Hello les amis. Mattez moi un peu ce finish ! (outtro) TH-cam me propose du metal dans ses musiques libres de droits 🤣🎸🎶 Bon sinon desole pour le son pas au top sur cette video... J'ai essaye un nouveau micro mais je le maitrise pas trop... Ca capte pas tous les sons.
@@CassouMathPrepa non modestement l'isfa il y a 20 ans. D'ailleurs vos étudiants pourraient passer le concours du BECEAS il y a que des maths et pas de physique
Super exos, on redemande de la topologie pour la suite ! Pour le dernier bonus on montre que les seules matrices pour lesquelles leur classe de similitude est bornée sont les matrices scalaires. On voit directement qu’elles vérifient la condition et réciproquement une matrice qui n’est pas scalaire s’écrit dans une bonne base (avec le lemme de Schur) comme une matrice avec une première colonne de la forme (0,k,0,…0) avec k aussi grand qu’on veut : pas bornée. Pour l’exercice 1 sens réciproque, au lieu de passer par le polynôme caractériser peut-on dire que la suite des A_k qui converge vers 0 est dans sim(A) donc la suite des vecteurs dont les coordonnées sont les valeurs propres des A_k est constante car égale au vecteur des valeurs propres de A, or ce vecteur tend vers le vecteur nul donc la suite est le vecteur nul puis Sp(A) = {0} ?
Faire de la topologie alors que les probas attendent encore leurs heures... C'est chouette mais à quand de la marche aléatoire ou des bons gros exercices de probas ? Bravo pour le travail excellent comme toujours 😉
Content que ça te plaise Pierrick. T'as vu un peu ? En plus ça fait réviser la réduction et tout. 🤘 Bon ben maintenant t'as plus le choix, faut que tu sois incollable sur cette topologie des classes de similitude. Nb. Je prépare un vrai-faux sur la topologie plus ciblé. Mais avant faut que je fasse des vidéo pour les L1 !! 😅😅 Vous avez déjà commencé la compacité ?
@@CassouMathPrepaoui c'ets sur. Oui on a vu tout ce qui ets compacité on vient tout juste de finir le chapitre sur la topologie à la rentrée on commence celui sur limites et continuité.
2:50 j’essaye de faire la première question… Déjà il me semble qu’on peut, pour les matrices, prendre comme norme le sup des modules des VP… m’enfin ça marche mal puisque toute matrice nilpotente serait assimilée à 0 🤔 Toute matrice est trigonalisable dans C, et en dimension finie toutes les normes sont équivalentes. Dans toute classe de similitude cette pseudo norme est une constante, donc en particulier toute suite à valeur dans cette classe ne peut converger que vers une matrice qui a la même pseudo norme- ce qui ferait qu’être nilpotente est nécessaire pour avoir 0 dans son adhérence Mais ici encore faut il montrer que la « pseudo norme » en question fait sens :’) Après dans l’autre sens si on trigonalise la matrice nilpotente y’a une diagonale de 0, y’a peut-être moyen de trouver à partir de là P tel que P^-1 N P = 1/2 N ou un truc du genre 🤔 Je sors un peu les idées au pif, je vais regarder la vidéo ça vaut mieux 😂
Lol. C'est sûr que le max des modules des vp comme norme ça va pas être séparant Ceci dit pour ma la matrice est nilpotente, cest effectivelent une bonne idee de mq ses vpbsont nulle. Perso j'avais à l'origine utilisé une norme : celle subordonnée à la norme euclidienne. |||A|||. Le module de toute vp est inférieur à la norme de A. Et du coup la 1ere implication en decoule J'ai oublié de le dire dans la vidéo 😅
Pour la réciproque de la question 1, j'ai considéré une suite (Pk) de matrices inversibles qui CV vers A^(r-1) où r est l'indice de nilpotence. On a alors Pk^(-1)APk --> 0 et 0 est donc dans l'adhérence de sim(A). Cela vous paraît correct ? Merci pour ces vidéos, c'est top !
Arg ! Quelle belle idée... J'y étais cru... mais en fait non ! 😱... ça bugue. Car si Pk.A tend vers zéro, hélas L'inverse de Pk "tend vers l'infini" en quelque sorte. On peut comprendre que ça va bugguer, en regardant det(Pk). Il tend vers det(A^{r-1}), qui vaut zéro. Donc det(Pk^{-1}) tend vers l'infini... Choisis pour A la matrice 2x2 classique nilpotent 1 en haut a droite avec des zéros ailleurs. Tu prends Pk=(1/k ; 1 // 0 ;1/k) Elle tend vers A=A^(r-1). Mais calculé l'inverse de Pk. En norme elle tend vers l'infini. On constate de Pk^(-1).A.Pk ne tend pas vers żero. 😉
@@brunoseznec2811 au final Quand je regarde les exos RMS sur plusieurs années, je trouve que tous les concours proposent de grands classiques. Même ENS, X en MP. Chacun à son niveau. Mais du coup ça vaut vraiment la peine de les travailler.
Franchement, c'est vrai que c'est un exo sympa, et ça fait plaisir de voir Cassou tout content au début ! C'est marrant de penser à la partition de Mn par classes de similitudes : il y a la droite des homothéties chacune toute seule. Et puis autour, il y a les matrices à une seule valeur propre, avec une excroissance toute fine qui vient pointer du doigt l'homothétie de cette valeur propre (question 1) Elles sont pas toutes pareil, elles sont classifiées par leur tableau de Young. Et puis plus loin de cet axe, il y a les classes de similtudes de matrices à plusieurs valeurs propres mais pas diagonalisables qui elles aussi dégénèrent avec des points d'adhérence où la partie nilpotente tend vers 0. Et puis il y a les les matrices diagonalisables qui viennent avec leurs classes de similitudes fermées, donc elles, qui ne dégénèrent pas. Elles sont pas toutes pareil ; plus le commutant est grand, donc plus les valeurs propres se répètent, plus elles sont petites. Les plus grosses (et les plus nombreuses !) sont celles des matrices génériques diagonalisables avec n valeurs propres distinctes dont le commutateur est donné par des matrices diagonalisables, de dimension n, donc ces classes de similitudes sont fermées de dimension n² - n ce qui est beaucoup. Et elles, ce sont celles qui sont le plus loin de toutes les autres. Toutes ensembles, elles forment un ouvert dense, une espèce de ciment entre les autres matrices plus compliquées. Parmi les matrices nilpotentes, la plus grosse classe est celle de la matrice N remplie de 0 avec juste des 1 au dessus de la diagonale. ("nilpotente maximale") qui a son commutateur sulement de dimension n, donc son orbite de dimension n²-n aussi, mais elle, elle est toute seule, avec ses copines λ I + N, accrochées comme des poires sur la droite des homothéties.
Voici des petites questions : Une limite de matrices nilpotentes est-elle encore nilpotente ? (oui) Une limite de matrices diagonalisables est-elle encore diagonalisable ? (pas forcément) Si λ1,...,λp sont fixées, une limite de matrices diagonalisables telle que Spectre(An) = {λ1,...,λp} est-elle forcément diagonalisable ? (ssi p = n)
Par exemple, pour bien visualiser on regarde M2. Pour bien bien voir on impose tr(A) = 0 comme ça on est dimension 3 avec des matrices [[a,b],[c,-a]]. Les matrices nilpotentes sont caractérisées par det(A) = 0, soit bc = -a². C'est un cône de sommet la matrice nulle. Et puis toutes les autres surfaces de niveau du déterminant -a² - bc = k, avec k non nul sont des hyperboloïdes qui correspondent aux autres classes de similitude, celles des matrices diagonalisables (ici avec 2 valeurs propres distinctes. Ça fait ce qui s'appelle un feuilletage ; là il est particulièrement joli et propre, mais en dimension plus que 2 ça se complique.
@@marsupilable La description du feuilletage est très intéressante! (A_k)^n = 0 où n = dim de l'espace vectoriel, cela reste vrai pour la limite parce que le produit est continu sur Mn × Mn et n est fixé. Aussi (mais je fais ça de tête), si k(A) = min {j : A^j = 0}, k : A --> R est semi-continue inférieurement. Limite de diagonalisables: on peut penser aux matrices qui "ne sont diagonalisables que " parce qu'elles ont des valeur propres distinctes : A_n = ( 1, 1; 0, 1+ 1/n ) n naturel positif a limite qui n'est pas annulée par un polynôme scindé. Pour la troisième (je suppose lambda_i distincts?), si p p =n. Si p= n et les lambda sont distincts, le polynôme caractéristique est à racine simples et il annule la limite par continuité, donc p=n --> oui.
Magnifique cette description. 👌🤩 Quelle culture ! C'est impressionnant 👍👍 J'avoue je ne connaissais pas du tout cet aspect des matrices et ça me donne en vie d'y passer un peu de temps. Quand je dis que j'apprends de plus en plus depuis que j'ai lancé la chaine... Merci bcp 🙏🙏 (Je laisse les exos aux etudiants)
En fait je crois que je me suis trompé pour la question 3 : si on fixe la diagonalisabilité + les valeurs propres, ça donne un nombre fini de classes de similitudes. Or, justement, les classes de similitudes en question sont fermées, donc leur union finie aussi. Je dirais même qu'une suite convergente là-dedans doit sans doute finir par choisir sa classe de similitude et y converger. (je suis pas trop sûr de ce paragraphe) En tous cas elle est à la limite diagonalisable et avec toujours les mêmes valeurs propres. Donc, si si, la réponse est toujours oui, finalement. La seule dégénérescence de la diagonalisabilité c'est quand deux (ou plus) valeurs propres se rencontrent pour donner de la partie nilpotente, et là les hypothèses que j'ai proposées empêchent ce phénomène, donc j'ai raté mon énoncé, malheureusement !
Punaise je viens à peine de la comprendre 😅😅. Le coup des bacs A,B,C,D,E....A,C,D,C... ⚡️⚡️ N'empêche, Angus Young tenait encore une formende dingue en concert cet été à paname 😈🎸🎸🎶😃
la caracterisation de l'adherence en terme se suites n'est pas valable dans tous les espaces topologiques. En toute rigueur il faudrait invoquer le fait que cet espace a localement une base dénomonbrable d'ouvert, par exemple parcequ'il est métrisable....
@@EMT-fw2fz en dimension finie oui. Ou en dimension infinie pour espace normé. Mais il doit y avoir des espaces vectoriels topologiques non metrisables dans lesquels ce n'est pas valable.
Lol. Ben non faudrait surtout pas l'invoquer vu qu'on est sur un evn de DF ! Sinon on risquerait de nous embêter 😁😁😁 En fait si j'étais sur un espace vectoriel topologique je ne sais pas le pb serait vraiment pertinent. Y a pas de polynome caractéristique... y plus rien qui n'a vraiment de sens côté algèbre linéaire non plus 😉 Ici on est en DF donc il n'y a qu'une seule topologie pertinente...
@@CassouMathPrepa oui c'est ce que j'ai dit dans mon commentaire precedent, Je voulais juste pointer du doigt le fait que cette caracterisation de l'adherence en termes de suite n'est pas vrai dans tous les espaces top, et d'ailleurs on aurait probablement pu resoudre l'exo en prenant la definition la plus generale de l'adherence en termes de voisinages ouverts. "plus rien qui n'a vraiment de sens côté algèbre linéaire non plus" : ha bon ?... et les nombreux resultats d'analyse fonctionelle ? les valeurs propres des opérateurs auto adjoints compacts ? les espaces de Hilbert ?
![[Sub Thai] APT. - ROSÉ & Bruno Mars](http://i.ytimg.com/vi/bYjhzP8x_uc/mqdefault.jpg)
Hello les amis.
Mattez moi un peu ce finish ! (outtro) TH-cam me propose du metal dans ses musiques libres de droits 🤣🎸🎶
Bon sinon desole pour le son pas au top sur cette video... J'ai essaye un nouveau micro mais je le maitrise pas trop... Ca capte pas tous les sons.
Merci pour vos exos cela me décrasse le cerveau avant de commencer ma journée d'actuaire
@@tototutu1165 de rien !
ENSAE ??
@@CassouMathPrepa non modestement l'isfa il y a 20 ans. D'ailleurs vos étudiants pourraient passer le concours du BECEAS il y a que des maths et pas de physique
@@CassouMathPrepa haha moi aussi je me décrasse le cerveau avant ma journée d'ingénieur , et j'ai bien fait l'ensae
Super exos, on redemande de la topologie pour la suite !
Pour le dernier bonus on montre que les seules matrices pour lesquelles leur classe de similitude est bornée sont les matrices scalaires. On voit directement qu’elles vérifient la condition et réciproquement une matrice qui n’est pas scalaire s’écrit dans une bonne base (avec le lemme de Schur) comme une matrice avec une première colonne de la forme (0,k,0,…0) avec k aussi grand qu’on veut : pas bornée.
Pour l’exercice 1 sens réciproque, au lieu de passer par le polynôme caractériser peut-on dire que la suite des A_k qui converge vers 0 est dans sim(A) donc la suite des vecteurs dont les coordonnées sont les valeurs propres des A_k est constante car égale au vecteur des valeurs propres de A, or ce vecteur tend vers le vecteur nul donc la suite est le vecteur nul puis Sp(A) = {0} ?
Faire de la topologie alors que les probas attendent encore leurs heures... C'est chouette mais à quand de la marche aléatoire ou des bons gros exercices de probas ?
Bravo pour le travail excellent comme toujours 😉
Merci monsieur pour cette vidéo !!
Content que ça te plaise Pierrick. T'as vu un peu ? En plus ça fait réviser la réduction et tout. 🤘
Bon ben maintenant t'as plus le choix, faut que tu sois incollable sur cette topologie des classes de similitude.
Nb. Je prépare un vrai-faux sur la topologie plus ciblé. Mais avant faut que je fasse des vidéo pour les L1 !! 😅😅
Vous avez déjà commencé la compacité ?
@@CassouMathPrepaoui c'ets sur. Oui on a vu tout ce qui ets compacité on vient tout juste de finir le chapitre sur la topologie à la rentrée on commence celui sur limites et continuité.
@@pierrick_84 ok merci. Limite et continuité font partie de la topo, donc c'est pas fini ;-)
Merci à Pierrick de t'avoir incité à poster de la topologie ! Du poulet cette vidéo. 🥰
🐔🐔🐔. Garanti bio plein air ! 😄.
Merci chez Nimois 🙏
nimois tu es en prépa?
2:50 j’essaye de faire la première question…
Déjà il me semble qu’on peut, pour les matrices, prendre comme norme le sup des modules des VP… m’enfin ça marche mal puisque toute matrice nilpotente serait assimilée à 0 🤔
Toute matrice est trigonalisable dans C, et en dimension finie toutes les normes sont équivalentes. Dans toute classe de similitude cette pseudo norme est une constante, donc en particulier toute suite à valeur dans cette classe ne peut converger que vers une matrice qui a la même pseudo norme- ce qui ferait qu’être nilpotente est nécessaire pour avoir 0 dans son adhérence
Mais ici encore faut il montrer que la « pseudo norme » en question fait sens :’)
Après dans l’autre sens si on trigonalise la matrice nilpotente y’a une diagonale de 0, y’a peut-être moyen de trouver à partir de là P tel que P^-1 N P = 1/2 N ou un truc du genre 🤔
Je sors un peu les idées au pif, je vais regarder la vidéo ça vaut mieux 😂
Lol. C'est sûr que le max des modules des vp comme norme ça va pas être séparant
Ceci dit pour ma la matrice est nilpotente, cest effectivelent une bonne idee de mq ses vpbsont nulle. Perso j'avais à l'origine utilisé une norme : celle subordonnée à la norme euclidienne. |||A|||.
Le module de toute vp est inférieur à la norme de A. Et du coup la 1ere implication en decoule
J'ai oublié de le dire dans la vidéo 😅
Pour la réciproque de la question 1, j'ai considéré une suite (Pk) de matrices inversibles qui CV vers A^(r-1) où r est l'indice de nilpotence. On a alors Pk^(-1)APk --> 0 et 0 est donc dans l'adhérence de sim(A). Cela vous paraît correct ? Merci pour ces vidéos, c'est top !
Arg ! Quelle belle idée...
J'y étais cru... mais en fait non ! 😱... ça bugue. Car si Pk.A tend vers zéro, hélas L'inverse de Pk "tend vers l'infini" en quelque sorte. On peut comprendre que ça va bugguer, en regardant det(Pk). Il tend vers det(A^{r-1}), qui vaut zéro. Donc det(Pk^{-1}) tend vers l'infini...
Choisis pour A la matrice 2x2 classique nilpotent 1 en haut a droite avec des zéros ailleurs.
Tu prends Pk=(1/k ; 1 // 0 ;1/k)
Elle tend vers A=A^(r-1).
Mais calculé l'inverse de Pk.
En norme elle tend vers l'infini.
On constate de Pk^(-1).A.Pk ne tend pas vers żero. 😉
@@CassouMathPrepa rolala la oui, j'ai bien vite oublié ce Pk^(-1) 🥴
Merci pour ta réponse détaillée !
2) ds le Gourdon aussi !!
@@brunoseznec2811 ah oui, j'avais pas vu. 👍 Grand classique ...
@@brunoseznec2811 au final Quand je regarde les exos RMS sur plusieurs années, je trouve que tous les concours proposent de grands classiques. Même ENS, X en MP. Chacun à son niveau. Mais du coup ça vaut vraiment la peine de les travailler.
Faux Mn(R) en dimension 2 prendre une matrice de rotation, prendre le discrimant. Classe de similitude bornée, si A appartient a On(k(
Rotation différente de Id. Puis ?...
Bornée : c'est encore plus petit ! (Mq A est carrement scalaire)
Franchement, c'est vrai que c'est un exo sympa, et ça fait plaisir de voir Cassou tout content au début !
C'est marrant de penser à la partition de Mn par classes de similitudes : il y a la droite des homothéties chacune toute seule. Et puis autour, il y a les matrices à une seule valeur propre, avec une excroissance toute fine qui vient pointer du doigt l'homothétie de cette valeur propre (question 1) Elles sont pas toutes pareil, elles sont classifiées par leur tableau de Young.
Et puis plus loin de cet axe, il y a les classes de similtudes de matrices à plusieurs valeurs propres mais pas diagonalisables qui elles aussi dégénèrent avec des points d'adhérence où la partie nilpotente tend vers 0.
Et puis il y a les les matrices diagonalisables qui viennent avec leurs classes de similitudes fermées, donc elles, qui ne dégénèrent pas. Elles sont pas toutes pareil ; plus le commutant est grand, donc plus les valeurs propres se répètent, plus elles sont petites.
Les plus grosses (et les plus nombreuses !) sont celles des matrices génériques diagonalisables avec n valeurs propres distinctes dont le commutateur est donné par des matrices diagonalisables, de dimension n, donc ces classes de similitudes sont fermées de dimension n² - n ce qui est beaucoup. Et elles, ce sont celles qui sont le plus loin de toutes les autres. Toutes ensembles, elles forment un ouvert dense, une espèce de ciment entre les autres matrices plus compliquées.
Parmi les matrices nilpotentes, la plus grosse classe est celle de la matrice N remplie de 0 avec juste des 1 au dessus de la diagonale. ("nilpotente maximale") qui a son commutateur sulement de dimension n, donc son orbite de dimension n²-n aussi, mais elle, elle est toute seule, avec ses copines λ I + N, accrochées comme des poires sur la droite des homothéties.
Voici des petites questions :
Une limite de matrices nilpotentes est-elle encore nilpotente ? (oui)
Une limite de matrices diagonalisables est-elle encore diagonalisable ? (pas forcément)
Si λ1,...,λp sont fixées, une limite de matrices diagonalisables telle que Spectre(An) = {λ1,...,λp} est-elle forcément diagonalisable ? (ssi p = n)
Par exemple, pour bien visualiser on regarde M2.
Pour bien bien voir on impose tr(A) = 0 comme ça on est dimension 3 avec des matrices [[a,b],[c,-a]].
Les matrices nilpotentes sont caractérisées par det(A) = 0, soit bc = -a².
C'est un cône de sommet la matrice nulle.
Et puis toutes les autres surfaces de niveau du déterminant -a² - bc = k, avec k non nul sont des hyperboloïdes qui correspondent aux autres classes de similitude, celles des matrices diagonalisables (ici avec 2 valeurs propres distinctes.
Ça fait ce qui s'appelle un feuilletage ; là il est particulièrement joli et propre, mais en dimension plus que 2 ça se complique.
@@marsupilable
La description du feuilletage est très intéressante!
(A_k)^n = 0 où n = dim de l'espace vectoriel, cela reste vrai pour la limite parce que le produit est continu sur Mn × Mn et n est fixé. Aussi (mais je fais ça de tête), si k(A) = min {j : A^j = 0}, k : A --> R est semi-continue inférieurement.
Limite de diagonalisables: on peut penser aux matrices qui "ne sont diagonalisables que " parce qu'elles ont des valeur propres distinctes : A_n = ( 1, 1; 0, 1+ 1/n ) n naturel positif a limite qui n'est pas annulée par un polynôme scindé.
Pour la troisième (je suppose lambda_i distincts?), si p p =n. Si p= n et les lambda sont distincts, le polynôme caractéristique est à racine simples et il annule la limite par continuité, donc p=n --> oui.
Magnifique cette description. 👌🤩 Quelle culture ! C'est impressionnant 👍👍
J'avoue je ne connaissais pas du tout cet aspect des matrices et ça me donne en vie d'y passer un peu de temps.
Quand je dis que j'apprends de plus en plus depuis que j'ai lancé la chaine...
Merci bcp 🙏🙏
(Je laisse les exos aux etudiants)
En fait je crois que je me suis trompé pour la question 3 : si on fixe la diagonalisabilité + les valeurs propres, ça donne un nombre fini de classes de similitudes.
Or, justement, les classes de similitudes en question sont fermées, donc leur union finie aussi.
Je dirais même qu'une suite convergente là-dedans doit sans doute finir par choisir sa classe de similitude et y converger. (je suis pas trop sûr de ce paragraphe)
En tous cas elle est à la limite diagonalisable et avec toujours les mêmes valeurs propres.
Donc, si si, la réponse est toujours oui, finalement.
La seule dégénérescence de la diagonalisabilité c'est quand deux (ou plus) valeurs propres se rencontrent pour donner de la partie nilpotente, et là les hypothèses que j'ai proposées empêchent ce phénomène, donc j'ai raté mon énoncé, malheureusement !
Une blague de vieux.
En voyant le t-shirt, je me dis que c'est sûrement Angus Young qui a été à l'origine de la réforme du BAC de 1995.
Punaise je viens à peine de la comprendre 😅😅. Le coup des bacs A,B,C,D,E....A,C,D,C... ⚡️⚡️
N'empêche, Angus Young tenait encore une formende dingue en concert cet été à paname 😈🎸🎸🎶😃
la caracterisation de l'adherence en terme se suites n'est pas valable dans tous les espaces topologiques. En toute rigueur il faudrait invoquer le fait que cet espace a localement une base dénomonbrable d'ouvert, par exemple parcequ'il est métrisable....
C’est vrai dans un espace vectoriel, non ?
@@EMT-fw2fz en dimension finie oui. Ou en dimension infinie pour espace normé. Mais il doit y avoir des espaces vectoriels topologiques non metrisables dans lesquels ce n'est pas valable.
Lol. Ben non faudrait surtout pas l'invoquer vu qu'on est sur un evn de DF ! Sinon on risquerait de nous embêter 😁😁😁
En fait si j'étais sur un espace vectoriel topologique je ne sais pas le pb serait vraiment pertinent. Y a pas de polynome caractéristique... y plus rien qui n'a vraiment de sens côté algèbre linéaire non plus 😉
Ici on est en DF donc il n'y a qu'une seule topologie pertinente...
@@CassouMathPrepa oui c'est ce que j'ai dit dans mon commentaire precedent, Je voulais juste pointer du doigt le fait que cette caracterisation de l'adherence en termes de suite n'est pas vrai dans tous les espaces top, et d'ailleurs on aurait probablement pu resoudre l'exo en prenant la definition la plus generale de l'adherence en termes de voisinages ouverts. "plus rien qui n'a vraiment de sens côté algèbre linéaire non plus" : ha bon ?... et les nombreux resultats d'analyse fonctionelle ? les valeurs propres des opérateurs auto adjoints compacts ? les espaces de Hilbert ?