On peut aussi étudier f(n+1)/f(n) en vue d'appliquer le critère de d'Alembert. En effet, f étant à valeurs positives, f(n+1)/f(n) = exp (ln(f(n+1))-ln(f(n)) ). Or d'après le théorème des accroissements finis appliqué à ln o f sur [n;n+1],il existe cn dans cet intervalle tel que ln(f(n+1))-ln(f(n))=(lnof)'(cn)=f'(cn)/f(cn). Donc f(n+1)/f(n)=exp(f'(cn)/f(cn)). Or d'après la seconde hypothèse, et par continuité de exp sur R, cette quantité tend vers exp(l)
tu connais des formules de calculs explicite pour les sommes de suites géométriques, avec un peu de manip tu trouve que si la q est compris entre 0 et 1 comme dans cette vidéo, la suite converge. or une série à terme positive inférieur à une autre série qui converge te donne le résultat attendu. la dernière méthode est une méthode qui utilise une propriété de cours se basant sur la première méthode, tu gagné en vitesse mais perds en clarté.
Je suppose que c'est le nom qu'il donne au critère de d'Alembert (ou test du rapport en anglais): si le rapport u[n+1]/u[n] est borné par un r < 1, alors la série converge. En fait elle est majorée par k r^n, la série géométrique de raison r, qu'on sait absolument convergente.
Je suis inexact. En fait le critère de d'Alembert ne considère pas la majoration de un+1/un par r, mais l'existence de la limite (ou de lim sup) = r. Mais le résultat est le même.
Idée en ramenant à partir d’un certain rang idée qu’on a vu intégrale ln|f(x)| j’aime que tu donnes la version détaille simple encadrant après l’utilisation comparaison du terme dominant pas mal il faut bien connaître son cours et être à l’aise merci
On peut aussi étudier f(n+1)/f(n) en vue d'appliquer le critère de d'Alembert. En effet, f étant à valeurs positives, f(n+1)/f(n) = exp (ln(f(n+1))-ln(f(n)) ). Or d'après le théorème des accroissements finis appliqué à ln o f sur [n;n+1],il existe cn dans cet intervalle tel que ln(f(n+1))-ln(f(n))=(lnof)'(cn)=f'(cn)/f(cn). Donc f(n+1)/f(n)=exp(f'(cn)/f(cn)). Or d'après la seconde hypothèse, et par continuité de exp sur R, cette quantité tend vers exp(l)
excellent
super exercice!
C'est quoi le critère de comparaison géométrique ? Je n'ai pas compris la dernière méthode.
tu connais des formules de calculs explicite pour les sommes de suites géométriques, avec un peu de manip tu trouve que si la q est compris entre 0 et 1 comme dans cette vidéo, la suite converge. or une série à terme positive inférieur à une autre série qui converge te donne le résultat attendu. la dernière méthode est une méthode qui utilise une propriété de cours se basant sur la première méthode, tu gagné en vitesse mais perds en clarté.
Je suppose que c'est le nom qu'il donne au critère de d'Alembert (ou test du rapport en anglais): si le rapport u[n+1]/u[n] est borné par un r < 1, alors la série converge. En fait elle est majorée par k r^n, la série géométrique de raison r, qu'on sait absolument convergente.
Je suis inexact. En fait le critère de d'Alembert ne considère pas la majoration de un+1/un par r, mais l'existence de la limite (ou de lim sup) = r. Mais le résultat est le même.
Si vous avez raison car le critère de D'Alembert est un raccourci ingénieux de la comparaison avec des séries géométriques
Comment peut-on vérifier le fait que cet exercice soit bel et bien tombé à un oral de l'X ?
Retour d'élèves, officiel de la taupe ....
Idée en ramenant à partir d’un certain rang idée qu’on a vu intégrale ln|f(x)| j’aime que tu donnes la version détaille simple encadrant après l’utilisation comparaison du terme dominant pas mal il faut bien connaître son cours et être à l’aise merci
comment tu sais comment choisir ton epsilon
Moralement, on peut imaginer que ln(f(x)) se comporte comme Lx et donc f(x) se comporte comme exp(L x) donc comme une exponentielle AVEC UN FACTEUR
APCR, f est decroissante et:
On a f(n+1)-f(n)=f’(c_n) n