
Ich möchte sogar noch weiter gehen. Die Änderung selbst wird durch die 1. Ableitung charakterisiert. Eine Rate (vom lat. ratio = Verhältnis) charakterisiert wiederum eine Ableitung des Steigungsverlaufs also die 2. Ableitung!
Bei e bin ich anderer Meinung. Wenn die Aufgabe gelautet hätte "die Steigung bei x=0 ist größer als die durchschnittliche Steigung im Intervall [1:2]" hättest du recht. Aber die Änderungsrate sagt, die Veränderung - egal ob nach oben oder nach unten - Also ist entscheidend der Betrag der Steigung. Also wenn die 2. Gerade stärker fällen sollte, als die erste steigt, wäre die Antwort falsch.
Denke ich auch. Es geht also um den Betrag der Steigung. Fehler passieren 😊 mich wundert, dass sonst keiner was sagt. Oder die Frage ist falsch gestellt und unklar.
Jetzt habe ich dich doch abonniert, nachdem ich dich schon eine Zeit lang geschaut hatte! Wunderbar & vielen Dank!
Hallo. Erstmal vorweg, ich finde es toll, dass es diesen Kanal gibt, denn es wird alles viel verständlicher erklärt, als von den meisten Mathe Lehrern.
Gibt es ein Video, in dem du die Grundlagen der Funktionen erklärst? Mein Sohn hat nämlich gerade das Problem, dass er mit der Kurvendiskussion auf Kriegsfuß steht und ich möchte das Thema gerne mit ihm zusammen von Grund auf lernen…..
Vielen Dank für deinen Kanal und dir damit verbundene Arbeit.
Herzlichen Dank für das interessante Video aus der Analysis.
Beim Titel war ich etwas skeptisch, es war dann aber wie immer ein tolles Video 😊
Was vielleicht auf den ersten Blick nicht auffällt - hier allerdings in den zu prüfenden Aussagen auch keine Rolle spielt - ist, dass die Skalen von x- und y-Achse gar nicht gleich sind.
Könntest du bitte ein Video machen,
wie man herausfindet an welcher Stelle die Funktion eine bestimmte Steigung hat?
Zb. f(x)=2/x^2 , m=0,5
LG
Da der Anstieg an einer Stelle der Funktion f(x) durch die erste Ableitung f'(x) bestimmt wird, machst du dasselbe wie beim Bestimmen von Extrempunkten, nur stellst du da nicht f'(x) = 0 sondern den angegeben Anstieg.
Bei deinem Beispiel wäre die Ableitung -4/x³, dies würde gleichgesetzt mit den 0,5 des Anstiegs, also ist -4 = 0,5x³, also ist -8 = x³, und somit x=-2.
Also hätte die Funktion 2/x² an der Stelle x = -2 den Anstieg m = 0,5.
Schön erklärt! Bei 4:00, Frage d), wo es um den VZW von f' an der Stelle x = 1 geht, würde ich statt eines Pluszeichens und Minuszeichens, oder zusätzlich dazu, noch zwei Tangentensteigungen einzeichnen, eine steigende Tangente links vom Hochpunkt, z.B. bei x = 0,5, eine fallende Tangente rechts vom Hochpunkt, z.B. bei x = 1,5.
Bei 3:54 ist das, nicht 4:00.
Bei Aufgabe d), ist es nicht so dass erst nach dem HOP bei x=1, die Funktion streng monoton fallend ist? Also dass sie erst bei x=1,1 streng monoton fallend ist.
Lösung:
a) Falsch. An der Stelle 1 ist die Kurve nicht bei 0, sondern bei 5
b) Falsch. Die erste Ableitung entspricht der Steigung der Kurve an dieser Stelle. An der Stelle 1 ist die Kurve aber an einem Wendepunkt, wodurch die Steigung 0 ist.
c) Richtig. An der Stelle 3 hat die Kurve einen weiteren Wendepunkt und die Steigung ist 0.
d) Richtig. Durch den Wendepunkt wechselt die Steigung von positiv zu negativ.
e) Richtig. Die Änderungsrate ist ein anderes Wort für die Steigung. Die Steigung an x=0,5 ist größer als die Steigung zwischen 1 und 2, da die letztere negativ ist.
f) Falsch. Die Ableitung zwischen 1 und 2 ist negativ, da die Kurve fallend ist.
Sehr schönes mathe mini shop am schönsten sind die stifte😊😊🎉🎉
Hallo Susanne, guten Morgen,
ich hoffe, die letzten Tage waren für dich erholsam und Du konntest Dich etwas ablenken und Kraft tanken.
Wie an anderer Stelle geschrieben: weiterhin viel Kraft und viele liebe Meschen, die Dich (unter)stützen können.
Zur Mathe-Aufgabe:
a) falsch f(1) ist nichts anderes als der Wert von y an der Stelle x=1.. Der ist hier 5, also ist f(1)=0 falsch
b) falsch f'(1) ist die Steigung der Tangente am Punkt P(x, f(x)). Am Punkt P(x, f()) ist die Tangente waagrecht, hat als die Steigung 0. Somit ist die Aussage f'(1)=5 falsch
c) wahr hier hat die Tangente die Steigung 0, weil die Tangente waagrecht ist.
d) wahr. Lässt sich auch visuell anschaulich zeigen.... Vorstellung: ein Auto, das von links kommend auf der "Kurve' entlang nach rechts fährt ... zuerst fährt es bergauf (positive Steigung), kommt an der 'Bergkuppe' (waagrechte Tangente) an und fährt danach bergab (=Gefälle, ='negative' Steigung)
e) kann ich nicht beantworten... schaue gleich dein Video 🙂
f) falsch x=1 liegt innerhalb des vorgegebenen Intervalls. Da jedoch bei x=1 ein Vorzeichenwechsel stattfindet (vergleiche hierzu d)) kann es im vorgegebenen Intervall nicht nur positive Werte geben.
LG aus dem Schwabenland.
Super Video,kannst du sowas auch im Zusammenhang mit Aussagen zur Stammfunktion und Ableitungsfunktion machen?
Aufgabenteil f) hätte man ja auch mit d) beantworten können. Liegt der Vorzeichenwechsel vor, können nicht alle Werte der Ableitung positiv sein :D
Perfekt, danke!❤
Danke Susanne. ❤
Hallo. Ich glaube bei Frage D ist der Betrag der Steigung gemeint.
Trotzdem ist die Steigung der Tangente bei x = 0,5 höher weil steiler bergauf als bei der Geraden durch x=1 und x=2. Will sagen bergaufwärts geht es steiler rauf auf den Berg als bergab.
ist die Frage e, hätte ich auch gedacht, da steht nicht Steigung sonderen Änderungsrate, ist damit vielleicht der Betrag der Steigung gemeint.
---------------------------------------------------------------
Susanne, Du hast einen sehr schöner Kanal, erinnert an eine sehr unbeschwerte Jugend mit viel Spass und nur kleinen Problemchen, im Vergleich zu dem heutigen Irrsinn Überall.
Danke tolles Vid
Dankeschön! 🥰
Wie immer tolles Video.
Ist der Mittelwert einer Steigung zwischen 2 Punkten tatsächlich "nur" die Steigung der Geraden durch die 2 Punkte? Im vorgegebenen Fall ist die Antwort wurscht, weil es ja eindeutig ist. Aber Beweis dafür?
Bist du Linkshänderin? Du zeichnest deine Blitze andersrum.
Endlich wieder Mathe ☺️
Die Fragen sind einfach, allerdings hätte ich nicht gewusst, was sich hinter dem Wort „Änderungsrate“ verbirgt. Ist das überhaupt ein definierter mathematischer Begriff oder nur eine Wortschöpfung ?
Die Antwort zu d.) hätte ich vermutlich falsch beantwortet. Bei x1 ist sie (zunächst) negativ. Bei exakt x=1 ist die Steigung doch weder positiv noch negativ. An diesem Punkt fällt zwar die positive Steigung weg, doch negativ ist sie dort (noch) nicht. D.h. Änderung ja, aber noch nicht negativ. Oder hab ich da mal wieder ein Brett vorm Kopf?😂
Eine stetige Funktion - und das ist f' - kann doch gar nicht anders als durch eine Nullstelle von + nach - kommen. Zu prüfen ist also streng genommen tatsächlich:
i) f'(x) > 0 für x < 1
ii) f'(1) = 0
iii) f'(x) < 0 für x > 1
... wobei ii) aus i), iii) und der Stetigkeit von f' direkt folgt. Im Umkehrschluss heißt das, dass du die Frage direkt mit "falsch" beantworten könntest, wenn f'(1) ≠ 0 wäre.
Schönes Video , aber ich hätte zum Allgemeinen Verständnis mal noch ne Frage.
Ja du hast uns zu jeder Teilaufgabe gezeigt ob die jeweilige Angabe wahr oder falsch ist . Aber diese Aussage allein würde ja in einer Klausur nur einen Teil der Punkte bringen . Da ja in der Aufgabenstellung immer gefordert ist Begründe die Aussage. Meine Frage währe daher was sollte den als eine Begründung für die jeweiligen Punkte da stehen ?
Erstaunlich, wie die Termonologie abweicht.
Ich kenne das als Scheitelwert, Pol-Wert, Null-Wert. Anhand dessen laesst sich Frequenz ueber Zeit usw ausrechnen.
Sicher das d) richtig ist? Es handelt sich doch um die Ableitungsfunktion welche an der stelle keinen Wechsel von plus zu minus hat. Oder verstehe ich etwas falsch
Im Bereich x < 1 steigt der Funktionsgraph, im Bereich 1 < x < 3 fällt er. Also wechselt die Ableitungsfunktion bei x = 1 von positiv zu negativ.
@@teejay7578 ist das auf dem Bild den die Ableitungsfunktion ?
Außer d konnte ich alle lösen (wusste nicht was eine momentane Änderungsrate sein soll)
wie ist bei Aufgabe "e" "durchschnittlich" definiert? Ich verstehe darunter, dass alle momentanen Änderungsraten addiert werden und dann das arithmetische Mittel gebildet wird. Entspricht dieser Wert dann der von dir gezeigten Geraden oder liegt er irgendwo zwischen dem Graphen und deiner Geraden?
Die klassische Durchschnittsbildung "Summe/Anzahl" funktioniert hier nicht, weil die Anzahl nicht nur unendlich, sondern sogar unzählbar ist - es gibt also keine Anzahl.
Die Steigung an einem Punkt ist ja über die Ableitung definiert. Und derern ursprüngliche Definition ist ein "unendlich kleines Steigungsdreieck", welches über die Formel
(f(b) - f(a)) / (b - a) definiert ist. Für die Steigung im Punkt a bildet man für diesen Quotienten den Grenzwert b gegen a. Für die durchschnittliche Steigung auf einem Intervall [a; b] setzt man die Randwerte ein und bildet keinen Grenzwert. Die gesuchte Steigung ist hier also (f(2) - f(1)) / (2 - 1) = 3 - 5 = -2. Und das ist die Steigung dieser sogenannten durch die beiden Punkte gehenden Näherungsgeraden.
Eigentlich hat man ja umgekehrt mit der Bestimmung der Steigung solcher Näherungsgeraden angefangen und ist so auf den o. gen. Quotienten gekommen.
@@teejay7578 Die klassische Durchschnittsbildung funktioniert hier in der Tat nicht, das heißt aber nicht, dass sie überhaupt nicht möglich ist. Ich schreibe dazu noch einen gesonderten Kommentar.
Mal angenommen, du möchtest den Mittelwert aller Funktionswerte einer gegebenen Funktion f(x) in einem Intervall a ≤ x ≤ b wissen. Wie von Tee Jay richtig beschrieben, funktioniert hier die klassische Durchschnittsbildung "Summe/Anzahl" nicht. Jetzt überlegst du dir, dich dem Mittelwert schrittweise anzunähern:
Mittelwert aus zwei Werten:
[f(a) + f(b)] / 2
Mittelwert aus drei Werten:
[f(a) + f((a+b)/2) + f(b)] / 3
Mittelwert aus elf Werten (mit Δx = (b − a)/10):
[f(a) + f(a + Δx) + f(a + 2Δx) + ... + f(a + 9Δx) + f(b)] / 11
Allgemein: Mittelwert aus n+1 Werten mit Δx = (b − a)/n ⇒ b = a + n*Δx
[ Summe(i = 0,n) f(a + i*Δx) ] / (n + 1)
Diesen letzten Ausdruck kann man etwas umschreiben:
[ Summe(i = 0,n) f(a + i*Δx) ] / (n + 1)
= [ Summe(i = 0,n) f(a + i*Δx) ] / [ Summe(i = 0,n) 1]
= [ Summe(i = 0,n) f(a + i*Δx)*Δx ] / [ Summe(i = 0,n) Δx ]
Im letzten Schritt wurden Zähler und Nenner jeweils mit Δx multipliziert, der Bruch wurde also einfach nur erweitert.
Wenn man jetzt immer mehr Funktionswerte berücksichtigt, das heißt, wenn n immer größer wird, dann wird Δx gleichzeitig immer kleiner. Im Grenzfall n ⇾ ∞ gehen dann die Summen in Integrale über:
Mittelwert = [ Integral(a,b) f(x)dx ] / [ Integral(a,b) dx ] = [ Integral(a,b) f(x)dx ] / (b − a)
Jetzt möchtest du aber nicht den Mittelwert der Funktionswerte wissen, sondern den Mittelwert der momentanen Änderungsraten, also der Ableitungen. Wenn f'(x) die Ableitung von f(x) ist, dann gilt wegen Integral f′(x)dx = f(x) + c:
Mittelwert der momentanen Änderungsraten = [ Integral(a,b) f'(x)dx ] / (b − a) = [ f(b) − f(a) ] / (b − a)
Der Mittelwert aller Steigungen einer Funktion f(x) in einem Intervall a ≤ x ≤ b entspricht somit tatsächlich der Steigung der Gerade durch die beiden Punkte der Funktion, die das gegebene Intervall begrenzen. Vorsicht ist sicherlich dann geboten, wenn im betrachteten Intervall Unstetigkeiten, Definitionslücken oder Polstellen auftreten.
Für dich ist jeder Mathetest ein klacks ❤ können die Dozenten dich überhaupt noch fordern?
Hey❤❤❤❤❤
Ich hab die Aussage d) überhaupt nicht verstanden; läuft das nicht darauf hinaus zu entschieiden, ob eine 0 positiv oder negativ ist? Wie kann ein Punkt(!) ein Wechsel sein?
Hilfreiches Video aber bei manchen Aufgaben hast du, glaube ich, f mit f' verwechselt. Auf dem Schaubild wird f dargestellt, aber die meisten Aufgaben drehen sich um f', deshalb müsste d) eigentlich falsch sein. Vielleicht irre ich mich aber auch.
Hey, du hast da vielleicht einen kleinen Denkfehler :)
Sie betrachtet die Steigung des Graphen, was ja der ersten Ableitung entspricht. Sprich: Ist der Graph f steigend, sind alle Werte für f' in diesem Bereich positiv. Der Hochpunkt von f ist bei f' dann die Nullstelle, weil die Steigung 0 ist. Danach ist die der Graph von f fallend, also die Steigung negativ, wodurch in diesem Bereich die Werte von f' negativ sind :)
Schau dir gerne an, wie man den Graphen der Ableitungsfunktion zeichnet, dann sollte es bestimmt klar werden :)
@@markusmeyer6346 Danke, jetzt verstehe ich meinen Fehler. Ich dachte, dass bei d) mit Vorzeichenwechsel gemeint ist, dass sich dort ein Extrempunkt von f' befindet und es somit falsch ist.
Zuerst hab ich versucht die Aufgabe selbst zu lösen. Diese ist Fehlgeschlagen. Ich konnte mit Ableitungen und Intervallen nichts anfangen und verstehe sowas nicht.
Wie lautet die Funktion??
Aufgabe 6 ist falsch, zumindest die Begründung. „Änderungsrate“ bedeutet in dem Zusammenhang nicht Steigung, sondern ÄNDERUNG. Dann ist es egal, ob es sich dabei von 2 auf 1 oder 1 auf 2 verÄNDERT, es kommt nur auf die Änderung ab und diese ist immer positiv. Mag sein dass das Ergebnis trotzdem richtig ist, aber die Begründung ist falsch
Hallo Susanne, die Aussagen Deiner Ergebnisse sind ja alle einfach nachzuvollziehen. Aber reicht denn die "Feststellung" auch als Begründung aus? Ich finde, dass eine Begründung weit aus mehr beinhaltet als eine Feststellung resp. Behauptung ja/nein.
ich hoffe, dir geht es wieder besser
Minute 6 ist doch aber nicht ganz richtig, oder? Weil groß bedeutet ja nicht automatisch positiv, der Wert kann auch negativ größer sein? Ich meine zumindestens, dass wir das so gelernt haben.
❤❤
ich bräuchte das andersrum. Wenn man einen Graphen der Ableitungsfunktion f‘(x) hat und Aussagen über f(x) machen muss😭
Mal wieder nicht alles gewusst, aber hätte auch schlimmer ausfallen können.
Das "begruende" ist irgendwie haeufig etwas... komisch. f(1) ist offensichtlich 5 nicht 0, wollt ihr mich verarschen? Reicht da als Antwort "Mach die Funzeln auf!"?
Das Video kommt 2 Tage zu spät😢
erster
WAHR oder FALSCH?
Die meisten Abonnenten dieses Kanals interessieren sich gar nicht für Mathematik.
Hi könnstes du ein Thema über Winkel messen und Zeichen machen würde mich freuen :(♥️