너무 좋은 자료 공유해주셔서 공부 잘하고 있습니다. 질문 드려도 괜찮을까요? 1. radioactive particle 문제를 poisson distribution의 예제로 보는 이유가 어떻게 되나요? 확률이 매우 낮을것으로 추정하는 것인지요 2. radioactvie particle 문제의 해석이 잘 안됩니다 ㅠㅠ 1ms 동안 누출되는? 감지되는? particle의 개수가 4개라 2.5ms동안은 10개로 이해했는데, 2.5ms동안 pc의 개수가 15개 일 확률이라는게 어떻게 이해하면 좋을까요?
포아송 분포는 이항분포에서 나오기 때문에 람다=np로 생각해야 합니다. 이렇게 생각해볼까요 단위시간은 상수입니다. 여기서는 1ms이죠. 시간은 일단 제쳐두고 동전던지기랑 똑같습니다, 그냥 1개의 입자가 방출될 확률을 p라고 하면 2개의 입자가 방출될 확률은 p^2, n개의 입자중에 x개가 방출될 확률은 combination(n x)*p^(x)*(1-p)^(n-x) 입니다. (n p)이항분포랑 똑같습니다. 그러면 n이 많이 커지고 p가 많이 작을 때 np=람다 인 포아송 분포는 결국 x개의 입자가 방출될 확률입니다. 사실 포아송분포의 pmf(X)는 이항분포랑 결과값이 똑같습니다. 예를 들어 n=10,000이고 p=0.001이라고 하고 이항분포에서 X=10일때랑 포아송분포에서 x=10일때 확률을 구해보면 거의 똑같습니다. 이항분포에서 평균은 np이고 분산은 np(1-p)인데 n은 매우 크고 p는 매우 낮다고 가정하는게 포아송 분포입니다 정의에 의해 포아송 분포의 평균은 똑같이 np이고, 분산은 p가 매우 낮다고 가정하기 때문에 1-p가 1에 근접하므로 이항분포의 분산과 같다고 볼 수 있습니다. 위의 문제도 n과 p를 임의의 값으로 지정하고 이항분포로 풀어도 결과는 포아송 분포의 답과 매우 거의 똑같게 일치합니다 그럼 포아송 분포는 왜 있는거냐라고 하면 이항분포보다 계산이 매우 편리할 뿐만 아니라 np는 아는데 n과 p는 모를 때 쓸 수 있기 때문입니다.
질문2에 대해 답변드리면 님이 본 문제에서 헷갈리신부분은 이미 주어진4/ms에 2.5ms를 곱해서 람다=10 이라고 새로운 확률을 구했는데 15일때 확률을 구하라는게 무슨소리냐 라고 하시는 부분인데 람다=np=E[x]입니다. 아마도 람다를 확률이라고 생각하셔서 그런거 같은데 람다는 기대값입니다. n번중에 x번 나올 '확률'이라는 표현에 익숙해지셔서 그런거 같은데 람다는 단위당 x가 몇번나오는지에 대한 '기댓값'입니다. 따라서 본 문제는 2.5ms당 방사선 나올 확률이 10번 일 때, 15번 나올 확률을 구하라 라는 의미가 아니라 2.5ms당 기댓값이 10일때, 15번 나올 확률을 구하라 라는 의미입니다. 이항분포로 예를 들면 동전의 앞면이 나올 확률은 p=1/2이지만 n번중에 x번 나올 확률을 구하라 라고 하면 nCx p^x(1-p)^(n-x)죠. 따라서 이미 주어진 p=1/2와 p(x)는 당연히 값이 다릅니다. 예를 들어 동전 4번던질경우 E[x]가 2인거지 앞면이 2번 나올확률이 1/2인것이 아닙니다. 동전 4번던졌을때 앞면이 나올확률은 4Cx (1/2)^4이고, 0번나올 확률은 1/16 1번=4/16 2번=6/16 3번=4/16 4번=1/16 다 더하면 16/16이어서 1이 되는거고요. 이때 동전 4번던져서 앞면이 2번 나올 확률은 0.5가 아닌 0.375입니다. 문제가 동전4번던져 3번 나올 확률을 구하라 그러면 답은 0.25입니다.
![김성범[ 교수 / 산업경영공학부 ]](http://yt3.ggpht.com/ytc/AIdro_mWwhQeGQPwIyBiV88b5htY6vhPJfUXlhO1TKC6ur0wnA=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
![[핵심 확률/통계] 이산형 확률분포 - 베르누이분포, 이항분포](http://i.ytimg.com/vi/fP_udxUJez8/mqdefault.jpg)
![[핵심 확률/통계] 이산형 확률분포 - 베르누이분포, 이항분포](/img/tr.png)
![[핵심 확률/통계] 연속형 확률변수 - 지수분포](http://i.ytimg.com/vi/3C0yKJhMwek/mqdefault.jpg)
![[핵심 확률/통계] Combinatorial Analysis](http://i.ytimg.com/vi/Kdz3uQ-o4g8/mqdefault.jpg)
![[11주차] Poisson Random Variable (포아송분포), [성균관대학교 오하영교수]](/img/n.gif)
저희학교 강의로 배울 땐 엄청 헷갈렸던 개념이었는데 명쾌하게 설명해주셔서 이 영상으로 너무 큰 도움 받았습니다 감사합니다!
교수님 매일 영상보며 하나하나 공부하고있습니다. 집에서 이런 퀄리티의 수업을 들을 기회를 주셔서 너무 감사합니다. 열공할께요
감사합니다!
감사합니다 오늘도 열심히 들었습니다!!!
감사합니다!
감사합니다!
교수님의 강의 자료와 외국에서 수업을 듣는 제 확률 수업의 강의 자료가 너무나도 비슷한데 교수님은 두루뭉실하게 설명하는 것 없이 확실하게 다 설명해주시고 강의가 다른데로 세지 않는다는게 차이점이네요. 너무 감사합니다
감사합니다~
너무 좋은 자료 공유해주셔서 공부 잘하고 있습니다. 질문 드려도 괜찮을까요?
1. radioactive particle 문제를 poisson distribution의 예제로 보는 이유가 어떻게 되나요? 확률이 매우 낮을것으로 추정하는 것인지요
2. radioactvie particle 문제의 해석이 잘 안됩니다 ㅠㅠ 1ms 동안 누출되는? 감지되는? particle의 개수가 4개라 2.5ms동안은 10개로 이해했는데, 2.5ms동안 pc의 개수가 15개 일 확률이라는게 어떻게 이해하면 좋을까요?
2.5ms 동안 10개의 입자가 감지되었다면, 15개의 입자가 감지될 확률은 3% 정도라는 얘기지요.
포아송 분포는 이항분포에서 나오기 때문에 람다=np로 생각해야 합니다.
이렇게 생각해볼까요 단위시간은 상수입니다. 여기서는 1ms이죠. 시간은 일단 제쳐두고 동전던지기랑 똑같습니다, 그냥 1개의 입자가 방출될 확률을 p라고 하면 2개의 입자가 방출될 확률은 p^2, n개의 입자중에 x개가 방출될 확률은 combination(n x)*p^(x)*(1-p)^(n-x) 입니다. (n p)이항분포랑 똑같습니다. 그러면 n이 많이 커지고 p가 많이 작을 때 np=람다 인 포아송 분포는 결국 x개의 입자가 방출될 확률입니다. 사실 포아송분포의 pmf(X)는 이항분포랑 결과값이 똑같습니다. 예를 들어 n=10,000이고 p=0.001이라고 하고 이항분포에서 X=10일때랑 포아송분포에서 x=10일때 확률을 구해보면 거의 똑같습니다.
이항분포에서 평균은 np이고 분산은 np(1-p)인데 n은 매우 크고 p는 매우 낮다고 가정하는게 포아송 분포입니다
정의에 의해 포아송 분포의 평균은 똑같이 np이고, 분산은 p가 매우 낮다고 가정하기 때문에 1-p가 1에 근접하므로 이항분포의 분산과 같다고 볼 수 있습니다. 위의 문제도 n과 p를 임의의 값으로 지정하고 이항분포로 풀어도 결과는 포아송 분포의 답과 매우 거의 똑같게 일치합니다
그럼 포아송 분포는 왜 있는거냐라고 하면 이항분포보다 계산이 매우 편리할 뿐만 아니라 np는 아는데 n과 p는 모를 때 쓸 수 있기 때문입니다.
질문2에 대해 답변드리면
님이 본 문제에서 헷갈리신부분은 이미 주어진4/ms에 2.5ms를 곱해서 람다=10 이라고 새로운 확률을 구했는데 15일때 확률을 구하라는게 무슨소리냐 라고 하시는 부분인데
람다=np=E[x]입니다.
아마도 람다를 확률이라고 생각하셔서 그런거 같은데 람다는 기대값입니다.
n번중에 x번 나올 '확률'이라는 표현에 익숙해지셔서 그런거 같은데 람다는 단위당 x가 몇번나오는지에 대한 '기댓값'입니다.
따라서 본 문제는 2.5ms당 방사선 나올 확률이 10번 일 때, 15번 나올 확률을 구하라 라는 의미가 아니라
2.5ms당 기댓값이 10일때, 15번 나올 확률을 구하라 라는 의미입니다.
이항분포로 예를 들면 동전의 앞면이 나올 확률은 p=1/2이지만 n번중에 x번 나올 확률을 구하라 라고 하면 nCx p^x(1-p)^(n-x)죠. 따라서 이미 주어진 p=1/2와 p(x)는 당연히 값이 다릅니다.
예를 들어 동전 4번던질경우 E[x]가 2인거지 앞면이 2번 나올확률이 1/2인것이 아닙니다.
동전 4번던졌을때 앞면이 나올확률은 4Cx (1/2)^4이고,
0번나올 확률은 1/16
1번=4/16
2번=6/16
3번=4/16
4번=1/16
다 더하면 16/16이어서 1이 되는거고요. 이때 동전 4번던져서 앞면이 2번 나올 확률은 0.5가 아닌 0.375입니다.
문제가 동전4번던져 3번 나올 확률을 구하라 그러면 답은 0.25입니다.