Ещё не смотрел эту тему в книге, но хочется отметить, что почему-то практически всегда принципы, которые лежат в основе таблицы логических высказываний не объясняются, а таблица принимается как данность. Между тем, мне кажется, что её можно легко объяснить и увидеть почему она такая, а не другая. Для этого нужно просто считать ложь множественным, а истину единственным. Отсюда, из единственного не может следовать множественное (из одной единицы не сделать 2), но из множественного может следовать единственное (из 2 можно взять 1). Можно сказать, что до нахождения истины мы имеем только ложь как исходный материал. Единственное и единственное не дают множественное (если у нас две единицы -- значит у нас множественное, а не единственное и единственное, единственное всегда остаётся одним, как и единица всегда сохраняет свою уникальную индивидуальность в числовом ряду). Две истины не создают лжи. А множественное и единственное создают множественное. Это похоже на понятие полу-правды, которая не есть правда. Множественное и множественное → множественное.
боюсь, что таких интерпретаций может быть много, причем они могут противоречить друг другу. тем более что из единственности может следовать множественность, например, таким образом: 1 -> 1 or 1 or 1... (свойство идемпотентности) Причем, верно это в классической логике и в некоторых неклассических. Однако есть специальные логики, в которых такое тождество запрещается, и там уже классическими таблицами истинности не отделаешься. НО, я в свое время тоже пытался подвести какую-то "материальную" базу под законы формальной логики (кроме "исторически так сложилоь"), и сделал это в роликах "Математика как иностранный". Если коротко, то я просто пытаюсь увязать логические операции через определние и объем понятия с теоретико-множественными операциями (конъюнкция - пересечение, дизъюнкций - объединение, отрицание - дополнение, импликация -- вложение). Круги Вейля дают хорошую графическую интуицию для формальной логики.
Я не совсем понял, что вы имеете в виду, потому что мне показалось, что в примере, который вы привели из единственности не следовала множественность. Поэтому, я спросил ChatGPT (далее я отвечу от себя) он тоже понял это так как и я: "Давайте разберемся с утверждением шаг за шагом. Единственность: Это свойство чего-то, что уникально или одно в своем роде. Множественность: Это свойство иметь много элементов или состояний. Свойство идемпотентности: В математике и компьютерных науках идемпотентность - это свойство операции, при котором её применение к результату одного или нескольких предыдущих применений этой же операции не меняет результат. Простыми словами, даже если вы примените операцию многократно, результат останется таким же, как и после первого применения. Для операции "or" в логике (или операция дизъюнкции), идемпотентность проявляется так: если у вас есть значение "1" (истина) и вы примените к нему операцию "or" с другим значением "1", результат всегда будет "1", независимо от количества применений. Таким образом, утверждение "из единственности может следовать множественность, например, таким образом: 1 -> 1 or 1 or 1..." подразумевает следующее: Мы начинаем с одного утверждения истины (единственности), но благодаря свойству идемпотентности операции "or", можем многократно применять эту операцию без изменения исходного значения. Это приводит к тому, что, несмотря на то, что выражение становится длиннее (множественность), его значение (истина) остается неизменным.". Единица -- это очень хороший и возможно самый лучший пример единственности, потому что это уникальное число среди всех чисел. В некотором смысле можно сказать, что это и есть "истина", а все остальные числа -- ложь, потому что они составные и олицетворяют множественность. И с точки зрения житейской логики нам кажется, что мы можем сделать из единицы нечто множественное, взяв две единицы и создав 2. Но это не так, потому что когда у нас "есть" две единицы -- это уже не единица. у нас уже есть 2. Вы не можете произвести из целочисленной единицы 2, потому что она не раскладывается, она как элементарная частица. Но вы можете произвести единицу из 2, 3 и какого угодно числа, путём его "раздробления". Вот поэтому, из лжи может следовать что угодно, в том числе истина. А из истины не может следовать ложь. Если отойти от математики, то мы видим, ложь как явление по природе множественна: ложный заявлений может быть сколько угодно, а правда -- это всегда реальность, а реальность -- это не сны, она одна. Лично мне при ответе сейчас вспомнились "последние слова Будды", которые тоже, как мне кажется связанны с этой темой. Он призывает учеников неустанно работать над своим спасением (то есть пытаться достичь нирваны), потому что "all compound things are impermanent" (все составные вещи -- непостоянны). И действительно, свойство не истинных утверждений в том, что рано или поздно они опровергаются и "исчезают".
Гх-м... Очень глубокое замечание. Я сейчас серьезно говорю. Во всяком случае меня вы натолкнули на очень интересную мысль, которую надо будет обдумать.
@ice/hvtrs8%2F-wuw%2Cymuvu%60e%2Ccmm-cjalngl-UA_f0Oe4wa2vq%7B_2SeheVfRS 1) как из того, что мы не можем из 1 получить 2, а из 2 можем получить 1 следует, что "из лжи может следовать что угодно, в том числе истина. А из истины не может следовать ложь"? 2) конец про будду не понятно зачем вставлен и приводит к ошибке в последнем предложении. Не все ложные высказывания рано или поздно опровергаются, некоторые из них опровергнуть невозможно, как и доказать некоторые истинные (теорема геделя о неполноте)
Здравствуйте такой вопрос. Формальная система T состоит из кортежа . V - символы, V* выражения которые могут быть составлены из символов V. G - это грамматика по правилам которой мы можем получать ППФ (правильно построенные формулы) из символов V. A - аксиомы, это некоторые формулы из множества ППФ. R - это правила вывода из одних ППФ другие ППФ. Так сами по себе аксиомы они просто не имеют смысла, это просто рандомно взятые ППФ сгенерированные с помощью грамматики G, но добавляя Семантическую систему, мы наделяем аксиомы истинностным значением. И теперь мы утверждаем что аксиомы истинны сами по себе без доказательств. И теперь мы можем пользоваться правилами вывода R не просто чтобы получать из аксиом другие ППФ, а чтобы ещё и утверждать что то что мы вывели из аксиом являются Теоремами и они тоже имеют значение Истина. И теперь всё что выводимо из Теорем и Аксиом с помощью правил вывода R это истинные ППФ. В итоге у нас множество ППФ условно делятся на 2 множества 1. Те что "сгенерированы" по правилам R через аксиомы и теоремы (+ они являются истинными). 2. Множество ППФ которые "сгенерированы" по правилам грамматики G, но не обладают значением Истинна. Всё верно?
@@reisedurchdiemathe Хорошо посмотрю. Но у меня тогда вопрос в связи с тем что то что я написал выше верно. У нас есть алфавит V = {a, b}. В грамматике G генерация такая что после "a" не может стоять "b". В итоге у нас множество ППФ такого вида a, ba, bba, ... А в правиле вывода R у нас записано что, X -> Xb, где X это ППФ. Тогда если вход будет ba, то выход будет bab что противоречит грамматике G и такая формула не будет ППФ. Будет ли это проблемой? Должны ли правила вывода R подчинятся грамматике ППФ G?
@@ehchobyah Да, должны подчиняться. Точнее так: если грамматика нам генерирует формулы (пространство ППФ), то выводимость лишь устанавливает отношение между формулами, которое задается правилами вывода. Иначе говоря, правила вывода говорят нам о том, находятся ли данные формулы из ППФ в отношении выводимости. То есть в вашем примере, правило надо записать так: если Х и Xb -- элементы ППФ, то Х выводит Xb.
6:44 А если одну секунду определяют при температуре 0 К, получается её только теоретически определяют? Хотя чего удивляться, скорость света же тоже в каки-то идеальных условиях имеется ввиду, как я понимаю.
это лучше вы у физиков спросите) afaik, скорости света есть две - предельная возможная скорость в теории относительности, и физическая скорость света в конкретной среде.
Здравствуйте, подскажите пожалуйста как соотносятся между собой Аксиоматический метод, Формальные системы и Логика первого порядка. Что из чего вытекает?
ну, аксиоматический метод - это просто идея, предполагающая, что у нас есть набор требований, исчерпывающим образом описывающих некоторую область знаний, т.е. дает косвенное определение для предметов и отношений между ними. формальная система - это уже некий языковой инструмент для реализации аксиоматического метода в математике (и отчасти в программировании), т.е. это уже не идея, а ее реализация. ну а логика первго порядка - это исчисление предикатов без кванторов по множествам, это уже дополнение к формальным системам, позволяющее строить логические выводы, такая логик-машина для производства теорем.
@@reisedurchdiemathe логику первого порядка можно назвать расширением формальной системы или формальной системой, или это уже что-то другое просто похожее на формальную систему?
@@ehchobyah скорее надстройка. формальная система сама по себе - это материал для работы логики и теории. формальная система задает язык, на котором мы что-то описываем, а логика - это механизм генерации истинных утверждений на этом языке, отправляясь от набора аксиом, записанных также на языке ФС. Т.е. ФС - язык, а логика - это список логических ксиом и правил вывода, т.е. механизм генерации истинных формул, записанных на языке ФС. Если к логике добавляются еще нелогические аксиомы, то получается теория. Более подробно я здесь рассказываю про эти штуки th-cam.com/video/kV8bsPDfd4I/w-d-xo.html
@@ehchobyah похожее у них следующее: в обоих случаях у нас есть некоторый четко определенный процесс генерации правильно построенных текстов. только в случае формальной системы правильно построенные тексты - это термы и формулы, т.е. языковые лексемы, а в случае логики - это теоремы. в первом случае мы для генерации новых текстов из старых пользуемся правилами комбинации (композиции) по заданным шаблонам, а во втором случае - правилами вывода исчисления предикатов.
Здравствуйте, я правильно понимаю что ФС это надстройка над формальным языком, формальный язык + аксиомы и правила вывода? Если рассматривать ФС как кортеж , где V - алфавит, F - это множество слов (множество ППФ построенной по некой грамматике), A - множество аксиом, R - множество соотношений правил вывода. L формальный язык, это множество слов F на алфавите V, и того V и F сводим к L. Получается ФС = . Формальный язык + Аксиомы и Правила вывода. Правильно?
да, верно. разве что можно вместо F рассматривать множество правил генерации слов, а вместо отношения R - сами правила вывода, генерирующие это отношение. обычно правда принято отделять ФС логики от нелогической части, т.е. алфавит, формулы, аксиомы и правила вывода исчисления предикатов - это базовая ФС, а чтобы получить нелогическую ФС. т.е. теорию, добавляют новые символы алфавита, пополняют правила грамматики, добавляют нелогические аксиомы. Это намного проще, поскольку ФС логики предикатов практически везде одна и та же.
вопрос, как говорится, не в бровь, а в глаз)) Очень перегруженные в математике символы. в контексте исчисления высказываний: одинарная стрелка влево-вправо () есть логический оператор "эквиваленция", т.е. это элемент языка ИВ двойная стрелка влево-вправо (⇔) есть логическое "тогда и только тогда" из языка метатеории (т.е. той теории, в которой и средствами которой мы изучаем логику) тождество (≡) означает совпадение в любой интерпретации (при любом означивании), т.е. в случае булевой логики это равенство соответствующих булевых функций именно как функций, и это тоже метатеоретическое высказывание. Про эквиваленцию и тождество формул исчисления высказываний доказывается метатеорема: A≡B тогда и только тогда (⇔), когда формула AB есть тавтология.
в данном курсе это встретится в арифметике ординалов, т.е. тоже нескоро) тут ведь все зависит от того, какой конкретно формализм мы рассматриваем (теория множеств или арифметика) и как вводим обозначения чисел, поскольку символы 1 и 2 нужно сначала определить через базовые символы сигнатуры, а потом уже выводить какие-то равенства про них. если же говорить про арифметику, то в курсе математика ка киностранный у меня это находится в 10м ролике th-cam.com/video/-d9H6WAdk2g/w-d-xo.html (правда там нет конкретного равенства 1+1=2, но понять, как его получить, можно именно оттуда)
Потому что истина "сильнее" чего угодно, в том числе и лжи. А кроме того, из противоречия следует все, что угодно, в том числе и истина. Алгебраическую (булевскую) интерпретацию логики нужно воспринимать как модель аксиом логики и не искать тут каких-то сверхидей. Парадокс в том, что эта модель очень удачно и в некоторым смысле единственным образом "оцифровывает" логические правила. И поэтому уже чисто алгебраически получается то, что вы спросили. В самой же логике формулировки имеют вид вроде такого: - если А верно, то А следует из любой посылки: A -> (B -> A), - если А не верно, то из А следует все что угодно: ¬A -> (A -> B), а это уже разрешается булевской моделью, где a->1 и 0-> a при любых a.
Здравствуйте, У меня есть маленький вопрос. Я не совсем понял, когда мы применяем правило подстановки к какой-либо аксиоме, то мы получаем новую аксиому или всё таки теорему?
получаем теорему, потому что аксиома, как любая формула - это не функция, а просто текст. если в аксиоме написано x+x=2*x, то y*y=2*y - это теорема. другое дело, что тут отличие настолько микроскопическое, что никто не счтает это теоремой (слишком громкое название для такого факта), но формально - теорема
Поправка. Не народы Севера вообще, а гренландцы. И в гренландском языке разными словами обозначаются не оттенки белого цвета, а разные виды снега: свежевыпавший снег, талый снег, плотный снег и т.д. Потому и насчет "грубости" русского языка я бы поспорил. По-моему, конструкция языка "существительное+прилагательное" гораздо более гибкая в плане описания разных форм какой-либо сущности реального мира, нежели язык, в котором для объектов в разных формах приходится придумывать придумывать отдельное слово для каждой из форм.
Ещё не смотрел эту тему в книге, но хочется отметить, что почему-то практически всегда принципы, которые лежат в основе таблицы логических высказываний не объясняются, а таблица принимается как данность. Между тем, мне кажется, что её можно легко объяснить и увидеть почему она такая, а не другая. Для этого нужно просто считать ложь множественным, а истину единственным. Отсюда, из единственного не может следовать множественное (из одной единицы не сделать 2), но из множественного может следовать единственное (из 2 можно взять 1). Можно сказать, что до нахождения истины мы имеем только ложь как исходный материал. Единственное и единственное не дают множественное (если у нас две единицы -- значит у нас множественное, а не единственное и единственное, единственное всегда остаётся одним, как и единица всегда сохраняет свою уникальную индивидуальность в числовом ряду). Две истины не создают лжи. А множественное и единственное создают множественное. Это похоже на понятие полу-правды, которая не есть правда. Множественное и множественное → множественное.
боюсь, что таких интерпретаций может быть много, причем они могут противоречить друг другу. тем более что из единственности может следовать множественность, например, таким образом: 1 -> 1 or 1 or 1... (свойство идемпотентности) Причем, верно это в классической логике и в некоторых неклассических. Однако есть специальные логики, в которых такое тождество запрещается, и там уже классическими таблицами истинности не отделаешься.
НО, я в свое время тоже пытался подвести какую-то "материальную" базу под законы формальной логики (кроме "исторически так сложилоь"), и сделал это в роликах "Математика как иностранный". Если коротко, то я просто пытаюсь увязать логические операции через определние и объем понятия с теоретико-множественными операциями (конъюнкция - пересечение, дизъюнкций - объединение, отрицание - дополнение, импликация -- вложение). Круги Вейля дают хорошую графическую интуицию для формальной логики.
Я не совсем понял, что вы имеете в виду, потому что мне показалось, что в примере, который вы привели из единственности не следовала множественность. Поэтому, я спросил ChatGPT (далее я отвечу от себя) он тоже понял это так как и я: "Давайте разберемся с утверждением шаг за шагом.
Единственность: Это свойство чего-то, что уникально или одно в своем роде.
Множественность: Это свойство иметь много элементов или состояний.
Свойство идемпотентности: В математике и компьютерных науках идемпотентность - это свойство операции, при котором её применение к результату одного или нескольких предыдущих применений этой же операции не меняет результат. Простыми словами, даже если вы примените операцию многократно, результат останется таким же, как и после первого применения.
Для операции "or" в логике (или операция дизъюнкции), идемпотентность проявляется так: если у вас есть значение "1" (истина) и вы примените к нему операцию "or" с другим значением "1", результат всегда будет "1", независимо от количества применений.
Таким образом, утверждение "из единственности может следовать множественность, например, таким образом: 1 -> 1 or 1 or 1..." подразумевает следующее:
Мы начинаем с одного утверждения истины (единственности), но благодаря свойству идемпотентности операции "or", можем многократно применять эту операцию без изменения исходного значения. Это приводит к тому, что, несмотря на то, что выражение становится длиннее (множественность), его значение (истина) остается неизменным.". Единица -- это очень хороший и возможно самый лучший пример единственности, потому что это уникальное число среди всех чисел. В некотором смысле можно сказать, что это и есть "истина", а все остальные числа -- ложь, потому что они составные и олицетворяют множественность. И с точки зрения житейской логики нам кажется, что мы можем сделать из единицы нечто множественное, взяв две единицы и создав 2. Но это не так, потому что когда у нас "есть" две единицы -- это уже не единица. у нас уже есть 2. Вы не можете произвести из целочисленной единицы 2, потому что она не раскладывается, она как элементарная частица. Но вы можете произвести единицу из 2, 3 и какого угодно числа, путём его "раздробления". Вот поэтому, из лжи может следовать что угодно, в том числе истина. А из истины не может следовать ложь. Если отойти от математики, то мы видим, ложь как явление по природе множественна: ложный заявлений может быть сколько угодно, а правда -- это всегда реальность, а реальность -- это не сны, она одна. Лично мне при ответе сейчас вспомнились "последние слова Будды", которые тоже, как мне кажется связанны с этой темой. Он призывает учеников неустанно работать над своим спасением (то есть пытаться достичь нирваны), потому что "all compound things are impermanent" (все составные вещи -- непостоянны). И действительно, свойство не истинных утверждений в том, что рано или поздно они опровергаются и "исчезают".
Гх-м... Очень глубокое замечание. Я сейчас серьезно говорю. Во всяком случае меня вы натолкнули на очень интересную мысль, которую надо будет обдумать.
@@Avgur_Smile Очень даже верю, оно мне таким же показалось, похоже что это надёжно работает, объясняет суть, но нигде я такого не видел.
@ice/hvtrs8%2F-wuw%2Cymuvu%60e%2Ccmm-cjalngl-UA_f0Oe4wa2vq%7B_2SeheVfRS 1) как из того, что мы не можем из 1 получить 2, а из 2 можем получить 1 следует, что "из лжи может следовать что угодно, в том числе истина. А из истины не может следовать ложь"?
2) конец про будду не понятно зачем вставлен и приводит к ошибке в последнем предложении. Не все ложные высказывания рано или поздно опровергаются, некоторые из них опровергнуть невозможно, как и доказать некоторые истинные (теорема геделя о неполноте)
Спасибо автору видео
Рекомендую: Налимов "вероятностная модель языка" где то 67 года
Здравствуйте такой вопрос.
Формальная система T состоит из кортежа .
V - символы, V* выражения которые могут быть составлены из символов V.
G - это грамматика по правилам которой мы можем получать ППФ (правильно построенные формулы) из символов V.
A - аксиомы, это некоторые формулы из множества ППФ.
R - это правила вывода из одних ППФ другие ППФ.
Так сами по себе аксиомы они просто не имеют смысла, это просто рандомно взятые ППФ сгенерированные с помощью грамматики G, но добавляя Семантическую систему, мы наделяем аксиомы истинностным значением. И теперь мы утверждаем что аксиомы истинны сами по себе без доказательств.
И теперь мы можем пользоваться правилами вывода R не просто чтобы получать из аксиом другие ППФ, а чтобы ещё и утверждать что то что мы вывели из аксиом являются Теоремами и они тоже имеют значение Истина. И теперь всё что выводимо из Теорем и Аксиом с помощью правил вывода R это истинные ППФ.
В итоге у нас множество ППФ условно делятся на 2 множества
1. Те что "сгенерированы" по правилам R через аксиомы и теоремы (+ они являются истинными).
2. Множество ППФ которые "сгенерированы" по правилам грамматики G, но не обладают значением Истинна.
Всё верно?
да, верно. вот здесь я пожалуй описал это лучше и короче th-cam.com/video/KhaYjR2sCEY/w-d-xo.html
смотрите где-то первые полтора часа
@@reisedurchdiemathe Хорошо посмотрю. Но у меня тогда вопрос в связи с тем что то что я написал выше верно.
У нас есть алфавит V = {a, b}.
В грамматике G генерация такая что после "a" не может стоять "b". В итоге у нас множество ППФ такого вида a, ba, bba, ...
А в правиле вывода R у нас записано что, X -> Xb, где X это ППФ.
Тогда если вход будет ba, то выход будет bab что противоречит грамматике G и такая формула не будет ППФ.
Будет ли это проблемой? Должны ли правила вывода R подчинятся грамматике ППФ G?
@@ehchobyah Да, должны подчиняться. Точнее так: если грамматика нам генерирует формулы (пространство ППФ), то выводимость лишь устанавливает отношение между формулами, которое задается правилами вывода. Иначе говоря, правила вывода говорят нам о том, находятся ли данные формулы из ППФ в отношении выводимости. То есть в вашем примере, правило надо записать так: если Х и Xb -- элементы ППФ, то Х выводит Xb.
6:44 А если одну секунду определяют при температуре 0 К, получается её только теоретически определяют? Хотя чего удивляться, скорость света же тоже в каки-то идеальных условиях имеется ввиду, как я понимаю.
это лучше вы у физиков спросите) afaik, скорости света есть две - предельная возможная скорость в теории относительности, и физическая скорость света в конкретной среде.
Здравствуйте, подскажите пожалуйста как соотносятся между собой Аксиоматический метод, Формальные системы и Логика первого порядка. Что из чего вытекает?
ну, аксиоматический метод - это просто идея, предполагающая, что у нас есть набор требований, исчерпывающим образом описывающих некоторую область знаний, т.е. дает косвенное определение для предметов и отношений между ними.
формальная система - это уже некий языковой инструмент для реализации аксиоматического метода в математике (и отчасти в программировании), т.е. это уже не идея, а ее реализация.
ну а логика первго порядка - это исчисление предикатов без кванторов по множествам, это уже дополнение к формальным системам, позволяющее строить логические выводы, такая логик-машина для производства теорем.
@@reisedurchdiemathe логику первого порядка можно назвать расширением формальной системы или формальной системой, или это уже что-то другое просто похожее на формальную систему?
@@ehchobyah скорее надстройка. формальная система сама по себе - это материал для работы логики и теории.
формальная система задает язык, на котором мы что-то описываем, а логика - это механизм генерации истинных утверждений на этом языке, отправляясь от набора аксиом, записанных также на языке ФС.
Т.е. ФС - язык, а логика - это список логических ксиом и правил вывода, т.е. механизм генерации истинных формул, записанных на языке ФС. Если к логике добавляются еще нелогические аксиомы, то получается теория.
Более подробно я здесь рассказываю про эти штуки th-cam.com/video/kV8bsPDfd4I/w-d-xo.html
@@ehchobyah похожее у них следующее: в обоих случаях у нас есть некоторый четко определенный процесс генерации правильно построенных текстов. только в случае формальной системы правильно построенные тексты - это термы и формулы, т.е. языковые лексемы, а в случае логики - это теоремы. в первом случае мы для генерации новых текстов из старых пользуемся правилами комбинации (композиции) по заданным шаблонам, а во втором случае - правилами вывода исчисления предикатов.
Здравствуйте, я правильно понимаю что ФС это надстройка над формальным языком, формальный язык + аксиомы и правила вывода?
Если рассматривать ФС как кортеж , где V - алфавит, F - это множество слов (множество ППФ построенной по некой грамматике), A - множество аксиом, R - множество соотношений правил вывода.
L формальный язык, это множество слов F на алфавите V, и того V и F сводим к L.
Получается ФС = . Формальный язык + Аксиомы и Правила вывода.
Правильно?
да, верно. разве что можно вместо F рассматривать множество правил генерации слов, а вместо отношения R - сами правила вывода, генерирующие это отношение.
обычно правда принято отделять ФС логики от нелогической части, т.е. алфавит, формулы, аксиомы и правила вывода исчисления предикатов - это базовая ФС, а чтобы получить нелогическую ФС. т.е. теорию, добавляют новые символы алфавита, пополняют правила грамматики, добавляют нелогические аксиомы. Это намного проще, поскольку ФС логики предикатов практически везде одна и та же.
А у вас есть лекция о построении натуральных чисел из множеств?
да, здесь: th-cam.com/video/H9SGhDtU2_8/w-d-xo.html
это натуральные числа по фон Нейману: 0 ={}, n+1 = n U {n}.
Здравствуйте, возник вопрос.
есть знаки: равносильность (⇔) и эквиваленция/тождество (≡)
в чём их разница?
вопрос, как говорится, не в бровь, а в глаз)) Очень перегруженные в математике символы.
в контексте исчисления высказываний:
одинарная стрелка влево-вправо () есть логический оператор "эквиваленция", т.е. это элемент языка ИВ
двойная стрелка влево-вправо (⇔) есть логическое "тогда и только тогда" из языка метатеории (т.е. той теории, в которой и средствами которой мы изучаем логику)
тождество (≡) означает совпадение в любой интерпретации (при любом означивании), т.е. в случае булевой логики это равенство соответствующих булевых функций именно как функций, и это тоже метатеоретическое высказывание.
Про эквиваленцию и тождество формул исчисления высказываний доказывается метатеорема:
A≡B тогда и только тогда (⇔), когда формула AB есть тавтология.
Я слышал, что в середине 1-го тома Principia Mathematica делается вывод, что 1+1=2. А есть доказательство этого факта в ваших видео или будет ли?
в данном курсе это встретится в арифметике ординалов, т.е. тоже нескоро)
тут ведь все зависит от того, какой конкретно формализм мы рассматриваем (теория множеств или арифметика) и как вводим обозначения чисел, поскольку символы 1 и 2 нужно сначала определить через базовые символы сигнатуры, а потом уже выводить какие-то равенства про них.
если же говорить про арифметику, то в курсе математика ка киностранный у меня это находится в 10м ролике th-cam.com/video/-d9H6WAdk2g/w-d-xo.html (правда там нет конкретного равенства 1+1=2, но понять, как его получить, можно именно оттуда)
Почему "из лжи следует правда" это истинное высказывание?
Потому что истина "сильнее" чего угодно, в том числе и лжи. А кроме того, из противоречия следует все, что угодно, в том числе и истина.
Алгебраическую (булевскую) интерпретацию логики нужно воспринимать как модель аксиом логики и не искать тут каких-то сверхидей. Парадокс в том, что эта модель очень удачно и в некоторым смысле единственным образом "оцифровывает" логические правила. И поэтому уже чисто алгебраически получается то, что вы спросили.
В самой же логике формулировки имеют вид вроде такого:
- если А верно, то А следует из любой посылки: A -> (B -> A),
- если А не верно, то из А следует все что угодно: ¬A -> (A -> B),
а это уже разрешается булевской моделью, где a->1 и 0-> a при любых a.
Здравствуйте,
У меня есть маленький вопрос.
Я не совсем понял, когда мы применяем правило подстановки к какой-либо аксиоме, то мы получаем новую аксиому или всё таки теорему?
получаем теорему, потому что аксиома, как любая формула - это не функция, а просто текст. если в аксиоме написано x+x=2*x, то y*y=2*y - это теорема. другое дело, что тут отличие настолько микроскопическое, что никто не счтает это теоремой (слишком громкое название для такого факта), но формально - теорема
@@reisedurchdiemathe наверно, Вы здесь имели в виду y+y
@@СергейМажарцев-э9г да) хотя если предположить, что символ + тоже является переменной, а звездочка термом, то и такая замена будет правильной)
Поправка. Не народы Севера вообще, а гренландцы. И в гренландском языке разными словами обозначаются не оттенки белого цвета, а разные виды снега: свежевыпавший снег, талый снег, плотный снег и т.д.
Потому и насчет "грубости" русского языка я бы поспорил. По-моему, конструкция языка "существительное+прилагательное" гораздо более гибкая в плане описания разных форм какой-либо сущности реального мира, нежели язык, в котором для объектов в разных формах приходится придумывать придумывать отдельное слово для каждой из форм.