Super vidéo ! En parlant de Frobenius ça pourrait être cool une vidéo sur les différentes formes normales pour les endomorphismes (Jordan, Smith, Frobenius, ...) !
Sur un corps, il y a aussi ma démonstration classique préférée de ce théorème, qui utilise l'identité algébrique élémentaire tCom(A)A=det(A). Pour justifier de l'utilisation de la formule précédente, valable a priori pour A à coefficients dans un corps, avec une matrice A dont les coefficients sont du type polynôme d'une matrice M, on considère K[M] plongé dans son corps de fractions K(M). Comme cela on s'assure que c'est bien juste les règles élémentaires du calcul algébriques qui font qu'en évaluant le polynôme caractéristique d'une matrice M en cette matrice M on obtient toujours 0 par jeu de simplifications. C'est amusant de le vérifier par le calcul pour des matrices carrés à coefficients indéterminés de taille 2 ou 3.
Héhé génial cette vidéo. La preuve de Cayley-Hamilton avec la matrice compagnon, c'est ce que j'ai présenté comme développement sur mon oral 1 d'agrégation ;).
Merci, vraiment très bien. Une remarque / question sur la preuve 3 : il me semble que l'appeler "preuve générique" est trompeur ? C'est plutôt une "preuve pour le cas générique". En effet c'est une extension des preuves précédentes, mais en tant que telle elle n'apporte pas réellement d'élement de preuve. En tout cas chapeau pour ces vidéos, très pédagogiques, et pleines de générosité, sentiment rare et précieux.
quand j'étais en prépa P' (oui le ' avant le * donc ca commence à dater), on n'était pas censé connaitre Caley-Hamilton (par contre en M' c'était bon) et pour certain oraux ca tuait direct l'exo. J'ai eu un truc comme ca à Ulm ou à ENS Lyon je me souviens plus et du coup c'était bcp moins drôle quand le prof m'a dit: "faites sans Caley-Hamilton..."
Il y a plus rapide pour le polynôme caractéristique de la matrice compagnon. On effectue une opération sur la dernière colonne qui fait apparaître que des 0 sauf sur la dernière ligne.
Bonjour, Merci pour cet excellent cours. Pourquoi vous utilisez ici 23:59 la même matrice I. Le découpage la matrice identité de taille n n'est pas forcement en deux matrices I égales. une autre question est ce que vous avez fait la vidéo sur la densité des matrices diagonalisables.
Bonjour, Super vidéo! Merci! N'y aurait il pas un conflit de notation dans la première preuve 1: Nommer (An) n appartenant IN alors que nous sommes dans Mn(C) ?
a la 37:00 dès le départ le poly caract est det(Xid-A) donc on trouve P. Moi j'ai pris comme poly cart det(A-Xid) et je trouve (-1)^{d+1} *P. Donc quelle est la bonne déf du poly carac? Merci
Il n'y a pas vraiment de bonne ou de mauvaise définition c'est une histoire de convention, moi j'aime bien le choisir unitaire donc je prend la première mais certains auteurs prennent l'autre...
Bonjour, pour la preuve numero 1, ne peut-on pas aussi l’appliquer sur R ? Puisque une matrice Mn(R) est une matrice de Mn(C), on peut appliquer l’argument de densite et trouver une suite de matrice de Mn(C) diagonalisable qui tend vers notre matrice réelle, puis en utilisant l’argument de continuité sur le determinant retrouver que Xa(A)=0 ?
Il n'y a même pas besoin de faire quoi que ce soit puisque, comme tu le dis, une matrice de Mn(R) est une matrice de Mn(C) donc on peut appliquer le théorème. L'intérêt de la deuxième preuve est pour les autres corps....
Bonjour. Y a un truc qui m'échappe dans la preuve 2 par matrice compagnon. On choisit un x différent de 0_E et on note d le plus petit entier tel que (x, f(x) ...., f^d(x)) soit libre. Pour moi le d dépend du vecteur x choisit, de même que la matrice compagnon. Hors à la fin on conclut qu'on a montré que c'était vrai pour tout x. Y a sûrement une évidence ou une corrélation qui m'échappe :s Ou alors on cherche bien d tel que pour tout x, (x, f(x), ... f^d(x)) est libre et dans ce cas je suis d'accord. Mais quand on dit "Soit" et pas "Pour tout", j'ai toujours l'impression qu'on en fixe un.
Le d dépend de x et à la fin, on montre que l'endomorphisme khi(A) s'annule en x. Le même raisonnement pour n'importe quel vecteur x amène à la même conclusion donc khi(A) est l'endomorphisme nul.
je connaissais pas l'astuce de la formule de récurrence pour la matrice compagnon, intéressant ! quelques questions pour la preuve 3 : -41:21 ca ne semble pas essentiel ds la remarque mais ca serait pas plutôt Z[T,U,V,W][X] ? -si je comprends bien, pour mq Xa(a) est nul ds Mn(A), on le montre donc que chaque coeff est nul, coeff que l'on décide de voir comme des polynômes à plusieurs variables (grâce morphisme de Z dans A, k associe k.1 j'imagine?). On se ramène donc a étudier la nullité de polynômes a plusieurs variables. Puisqu'on a besoin d'évaluer dans C à la fin (d'ailleurs anneau intègre aurait suffit non ? 40:23) pour utiliser le résultat bien connu d'analyse (sur la nullité des polynomes a plusieurs variables) + Cayley Hamilton dans C, pourquoi ne faut-il pas se placer dans les polynomes à coeff dans C et pas Z comme vous le faites ?
C'est une question très difficile de déterminer pour quels anneaux on peut identifier les polynômes et les fonctions polynomiales... Un anneau intègre ne suffit pas je pense. Les coefficients don mon polynôme sont dans Z par construction, donc dans C ;-)
Désolé Tom mais ce n'est pas la question :-) Si l'anneau est Z/pZ alors le polynôme X^p - X s'annule sur tous les éléments de l'anneau donc donne la fonction polynomiale nulle alors que c'est un polynôme non nul...
Je ne pense pas que mettre des X (au sens des polynômes, pour pouvoir l'écrire ne faudrait il pas montrer que l'ensemble des polynôme a coefficient dans Mn(K) soit un Anneaux ommuatatif?) dans un det soit très rigoureux sinon super vidéo!!
Comme l'ensemble des entiers tel que ce soit le cas est non vide (pour d = 1 ça marche) et majoré par n d'après la remarque qui précéde, il admet un plus grand élément !
@@MathsAdultesMerci pour votre réponse Gilles, même pour d=0 car x est supposé différent de 0. Je tiens à vous remercier pour la qualité de vos vidéos qui m'ont en partie aidé pendant mon M1 ! Bon week-end à vous !
Vidéo très sympa! Pour la fausse preuve : mettre déjà l’indéterminé X à l’intérieur du det ça n’a aucun sens !? Moi je préfère faire les calculs avec λ, puis identifier le polynôme
Quand f est bijective, a_0 != 0 et du coup le polynôme on peut l'écrire comme étant une constante + un polynôme sans terme constant. En factorisant le polynôme sans terme constant tu obtiens le résultat
Bonsoir, merci pour les vidéo, à la minute 40.12. Ki de g s'annule pour x appartient à F, mais rien ne prouve que ce soit vrai pour x appartient à E\F, donc pourquoi le produit de q par Ki de g s'annulerait quelque soit x appartenant à E? désolé si la réponse est évidente, je ne la vois pas.
J'ai un peu de mal à comprendre la troisième preuve. J'ai l'impression que les arguments sont - les coefficients de Xa(A) sont des polynômes en les coefficients de A (ok) - si ces coefficients sont dans un corps (C par exemple), la matrice est nulle (ok preuve 2 ou 1 pour C) Et la je comprends pas l'argument "vrai dans C" => "vrai dans n'importe quel anneau commutatif". Moi j'écrirais: - c est donc vrai dans n'importe quel sous anneau du corps - c est donc vrai dans n'importe quel anneau car tout anneau peut etre prolongé en corps (corps des fractions). Est ce que mes arguments fonctionnent ? Et quel est l argument que je n ai pas compris qui permet de deduire la preuve de 3 par la preuve sur C sans passer par la preuve sur tous corps ? Si quelqu un peut m eclairer... Merci pour votre super chaine en tous cas !
Je vais tenter de vous expliquer avec l'exemple d'une seule variable, si un polynome P(X) à coefficients entier s'annule sur C alors tous ses coefficients sont forcéments nuls et donc il s'annule sur n'importe quel anneau commutatif... L'argument est encore valide (mais moins visuel) pour un polynôme de plusieurs variables... Sinon un anneau ne peut-être prolongé en un corps que si il est intègre !!!
Ok merci ! Je comprend la limite de ma preuve corps => anneau integre. Tandis que la votre C => anneau commutatif est beaucoup plus puissante. Je comprends mieux aussi votre arguments mais faut que je medite un peu dessus. Encore merci pour votre chaine !
![Cayley-Hamilton Theorem [Control Bootcamp]](http://i.ytimg.com/vi/PrfxmkBsYKE/mqdefault.jpg)
Super vidéo ! En parlant de Frobenius ça pourrait être cool une vidéo sur les différentes formes normales pour les endomorphismes (Jordan, Smith, Frobenius, ...) !
Une dernière fois, merci Professeur. Vous êtes un excellent pédagogue. Je vais arrêter là les maths en autodidacte (plus l'envie).
il faut reprendre au bouleau
Sur un corps, il y a aussi ma démonstration classique préférée de ce théorème, qui utilise l'identité algébrique élémentaire tCom(A)A=det(A). Pour justifier de l'utilisation de la formule précédente, valable a priori pour A à coefficients dans un corps, avec une matrice A dont les coefficients sont du type polynôme d'une matrice M, on considère K[M] plongé dans son corps de fractions K(M). Comme cela on s'assure que c'est bien juste les règles élémentaires du calcul algébriques qui font qu'en évaluant le polynôme caractéristique d'une matrice M en cette matrice M on obtient toujours 0 par jeu de simplifications. C'est amusant de le vérifier par le calcul pour des matrices carrés à coefficients indéterminés de taille 2 ou 3.
Je t'avoue que je ne pige pas bien cette preuve, du coup j'ai fait l'impasse dessus...
Vraiment cool la troisième preuve, bravo !
Merci bcp prof
tu expliques mieux que nos professeurs
Héhé génial cette vidéo. La preuve de Cayley-Hamilton avec la matrice compagnon, c'est ce que j'ai présenté comme développement sur mon oral 1 d'agrégation ;).
1:35, "il y a déjà des théorèmes de Frobenius, il faut bien en donner à tout le monde". Dites cela à Euler qui a plein de théorèmes à son nom.
Merci, vraiment très bien.
Une remarque / question sur la preuve 3 : il me semble que l'appeler "preuve générique" est trompeur ? C'est plutôt une "preuve pour le cas générique". En effet c'est une extension des preuves précédentes, mais en tant que telle elle n'apporte pas réellement d'élement de preuve.
En tout cas chapeau pour ces vidéos, très pédagogiques, et pleines de générosité, sentiment rare et précieux.
tu as raison ma formulation est maladroite !
Super ! Explications claires ! 👌🥰🥰
quand j'étais en prépa P' (oui le ' avant le * donc ca commence à dater), on n'était pas censé connaitre Caley-Hamilton (par contre en M' c'était bon) et pour certain oraux ca tuait direct l'exo. J'ai eu un truc comme ca à Ulm ou à ENS Lyon je me souviens plus et du coup c'était bcp moins drôle quand le prof m'a dit: "faites sans Caley-Hamilton..."
Il y a plus rapide pour le polynôme caractéristique de la matrice compagnon. On effectue une opération sur la dernière colonne qui fait apparaître que des 0 sauf sur la dernière ligne.
prof d exception 🙂
Merci bcp
On les veux tous les vidéos sur la topologie
ça murit dans ma tête...
On espère et au passage merci à vous pour ces vidéos de qualité
Merci
Bonjour, Merci pour cet excellent cours. Pourquoi vous utilisez ici 23:59 la même matrice I. Le découpage la matrice identité de taille n n'est pas forcement en deux matrices I égales. une autre question est ce que vous avez fait la vidéo sur la densité des matrices diagonalisables.
pas encore, mais je prépare en ce moment les vidéos de topologie !!!
Bonjour,
Super vidéo! Merci!
N'y aurait il pas un conflit de notation dans la première preuve 1: Nommer (An) n appartenant IN alors que nous sommes dans Mn(C) ?
arg ! bravo à vous !
Bonjour, pourquoi peut-on remplacer X par A dans la preuve 3 alors qu'on ne le fait pas (à juste titre) dans la fausse preuve ?
a la 37:00 dès le départ le poly caract est det(Xid-A) donc on trouve P. Moi j'ai pris comme poly cart det(A-Xid) et je trouve (-1)^{d+1} *P. Donc quelle est la bonne déf du poly carac? Merci
Il n'y a pas vraiment de bonne ou de mauvaise définition c'est une histoire de convention, moi j'aime bien le choisir unitaire donc je prend la première mais certains auteurs prennent l'autre...
D'accord je comprends mieux, merci.@@MathsAdultes
Bonjour, pour la preuve numero 1, ne peut-on pas aussi l’appliquer sur R ? Puisque une matrice Mn(R) est une matrice de Mn(C), on peut appliquer l’argument de densite et trouver une suite de matrice de Mn(C) diagonalisable qui tend vers notre matrice réelle, puis en utilisant l’argument de continuité sur le determinant retrouver que Xa(A)=0 ?
Il n'y a même pas besoin de faire quoi que ce soit puisque, comme tu le dis, une matrice de Mn(R) est une matrice de Mn(C) donc on peut appliquer le théorème. L'intérêt de la deuxième preuve est pour les autres corps....
@@MathsAdultes c’est vrai. Merci !
Bonjour.
Y a un truc qui m'échappe dans la preuve 2 par matrice compagnon.
On choisit un x différent de 0_E et on note d le plus petit entier tel que (x, f(x) ...., f^d(x)) soit libre.
Pour moi le d dépend du vecteur x choisit, de même que la matrice compagnon.
Hors à la fin on conclut qu'on a montré que c'était vrai pour tout x.
Y a sûrement une évidence ou une corrélation qui m'échappe :s
Ou alors on cherche bien d tel que pour tout x, (x, f(x), ... f^d(x)) est libre et dans ce cas je suis d'accord.
Mais quand on dit "Soit" et pas "Pour tout", j'ai toujours l'impression qu'on en fixe un.
Le d dépend de x et à la fin, on montre que l'endomorphisme khi(A) s'annule en x.
Le même raisonnement pour n'importe quel vecteur x amène à la même conclusion donc khi(A) est l'endomorphisme nul.
trop cool merci+++++
super preuves, bravo
merci :-)
La troisième preuve est géniale.
J'ai bien compris les deux preuves de Cayley Hamilton mais je n'arrive pas à comprendre la nature de l'ensemble M2(Z[U, T, V, W]) 42:00.
Ce sont les matrices à coefficients dans l'ensemble des polynômes à 4 variables...
je connaissais pas l'astuce de la formule de récurrence pour la matrice compagnon, intéressant !
quelques questions pour la preuve 3 :
-41:21 ca ne semble pas essentiel ds la remarque mais ca serait pas plutôt Z[T,U,V,W][X] ?
-si je comprends bien, pour mq Xa(a) est nul ds Mn(A), on le montre donc que chaque coeff est nul, coeff que l'on décide de voir comme des polynômes à plusieurs variables (grâce morphisme de Z dans A, k associe k.1 j'imagine?). On se ramène donc a étudier la nullité de polynômes a plusieurs variables. Puisqu'on a besoin d'évaluer dans C à la fin (d'ailleurs anneau intègre aurait suffit non ? 40:23) pour utiliser le résultat bien connu d'analyse (sur la nullité des polynomes a plusieurs variables) + Cayley Hamilton dans C, pourquoi ne faut-il pas se placer dans les polynomes à coeff dans C et pas Z comme vous le faites ?
C'est une question très difficile de déterminer pour quels anneaux on peut identifier les polynômes et les fonctions polynomiales... Un anneau intègre ne suffit pas je pense. Les coefficients don mon polynôme sont dans Z par construction, donc dans C ;-)
Désolé Tom mais ce n'est pas la question :-)
Si l'anneau est Z/pZ alors le polynôme X^p - X s'annule sur tous les éléments de l'anneau donc donne la fonction polynomiale nulle alors que c'est un polynôme non nul...
Je ne pense pas que mettre des X (au sens des polynômes, pour pouvoir l'écrire ne faudrait il pas montrer que l'ensemble des polynôme a coefficient dans Mn(K) soit un Anneaux ommuatatif?) dans un det soit très rigoureux sinon super vidéo!!
26:00 on introduit d comme le plus grand entier tel que la famille F soit libre, quel est l'argument garantissant son existence?
Comme l'ensemble des entiers tel que ce soit le cas est non vide (pour d = 1 ça marche) et majoré par n d'après la remarque qui précéde, il admet un plus grand élément !
@@MathsAdultesMerci pour votre réponse Gilles, même pour d=0 car x est supposé différent de 0.
Je tiens à vous remercier pour la qualité de vos vidéos qui m'ont en partie aidé pendant mon M1 ! Bon week-end à vous !
Vidéo très sympa!
Pour la fausse preuve : mettre déjà l’indéterminé X à l’intérieur du det ça n’a aucun sens !? Moi je préfère faire les calculs avec λ, puis identifier le polynôme
Je n'ai pas compris le mu_f(X)=XP(X)+a_0
Quand f est bijective, a_0 != 0 et du coup le polynôme on peut l'écrire comme étant une constante + un polynôme sans terme constant. En factorisant le polynôme sans terme constant tu obtiens le résultat
Bonsoir, merci pour les vidéo, à la minute 40.12. Ki de g s'annule pour x appartient à F, mais rien ne prouve que ce soit vrai pour x appartient à E\F, donc pourquoi le produit de q par Ki de g s'annulerait quelque soit x appartenant à E?
désolé si la réponse est évidente, je ne la vois pas.
Juste il s'annule en x suffit, on construit F juste pour ça ! En effet, la construction peut se faire pour un x quelconque :-)
@@MathsAdultes OK, bien sur, c'est le polynôme annulateur de f, et ne dépend pas de x...subtil ! Merci
Bonne chançe la prochaine fois dans la coupe du monde , je suis triste de votre ďéfaite 🤣🤣🤣
désolé, tu as parlé trop vite ;-)
J'ai un peu de mal à comprendre la troisième preuve.
J'ai l'impression que les arguments sont
- les coefficients de Xa(A) sont des polynômes en les coefficients de A (ok)
- si ces coefficients sont dans un corps (C par exemple), la matrice est nulle (ok preuve 2 ou 1 pour C)
Et la je comprends pas l'argument "vrai dans C" => "vrai dans n'importe quel anneau commutatif".
Moi j'écrirais:
- c est donc vrai dans n'importe quel sous anneau du corps
- c est donc vrai dans n'importe quel anneau car tout anneau peut etre prolongé en corps (corps des fractions).
Est ce que mes arguments fonctionnent ? Et quel est l argument que je n ai pas compris qui permet de deduire la preuve de 3 par la preuve sur C sans passer par la preuve sur tous corps ? Si quelqu un peut m eclairer...
Merci pour votre super chaine en tous cas !
Je vais tenter de vous expliquer avec l'exemple d'une seule variable, si un polynome P(X) à coefficients entier s'annule sur C alors tous ses coefficients sont forcéments nuls et donc il s'annule sur n'importe quel anneau commutatif...
L'argument est encore valide (mais moins visuel) pour un polynôme de plusieurs variables...
Sinon un anneau ne peut-être prolongé en un corps que si il est intègre !!!
Ok merci ! Je comprend la limite de ma preuve corps => anneau integre. Tandis que la votre C => anneau commutatif est beaucoup plus puissante.
Je comprends mieux aussi votre arguments mais faut que je medite un peu dessus.
Encore merci pour votre chaine !
5:00 C est pas convainquant
Si cette preuve naîve est fausse ça veut dire
L ecriture xf(X) =det (X id-A)
Manque de rigueur
c'est vrai
premier
2 3 5 7 11 13 17
hi hi :-)