【1点だけ注意】1984東工大 数学 [2]【整数と数列】

[@さしみ-y6c]

これは超良問です。
1+x+x^2+x^3+x^9を因数分解しなさい。

[@p-1math38]

x+y+z=nの自然数解すなわちx'+y'+z'=n-3の非負整数解の個数は(n-1)Ｃ2であり、そこからx>n/2,y>n/2,z>n/2となるものを引けばよく、
x=k(n/2n/2すなわちx≧(n+1)/2となるものの個数は
1+2+…+{n-1-(n+1)/2}=(n-3)(n-1)/8
よって、求める個数は
(n-1)(n-2)/2-3(n-3)(n-1)/8=(n-1)(n+1)/8
nが偶数のとき、自然数解のうちx>n/2すなわちx≧n/2+1となるものの個数は
1+2+…+{n-1-(n/2+1)}=(n-4)(n-2)/8
よって、求める個数は
(n-1)(n-2)/2-3(n-4)(n-2)/8=(n-2)(n+8)/8
と解きました。
以前京大で出た正n角形の頂点を結んでできる鋭角三角形(今回の場合は直角三角形も含む)の個数の問題と同じ考え方ですね。

[@tekkinoho]

確かに！まったくおんなじ図になりますもんね。
辺の長さというよりは角の大きさということですね。

[@mathkaleidoscope]

ひとつは、最初に動画最後の図を書く。
もうひとつは、空間で考えないこと。つまり、第一式から、z=n-(x+y) として、これを与えられた不等式３つ(と、1≤x, 1≤y, 1≤z)に代入して整理すれば、1≤x≤n/2, 1≤y≤n/2, n/2≤x+y≥n-1 となって、図が簡単に書けるようになる。
どちらかですな～(^^)。

[@tekkinoho]

はじめに図を描いた方が構成良かったかも。参考になります！

[@村数]

1つ固定して、平面上の格子点数えて、シグマやな。

[@tekkinoho]

今回は空間で図を書きましたが、平面に落としてもわかりやすいですね！