와 댓글 인터넷이나 유튜브에 안다는데. 정말 너무 설명이 잘 알아들어져서 댓글남깁니다. 너무 감사합니다! 해외에서 수학을 가르치고 있는데 내일 수업할때 학생들과 이런 수 체계 그리고 허수라는 추상적인것 같은 수에 대한 철학에 관해 이야기 해보면 좋을것 같네요. 내일 수업에 꼭 공돌이 유튜브 채널 이야기하면서 크레딧을 드리도록 하겠습니다! 너무너무 좋은 컨텐츠 감사합니다!
@@milchholstein884 단순약속이라고 생각한건 21세기 초까지고 지금은 안그렇습니다. 3D 그래픽에 있어서 복소수가 없으면 계산을 할 수가 없어요. 단순 약속이 아닌 음수처럼 실생활에 쓰이게 된거라는 말이죠. 알고보면 음수처럼 보이지 않을뿐 실생활에 쓰이고 있는거죠.
그동안 수학적 기호의 약속에 따른 문제 풀이만 하다보니 어느순간 수학적 기호로 이뤄진 문제의 의미를 모르게 되었습니다 그런데 진행해주신 강의들을 통해 수체계의 철학적 의미를 알게 되었을 뿐만 아니라 수학적 기호로 이뤄진 문제들도 나름 새롭게 재해석 할 수 있을것 같습니다 좋은 강의 감사합니다
" 90도 회전 = i " 라는 사실을 학창시절 수학공부 6년, 대학공부 5년 동안 계속 써왔으면서 왜 몰랐을까요... 질문을 던지지 않은 채 받아들인 제 잘못이 가장 크지만, 왠지 한대 맞은 기분이네요. 덕분에 더 늦지 않게 사고를 확장할 수 있게 되었습니다. 감사합니다!!
광학, 전자기학, 양자역학, 푸리에 등에서 복소수는 쉴세없이 튀어나오는데, 그냥 별 생각없이 사용할 수도 있겠지만, 그 의미가 너무 궁금하고 가려웠습니다. 계속 사용하는 i라는 것에 대해 직관으로 와닿는 것이 힘들었던 겁니다.. 각잡고 짚어가지 않고서야 그 의미에 대해 고찰하기 힘들었어서 몇날며칠 고민했었는데, 제 나름 정리한 생각들과 오늘 이 영상으로 많은 의문점이 해소되어 기분이 좋습니다. 좋은 영상 감사드립니다:)
진지한 설명에 감사드립니다. 음수의 개념을 확장하며 쉽고도 자연스럽게 허수개념까지 이해시켜 주시네요. 허수에대해 쉽게 이해하는 관점을 또 얻었네요. 음수인 1차원 벡터, 허수인 2차원 벡터, 또다른 허허수를 추가하면 3차원벡터,..... 계속해서 논리적인 차원을 추가할 수도 있을거 같기도 하네요.(저도 이건 잘 모름 ㅋ) 인간의 논리만으로 구축한 수학체계가 우리의 현실에서 너무 유용하고도 정확히 적용될 수 있다는 게 너무도 신기 합니다. 훌륭한 강의에 다시 한번 감사드립니다.
벡터란 이름만 그럴듯하지 알고보면 간단한 의미입니다우리가 흔히말하는 속력(빠르기), 질량, 높이, 길이, 온도, 에너지 등 이렇게 값(크기,물리량)을 가지는 것을 스칼라라고 합니다하지만 저런 스칼라 값에 방향까지 나타내는것이 바로 벡터입니다대표적으로 속도(속력은 빠르기만 말한다면 속도는 빠르기+방향 입니다 하지만 일상생활에서는 구별하지 않을뿐입니다), 힘, 무게, 전류, 가속도 등 입니다.간단히 말하면 스칼라=물리량 벡터=물리량+방향입니다
임현진 아직 많이 어리신 학생이였내요 벡터는 과학(물리)입니다 하지만 물리의 기초는 수학입니다 수학의 공식들과 증명으로 물리적인 현상들을 알아냅니다 중학생때까지도 벡터는 수학때 안배우실꺼라 너무 걱정은 마세요 그리고 중간중간 과학시간마다 님이 배우실 벡터는 정말 간단하고 오히려 재밌을 벡터를 배울꺼에요ㅎㅎ 벡터의 기초만 배우실꺼라서 너무 걱정마시길~ 오히려 너무 간단해서 졸릴수도있어요ㅋㅋㅋ 벡터를 본격적으로 배우는건 고등학교 2학년 끝날쯤부터 이실껍니다 즉 열심히 공부해야 나중에 배우실 벡터도 이해하기도 쉽고 재밌을꺼에요
많이 공감합니다 ㅎㅎ 저희들이야 앞선 수학자/과학자들이 얻어낸 결과를 해석하는 것으로 그렇구나~ 하고 이해하고 넘길 수 있는 부분들이 많지만 처음 이런 내용을 발견해내고 이론적으로 정립하신 분들은 정말 희열이 느껴지는 발견이었을 것 같습니다 ㅎㅎ 가끔 이론이 정교하고 기가 막힌다는 느낌을 받을 때가 있는데, 저에게는 허수의 의미가 그런 기분을 느끼게 해준 주제였습니다 ^^
허수 이후에 수를 좌표평면에 나타낼 수 있는 2차원적 존재로서 인식할 수 있다는 사실이 신기합니다. 현재 수체계로는 복소수와 같은 2차원적인 수체계까지 나타낼 수 있지만, 후에 발견을 통해 더 고차원적인 수체계를 확장시킬 수 있을 것이라는 생각이 듭니다. 덕분에 허수가 지닌 의미와 새로운 차원에서의 수의 의미를 이해할 수 있게 되었습니다. 좋은 강의 감사합니다!
허수를 정확히 이해할 수 없어서 존재하지 않는 수라고 하지만 수학으로 자연현상을 해석하다보면 허수가 있어야 이해되는 경우가 있다 계산과정에서 i가 제곱이 되면서 해는 실수로 나타나지만 그 해가 현상과 잘 맞아떨어지는 거지 아직까지도 i라는 수의 의미를 정확히 이해는 못하고 있지만 이름 그대로 존재하지 않는 수는 아니다
@@user-lj2nh8tj8c 쌍곡함수가 가장 대표적이죠. 실함수에서의 쌍곡함수는 자연지수(e : exponential)로 정의되고, 이 함수는 현수교나 사장교의 지지 케이블 또는 고압전신주 전선의 공학 설계와 수학적 모델링에 사용됩니다. 이 함수의 특성이 허수 i의 존재를 분명하게 보여줍니다. sinh(x) = -i sin(ix), cosh(x) = cos(ix), tanh(x) = -i tan(ix). 그리고 복소해석학을 공부하신 분들은 알텐데, 실수부와 허수부의 결합으로 만든 복소함수의 공학적 응용 설계 사례들 역시 허수의 존재성을 보여줍니다. 로랑급수와 유수정리로 초등함수가 아닌 실함수의 정적분을 계산하거나, 벡터해석학의 라플라스 방정식과 등각사상과 리만사상을 결합해서 열과 유체의 복소퍼텐셜을 설명하는 등의 예가 대표적입니다. 미분방정식의 해를 구하는 라플라스 변환의 역과정인 라플라스 역변환의 증명 역시 복소함수로 증명되었죠.
완전 유투브에서 수학 재밌게 심도있게 배울 수 있는 동영상이 많네요! 대학가서 굳이 학점 압박 받으면서, 메이져리그 학자되려면 지도교수님한테 진짜 잘보여야된다는데, 뭐 박사과정까지 미운털이 영향미친다카던데, 그럴 위험부담없이 그냥 여기서 자유롭게 배우는게 낫겠어요 ㅋㅋ 저는 무한을 공부하고 싶어서 프랙탈이론 그쪽으로 너무너무 공부하고싶어서 대학갈까 고민중이었거든요. 근데 오늘 컴학원쌤께서 공대는 1학년때 교양으로 역학부터 화학까지 필수로 들어야된대서 막막했음ㅋㅋ 과학도 좋아하지만, 너무 한꺼번에 많은 양을 시험공부로 다 소화하려면 뇌에서 탈나거든요ㅠㅠ 수학은 유투브에서 배우고싶은것만 봐야겠음ㅋㅋ
그 학원 선생님께서는 무슨 대학을 다녔길래 교양으로 역학을 배운다고 하나요?ㅋ 화학정도는 얘전에 화학 II까지 배워서 엄청 대단한 것은 아닙니다. 엄청난 대학을 나오신 분인 것 같군요~ㅋㅋㅋ 대개 1학년은 교양과목 + 미적분 + 물리, 화학 (전기, 전자과의 경우)을 배우시고 (역학이 물리에 포함된다고 하면 뭐 할 말 없구요ㅋ) 역학은 기계나 건축 관련 과를 가지 않으면 딱히 자세하게 배울 일이 없습니다. (제가 얘기하는 역학은 동역학, 재료역학(=고체역학), 열역학, 유체역학 수준을 얘기합니다. 전기, 전자에서는 전자기학을 배우는데 전자기학과 유체역학은 어느정도 통하는 내용이 있긴 합니다.) 공대 같은 경우에는 수학을 도구로써 배우기 때문에 동영상처럼 허수 자체에 대해서 고민하고 그럴 시간이 없습니다. (초등, 중등, 고등 교과과정에서 수학식의 의미에 대해 제대로 고찰하지 못 하는 문제가 더 크긴 합니다만...) 기본적인 수준 외에 최신기술 공부하는데도 시간이 부족합니다. 요즘은 어느 분야던지간에 딥러닝을 하는데 대개 학부생 수준에서는 딥러닝의 기초에 관련된 수식을 제대로 알고 하는 것보다 그냥 툴로써 배워서 코딩 몇 백줄 변형시켜 쓰는게 대부분이죠. 그냥 머리에 박아 넣기 정신 없는게 공돌이 학부생의 일상입니다. 전기, 전자의 경우 전자기학, 선형대수, 회로이론, 통신이론, 디지털 통신, 전자회로, 반도체 소자공학을 2학년부터 3, 4학년정도까지 배우고도 석박사 하면서 논문을 수 백편 정도 보다가 직교가 무슨 소리를 하는지 슬~슬~ 감이 오기 시작합니다. 뭐 똑똑하신 분들이야 보자마자 아시겠지만요.ㅋ 님께서는 어린 나이에 정확하게 뭘 하고 싶은지 아시는 것 같은데... (세상에 무한을 공부하고 싶다고 하시고, 프랙탈을 벌써 아시고..... ㅎㄷㄷ~) 너무 한꺼번에 많은 양을 소화하는게 이해가 안 간다는걸 저도 무슨 얘긴지 알고 있습니다. 저도 고2, 고3 때 차분히 시간을 두고 공부하면 재미있을 것을 왜 이리 닥달하는지라는 생각이 들었거든요. 그런데 오랜 시간동안 공부를 하려면 (그냥 직장 다니면서 남은 시간에 자기가 하고 싶은 공부를 하는 것 아닌 이상) 공부만 해서는 밥 먹고 살 돈이 생기지 않기 때문에 투자를 받아야 하고, 그 투자에 대해서는 성과를 만들어 제출해야 하고, 또 그런 공부를 하는 사람끼리도 경쟁을 해야 하기 때문에 펀딩에 경쟁이 생깁니다. 경쟁이라 함은 살아남는 사람, 도태되는 사람이 존재한다는 것입니다. 그렇기 때문에 누구보다 더 빨리, 누구보다 더 많이 공부와 일을 해야 합니다. 님께서 유유자적(나쁜 의미가 아님)하게 일상적으로 직장을 다니시면서 남는 시간에 공부를 하신다면야 그렇게 힘들게 공부하실 필요는 없습니다. 하지만 일상적으로 직장을 다니면 다들 남는 시간에 공부할 시간, 체력, 정신력이 없죠. 그런데 또 관련 학위 하면서 석박사 학위 하는 사람은 펀딩 받은 곳의 프로젝트 하느라 하고 싶은 공부를 할 시간이 없습니다.ㅋㅋㅋㅋㅋ 그래서 제가 생각하기에는 천재(경쟁이라고도 할 것 없이 너무 우월한 나머지 펀딩경쟁따위는 신경 안 쓰고도 펀딩 받을 수 있는 수준, 일을 너무 잘 해서 시간이 남아 도는 사람) 또는 시간이 남아 도는 사람이 공부를 하기 좋지 않나라는 생각이 듭니다. ^^;; 그리고 님이 어린 것 같아 말씀을 드리는데 님 수준이라면 대학은 반드시 가야 합니다. 누구나 다 대학을 가야 하는 것은 아니지만 이 정도 수준은 대학을 가야 한국 사회에서 살 수 있습니다. 물론 돈 버는 것은 절대 공부량과 비례하지 않습니다. 어린 나이에 벌써 무한, 프랙탈 이론을 얘기하는걸 봐서는 대학 안 가면 후회할 것 같아 드리는 말씀입니다. 그리고 공부를 한다고 한 이상 누구보다 열심히 빠르게 공부해야 합니다. 발을 들인 이상 열심히 하지 않으면 도태되어버립니다. 이에 관해서는 길게 말씀드리지 않겠습니다. 추가로 대학원에서는 지도교수님께 연구에 관련하여 배우는 것이 큰 부분을 차지합니다. 진정한 교수님을 만난다면 혼자서 공부하는 것과 비교할 수 없는 엄청난 발전(본인 수준 대비)을 이룰 수 있습니다. 하지만 복불복으로 정말 나쁜 사람을 만나서 2년 혹은 5년을 배우는 것 없이 탈탈 털리기는 합니다.ㅋㅋㅋㅋ
고등학교때 수학선생님들이 너무 실력이 없었던거 같아 그냥 허수면 설명하기 바빴지 정말 이해하는 사람은 없었던거 같아... 저 복소수 허수 저거 가지고 파동함수를 쉽게 기술할수가 있어요. 괭장히 활용도가 높아요.. 이런거를 고등학교 수학에서는 제대로 설명해주는 사람이 없었음...
아름다운 수학공식이 있대서 오일러등식영상을 보다가 여기까지 왔네요.. 너무 설명잘해주셔서 몰입하면서 봤어요! 제가 궁금해서 찾아보다가 의문이 들었는데 저 복소평면에 있는 복소수가 a+bi로 정의되던데 실수와 허수라는 서로 다른느낌의 개념이 어떻게 +더하기로 연결이 되는지 알려주실 수 있을까요??ㅠㅠ 아니면 나와 있는 증명이 있을까요?
실수와 허수가 직교한다는 사실로부터 더하기로 두 수체계가 연결된다는걸 이해하실 수 있습니다. 두 수체계가 직교한다는 것은 서로 독립적이라는 얘기도 되는 것이고, 각각의 수체계가 복소수 체계를 구성하는 독립적인 기저(basis)로 작동할 수도 있음을 말해주는 것이지요~ 이미 보신 내용이지만 개념만 연결해주면 될 것 같아요 !^^
수학에서 개념의 확장과 추상화는 정말 빈번하게 일어나는 일이라고 생각합니다. 많이 가지 않아도 곱셈만 보더라도 원래는 n x k는 n이라는 자연수를 k 번 더해주는 것으로 정의하였지만 그 의미를 확장하여 n x (1/2)과 같이 k를 자연수에서 정수, 유리수, 무리수로 확장하는 등의 일이 가능하게 되었죠. 이것만 보더라도 실재하는 개념이 아닌 곱셈으로 곱셈의 개념이 추상적인 범위까지 확장된 것을 볼 수 있습니다. 이런 일들은 정말 거의 모든 분야의 수학에서 일어나는 일들이라고 보입니다... 그런데 더 재밌는 것은 이렇게 추상화된 개념들이 어쩔 때는 실생활에서 또 유용하게 쓰인다는 것이죠 ㅎ
@@AngeloYeo 생각치 않게 가르침 주셔서 감사합니다 개념의 확장은 이해가 가지만 ' 실제 했다' 라는 개념은 어떻게 받아 들여야할지 아직 감이 안오네요 모든 수학은 추상화하여 개념적으로 발명한게 아닌가요? 어찌 발견 했다라고 하는지 그점의 식견이 부족하네요 저는 ㅠㅠ
@@N_GM_MA 그냥 저의 표현일 뿐입니다... 실재한다라는 표현자체도 불명확할 수 있겠네요. 그런데, 수학은 발견인가 발명인가라는 주제도 꽤 오래된 클래식한 토론 주제인것으로 알고 있어서 ㅎㅎ 제가 어떤 것이 정답이다 라고 말씀드리기도 어려울 것 같습니다만, 저는 두 관점 모두 의미있다고 생각합니다. 발견에서 기초하여 발명으로 넘어갈 수도 있고, 실재하는 현상을 우리가 기술할 수 있게 되었을 뿐이라고도 볼 수 있을 것 같아서요.
내가 음수의 의미를 간단하게 이야기 할 게요..............우리가 위치를 나타낼 때 앞으로 2보 뒤로 2보 이러면 더하기 빼기하면 됩니다............그런데 왼쪽으로 2보, 오른쪽으로 2보하면 어떻게 하죠..........이래서 I을 만든겁니다...왼쪽으로 2보 이러면 2i 오른쪽으로 2보하면 -2i이렇게 표시한 겁니다....그렇게 해서 좌표를 표시할 수 있고 거리를 계산할 수 있게 된 거죠.........참 쉽고 간단한 설명이죠...............
발견이냐 발명이냐의 차이는 실존여부를 따지는 건데, 문제는 그 실존의 위치가 어디 인가 라는 것....강사께서 발견이라 말하시는 건 논리상에서 말하시는 듯한데, 일반인들이 생각하는 발견발명의 기준은 자연계 가시적 기준이라 발명이라 생각하는 것이지만, 사실 양자역학에서 보 듯 논리와 실존은 혼재된 것이어서 생각할 수록 모호해 지기만 합니다.
궁금한것 여쭙습니다. 2차원 혹은 3차원 벡터 공간 (x, y, z) 또는 xi +yj + zk 이런 식의 표현이 있는데 굳이 허수 개념이 필요한 이유가 있는지? cos과 sin의 조합을 exp(x+yi)로 표현하는 것에 대한 허수의 관계는? (관련지어 cos과 sin은 90도 차이니까 exp(pi/2i)을 곱하거나 나누는 것에 따라 cos, sin 간에 변환이 일어나는데요. 이와 관련하여 신호처리, 통신에서는 실수축과 허수축을 가지고 cos, sin을 표현하죠. 그렇다면 cos과 sin은 위상이 90도 차이가 나므로 cos을 90도 회전하면 sin이되므로 허수는 회전을 의미한다는 소리와 연결성을 갖는다. 맞는 얘기인지요?) 어줍잖은 생각으로 푸리에 변환에 있어서도 -, + 방향의 허수가 나타나는데 그러면 푸리에 변환에 있어 f축의 - 방향으로는 sin, + 방향으로는 cos을 나타낸다는 의미인가요?
1. 벡터 표현이 있는데 굳이 허수의 개념이 필요한 이유? - 좋은 질문이십니다. 말씀하신대로 벡터의 표현으로 2, 3차원 공간상의 좌표를 나타내는 게 더 쉽고 직관적이기 까지 합니다. 벡터의 표현은 허수, 사원수의 개념 이후에 정립된 개념입니다. 실제로 맥스웰 방정식도 벡터 표현이 만들어지기 전에는 사원수로 모두 기술되었다고 하죠... 벡터의 표현이 나오고부터는 모두 벡터 표현으로 바뀌어서 기술되게 되었다죠... 2, 3차원 공간에 대한 표현을 할 때 더 이해하고 계산하기 쉽기 때문에... - 여기서, 허수의 개념은 2차원 평면 상에서 회전을 표현하기 쉬운 수체계이고, 사원수는 3차원 평면 상에서 회전을 표현하기 쉬운 수체계입니다. - 허수 개념을 굳이 살려와서 복소 평면이라는 개념을 없애지 않는 는 이유는 영상에서 몇번 강조했던 것 처럼 '회전'에 관한 현상을 기술하기에 편리한 수체계이기 때문입니다. 잘 생각해보면 회전에 관한 기술 --> 원 운동에 관한 기술 --> 삼각함수 의 개념으로 넘어가게 되겠지요? 그렇다면, 회전에 관한(즉, 삼각함수에 관한) 수학적 기술(description)에 미분이 도입된다면? 복소수로 표현된 회전에 관한 수학적 기술에 허수 i 하나만 곱해줌으로써 삼각함수의 미분과 관련된 기술을 간단하게 끝내버릴 수 있는 매우 유용한 툴입니다. (삼각함수를 미분하면 phase가 90도 변환되게 되는데, 이것은 결국 허수를 곱해줌으로써 단박에 해결 가능하고 계산도 간소화됩니다.) - 이것이 복소평면의 활용의 좋은 예로써, Phasor라는 개념이 되겠네요. 제 영상 중 phasor에 관한 영상도 있으니 참고해보시면 좋을 것 같습니다. th-cam.com/video/KmFmbm0y5hw/w-d-xo.html 2-1. 오일러 공식과 허수의 관계? - 좋은 질문이십니다. 사실 이 내용을 알고 질문하신것은 아닌가 싶을 정도로 통찰력이 있으시네요... - 깊은 관계가 있습니다. 자연상수 e는 성장에 관한 상수입니다. 모든 수는 1이라는 수를 변환 시킨 것으로 볼 수 있는데, 1을 90도 방향으로 매우 조금씩 연속적으로 변환시키는 것이 바로 오일러 공식이 의미하는 기하학적 의미입니다. - 오일러 공식에 관한 설명 영상도 있으니 확인 해보시면 좋을 것 같습니다. th-cam.com/users/edit?o=U&video_id=gQSU0j8ydJA 2-2. cosine, sine 간에 위상차는 90도인데, 이것과 허수는 회전을 의미한다는 소리가 연결성을 갖는가? - 위의 Phasor의 예시로써 설명한 것 같네요. 3. 푸리에 변환에서 +, - 방향의 허수가 나타난다 (?). -방향으로는 sine, + 방향으로는 cosine을 나타낸다(?) - +, - 방향의 허수가 나타난다는 것은 잘 이해하지 못하겠습니다... 음의 주파수를 말씀하시는 것은 아닌가하여, - 음의 주파수에 대한 제 영상을 확인해보시면 좋을 것 같습니다. th-cam.com/users/edit?o=U&video_id=K8DuEYyYWNQ
안녕하세요. 질문 드리고자 댓글남깁니다. "허수"는 크기와 방향을 포함하고 있는 수임을 잊지 말아야한다. 라고 하셨는데, 음수의 개념에서 음수를 이해하기 위한 해답은 수가 단순히 크기만 가지는 것이 아니라 방향도 가진다. 였고, 허수를 이해하기 위한 해답은 제곱하는 수가 음수가 되려면 회전하는 수, 즉 허수 i가 존재해야한다. 라고 말씀하셨습니다. 그럼 허수는 음수의 개념을 포함하기 때문에 크기와 방향을 가진 수 라고 표현하신건가요?? 읽어주셔서 감사합니다.^^ 가능하시면 빠른 답변 부탁드립니다.ㅎㅎ
좋은 질문 감사드려요. 그런데, 조금 더 구체적으로는 허수가 음수의 개념을 포함한다고 말하기는 좀 어려울 것 같아요. 대신 복소수는 실수와 허수의 개념을 모두 담고 있기 때문에 복소수는 음수의 개념을 포함하고 크기와 방향을 모두 갖는 수 체계다 라고 말할 수는 있을 것 같습니다 ^^
그럼, 허수를 i, 엑스를 X, 곱하기를 x라고 치면... i x X = 0 이 아니겠죠? 1차원 실수 체계 안에 없는거겠죠? i x 1 = 0 i x 2 = 0 i x -1 = 0 x^2 = 0 은 x^2 + 1 = 0 이잖아요? 같이 0이 되진 않겠죠? 그래서, i x X => 이거 답이 없떻게 되요?
![[깨봉라이브] 허수의 숨겨진 비밀 1편! 안보이는 것을 나타내는 특별한 수!](http://i.ytimg.com/vi/udLD8jQ6X-k/mqdefault.jpg)
![ง้อ (ALRIGHT) - FOURTH Prod. by URBOYTJ [ OFFICIAL MV ]](http://i.ytimg.com/vi/Qs8ZeV6Dqj8/mqdefault.jpg)
![[지식in] 허수의 크기](/img/n.gif)
벡터가 뭔가요..?
th-cam.com/video/R-XHrNq9Ff4/w-d-xo.html
이 영상에서 설명하고 있으니 확인해보세요
존재하는 모든 사물의 주소. 위치. 힘. 정체성. 세계관. 패러다임. 등을 규정할 때 가장 필수불가결한 과학적 물리구조..
어떤쌤들한테도 허수의 개념이 뭐냐고 물어봣지만 대답은 루트마이너스1이다 존재하지않는걸 표현해내기위해 정해놓은거다 라는 답만 들어서 확실히 개념이 안잡혔는데.. 정말 감사합니다!
존재? 그 낱말의 의미를 깊히 따저 보세요
음수를 모르는옛날사람을 멍청하다고 생각했는데 나도 미래에 멍청하다고 생각되겠지
나도 예전에 그런 생각했는데 이제 존중해주고 있음 당연히 존중해야 하는거라 생각함 나도 저때 태어났으면 라면도 못 먹어보고 죽었을듯
지금 미적분을 학교에서 배워서 아는것보다도 사칙연산의 개념을 최초로 알아낸 누군가를 더 높게 봐줘야되는 이유가 뭐갰어요?
기분좋은 충격을 받았네요 ㅎㅎ
나이 먹고 뒤늦게 공부의 재미를 알아서 이것저것 취미삼아 공부하는데 영상 정말 감사합니다 :)
한 강의 한 강의 볼수록 놀랍고도 감동입니다~ ^^ 대학에서 물리학공부하면서 궁금했던 내용들이 이곳에 다 있네요~ 다시 공부를 시작하고 싶은 마음이 듭니다. 좋은 정보 감사합니다!
감사합니다 ^^~ 고민에 고민을 거듭해 정리한 것들인데 ㅎㅎ 도움 되었으면 좋겠습니다
감사합니다.. 중학생이라 허수를 그저 추상적으로만 이해하고 있었는데 좋은 강의 덕분에 더 확실하고 깊게 알 수 있게 되었네요.
와 댓글 인터넷이나 유튜브에 안다는데. 정말 너무 설명이 잘 알아들어져서 댓글남깁니다. 너무 감사합니다! 해외에서 수학을 가르치고 있는데 내일 수업할때 학생들과 이런 수 체계 그리고 허수라는 추상적인것 같은 수에 대한 철학에 관해 이야기
해보면 좋을것 같네요. 내일 수업에 꼭 공돌이 유튜브 채널 이야기하면서 크레딧을 드리도록 하겠습니다! 너무너무 좋은 컨텐츠 감사합니다!
한마디로 복소평면이란 차원도 우리가 인지 못하는 차원일뿐 실존하는 차원이란 얘기인거죠.
마지막에 지렸습니다... 1차원 실수상에 일어날 수 없는 현상이 2차원에서 가능함을 알려주고, 우리는 실수상에서만 이를 이해하기 때문에 허수를 이해 할 수 없었고 이를 이해하기 위해 2차원 벡터로 확장할 수 있는 개념이 되겠네요 미쳤다
완전 잘 이해하셨습니다 ~^^
허수 관련 내용으로써는 베리 마주르의 추천 드릴게요 ^^~
@@AngeloYeo 핳 꼭 찾아서 읽어보겠슴다
@@AngeloYeo 선생님 그럼
i의 좌표는 1에서 90도 회전을 한 것이니
( 1 , 0 )에서 ====> ( 0 , 1 ) 인가요??
네 맞습니다 ~ (x,y) 라는 좌표는 복소수 x+iy에 대응됩니다
좋은지식 감사합니다
중고교때 배웠지만 의미를 전혀 모르고있었네요
어디다 쓰는지도 몰랐고 왜 배우는지도 몰랐는데
학교에서도 이렇게 가르쳐줬으면 좋겠네요 수학의 재미를 느낄수 있게
저도 이 내용을 알고 너무 기뻐서 다른 사람들과 공유하기 위해 이렇게 영상을 올리게 되었습니다 ^^ 댓글 감사합니다. 좋은하루 되세요 ! ㅎ
기준보다 낮다
47살에 허수의 의미를 알게 되었네요.
감사합니다.
저보다는 조금 형님이시네요... 😁 천천히 가봐도 늦지 않을 것 같습니다. 재밌게 둘러보세요.
29년 살면서 처음으로 허수에 대한 명쾌한 강의를 들은 거 같습니다. 감사합니다
도움이 되었다니 다행입니다 ^^ 코멘트 감사합니다
와 구독박았습니다
그냥 교과서 내용만 앵무새처럼 읊어주는 유튜브 강의가 정말 많은데
진정한 의미가 뭔지 알려주셔서 (ex 스칼라의 1차원 벡터화다)
다른영상들까지도 기대가 되네요
재밌게 봐주셔서 감사합니다 ^^~
진짜 머리좋음도 영역이 다른거같아요 그런 사람들도 '기초개념'이란 표현 많이 쓰고 문제도 잘 푸는데.. 사고 자체는 민첩하지만 사고방식이 스칼라적인듯(?)
허수는 유령같은 존재였군요. 실존하지만 보이지 않았던 것... 그래서 허수는 '발명'이 아니라 '발견'이었던것도 이제서야 이해가 가네요. 좋은 강의 감사합니다.
AMUDO NO 좋은 말씀...
@@milchholstein884 단순약속이라고 생각한건 21세기 초까지고 지금은 안그렇습니다. 3D 그래픽에 있어서 복소수가 없으면 계산을 할 수가 없어요. 단순 약속이 아닌 음수처럼 실생활에 쓰이게 된거라는 말이죠. 알고보면 음수처럼 보이지 않을뿐 실생활에 쓰이고 있는거죠.
혹시 4차원에서는 i가 실수일지도 모르죠
@@user-stone01 와....어렵다
유령은 없는데요
음수와 허수의 개념이해에 커다란 깨달음을 주신 강의 ·· 최고예요~
감사합니다^^ ~ 도움 되었으면 좋겠습니다 ㅎ
변환을 이용해서 양수를 음수로 확장시킨 개념에서 벗어나지 않고 허수까지 확장시켜나가네요. 매우 좋은 자료같습니다. 배우고갑니다!!
그동안 수학적 기호의 약속에 따른 문제 풀이만 하다보니 어느순간 수학적 기호로 이뤄진 문제의 의미를 모르게 되었습니다 그런데 진행해주신 강의들을 통해 수체계의 철학적 의미를 알게 되었을 뿐만 아니라 수학적 기호로 이뤄진 문제들도 나름 새롭게 재해석 할 수 있을것 같습니다 좋은 강의 감사합니다
음수와 허수에 대해서 다시 생각해 보게 되었습니다.
좋은 컨텐츠 감사합니다.
앞으로도 수학에 대한 좋은 글들 부탁드립니다.
+Daddy Kat 댓글 감사합니다 :)
정말 명품강의 입니다.
" 90도 회전 = i " 라는 사실을 학창시절 수학공부 6년, 대학공부 5년 동안 계속 써왔으면서 왜 몰랐을까요... 질문을 던지지 않은 채 받아들인 제 잘못이 가장 크지만, 왠지 한대 맞은 기분이네요. 덕분에 더 늦지 않게 사고를 확장할 수 있게 되었습니다. 감사합니다!!
이건.. 엄청난 퀄리티입니다!
좋은 강의 올려주셔서 감사합니다! 깊게 생각해보지 못한 내용이었는데 허수를 좀 더 이해하는데 많은 도움이 됐습니다. 감사합니다 ㅎㅎ
안녕하세요. 부족한 영상임에도 도움이 되었다니 다행입니다 ㅎㅎ 코멘트 감사합니다!
와..대박 소름
구독하고 앞으로 시간날때마다 볼께요.
40대 주부인데 어쩌다 여기까지와서 더 알고싶어지고 재밌어지네요!
감사합니다 ^^ 그런데 다른 영상에는 일반인(?) 들을 위한 주제는 그다지 없을 것 같아요 😇
수학과 학생인데 좋은 비디오 감사합니다. 실수는 해석적으로 보면 완비된 집합이지만 복소수는 실수의 방정식에 대해 완비된 집합이라고 배웠습니다 ㅎㅎ
정말 감사합니다
많이 배워갑니다!
이야.. 감사합니다. 강의 영상 잘 봤습니다. 구독도 했습니다. 앞으로도 좋은 영상 많이 업로드 해주시면 감사하겠습니다!
안녕하세요. 열공해서 틈틈히 자료 올리도록 하겠습니다. 감사합니다 :)
유용하네요! 감사합니다!
정말 너무 감사합니다. 이런 원론적인 수학과 그에 대한 의미에 대한 시리즈를 많이 만들어주세요. 부탁드립니다.
감사합니다 ^^ 최대한 의미에 대한 이야기를 할 수 있도록 노력중입니다 ㅎㅎ
광학, 전자기학, 양자역학, 푸리에 등에서 복소수는 쉴세없이 튀어나오는데, 그냥 별 생각없이 사용할 수도 있겠지만, 그 의미가 너무 궁금하고 가려웠습니다. 계속 사용하는 i라는 것에 대해 직관으로 와닿는 것이 힘들었던 겁니다.. 각잡고 짚어가지 않고서야 그 의미에 대해 고찰하기 힘들었어서 몇날며칠 고민했었는데, 제 나름 정리한 생각들과 오늘 이 영상으로 많은 의문점이 해소되어 기분이 좋습니다. 좋은 영상 감사드립니다:)
좋은 강의 감사합니다. 당연히 여기고 있던 내용을 제대로 알게 되었네요.
허수는 다양한 분야에서 쓰이지만, 전기인으로써 가장 와 닿는건 페이저를 위한 수같아요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
진지한 설명에 감사드립니다.
음수의 개념을 확장하며 쉽고도 자연스럽게 허수개념까지 이해시켜 주시네요. 허수에대해 쉽게 이해하는 관점을 또 얻었네요. 음수인 1차원 벡터, 허수인 2차원 벡터, 또다른 허허수를 추가하면 3차원벡터,..... 계속해서 논리적인 차원을 추가할 수도 있을거 같기도 하네요.(저도 이건 잘 모름 ㅋ)
인간의 논리만으로 구축한 수학체계가 우리의 현실에서 너무 유용하고도 정확히 적용될 수 있다는 게 너무도 신기 합니다.
훌륭한 강의에 다시 한번 감사드립니다.
옛날 영상인데도 재밌게 봐주시니 감사합니다 ^^~ 3차원 공간에 허수 개념을 도입한건 사원수가 있습니다. 그리고 말씀하신 것과 같이 그것의 확장인 8원수, 16원수도 존재하긴 합니다 ㅎ
전기기사 준비하는 한 사람으로서 많은 도움이 되었습니다. 구독박고 갑니다.
안녕하세요. 도움 되었다니 다행입니다 ^^ 구독 감사드려요... 좋은 하루 보내세요! ㅎㅎ
백터가 뭔진 모르겠는데 숫자가 회전한다는 건 이해했어요
1차원에서 안되는데 2차원에서 되는 수가 있다면 나중엔 3차원에서만 성립하는 수도 나올수도 있겠네요
흥미롭게 봤습니다
벡터란 이름만 그럴듯하지 알고보면 간단한 의미입니다우리가 흔히말하는 속력(빠르기), 질량, 높이, 길이, 온도, 에너지 등 이렇게 값(크기,물리량)을 가지는 것을 스칼라라고 합니다하지만 저런 스칼라 값에 방향까지 나타내는것이 바로 벡터입니다대표적으로 속도(속력은 빠르기만 말한다면 속도는 빠르기+방향 입니다 하지만 일상생활에서는 구별하지 않을뿐입니다), 힘, 무게, 전류, 가속도 등 입니다.간단히 말하면 스칼라=물리량 벡터=물리량+방향입니다
megumi kato 벡터는 근데 수학인가요?
몇학년때 배워요?
임현진 아직 많이 어리신 학생이였내요
벡터는 과학(물리)입니다
하지만 물리의 기초는 수학입니다
수학의 공식들과 증명으로 물리적인 현상들을 알아냅니다
중학생때까지도 벡터는 수학때 안배우실꺼라 너무 걱정은 마세요
그리고 중간중간 과학시간마다 님이 배우실 벡터는 정말 간단하고 오히려 재밌을 벡터를 배울꺼에요ㅎㅎ
벡터의 기초만 배우실꺼라서 너무 걱정마시길~
오히려 너무 간단해서 졸릴수도있어요ㅋㅋㅋ
벡터를 본격적으로 배우는건 고등학교 2학년 끝날쯤부터 이실껍니다
즉 열심히 공부해야 나중에 배우실 벡터도 이해하기도 쉽고 재밌을꺼에요
megumi kato 오오 감사합니다
3차원 수 있는 것 같아요
4원수라고 3차원에서 표현되는 i j k 에 대하여
ij =-ji , ki=-ik, kj=-jk, i^2=j^2=k^2=ijk=-1을 만족하는 수라고 알고 있습니다
허수 어려워서 잘몰랐는데 쉽게 가르쳐
주셔서 좀더 잘이해 됐어요
ㅠㅠ정말감동받았습니다!!!!!
허수의 세계는 알다보면 참 신기해요 오일러 공식 증명이나 가장 유명한 오일러 등식에서도 그렇고 어떻게 보면 수식으로 표현하는 예술이 이런 느낌일까하는 영감을 받았어요
많이 공감합니다 ㅎㅎ
저희들이야 앞선 수학자/과학자들이 얻어낸 결과를 해석하는 것으로 그렇구나~ 하고 이해하고 넘길 수 있는 부분들이 많지만 처음 이런 내용을 발견해내고 이론적으로 정립하신 분들은 정말 희열이 느껴지는 발견이었을 것 같습니다 ㅎㅎ
가끔 이론이 정교하고 기가 막힌다는 느낌을 받을 때가 있는데, 저에게는 허수의 의미가 그런 기분을 느끼게 해준 주제였습니다 ^^
감사합니다 정말 많은 도움이 되었습니다!
도움 되셨다니 다행입니다 ^^
대단하십니다
음. 깊이가 있다.
허수 이후에 수를 좌표평면에 나타낼 수 있는 2차원적 존재로서 인식할 수 있다는 사실이 신기합니다. 현재 수체계로는 복소수와 같은 2차원적인 수체계까지 나타낼 수 있지만, 후에 발견을 통해 더 고차원적인 수체계를 확장시킬 수 있을 것이라는 생각이 듭니다. 덕분에 허수가 지닌 의미와 새로운 차원에서의 수의 의미를 이해할 수 있게 되었습니다. 좋은 강의 감사합니다!
안녕하세요. 말씀하신대로 사원수라는 것이 있습니다. 사원수는 구사랑님이 말씀하신대로 수체계를 3차원으로 확장시킨 개념이라고 생각하시면 됩니다.
사원수라는 개념이 있군요! 정보 감사합니다.
감사합니다
허수를 정확히 이해할 수 없어서 존재하지 않는 수라고 하지만
수학으로 자연현상을 해석하다보면 허수가 있어야 이해되는 경우가 있다
계산과정에서 i가 제곱이 되면서 해는 실수로 나타나지만 그 해가 현상과 잘 맞아떨어지는 거지
아직까지도 i라는 수의 의미를 정확히 이해는 못하고 있지만 이름 그대로 존재하지 않는 수는 아니다
혹시 궁금해서 그런데 어떤경우인지 예를 들어주실수 있나요?
@@user-lj2nh8tj8c 쌍곡함수가 가장 대표적이죠. 실함수에서의 쌍곡함수는 자연지수(e : exponential)로 정의되고, 이 함수는 현수교나 사장교의 지지 케이블 또는 고압전신주 전선의 공학 설계와 수학적 모델링에 사용됩니다. 이 함수의 특성이 허수 i의 존재를 분명하게 보여줍니다. sinh(x) = -i sin(ix), cosh(x) = cos(ix), tanh(x) = -i tan(ix). 그리고 복소해석학을 공부하신 분들은 알텐데, 실수부와 허수부의 결합으로 만든 복소함수의 공학적 응용 설계 사례들 역시 허수의 존재성을 보여줍니다. 로랑급수와 유수정리로 초등함수가 아닌 실함수의 정적분을 계산하거나, 벡터해석학의 라플라스 방정식과 등각사상과 리만사상을 결합해서 열과 유체의 복소퍼텐셜을 설명하는 등의 예가 대표적입니다. 미분방정식의 해를 구하는 라플라스 변환의 역과정인 라플라스 역변환의 증명 역시 복소함수로 증명되었죠.
여담이지만 허수의 존재는 우리가 그저 페이저 같은것을위해 만들어낸 가상의 숫자가 아닌 실제로 존재하는숫자라 한답니다. 존재성이 밝혀졌다는 이야기를 교수님께 들었네요
@森高千里 그건 복소평면에서의 4차원 표현의 방법이라고 봐야될거같네요
(고차원일수록 복소평면으로 표현하는게 편리합니다. 위에서 말한 페이저도 대표적인 복소평면을 이용한 표현중에 하나고요)
그것때문에 허수가 실제한다고 볼수있는지는 모르겠네요. 물론 실제는 합니다
완전 유투브에서 수학 재밌게 심도있게 배울 수 있는 동영상이 많네요! 대학가서 굳이 학점 압박 받으면서, 메이져리그 학자되려면 지도교수님한테 진짜 잘보여야된다는데, 뭐 박사과정까지 미운털이 영향미친다카던데, 그럴 위험부담없이 그냥 여기서 자유롭게 배우는게 낫겠어요 ㅋㅋ
저는 무한을 공부하고 싶어서 프랙탈이론 그쪽으로 너무너무 공부하고싶어서 대학갈까 고민중이었거든요. 근데 오늘 컴학원쌤께서 공대는 1학년때 교양으로 역학부터 화학까지 필수로 들어야된대서 막막했음ㅋㅋ 과학도 좋아하지만, 너무 한꺼번에 많은 양을 시험공부로 다 소화하려면 뇌에서 탈나거든요ㅠㅠ 수학은 유투브에서 배우고싶은것만 봐야겠음ㅋㅋ
그 학원 선생님께서는 무슨 대학을 다녔길래 교양으로 역학을 배운다고 하나요?ㅋ
화학정도는 얘전에 화학 II까지 배워서 엄청 대단한 것은 아닙니다.
엄청난 대학을 나오신 분인 것 같군요~ㅋㅋㅋ
대개 1학년은 교양과목 + 미적분 + 물리, 화학 (전기, 전자과의 경우)을 배우시고 (역학이 물리에 포함된다고 하면 뭐 할 말 없구요ㅋ)
역학은 기계나 건축 관련 과를 가지 않으면 딱히 자세하게 배울 일이 없습니다. (제가 얘기하는 역학은 동역학, 재료역학(=고체역학), 열역학, 유체역학 수준을 얘기합니다. 전기, 전자에서는 전자기학을 배우는데 전자기학과 유체역학은 어느정도 통하는 내용이 있긴 합니다.)
공대 같은 경우에는 수학을 도구로써 배우기 때문에 동영상처럼 허수 자체에 대해서 고민하고 그럴 시간이 없습니다. (초등, 중등, 고등 교과과정에서 수학식의 의미에 대해 제대로 고찰하지 못 하는 문제가 더 크긴 합니다만...) 기본적인 수준 외에 최신기술 공부하는데도 시간이 부족합니다. 요즘은 어느 분야던지간에 딥러닝을 하는데 대개 학부생 수준에서는 딥러닝의 기초에 관련된 수식을 제대로 알고 하는 것보다 그냥 툴로써 배워서 코딩 몇 백줄 변형시켜 쓰는게 대부분이죠.
그냥 머리에 박아 넣기 정신 없는게 공돌이 학부생의 일상입니다.
전기, 전자의 경우 전자기학, 선형대수, 회로이론, 통신이론, 디지털 통신, 전자회로, 반도체 소자공학을 2학년부터 3, 4학년정도까지 배우고도 석박사 하면서 논문을 수 백편 정도 보다가 직교가 무슨 소리를 하는지 슬~슬~ 감이 오기 시작합니다.
뭐 똑똑하신 분들이야 보자마자 아시겠지만요.ㅋ
님께서는 어린 나이에 정확하게 뭘 하고 싶은지 아시는 것 같은데... (세상에 무한을 공부하고 싶다고 하시고, 프랙탈을 벌써 아시고..... ㅎㄷㄷ~)
너무 한꺼번에 많은 양을 소화하는게 이해가 안 간다는걸 저도 무슨 얘긴지 알고 있습니다.
저도 고2, 고3 때 차분히 시간을 두고 공부하면 재미있을 것을 왜 이리 닥달하는지라는 생각이 들었거든요.
그런데 오랜 시간동안 공부를 하려면 (그냥 직장 다니면서 남은 시간에 자기가 하고 싶은 공부를 하는 것 아닌 이상) 공부만 해서는 밥 먹고 살 돈이 생기지 않기 때문에 투자를 받아야 하고, 그 투자에 대해서는 성과를 만들어 제출해야 하고, 또 그런 공부를 하는 사람끼리도 경쟁을 해야 하기 때문에 펀딩에 경쟁이 생깁니다.
경쟁이라 함은 살아남는 사람, 도태되는 사람이 존재한다는 것입니다.
그렇기 때문에 누구보다 더 빨리, 누구보다 더 많이 공부와 일을 해야 합니다.
님께서 유유자적(나쁜 의미가 아님)하게 일상적으로 직장을 다니시면서 남는 시간에 공부를 하신다면야 그렇게 힘들게 공부하실 필요는 없습니다.
하지만 일상적으로 직장을 다니면 다들 남는 시간에 공부할 시간, 체력, 정신력이 없죠.
그런데 또 관련 학위 하면서 석박사 학위 하는 사람은 펀딩 받은 곳의 프로젝트 하느라 하고 싶은 공부를 할 시간이 없습니다.ㅋㅋㅋㅋㅋ
그래서 제가 생각하기에는 천재(경쟁이라고도 할 것 없이 너무 우월한 나머지 펀딩경쟁따위는 신경 안 쓰고도 펀딩 받을 수 있는 수준, 일을 너무 잘 해서 시간이 남아 도는 사람) 또는 시간이 남아 도는 사람이 공부를 하기 좋지 않나라는 생각이 듭니다. ^^;;
그리고 님이 어린 것 같아 말씀을 드리는데 님 수준이라면 대학은 반드시 가야 합니다.
누구나 다 대학을 가야 하는 것은 아니지만 이 정도 수준은 대학을 가야 한국 사회에서 살 수 있습니다.
물론 돈 버는 것은 절대 공부량과 비례하지 않습니다.
어린 나이에 벌써 무한, 프랙탈 이론을 얘기하는걸 봐서는 대학 안 가면 후회할 것 같아 드리는 말씀입니다. 그리고 공부를 한다고 한 이상 누구보다 열심히 빠르게 공부해야 합니다.
발을 들인 이상 열심히 하지 않으면 도태되어버립니다.
이에 관해서는 길게 말씀드리지 않겠습니다.
추가로 대학원에서는 지도교수님께 연구에 관련하여 배우는 것이 큰 부분을 차지합니다.
진정한 교수님을 만난다면 혼자서 공부하는 것과 비교할 수 없는 엄청난 발전(본인 수준 대비)을 이룰 수 있습니다.
하지만 복불복으로 정말 나쁜 사람을 만나서 2년 혹은 5년을 배우는 것 없이 탈탈 털리기는 합니다.ㅋㅋㅋㅋ
우와... 고등학교 졸업하고 10년이 지나서야 허수의 의미를 이해하고 갑니다...
설명 너무 좋았습니다... 바로구독박았습니다
허수라는 개념이 실생활에서 사용됨에도 불구하고 왜 축상에 나타나지 않는가를 고민하면서
+와 -라는 두 개의 개념으로 나타내기에는 수 체계가 부족하지 않나라는 생각을 많이 했는데 이런식으로 해석을 하면 들어맞네요
잘 봤습니다!
재밌게 봐주셔서 감사합니당 😁😁 고민 하시는 것 자체가 멋있으세요
정말 감사해요
도움이 되셨다면 좋겠습니다 ~~ ^^
감사합니다!
댓글 감사합니다 ♡ 도움 되셨으면 좋겠습니다
@@AngeloYeo 제가 더 감사하죠! 구독도 누르겠습니다 평소에 궁금했던것을 알려주시니 너무 좋네요
우와~ 기가 막힙니다.
코멘트 감사합니다 ^^ 허수가 실존하지 않는 개념상의 수인 것 같지만 의미를 파악해보면 재밌는 부분이 있죠 :)
새벽에 배고플때 이런영상보면
집중하게되면서 배고픈거잊고
잘수있음
매트랩 공부하다 여기까지 왔는데 너무 재밌네요 ㅎ
채워지지못한 궁금증이 풀렸어요! 감사함당~~
i에 대해 이해시켜주셔서 감사합니다
강의 잘 보았습니다. 제가 수학쪽으로 가고 싶어서 제가 몰랐던 수학에 대한 정보들을 접하면 더욱 수학에 매력을 느끼네요. 올리시는 수학 영상들은 대학교 과정인건가요? 그리고 수학과이신건가요 아니면 수학을 응용하는 과에서 배우신 건가요?
+무식한 놈을죽이자 안녕하세요. 올리는 영상들은 대학교에서 배우는 과정 중 필요한 내용들을 공부해서 올리는 것들입니다. 그리고 전공은 전기쪽에 가까운 것입니다.
와, 최고다! 왜 허수 i와 복소평면이 방향을 내포하는지 내내 궁금하다가 이제야 알게 되었다!
영상 잘 봤습니다. 허수라는 개념에 깊이 들어가니 이러한 의미가 숨어있었는지 몰랐네요.
그래서 그런지 저도 다른 사람들에게 이 정보를 참고하여 알려 주고 싶은데 괜찮은가요?.
주용김 물론입니다 ㅎ 저또한 누군가에게서 배운 것이니까요
이 강의를 수학(상) 복소수 배우기 전에 모든 고1학생들이 들었으면 좋겠습니다~좋은 내용 감사합니다~수학은 수체계에 대한 명확한 이해가 필요하다고 생각합니다~
신박하네요.
수학에서 0의 발견이야말로 엄청난 혁신이었는데 음수와 허수의 발견은 또다시 혁신이었죠.
누구도 직관적으로 설명하지 못하던 허수의 개념설명중 최강이라 확신합니다.
좋은 영상 감사합니다!
^^ 재밌게 보셨길...
90도 회전에서 허수에 대한 의미가 와닿네요. 감사합니다
댓글 감사합니다. 도움이 된 것 같아 기쁘네요 ~~ ㅎ
허수는, 측면수라고 부르는 게 현재까지는 가장 적절한 명칭으로 보이네요. 90도 회전수라는 것은, 실수에 대해서 그렇다는 의미로 해석하면 될 일로 보이고요.
존경합니다..
+박종현 과찬이십니다... ㅎㅎ 감사합니다
진짜 가려운데 긁어주셨다
재밌게 봐주셔서 감사합니다 ^^
뉴튼 하이라이트 책중에 허수편을 강추합니다. 뉴튼 하이라이트 수학부분은 대부분 다 추천드리구요. 수학이 재미있어지는 놀라운 경험을 하시게 됩니다.
책 추천 감사드립니다 ^^~ 서점에서 슬쩍 본 적만 있지 직접 사서 읽어볼 생각은 안하고 있었네요... 한번 읽어보겠습니다! 감사합니다 ㅎㅎ
공돌이의 수학정리노트 아니, 공돌이님이 보시기에는 수준이 낮아요.. 수포자들을 위한 수학의 재미를 위해서 추천하는겁니디... 그림이 많아서 보기에 재미가 있거든요..^^
ㅁㅊㄷ...💯💯💯
좋은 정보 감사합니다 잘보고갑니다 ^^~~♥
+김현태 네 코멘트 감사합니다 !
내가 수를 다뤄왔던 게 이런 의미였다니
난 1700년 대 사람들 보다 못했던 거였어.
고등학교때 수학선생님들이 너무 실력이 없었던거 같아 그냥 허수면 설명하기 바빴지 정말 이해하는 사람은 없었던거 같아... 저 복소수 허수 저거 가지고 파동함수를 쉽게 기술할수가 있어요. 괭장히 활용도가 높아요.. 이런거를 고등학교 수학에서는 제대로 설명해주는 사람이 없었음...
글자가 너무 작아 휴대폰으로 보기 힘드네요.
지렸다..
사랑합니다
감사합니다 ♡
아름다운 수학공식이 있대서 오일러등식영상을 보다가 여기까지 왔네요.. 너무 설명잘해주셔서 몰입하면서 봤어요! 제가 궁금해서 찾아보다가 의문이 들었는데 저 복소평면에 있는 복소수가 a+bi로 정의되던데 실수와 허수라는 서로 다른느낌의 개념이 어떻게 +더하기로 연결이 되는지 알려주실 수 있을까요??ㅠㅠ 아니면 나와 있는 증명이 있을까요?
실수와 허수가 직교한다는 사실로부터 더하기로 두 수체계가 연결된다는걸 이해하실 수 있습니다. 두 수체계가 직교한다는 것은 서로 독립적이라는 얘기도 되는 것이고, 각각의 수체계가 복소수 체계를 구성하는 독립적인 기저(basis)로 작동할 수도 있음을 말해주는 것이지요~
이미 보신 내용이지만 개념만 연결해주면 될 것 같아요 !^^
@@AngeloYeo 친절하게 답변달아주셔서 감사합니다!
감사합니다 ^^
안녕하세요 ^^ 늦게까지 공부하시나봐요. 댓글 감사합니다 :)
좋아요 두개 누르고 싶어요
참...으셔야 하옵니다 🤣
평면좌표계에서는 눈에 보이지 않는 사각지대, y축에 가려진 수직좌표계 사이를 사각 진좌운동하는 것이다.
와 그랬구나... 그런 거였구나
목소리 너무 조아요..ㄷ
수업 감사합니다. 마지막에 선생님이 말씀하신것에 또 다른 의문이 생기더군요. 수학에서의 만들어진 개념과 실제로 존재한다는 뜻이 어떤 차이가 있는지 더 생각해봐야겠습니다.
수학에서 개념의 확장과 추상화는 정말 빈번하게 일어나는 일이라고 생각합니다. 많이 가지 않아도 곱셈만 보더라도 원래는 n x k는 n이라는 자연수를 k 번 더해주는 것으로 정의하였지만 그 의미를 확장하여 n x (1/2)과 같이 k를 자연수에서 정수, 유리수, 무리수로 확장하는 등의 일이 가능하게 되었죠. 이것만 보더라도 실재하는 개념이 아닌 곱셈으로 곱셈의 개념이 추상적인 범위까지 확장된 것을 볼 수 있습니다.
이런 일들은 정말 거의 모든 분야의 수학에서 일어나는 일들이라고 보입니다... 그런데 더 재밌는 것은 이렇게 추상화된 개념들이 어쩔 때는 실생활에서 또 유용하게 쓰인다는 것이죠 ㅎ
@@AngeloYeo 생각치 않게 가르침 주셔서 감사합니다 개념의 확장은 이해가 가지만 ' 실제 했다' 라는 개념은 어떻게 받아 들여야할지 아직 감이 안오네요 모든 수학은 추상화하여 개념적으로 발명한게 아닌가요? 어찌 발견 했다라고 하는지 그점의 식견이 부족하네요 저는 ㅠㅠ
@@N_GM_MA 그냥 저의 표현일 뿐입니다... 실재한다라는 표현자체도 불명확할 수 있겠네요.
그런데, 수학은 발견인가 발명인가라는 주제도 꽤 오래된 클래식한 토론 주제인것으로 알고 있어서 ㅎㅎ
제가 어떤 것이 정답이다 라고 말씀드리기도 어려울 것 같습니다만, 저는 두 관점 모두 의미있다고 생각합니다. 발견에서 기초하여 발명으로 넘어갈 수도 있고, 실재하는 현상을 우리가 기술할 수 있게 되었을 뿐이라고도 볼 수 있을 것 같아서요.
@@AngeloYeo 아 그리 생각하시고 말씀해주신거였군요. 선생님 덕분에 즐겁게 배웠습니다. 감사합니다 ㅎㅅㅎ
이해하기 쉽고 훌륭한 강의 잘봤습니다
좋게 봐주셔서 감사합니다... ^^
너무 재밋습니다. 21살먹고 이제서야 수학의재미를 알게되서 아쉽네요. 복소수를 이용해 유효전력과 무효전력을 구할수잇어 왜이게이렇게되지 라는 생각을햇는데 이걸보고 이해가딱되네요
내가 음수의 의미를 간단하게 이야기 할 게요..............우리가 위치를 나타낼 때 앞으로 2보 뒤로 2보 이러면 더하기 빼기하면 됩니다............그런데 왼쪽으로 2보, 오른쪽으로 2보하면 어떻게 하죠..........이래서 I을 만든겁니다...왼쪽으로 2보 이러면 2i 오른쪽으로 2보하면 -2i이렇게 표시한 겁니다....그렇게 해서 좌표를 표시할 수 있고 거리를 계산할 수 있게 된 거죠.........참 쉽고 간단한 설명이죠...............
진짜... 입이 벌어집니다.. 허수란 녀석을 알고나니 드디어 친해질 수 있겠습니다.
도움이 되었다면 다행입니다 ^^
발견이냐 발명이냐의 차이는 실존여부를 따지는 건데, 문제는 그 실존의 위치가 어디 인가 라는 것....강사께서 발견이라 말하시는 건 논리상에서 말하시는 듯한데, 일반인들이 생각하는 발견발명의 기준은 자연계 가시적 기준이라 발명이라 생각하는 것이지만, 사실 양자역학에서 보 듯 논리와 실존은 혼재된 것이어서 생각할 수록 모호해 지기만 합니다.
얼마전에 e^iπ+1=0 을 증명하는 영상을 봤었는데 뭔가 관련이 있는거 같기도 하네요.
엄청난 관련이 있습니다 ㅎㅎ 오일러공식은 이 영상에서 허수의 성질(회전)을 이용해 이해하면 쉽게 이해할 수 있습니다
와 수체계를 2차원으로 한다는 것에 충격 받았네요..
함수는 정의역과 공역 두개의 축으로 된 2차원이라 생각해왔는데 복소수 범위의 함수라면 면과 면의 차원이 된다고 생각하니 머리가 아프네요
안녕하세요. 그래서 복소함수의 경우는 입력이 2차원 출력이 2차원이기 때문에 평면을 두 개 그려서 시각화합니다. 입력 평면과 출력평면 이렇게요... ㅎ
으어어,... 이해너무 하고 싶은데 백터랑 스칼라에서 조금 걸려요 ㅠㅠ
스프링 모양을 생각하면 좀 쉽게 와닿을것 같네요. 위에서 보면 동그라미이지만 옆에서 길게 늘여서 보면 sin함수 그래프 같은 모양이 됨
맞습니다 ~~^^ 잘 알고 계시는 분이시군용
궁금한것 여쭙습니다.
2차원 혹은 3차원 벡터 공간 (x, y, z) 또는 xi +yj + zk 이런 식의 표현이 있는데 굳이 허수 개념이 필요한 이유가 있는지?
cos과 sin의 조합을 exp(x+yi)로 표현하는 것에 대한 허수의 관계는? (관련지어 cos과 sin은 90도 차이니까 exp(pi/2i)을 곱하거나 나누는 것에 따라 cos, sin 간에 변환이 일어나는데요. 이와 관련하여 신호처리, 통신에서는 실수축과 허수축을 가지고 cos, sin을 표현하죠. 그렇다면 cos과 sin은 위상이 90도 차이가 나므로 cos을 90도 회전하면 sin이되므로 허수는 회전을 의미한다는 소리와 연결성을 갖는다. 맞는 얘기인지요?)
어줍잖은 생각으로 푸리에 변환에 있어서도 -, + 방향의 허수가 나타나는데 그러면 푸리에 변환에 있어 f축의 - 방향으로는 sin, + 방향으로는 cos을 나타낸다는 의미인가요?
1. 벡터 표현이 있는데 굳이 허수의 개념이 필요한 이유?
- 좋은 질문이십니다.
말씀하신대로 벡터의 표현으로 2, 3차원 공간상의 좌표를 나타내는 게 더 쉽고 직관적이기 까지 합니다.
벡터의 표현은 허수, 사원수의 개념 이후에 정립된 개념입니다. 실제로 맥스웰 방정식도 벡터 표현이 만들어지기 전에는
사원수로 모두 기술되었다고 하죠... 벡터의 표현이 나오고부터는 모두 벡터 표현으로 바뀌어서 기술되게 되었다죠...
2, 3차원 공간에 대한 표현을 할 때 더 이해하고 계산하기 쉽기 때문에...
- 여기서, 허수의 개념은 2차원 평면 상에서 회전을 표현하기 쉬운 수체계이고, 사원수는 3차원 평면 상에서 회전을 표현하기 쉬운 수체계입니다.
- 허수 개념을 굳이 살려와서 복소 평면이라는 개념을 없애지 않는 는 이유는 영상에서 몇번 강조했던 것 처럼 '회전'에 관한 현상을 기술하기에 편리한 수체계이기 때문입니다.
잘 생각해보면 회전에 관한 기술 --> 원 운동에 관한 기술 --> 삼각함수 의 개념으로 넘어가게 되겠지요?
그렇다면, 회전에 관한(즉, 삼각함수에 관한) 수학적 기술(description)에 미분이 도입된다면?
복소수로 표현된 회전에 관한 수학적 기술에 허수 i 하나만 곱해줌으로써
삼각함수의 미분과 관련된 기술을 간단하게 끝내버릴 수 있는 매우 유용한 툴입니다.
(삼각함수를 미분하면 phase가 90도 변환되게 되는데, 이것은 결국 허수를 곱해줌으로써 단박에 해결 가능하고 계산도 간소화됩니다.)
- 이것이 복소평면의 활용의 좋은 예로써, Phasor라는 개념이 되겠네요. 제 영상 중 phasor에 관한 영상도 있으니 참고해보시면 좋을 것 같습니다.
th-cam.com/video/KmFmbm0y5hw/w-d-xo.html
2-1. 오일러 공식과 허수의 관계?
- 좋은 질문이십니다. 사실 이 내용을 알고 질문하신것은 아닌가 싶을 정도로 통찰력이 있으시네요...
- 깊은 관계가 있습니다. 자연상수 e는 성장에 관한 상수입니다. 모든 수는 1이라는 수를 변환 시킨 것으로 볼 수 있는데,
1을 90도 방향으로 매우 조금씩 연속적으로 변환시키는 것이 바로 오일러 공식이 의미하는 기하학적 의미입니다.
- 오일러 공식에 관한 설명 영상도 있으니 확인 해보시면 좋을 것 같습니다.
th-cam.com/users/edit?o=U&video_id=gQSU0j8ydJA
2-2. cosine, sine 간에 위상차는 90도인데, 이것과 허수는 회전을 의미한다는 소리가 연결성을 갖는가?
- 위의 Phasor의 예시로써 설명한 것 같네요.
3. 푸리에 변환에서 +, - 방향의 허수가 나타난다 (?). -방향으로는 sine, + 방향으로는 cosine을 나타낸다(?)
- +, - 방향의 허수가 나타난다는 것은 잘 이해하지 못하겠습니다... 음의 주파수를 말씀하시는 것은 아닌가하여,
- 음의 주파수에 대한 제 영상을 확인해보시면 좋을 것 같습니다.
th-cam.com/users/edit?o=U&video_id=K8DuEYyYWNQ
@@AngeloYeo 우와~ 정말 감사합니다.
공돌이로써(모든 공돌이 아님ㅋ 제 경우에만....) 짠밥만 쌓여서 잡다하게만 알아서 질문드리는거라 뭘 정확하게 아는데 쓸데 없이 질문 드리는건 아닙니다.ㅋ
나중에 또 질문 드릴게요. .^^
나쁜 뜻으로 말씀드린 건 절대 아닙니다 ^^; 내공이 깊으신 분이신 것 같아서... 제가 아는 것에 한해서는 최대한 답변해드릴 수 있게 하겠습니다... 질문 해주시는 것은 언제나 환영입니다. 좋은 밤 되세요!
@@AngeloYeo ㅋㅋㅋ
공부 좀 해봤다고 하는 사람들 중에 거들먹 거리는 사람들이 왕왕 있어서 혹시나 그렇게 보실까 하는 자격지심에....ㅋㅋㅋ
안녕히 주무세요~ ^^
전력공학에서 전압.전류 다루는데 "실수+헛수"로 해석을 많이 하는데..
헛수란 개념이 없었으면 전력의 현상을 해석 하는데 많은 어려움이 있었을듯.
몇년전만하더라도
고등학교에 1학년 복소수 처음 배울때 복소평면의 기초를 가르쳐줘서
복소수와 도형의 회전이나 평행이동 대칭이동의 기본을 터득하게 해주었는데
어느순간부터 고등학교과정에서 복소평면개념은 빠졌더라구요
허수의 존재가치를 빼버리고 가르치는꼴
안녕하세요.
질문 드리고자 댓글남깁니다.
"허수"는 크기와 방향을 포함하고 있는 수임을 잊지 말아야한다. 라고 하셨는데,
음수의 개념에서 음수를 이해하기 위한 해답은 수가 단순히 크기만 가지는 것이 아니라 방향도 가진다. 였고, 허수를 이해하기 위한 해답은 제곱하는 수가 음수가 되려면 회전하는 수, 즉 허수 i가 존재해야한다. 라고 말씀하셨습니다.
그럼 허수는 음수의 개념을 포함하기 때문에 크기와 방향을 가진 수 라고 표현하신건가요??
읽어주셔서 감사합니다.^^ 가능하시면 빠른 답변 부탁드립니다.ㅎㅎ
좋은 질문 감사드려요. 그런데, 조금 더 구체적으로는 허수가 음수의 개념을 포함한다고 말하기는 좀 어려울 것 같아요. 대신 복소수는 실수와 허수의 개념을 모두 담고 있기 때문에 복소수는 음수의 개념을 포함하고 크기와 방향을 모두 갖는 수 체계다 라고 말할 수는 있을 것 같습니다 ^^
회전 변환이면은 i^i과도, 오일러 공식과도 관련이 있어 보이는데 맞나?
정답입니다 ~^^
오래된 영상이지만... 이 영상만큼 허수에 대해서 잘 설명하는 영상도 없는것 같습니다. 음수는 반대방향 허수는 회전... 수체계의 2차원 확장!
존재하지 않는 해를 표현하기 위한 허상의 수가 아니라 인류의 지식수준을 말그대로 한차원 높여준 수였네요
허수의 의미가 결국 기존 1차원 벡터의 기능에서 방향성까지 가지는 2차원 벡터의 기능을 가지게하는 수이다 라고 정리하면 되나요?
네 그정도면 좋을 것 같습니다
와~
안녕하세요! 영상 너무 잘 봤습니다.
혹시 수학 발표 시간에 자료로 사용해도 괜찮을까요?
네 출처만 남겨주시면 얼마든지 가능합니다~
그럼, 허수를 i, 엑스를 X, 곱하기를 x라고 치면...
i x X = 0 이 아니겠죠? 1차원 실수 체계 안에 없는거겠죠?
i x 1 = 0
i x 2 = 0
i x -1 = 0
x^2 = 0 은
x^2 + 1 = 0 이잖아요? 같이 0이 되진 않겠죠?
그래서, i x X => 이거 답이 없떻게 되요?