Deine Videos verdienen viel mehr Aufmerksamkeit. Du erklärst es kompakt, dennoch ausführlich und wirklich wirklich verständlich. Dazu noch so sympathisch. Danke!
Vielen Dank! Ich werde demnächst mal eine Reihe von Grundlagen Videos veröffentlichen, um den Kanal wachsen zu lassen. Es kommen aber trotzdem noch regelmäßig Videos für Studenten! :)
sobald ich ein mathematisches Problem habe suche ich nur noch nach deinen Videos. Kenne keinen der es schafft jedes Thema so gut und verständlich zu vermitteln. Mach weiter so! Vielen Dank für die ganze Hilfe!
das hat den "ahaaaa" effeckt ausgelöst. jetzt weiss ich auch wofür ich die bijektivität und surjektivität brauche. das wurde nämlich am anfang des themas funktionen allgemein erklährt, aber nicht wofür es nutze ist. das kommt wohl erst später. :D
Richtig, [0,∞) ist deshalb auch nicht der Definitionsbereich, sondern die Urbildmenge der Abbildung. Genau wie du sagst: würde man den gesamten Definitionsbereich zulassen, wäre die Abbildung nicht mehr invertierbar.
@@MathePeter Vielen Dank für die schnelle Antwort. Würde mich freuen wenn das Video innerhalb des nächsten Monats online geht. Mir gefallen nämlich deine kurzen, prägnanten Erklärungen sehr.
Danke dir! Hab dazu leider noch keine eigenen Vids gemacht. Aber schau dir mal das Video hier an: th-cam.com/video/h-6rhUi2YTE/w-d-xo.html Da gehts auch kurz um Injektivität und Surjektivität.
Naja der Zwischenwertsatz setzt voraus, dass eine Funktion stetig ist. Aber auch unstetige Funktionen haben eine Umkehrfunktion. Reicht dir die Antwort?
@@MathePeterAbsolut, vielen Dank für die schnelle Antwort, mich hat eine Lösung meines Dozenten in einer Aufgabe etwas verwirrt und dachte damit das der Zwischenwertsatz eine Bedingung der Umkehrfunktion wäre.
Du kannst die Gleichung y = x⁴ + 2x² umstellen zu x⁴ + 2x² - y = 0 und dann die pq-Formel benutzen: x² = -1 ± sqrt(1+y), also gibt es 4 Möglichkeiten für das x. Das sind die Lösungen x = ± sqrt(-1 ± sqrt(1+y)). Jetzt gibt es aber nur dann eine Umkehrfunktion, wenn die Abbildung bijektiv ist. Von den 4 Möglichkeiten für x bleibt nur eine übrig, das ist die Umkehrfunktion.
In einer Kurvendiskussion kann gefragt werden, was die Umkehrfunktion ist. Edit: Schöne Anwendungsaufgabe wäre auf einem Markt eine Nachfragefunktion; Die nachgefragte Menge x in Abhängigkeit vom Preis p. Die Umkehrfunktion ist die Preisabsatzfunktion; Der Preis p in Abhängigkeit von der nachgefragten Menge x.
Hallo Peter, ich hätte eine Frage zur Injektivität und Subjektivität: Wie bearbeitet man solche Aufgaben: Geben Sie eine injektive, nicht surjektive Funktion [−1, 1] → [0, 1] an / Geben Sie eine surjektive, nicht injektive Funktion [−1, 1] → [0, 1] an
Bei solchen Aufgaben musst du dir die Definitionen vor Augen halten und solange rumspielen, bis die Bedingungen erfüllt sind. Eine injektive, aber nicht surjektive Funktion f: [-1,1] -> [0,1] könnte die Abbildungsvorschrift f(x)=1/4*(x+3) haben. Eine Abbildung in dem Bereich, die nicht injektiv, aber surjektiv ist, wäre zB die mit der Abbildungsvorschrift f(x)=|x|.
Eigentlich sollte das nicht gelten. Auch die Betragsfunktion hat überall eine Ableitung ungleich Null, ist aber nicht invertierbar für alle reellen Werte, weils ja irgendwo an der Injektivität scheitert.
Hey bei 4:04 sagst du, man definiert die variable um, damit mein beide funktionen (die funktion f und ihre umkehrfunktion), in ein KO-System zeichnen kann. Aber das geht doch auch, wenn du die Variable y nicht umdefinierst, meinst du vielleicht, dass man dann nur einen einzigen Graphen im KO-System zeichnen muss, der sowohl die funktion f und ihre umkehrfunktion beschreibt? LG
Wenn du x und y nicht vertauscht, dann handelt es sich weiterhin um die selbe Funktion. Gib mal die Funktionen y=2x/(1+x) und x=y/(2-y) in ein Plotprogramm ein. Die sind beide identisch. Erst durch das Vertauschen von x und y kommt die Umkehrfunktion zustande.
Ist der Definitionsbereich für die gezeigte Funktion 2X/(1+X) nicht D=R\{-1} und nicht wie du geschrieben hast von 0 bis unendlich? Oder habe ich da gerade ein Verständnisproblem
Für die Funktion allein betrachtet stimmt das. Nur sind in der vorgegebenen Abbildung die x-Werte auf den Bereich von 0 bis unendlich beschränkt. Das kann ja festgelegt werde, wie man will, ich habs mir für die Übersichtlichkeit so ausgedacht. Die Menge der x-Werte, die man einsetzt, muss nicht unbedingt dem Definitionsbereich entsprechen. Stell dir vor es handelt sich um eine Produktionsfunktion. Man kann weder eine negative Menge produzieren, noch eine negative Menge an Rohstoffen in die Produktion reinstecken. Auch wenn es mathematisch Sinn macht, wenn man nur die Funktion für sich betrachtet.
Nutze die Polynomdivision bzw. das Horner Schema. Stelle die Gleichung um, dass du eine quadratische Gleichung in x hast und nutze die pq-Formel. Soll ich die Aufgabe mal morgen oder übermorgen kurz in einem Livestream erklären?
In Minute 3 stellst du ja nach x um, um danach x und y zu vertauschen. Wie kann ich eine Umkehrfunktion bilden, wenn es nicht möglich ist X alleine auf eine Seite zu bringen? Zum Beispiel x^7+2x-1=y Wie gehe ich dann vor? Danke für das video, ich empfehle dich bei meinen Kommilitonen weiter.
Von den meisten Funktionen lässt sich eine Umkehrfunktion nicht "in geschlossener Form" angeben. Manchmal nur mit Summen-, Produkt- oder Integralzeichen oder im Fall von z.B. y=x*e^x mit der Lambert-W Funktion. Bei Polynomen gibts eine Regel: Ab einem Grad von 5 gibts keine allgemeine Formel mehr zur Berechnung der Nullstellen. Das heißt von y=x^4+2x-1 kriegst du die Inverse in geschlossener Form noch unter absurden Qualen hin, aber bei y=x^7+2x-1 keine Chance.
Tatsächlich wär sie dann trotzdem umkehrbar, weil die Funktion überall streng monoton wachsend ist (und damit injektiv) und weil sie jeden möglichen y-Wert annehmen kann (und damit surjektiv). Ausgenommen natürlich der Polstelle, da ist die Funktion ja nicht mal definiert.
Wie geht man vor wenn man 20/x -10 hat ? Mein Weg wäre (-10 außerhalb des Bruchs) : 20/x -10 = y I +10 *20 x=20y +10 Die Lösung ist allerdings x=20/y+10 Wo ist der Fehler ? Im Voraus Vielen Dank!
Die 20 steht ja bereits im Zähler. Das Gegenteil wäre „geteilt durch 20“. Wenn ich nach x umstellen will, dann stört mich eher das „geteilt durch x“, also rechne ich „mal x“. Danach stört mich, dass an das x die „y+10“ dran multipliziert wird, also teile ich durch „y+10“. Immer das Gegenteil rechnen, von dem was dich stört :)
Super Video(s)! Kurze und vermutlich blöde Frage: gibt es ein Video in dem du Surjektivität und Injektivität einer Funktion zeigst?^^ (wenn ja hat mich youtube das noch nicht finden lassen )
Eine Sache verstehe ich nicht: Wieso ist die Definitionsmenge und Wertemenge der Umkehrfunktion nicht Df-1 bzw. Wf-1? Also wenn ich z.b Wurzel x-2 habe dann wäre die Umkehrfunktion ja f-1(x) = x² +2. Davon die Definitionsmenge und Wertemenge zu bestimmen um Df-1 und Wf-1 zu erhalten, wäre jedoch nicht richtig. Wieso kann führt das zu einem falschen Ergebnis?
Weil die Funktion x² +2 nicht injektiv ist. Wenn du sie allerdings auf die positiven x-Werte einschränkst, kannst du davon die Umkehrfunktion bilden und dann passt es.
Wenn keine y-Werte zur Verfügung stehen, für die die Funktion nach der Umkehrung definiert ist, gibt es dort auch keine Zuordnung. Das heißt es geht hier gar nicht um die Funktion an sich, sondern um die gesamte Abbildung zu der auch Definitionsbereich und Wertevorrat gehören.
Super erklärt, jedoch für mich viel zu schnell. Vor allem weil du da Mathematische Begriffe in Double Time erwähnst, fällt es mir sehr schwer mitzukommen :D
Find ich echt cool das du antwortest :D Ich hab ehrlich gesagt surjektiv und injektiv nicht ganz verstanden. Surjektiv heißt also, dass mehrere X-Werte den selben Y Wert haben können und injektiv heißt das nur ein X Wert ein einziges Y haben kann. Wie soll denn beides bei einer Funktion dann zusammenpassen? Entweder haben bei einer Funktion mehrere X-Werte den selben Y Wert, oder bei einer Fkt. hat ein X-Wert ein einziges Y. Wie soll dann beides bei einer Fkt auftreten?
Ein Video dazu ist eigentlich schon lange geplant, hab nur bisher nicht die Zeit gefunden mir was anschauliches zu überlegen, kommt aber noch! :) Injektiv heißt, dass jeder y-Wert nur von genau einem x-Wert angenommen werden kann. y=x^2 ist nicht injektiv, wenn x alle reellen Zahlen annehmen darf. Denn sowohl x=-1, also auch x=1 haben den selben y-Wert. Wären allerdings für x nur die positiven Zahlen zugelassen, wäre y=x^2 injektiv. Surjektiv bedeutet, dass der gesamte Wertevorrat ausgeschöpft wird. Wenn du also hast y=x^2 und der Wertevorrat sind nur die positiven reellen Zahlen, dann ist die Abbildung surjektiv. Wenn aber der Wertevorrat die gesamten reellen Zahlen sind, dann ist die Abbildung nicht surjektiv. Ich denke das größte Problem hierbei ist, dass viele denken es würde an der jeweiligen Funktion liegen, ob es sich um eine injektive/surjektive Abbildung handelt. Dabei gehts nur um die Menge an x-Werten und die Menge an y-Werten die man betrachtet. Die Funktion sagt dabei nur, wie die x- und y-Werte einander zugeordnet werden.
1:20 f(x) = x^2 ist doch streng monoton steigend, da f(x1) < f(x2) gilt. Diese Funktion müsste dann injektiv sein und jedes y Wert müsste nur einmal vorkommen, d.h. mehrere x Werte dürften NICHT vorkommen (sagst du). Wieso dürfen mehrere x Werte nicht vorkommen? Das eine schließt das andere doch nicht aus? Wenn y Wert nur einmal vorkommt, dann kann es trotzdem so sein, dass man für y mehrere x Werte hat, z.B für f(x)= x^2 erhalten wir für x = 2 und x = -2 den wert 4, d.h wir kriegen für mehrere x Werte nur ein y Wert. Die Funktion ist aber injektiv wegen f(x1) < f(x2). Hab ich einen Denkfehler?
Die Funktion ist nur für positive x streng monoton steigend, heißt die Funktion ist nicht injektiv, da, sowie du schon gesagt hast für zb x gleich -2 und 2 der Wert 4 rauskommt. Schau dir den Graphen der Funktion nochmal an.
Danke @FliegendesFischiLP genau so ist es. x1=2 und x2=-2. Dann ist f(x1)=f(x2), also ist f nicht injektiv. Außer man betrachtet nur den positiven oder nur den negativen Ast der Parabel, die dann aufgrund der strengen Monotonie wieder injektiv sind.
MathePeter ich studiere Wirtschaftswissenschaften in Frankfurt und das war eine der gestellten aufgaben, man soll die Umkehrfunktion bilden und die punkte (x,y) = (1|1) in die Ableitung einsetzen
Was genau ist jetzt die Aufgabe? Sollst du eine Umkehrfunktion bilden oder sollst du die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle (1|1) berechnen? Das sind zwei verschiedene Aufgaben. Edit: Es ist nicht möglich die Gleichung analytisch nach y oder ihrer Umkehrfunktion aufzulösen. Wenn du aber willst, erkläre ich dir, wie du sehr einfach und schnell auf die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle (x,y)=(1,1) kommst. Das Ergebnis wird -1 sein.
MathePeter ja genau das ist was ich brauche die stelle (1|1) an der Ableitung der umkehrfunktion, wäre super nett wenn du das erläutern könntest (idiotensicher haha) vielen dank im voraus!!
Den Anstieg der Funktion y=f(x), also die erste Ableitung davon, kriegst du auch hin ohne vorher nach y umgestellt zu haben. Einfach mit der Regel für implizites Differenzieren: th-cam.com/video/NTKLaSEil_M/w-d-xo.html Damit kriegst du raus, dass die Tangente im Punkt (1,1) den Anstieg -1 haben musst. Ein ähnliches Beispiel findest du hier: th-cam.com/video/YIgGjoM5X8Q/w-d-xo.html Neu ist jetzt nur, dass es um den Anstieg der Umkehrfunktion geht. Das ist aber kein Problem, denn das ist einfach immer nur der Kehrwert von dem Ergebnis. Und Kehrwert von -1 bleibt -1.
Wie mach ich das wenn die umkehrfubktion gesucht ist also gesucht sind die zugehörigen umkehrfunktionen sowie f○f und g○g. F(x) := 2x-6 G(x):= x+2 Falls x kleiner 1 und 3x falls größer gleich 1. Bitte um Hilfe
kann mir mal jemand die Umkehrfunktion 2*f^-1(3) erklären? Mein Prof meint es wird zu 2*3/2 ist das weil die 2 vor dem f dann mit dem f unter den Bruchstrich gezogen wird, und das ganze zweimal? Danke
Ich würd dir gern helfen, nur ist mir noch nicht klar, was genau du meinst. Weil "minus mal" existiert nicht. Sag mal bitte exakt die Reihenfolge der Operationen. Vielleicht als Bild oder einfach mit genügend Klammern geschrieben.
Sehr gute Frage! Grund ist der Unterschied zwischen Wertevorrat(=Zielmenge) und Wertebereich(=Bildmenge=Menge aller möglichen Werte, die die Funktion y=f(x) annehmen kann). Der Wertevorrat umfasst immer den Wertebereich, aber evtl. noch mehr. Beispiel: Wertevorrat=Menge aller deiner Werkzeuge, die du besitzt (Hammer, Rohrzange, Panzertape, WD-40,...); Wertemenge=Menge aller deiner Werkzeuge, die du brauchst, um ein Bild an die Wand zu bringen. Solltest du zum Lösen deines Problems alle deine Werkzeuge brauchen, die du besitzt, also Wertebereich=Wertevorrat, dann nennt man die Abbildungsvorschrift "surjektiv". Sollte es jedoch Werkzeuge geben, die ungenutzt bleiben, dann ist die Abbildung "nicht surjektiv". Jetzt am Beispiel aus dem Video. f: [0,∞)->[0,2) ist eine Abbildung, der nur die Werkzeuge [0,2) zur Verfügung stehen (Wertevorrat). Da wir aber ab 1:37 auch nachgeprüft haben, dass die Funktion wirklich jeden dieser Werte von [0,2) annimmt, also jedes dieser Werkzeuge nutzt, ist f "surjektiv". Hätte ich im Video geschrieben f: [0,∞)->(-∞,2), dann würden der Abbildung weit mehr y-Werte zur Verfügung stehen, als sie überhaupt annehmen kann. In dem Fall wäre f "nicht surjektiv". Oder umgekehrt: Die Umkehrrelation f^(-1) hätte mit ihrem Definitionsbereich (-∞,2) Werte, für die es keine passenden Funktionswerte aus [0,∞) gibt. Wenn es wirklich eine Umkehrfunktion gibt, dann darf es solche Probleme nicht geben. Hat dir das geholfen? :)
Es wäre echt gut, wenn du ein Video zu Umkehrfunktionen von Funktionen machst, bei den es eine Fallunterscheidung gibt. Ich finde das echt ziemlich unintuitiv und es gibt praktisch keine Inhalte dazu auf TH-cam oder sonst wo
@@MathePeter In Mikroökonomie haben wir Nachfragefunktionen und dazu die inversen Nachfragefunktionen. Als Nachfragefunktion gibt es da zum Beispiel: D(p) = max {10 - 2*p, 0} die Fallunterscheidung liegt hier ja bei p = 5. Um die Aufgabe zu bearbeiten müsste man hier die inverse Nachfragefunktion bilden. Besonders wenn man die Summen mehrerer inversen Nachfragefunktionen bilden soll, kann das mit den Fallunterscheidungen schon ziemlich unübersichtlich werden. Deswegen wär es echt hilfreich, wenn du in einem Video erklären könntest wie man allgemein bei so welchen Aufgaben vorgehen muss. Wenn jemand das verständlich erklären kann dann bist du das :)
Danke dir, ich kann ja mal die Inverse einer Funktion bestimmen, die abschnittsweise definiert ist :) Bei deinem Beispiel gibts nur eine Umkehrfunktion von D(p)=10+2*p. Wenn die Nachfrage für einen Preis größer 5 zu Null wird, dann gibts davon keine Umkehrfunktion, denn die konstante Funktion D(p)=0 ist nicht injektiv, damit auch nicht bijektiv und damit hat sie auch keine Inverse.
Darfst du schon, nur dann ist die Funktion nicht mehr injektiv. Damit dann auch nicht bijektiv und auch nicht invertierbar. Beispiel: f: ℝ --> ℝ⁺ mit f(x)=x² ist nicht invertierbar, weil z.B. f(1)=f(-1)=1. Aber f: ℝ⁺ --> ℝ⁺ mit f(x)=x² ist invertierbar, die Umkehrfunktion lautet g: ℝ⁺ --> ℝ⁺ mit g(x)=√x.
@@okancan7686 Dann wie immer beim Umstellen: "Auf beiden Seiten das Gegenteil von dem, was zuletzt gerechnet wird." y = 1/(x+2) - 1 |+1 y+1 = 1/(x+2) |*(x+2) (y+1)*(x+2) = 1 |:(y+1) x+2 = 1/(y+1) |-2 x = 1/(y+1) - 2
Der Springer Verlag sollte deinen Kanal aufkaufen, sonst verkaufen sie bald keine Bücher mehr^^... (Bei dem Nachschlagewerk welches du hier gerade erschaffst)
@@MathePeter Dein Kanal ist wie ein Buch das man nicht lesen muss, weil es zu dir spricht. Und die meisten Fragen die entstehen, klärst du danke der mathepeterischen Empathie und Antizipation unmittelbar auf. Wirklich unbezahlbar. Danke!
Bisschen langsamer wäre perfekt. Wenn ich ein Thema unbedingt verstehen will, ist es mir egal wie lange das Video dauert. Hab keine Angst, wenn das Video lange dauert. Danke für deine Arbeit. 😍
Genau. Wenn du die Funktion y = 2x + 5 nach x umstellen willst, dann arbeite genauso wie in den Videos der Playlist "Gleichungen umstellen": th-cam.com/play/PLvBnQVOJXCUGZVN2LnopVQGMe2bU_v2rD.html Regel: "Immer die schwächste Rechenoperation zuerst, indem du das Gegenteil rechnest." Also zuerst die "+5" eliminieren, indem du "-5" auf beiden Seiten rechnest: y - 5 = 2*x. Danach die "*2" elimienieren, indem du "÷2" auf beiden Seiten rechnest: (y-5)/2 = x. Ein Bruchrechengesetz lautet, dass du jeden Summanden einzeln durch 2 teilen darfst. Damit hast du dein Ergebnis x=1/2*y -2,5.
Ich glaub, ich gehör zu den wenigen die deine Videos nicht so mag. Ich finde du springst viel zu schnell ins Thema rein. Ich komm nicht immer mit. Muss ständig das Video anhalten um das ganze mal sacken zu lassen. Soll einfach konstruktive Kritik sein, gibt bestimmt den ein oder anderen die das auch so sehen. Dazu muss ich vllt. erwähnen, ich bin auch schon seit 7 Jahren aus der Schule raus und muss alles quasi fürs Studium komplett "neu" wieder lernen.
Kann ich verstehen, bei den ersten Videos war ich auch ziemlich aufgeregt vor der Kamera. Mittlerweile bin ich ruhiger. Schau doch gern mal morgen bei den Livestreams zum Thema "Funktionen" vorbei. Im zweiten Teil gehts dann auch um Umkehrfunktionen und die Eigenschaften Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
Um 10 Uhr gehts los mit dem ersten Teil. Umkehrfunktionen und die Eigenschaften "injektiv", "surjektiv" und "bijektiv" besprechen wir im zweiten Teil um 13 Uhr.
![[TH] 2024 PMSL SEA W2D3 | Fall | ถ้าเล่นไม่ดี ไปแก้ตัววันเสาร์](http://i.ytimg.com/vi/CTmci32hvP8/mqdefault.jpg)
schön mal Mathe zu lernen ohne angeschrien zu werden
Rip, dass du so einen Lehrer hast
@Mar Tin Ich verstehe den Unterricht nie ,aber wenn ich nachfrage sagt die, ich soll mir mal Mühe geben.
Deine Videos verdienen viel mehr Aufmerksamkeit. Du erklärst es kompakt, dennoch ausführlich und wirklich wirklich verständlich. Dazu noch so sympathisch. Danke!
Vielen Dank! Ich werde demnächst mal eine Reihe von Grundlagen Videos veröffentlichen, um den Kanal wachsen zu lassen. Es kommen aber trotzdem noch regelmäßig Videos für Studenten! :)
3 stunden vorlesung in 5 minuten, danke Peter
Super erklärt, ohne unnötige ausschweife, trotzdem sehr ausführlich! danke :)
sobald ich ein mathematisches Problem habe suche ich nur noch nach deinen Videos.
Kenne keinen der es schafft jedes Thema so gut und verständlich zu vermitteln.
Mach weiter so! Vielen Dank für die ganze Hilfe!
in 5 Minuten eine ganze Vorlesung erklärt danke 🤝
Danke für dieses sehr hilfreiche Video! Das wird mir bei der Klausur sicher eine bessere Note einbringen. :)
update: ist eine 3 geworden, bin sehr zufrieden :)
das hat den "ahaaaa" effeckt ausgelöst. jetzt weiss ich auch wofür ich die bijektivität und surjektivität brauche. das wurde nämlich am anfang des themas funktionen allgemein erklährt, aber nicht wofür es nutze ist. das kommt wohl erst später. :D
Danke dir sehr , aber es wäre schön einbisschen langsam zu reden :D :D
Danke dir, mach ich :)
Vielen Dank MathePeter mal wieder ein Super Video!
Das hat mir sehr gut weitergeholfen. Vielen Dank für das Video
Wenn mich nicht alles täuscht ist der Definitionsbereich nicht 0 bis unendlich sondern R \{-1}. Dann ist die Funktion auch nicht surjektiv oder?
Richtig, [0,∞) ist deshalb auch nicht der Definitionsbereich, sondern die Urbildmenge der Abbildung. Genau wie du sagst: würde man den gesamten Definitionsbereich zulassen, wäre die Abbildung nicht mehr invertierbar.
Toller Beitrag! Super erklärt und auf den Punkt gebracht.
Kannst du mir bitte sagen, in welchem Video surjektiv und injektiv erklärt wurden?
Danke dir! :)
Das Video steht noch aus. Hab es nur schon mal angedeutet, damit ich dann drauf verweisen kann, sobald es online ist.
@@MathePeter Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Würde mich freuen wenn das Video innerhalb des nächsten Monats online geht. Mir gefallen nämlich deine kurzen, prägnanten Erklärungen sehr.
Erst noch ein paar Vids zum aktuellen Thema (orthogonale Matrizen) und dann mach ich was dazu :)
Sehr übersichtlich DANKE👍
sehr sympathisch und gut erklärt
Echt super erklärt!
vielen dank für die erklärung!
Moin Peter, danke erstmal für die super Videos!
Kannst du das Video verlinken indem du näher auf Injektivität und Surjektivität eingehst?
LG
Danke dir! Hab dazu leider noch keine eigenen Vids gemacht. Aber schau dir mal das Video hier an: th-cam.com/video/h-6rhUi2YTE/w-d-xo.html
Da gehts auch kurz um Injektivität und Surjektivität.
Vielen Dank für das tolle Video. Eine Frage bleibt mir jedoch: Muss der Zwischenwertsatz bei einer Umkehrfunktion erfüllt sein?
Naja der Zwischenwertsatz setzt voraus, dass eine Funktion stetig ist. Aber auch unstetige Funktionen haben eine Umkehrfunktion. Reicht dir die Antwort?
@@MathePeterAbsolut, vielen Dank für die schnelle Antwort, mich hat eine Lösung meines Dozenten in einer Aufgabe etwas verwirrt und dachte damit das der Zwischenwertsatz eine Bedingung der Umkehrfunktion wäre.
Sehr hilfreich! Danke!
Ich soll die Umkehrfunktion zu der Funktion f(x)= (x^4) + 2x^2 bilden. Kannst du mir dabei helfen? Ich habe bisher noch keinen Weg gefunden.
Du kannst die Gleichung y = x⁴ + 2x² umstellen zu x⁴ + 2x² - y = 0 und dann die pq-Formel benutzen: x² = -1 ± sqrt(1+y), also gibt es 4 Möglichkeiten für das x. Das sind die Lösungen x = ± sqrt(-1 ± sqrt(1+y)). Jetzt gibt es aber nur dann eine Umkehrfunktion, wenn die Abbildung bijektiv ist. Von den 4 Möglichkeiten für x bleibt nur eine übrig, das ist die Umkehrfunktion.
@@MathePeter oh. Danke. Das ist irgendwie ziemlich offensichtlich. Ich weiß auch nicht, warum ich nicht drauf gekommen bin haha. Danke.
Richtig geil
Gutes Video :)
Aber wozu braucht man die Umkehrfunktion und in welchef Aufgabe für das Abi kann sie drankommen?
In einer Kurvendiskussion kann gefragt werden, was die Umkehrfunktion ist. Edit: Schöne Anwendungsaufgabe wäre auf einem Markt eine Nachfragefunktion; Die nachgefragte Menge x in Abhängigkeit vom Preis p. Die Umkehrfunktion ist die Preisabsatzfunktion; Der Preis p in Abhängigkeit von der nachgefragten Menge x.
@@MathePeter danke :)
Hallo Peter, ich hätte eine Frage zur Injektivität und Subjektivität: Wie bearbeitet man solche Aufgaben: Geben Sie eine injektive, nicht surjektive Funktion [−1, 1] → [0, 1] an / Geben Sie eine surjektive, nicht injektive Funktion [−1, 1] → [0, 1] an
Bei solchen Aufgaben musst du dir die Definitionen vor Augen halten und solange rumspielen, bis die Bedingungen erfüllt sind. Eine injektive, aber nicht surjektive Funktion f: [-1,1] -> [0,1] könnte die Abbildungsvorschrift f(x)=1/4*(x+3) haben. Eine Abbildung in dem Bereich, die nicht injektiv, aber surjektiv ist, wäre zB die mit der Abbildungsvorschrift f(x)=|x|.
Umkehrbarkeit ist gegeben, wenn die erste Ableitung ≠0 ist? Gilt das für alle Funktionen?
Eigentlich sollte das nicht gelten. Auch die Betragsfunktion hat überall eine Ableitung ungleich Null, ist aber nicht invertierbar für alle reellen Werte, weils ja irgendwo an der Injektivität scheitert.
echt gut erklärt, danke dir!
Stefani, vielen vielen Dank!
Ehrenmann
Echt gut erklärt.
Grüsse aus der Schweiz.
AzuzHD, danke dir!
Hey bei 4:04 sagst du, man definiert die variable um, damit mein beide funktionen (die funktion f und ihre umkehrfunktion), in ein KO-System zeichnen kann. Aber das geht doch auch, wenn du die Variable y nicht umdefinierst, meinst du vielleicht, dass man dann nur einen einzigen Graphen im KO-System zeichnen muss, der sowohl die funktion f und ihre umkehrfunktion beschreibt? LG
Wenn du x und y nicht vertauscht, dann handelt es sich weiterhin um die selbe Funktion. Gib mal die Funktionen y=2x/(1+x) und x=y/(2-y) in ein Plotprogramm ein. Die sind beide identisch. Erst durch das Vertauschen von x und y kommt die Umkehrfunktion zustande.
Ist der Definitionsbereich für die gezeigte Funktion 2X/(1+X) nicht D=R\{-1} und nicht wie du geschrieben hast von 0 bis unendlich? Oder habe ich da gerade ein Verständnisproblem
Für die Funktion allein betrachtet stimmt das. Nur sind in der vorgegebenen Abbildung die x-Werte auf den Bereich von 0 bis unendlich beschränkt. Das kann ja festgelegt werde, wie man will, ich habs mir für die Übersichtlichkeit so ausgedacht. Die Menge der x-Werte, die man einsetzt, muss nicht unbedingt dem Definitionsbereich entsprechen. Stell dir vor es handelt sich um eine Produktionsfunktion. Man kann weder eine negative Menge produzieren, noch eine negative Menge an Rohstoffen in die Produktion reinstecken. Auch wenn es mathematisch Sinn macht, wenn man nur die Funktion für sich betrachtet.
Super erklärt deshalb Daumen + Abo
muss die Funktion nicht surjektiv sein um umkehrbar zu sein oder? Injektiv ist zwingend notwendig, wenn ich mich nicht täusche.
Ja beide Eigenschaften sind erfüllt, das wird von 0:40-2:20 überprüft.
Hallo MathePeter, wie sieht es mit f(x) = (x^2+8x+7)/(-x+1) aus, wie kommt man da auf die inverse Funktion?
Nutze die Polynomdivision bzw. das Horner Schema. Stelle die Gleichung um, dass du eine quadratische Gleichung in x hast und nutze die pq-Formel. Soll ich die Aufgabe mal morgen oder übermorgen kurz in einem Livestream erklären?
@@MathePeter Danke für die Antwort! Nein, nicht nötig, ich bin inzwischen schon selbst auf die Lösung gekommen.
In Minute 3 stellst du ja nach x um, um danach x und y zu vertauschen. Wie kann ich eine Umkehrfunktion bilden, wenn es nicht möglich ist X alleine auf eine Seite zu bringen?
Zum Beispiel x^7+2x-1=y
Wie gehe ich dann vor?
Danke für das video, ich empfehle dich bei meinen Kommilitonen weiter.
Von den meisten Funktionen lässt sich eine Umkehrfunktion nicht "in geschlossener Form" angeben. Manchmal nur mit Summen-, Produkt- oder Integralzeichen oder im Fall von z.B. y=x*e^x mit der Lambert-W Funktion. Bei Polynomen gibts eine Regel: Ab einem Grad von 5 gibts keine allgemeine Formel mehr zur Berechnung der Nullstellen. Das heißt von y=x^4+2x-1 kriegst du die Inverse in geschlossener Form noch unter absurden Qualen hin, aber bei y=x^7+2x-1 keine Chance.
@@MathePeter danke :)
Wie wäre das jetzt, wenn die Funktion auf gesamt R definiert wäre? Dann wäre sie nicht umkehrbar, richtig?
Tatsächlich wär sie dann trotzdem umkehrbar, weil die Funktion überall streng monoton wachsend ist (und damit injektiv) und weil sie jeden möglichen y-Wert annehmen kann (und damit surjektiv). Ausgenommen natürlich der Polstelle, da ist die Funktion ja nicht mal definiert.
Wie geht man vor wenn man 20/x -10 hat ? Mein Weg wäre (-10 außerhalb des Bruchs) :
20/x -10 = y I +10 *20
x=20y +10
Die Lösung ist allerdings x=20/y+10
Wo ist der Fehler ?
Im Voraus Vielen Dank!
Die 20 steht ja bereits im Zähler. Das Gegenteil wäre „geteilt durch 20“. Wenn ich nach x umstellen will, dann stört mich eher das „geteilt durch x“, also rechne ich „mal x“. Danach stört mich, dass an das x die „y+10“ dran multipliziert wird, also teile ich durch „y+10“. Immer das Gegenteil rechnen, von dem was dich stört :)
Nice Videos Digga
sehr hilfreich, aber besser wäre es wenn du bei deinen Videos langsamer machen würdest :)
In den neueren Videos bin ich nicht mehr so aufgeregt vor der Kamera. Das hier sollte ich vielleicht mal neu machen :)
bester mann
Super Video(s)! Kurze und vermutlich blöde Frage: gibt es ein Video in dem du Surjektivität und Injektivität einer Funktion zeigst?^^
(wenn ja hat mich youtube das noch nicht finden lassen )
Nein noch nicht, ich hab das nur schon mal vorsorglich gesagt, wenn sie dann erscheinen 😅
@@MathePeter Hehe alles klar; und vielen Dank für die Antwort!:) muss ich schauen, dass ich das anders hinbekomme :)
Eine Sache verstehe ich nicht: Wieso ist die Definitionsmenge und Wertemenge der Umkehrfunktion nicht Df-1 bzw. Wf-1? Also wenn ich z.b Wurzel x-2 habe dann wäre die Umkehrfunktion ja f-1(x) = x² +2. Davon die Definitionsmenge und Wertemenge zu bestimmen um Df-1 und Wf-1 zu erhalten, wäre jedoch nicht richtig. Wieso kann führt das zu einem falschen Ergebnis?
Weil die Funktion x² +2 nicht injektiv ist. Wenn du sie allerdings auf die positiven x-Werte einschränkst, kannst du davon die Umkehrfunktion bilden und dann passt es.
@@MathePeter danke ich dachte mir schon das ich mich mit den Fremdwörtern injektiv usw. noch beschäftigen muss. Aber ich verstehe jetzt das Problem :)
Ich dachte dass die Injektivität eine ausreichende Voraussetzung für Umkehrbarkeit war. Wie so muss die Funktion auch surjektiv sein?
Wenn keine y-Werte zur Verfügung stehen, für die die Funktion nach der Umkehrung definiert ist, gibt es dort auch keine Zuordnung. Das heißt es geht hier gar nicht um die Funktion an sich, sondern um die gesamte Abbildung zu der auch Definitionsbereich und Wertevorrat gehören.
Klar, vielen Dank
In welchem Video wird Injektiv/ Sujektiv und Bijektiv ausführlich erklärt?
Kommt noch. Ich habs nur schon mal vorsorglich angekündigt 😄
@@MathePeter Das Video dazu wäre super! Am 30.07. ist meine Klausur und ohne deine Videos würde nichts gehen :D
Super erklärt, jedoch für mich viel zu schnell. Vor allem weil du da Mathematische Begriffe in Double Time erwähnst, fällt es mir sehr schwer mitzukommen :D
Danke dir, klingt logisch. Ich werd mal mehr drauf achten! :)
Find ich echt cool das du antwortest :D
Ich hab ehrlich gesagt surjektiv und injektiv nicht ganz verstanden. Surjektiv heißt also, dass mehrere X-Werte den selben Y Wert haben können und injektiv heißt das nur ein X Wert ein einziges Y haben kann.
Wie soll denn beides bei einer Funktion dann zusammenpassen? Entweder haben bei einer Funktion mehrere X-Werte den selben Y Wert, oder bei einer Fkt. hat ein X-Wert ein einziges Y.
Wie soll dann beides bei einer Fkt auftreten?
Ein Video dazu ist eigentlich schon lange geplant, hab nur bisher nicht die Zeit gefunden mir was anschauliches zu überlegen, kommt aber noch! :)
Injektiv heißt, dass jeder y-Wert nur von genau einem x-Wert angenommen werden kann. y=x^2 ist nicht injektiv, wenn x alle reellen Zahlen annehmen darf. Denn sowohl x=-1, also auch x=1 haben den selben y-Wert. Wären allerdings für x nur die positiven Zahlen zugelassen, wäre y=x^2 injektiv.
Surjektiv bedeutet, dass der gesamte Wertevorrat ausgeschöpft wird. Wenn du also hast y=x^2 und der Wertevorrat sind nur die positiven reellen Zahlen, dann ist die Abbildung surjektiv. Wenn aber der Wertevorrat die gesamten reellen Zahlen sind, dann ist die Abbildung nicht surjektiv.
Ich denke das größte Problem hierbei ist, dass viele denken es würde an der jeweiligen Funktion liegen, ob es sich um eine injektive/surjektive Abbildung handelt. Dabei gehts nur um die Menge an x-Werten und die Menge an y-Werten die man betrachtet. Die Funktion sagt dabei nur, wie die x- und y-Werte einander zugeordnet werden.
@@MathePeter es lohnt sich manchmal kommentare zu lesen. Danke endlich habe ich es gecheckt
Ich würd sagen MatheMachIchMalSpeter :)
einfach Hut ab!
Rechnet man damit nicht gleichzeitig die bildmenge einer funktion?
Fast. Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion beinhaltet die Bildmenge!
1:20
f(x) = x^2 ist doch streng monoton steigend, da f(x1) < f(x2) gilt. Diese Funktion müsste dann injektiv sein und jedes y Wert müsste nur einmal vorkommen, d.h. mehrere x Werte dürften NICHT vorkommen (sagst du). Wieso dürfen mehrere x Werte nicht vorkommen? Das eine schließt das andere doch nicht aus? Wenn y Wert nur einmal vorkommt, dann kann es trotzdem so sein, dass man für y mehrere x Werte hat, z.B für f(x)= x^2 erhalten wir für x = 2 und x = -2 den wert 4, d.h wir kriegen für mehrere x Werte nur ein y Wert. Die Funktion ist aber injektiv wegen f(x1) < f(x2).
Hab ich einen Denkfehler?
Die Funktion ist nur für positive x streng monoton steigend, heißt die Funktion ist nicht injektiv, da, sowie du schon gesagt hast für zb x gleich -2 und 2 der Wert 4 rauskommt. Schau dir den Graphen der Funktion nochmal an.
Danke @FliegendesFischiLP genau so ist es. x1=2 und x2=-2. Dann ist f(x1)=f(x2), also ist f nicht injektiv. Außer man betrachtet nur den positiven oder nur den negativen Ast der Parabel, die dann aufgrund der strengen Monotonie wieder injektiv sind.
kannst du dein video verlinken wo du injektivität und surjektivität erklärst ?
Habs leider noch nicht gefilmt. Nur im Video schon mal die Ankündigung gemacht, wenn ichs mal mache xD
@@MathePeter :( :( ok danke
Hey könntest du die inverse zu x^5+y^5=2xy bitte bilden? Ich steh aufm schlauch und die polynome stören :/
Mir wär nicht bekannt, dass das in geschlossener Form möglich ist. Wie kommst du auf so eine Aufgabe?
MathePeter ich studiere Wirtschaftswissenschaften in Frankfurt und das war eine der gestellten aufgaben, man soll die Umkehrfunktion bilden und die punkte (x,y) = (1|1) in die Ableitung einsetzen
Was genau ist jetzt die Aufgabe? Sollst du eine Umkehrfunktion bilden oder sollst du die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle (1|1) berechnen? Das sind zwei verschiedene Aufgaben.
Edit: Es ist nicht möglich die Gleichung analytisch nach y oder ihrer Umkehrfunktion aufzulösen. Wenn du aber willst, erkläre ich dir, wie du sehr einfach und schnell auf die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle (x,y)=(1,1) kommst. Das Ergebnis wird -1 sein.
MathePeter ja genau das ist was ich brauche die stelle (1|1) an der Ableitung der umkehrfunktion, wäre super nett wenn du das erläutern könntest (idiotensicher haha) vielen dank im voraus!!
Den Anstieg der Funktion y=f(x), also die erste Ableitung davon, kriegst du auch hin ohne vorher nach y umgestellt zu haben. Einfach mit der Regel für implizites Differenzieren: th-cam.com/video/NTKLaSEil_M/w-d-xo.html
Damit kriegst du raus, dass die Tangente im Punkt (1,1) den Anstieg -1 haben musst. Ein ähnliches Beispiel findest du hier: th-cam.com/video/YIgGjoM5X8Q/w-d-xo.html
Neu ist jetzt nur, dass es um den Anstieg der Umkehrfunktion geht. Das ist aber kein Problem, denn das ist einfach immer nur der Kehrwert von dem Ergebnis. Und Kehrwert von -1 bleibt -1.
Wie mach ich das wenn die umkehrfubktion gesucht ist also gesucht sind die zugehörigen umkehrfunktionen sowie f○f und g○g.
F(x) := 2x-6
G(x):= x+2 Falls x kleiner 1 und 3x falls größer gleich 1.
Bitte um Hilfe
Ist mit dem Kringel die Verknüpfung mit sich selbst gemeint?
kann mir mal jemand die Umkehrfunktion 2*f^-1(3) erklären? Mein Prof meint es wird zu 2*3/2
ist das weil die 2 vor dem f dann mit dem f unter den Bruchstrich gezogen wird, und das ganze zweimal?
Danke
Gibts eine genauere Angabe zu dem f? Und was genau ist mit f^-1(3) gemeint?
@@MathePeter in Worten wäre das: f hoch minus mal (nicht mehr hoch) 3
Ich würd dir gern helfen, nur ist mir noch nicht klar, was genau du meinst. Weil "minus mal" existiert nicht. Sag mal bitte exakt die Reihenfolge der Operationen. Vielleicht als Bild oder einfach mit genügend Klammern geschrieben.
ist jede funtion in der y nur durch f(x) defeniert wird surjektiv?
Nur wenn die Funktion jeden vorgegebenen y-Wert auch wirklich annehmen kann.
@@MathePeteraber wie soll die funktion nicht jeden wert für y annehmen können wenn die menge y nur durch die funktion f(x) defeniert ist?
Sehr gute Frage! Grund ist der Unterschied zwischen Wertevorrat(=Zielmenge) und Wertebereich(=Bildmenge=Menge aller möglichen Werte, die die Funktion y=f(x) annehmen kann). Der Wertevorrat umfasst immer den Wertebereich, aber evtl. noch mehr. Beispiel: Wertevorrat=Menge aller deiner Werkzeuge, die du besitzt (Hammer, Rohrzange, Panzertape, WD-40,...); Wertemenge=Menge aller deiner Werkzeuge, die du brauchst, um ein Bild an die Wand zu bringen. Solltest du zum Lösen deines Problems alle deine Werkzeuge brauchen, die du besitzt, also Wertebereich=Wertevorrat, dann nennt man die Abbildungsvorschrift "surjektiv". Sollte es jedoch Werkzeuge geben, die ungenutzt bleiben, dann ist die Abbildung "nicht surjektiv".
Jetzt am Beispiel aus dem Video. f: [0,∞)->[0,2) ist eine Abbildung, der nur die Werkzeuge [0,2) zur Verfügung stehen (Wertevorrat). Da wir aber ab 1:37 auch nachgeprüft haben, dass die Funktion wirklich jeden dieser Werte von [0,2) annimmt, also jedes dieser Werkzeuge nutzt, ist f "surjektiv". Hätte ich im Video geschrieben f: [0,∞)->(-∞,2), dann würden der Abbildung weit mehr y-Werte zur Verfügung stehen, als sie überhaupt annehmen kann. In dem Fall wäre f "nicht surjektiv". Oder umgekehrt: Die Umkehrrelation f^(-1) hätte mit ihrem Definitionsbereich (-∞,2) Werte, für die es keine passenden Funktionswerte aus [0,∞) gibt. Wenn es wirklich eine Umkehrfunktion gibt, dann darf es solche Probleme nicht geben.
Hat dir das geholfen? :)
Vielen dank das hat mir wirklich sehr weitergehofen. Danke für die Unterstützung :)
timestamps : +1 ehre
kranke Qualität
Ignoriert mich ich bin ein Kommentar für den TH-cam-algorithmus
Es wäre echt gut, wenn du ein Video zu Umkehrfunktionen von Funktionen machst, bei den es eine Fallunterscheidung gibt. Ich finde das echt ziemlich unintuitiv und es gibt praktisch keine Inhalte dazu auf TH-cam oder sonst wo
Hast du Beispiele?
@@MathePeter In Mikroökonomie haben wir Nachfragefunktionen und dazu die inversen Nachfragefunktionen. Als Nachfragefunktion gibt es da zum Beispiel:
D(p) = max {10 - 2*p, 0}
die Fallunterscheidung liegt hier ja bei p = 5. Um die Aufgabe zu bearbeiten müsste man hier die inverse Nachfragefunktion bilden.
Besonders wenn man die Summen mehrerer inversen Nachfragefunktionen bilden soll, kann das mit den Fallunterscheidungen schon ziemlich unübersichtlich werden. Deswegen wär es echt hilfreich, wenn du in einem Video erklären könntest wie man allgemein bei so welchen Aufgaben vorgehen muss. Wenn jemand das verständlich erklären kann dann bist du das :)
Danke dir, ich kann ja mal die Inverse einer Funktion bestimmen, die abschnittsweise definiert ist :)
Bei deinem Beispiel gibts nur eine Umkehrfunktion von D(p)=10+2*p. Wenn die Nachfrage für einen Preis größer 5 zu Null wird, dann gibts davon keine Umkehrfunktion, denn die konstante Funktion D(p)=0 ist nicht injektiv, damit auch nicht bijektiv und damit hat sie auch keine Inverse.
👍
Man darf einem Y-Wert nicht mehrere X-Werte zuordnen?? Das steht im Internet anders
Darfst du schon, nur dann ist die Funktion nicht mehr injektiv. Damit dann auch nicht bijektiv und auch nicht invertierbar. Beispiel: f: ℝ --> ℝ⁺ mit f(x)=x² ist nicht invertierbar, weil z.B. f(1)=f(-1)=1. Aber f: ℝ⁺ --> ℝ⁺ mit f(x)=x² ist invertierbar, die Umkehrfunktion lautet g: ℝ⁺ --> ℝ⁺ mit g(x)=√x.
Wie geht man bei y=(1/x+2) -1 vor??
Steht die +2 mit im Nenner?
MathePeter genau die +2 steht im Nenner
@@okancan7686 Dann wie immer beim Umstellen: "Auf beiden Seiten das Gegenteil von dem, was zuletzt gerechnet wird."
y = 1/(x+2) - 1 |+1
y+1 = 1/(x+2) |*(x+2)
(y+1)*(x+2) = 1 |:(y+1)
x+2 = 1/(y+1) |-2
x = 1/(y+1) - 2
MathePeter Danke vielmals für die Erklärung und die schnelle Antwort.
Gutes Video, aber du redest echt schnell :D
Haha ja stimmt, bei den ersten Videos war ich noch etwas nervös vor der Kamera. Wird Zeit für ein Remake :)
Top
danke!
Der Springer Verlag sollte deinen Kanal aufkaufen, sonst verkaufen sie bald keine Bücher mehr^^... (Bei dem Nachschlagewerk welches du hier gerade erschaffst)
Du bringst mich auf Ideen 😏
@@MathePeter Dein Kanal ist wie ein Buch das man nicht lesen muss, weil es zu dir spricht. Und die meisten Fragen die entstehen, klärst du danke der mathepeterischen Empathie und Antizipation unmittelbar auf. Wirklich unbezahlbar. Danke!
Gucke lieber dem Peter zu, als dem Daniel
Das einzige was ich mitgenommen habe, dass in 0:37 Umkehrfunktion falsch geschrieben wurde
Immerhin ein guter Anfang und wenn wir zusammen dran arbeiten, nimmst du den Rest auch noch mit! Welche Fragen brennen dir auf dem Herzen?
Ich mach aus MathePeter Hackepeter
Schnell erklärt. Finde ich nicht so gut. Leider
Danke für deine Kritik!
Bisschen langsamer wäre perfekt. Wenn ich ein Thema unbedingt verstehen will, ist es mir egal wie lange das Video dauert. Hab keine Angst, wenn das Video lange dauert. Danke für deine Arbeit. 😍
@@sipanj Recht hast du! Danke dir!
Ich verstehe nicht wie ich bei meinem Beispiel : y= 2x +5
Am ende auf y=1/2x-2,5 komme krieg das nicht hin:/
Du formst die Funktion y
nach x um, dann solltest du es erkennen? LG
Genau. Wenn du die Funktion y = 2x + 5 nach x umstellen willst, dann arbeite genauso wie in den Videos der Playlist "Gleichungen umstellen": th-cam.com/play/PLvBnQVOJXCUGZVN2LnopVQGMe2bU_v2rD.html
Regel: "Immer die schwächste Rechenoperation zuerst, indem du das Gegenteil rechnest."
Also zuerst die "+5" eliminieren, indem du "-5" auf beiden Seiten rechnest:
y - 5 = 2*x. Danach die "*2" elimienieren, indem du "÷2" auf beiden Seiten rechnest: (y-5)/2 = x. Ein Bruchrechengesetz lautet, dass du jeden Summanden einzeln durch 2 teilen darfst. Damit hast du dein Ergebnis x=1/2*y -2,5.
In dem Video sprichst und schreibst du etwas zu schnell. Mit gelegentlichem Anhalten und Wiederholen aber trotzdem verständlich wie immer.
Danke für dein Feedback. In den neueren Videos bin ich etwas ruhiger :)
Deine Pommes Frisur lenkt mich irgendwie ab
Da ist wohl kein Model an mir verloren gegangen 😂
Hat nicht geholfen jungeeee
Daniel Jung auf Wish bestellt
Du meinst wohl eher the cooler daniel
Haben Sie 1 Freundin?
I bim 1 Roboter
Dachte ich mir schon.
Ich glaub, ich gehör zu den wenigen die deine Videos nicht so mag. Ich finde du springst viel zu schnell ins Thema rein. Ich komm nicht immer mit. Muss ständig das Video anhalten um das ganze mal sacken zu lassen.
Soll einfach konstruktive Kritik sein, gibt bestimmt den ein oder anderen die das auch so sehen.
Dazu muss ich vllt. erwähnen, ich bin auch schon seit 7 Jahren aus der Schule raus und muss alles quasi fürs Studium komplett "neu" wieder lernen.
Kann ich verstehen, bei den ersten Videos war ich auch ziemlich aufgeregt vor der Kamera. Mittlerweile bin ich ruhiger. Schau doch gern mal morgen bei den Livestreams zum Thema "Funktionen" vorbei. Im zweiten Teil gehts dann auch um Umkehrfunktionen und die Eigenschaften Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
@@MathePeter ok cool. Klar kann man nachvollziehn, dass du aufgeregt bist bzw. warst.
Wann ist den der Livestream??
Um 10 Uhr gehts los mit dem ersten Teil. Umkehrfunktionen und die Eigenschaften "injektiv", "surjektiv" und "bijektiv" besprechen wir im zweiten Teil um 13 Uhr.
@@MathePeter schade, leider alles komplett während meiner Vorlesungszeiten. Aber danke für die Antwort 👍
Kannst es dir ja später mal in Ruhe anschauen und Bescheid sagen, wenn du Fragen hast :)
Zu komplexe Begriffe