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感謝這部影片對我這出社會已久又想重新學習數學的我很有幫助！！
講得太好了 教家教前回來複習一遍😆
❤️
讲的真好！内容精良，配色也很有审美水平！
老師講的好棒，把我以前沒注意到的觀念補齊。打算把老師所有影片都看完，已經看了1/2以上
懂一點實數公理的朋友，a^x 當x是無理數時：1, a>1時，a^x 是 {a^r}的上確界，其中r是小於x的有理數；2，0
老師真的講的很好 希望可以把高中數學全部說完 就算付費我也甘願
我也願意付費+1，油管上的數學就您的最清楚了！
內容製作的非常用心
感谢，以前只知道背公式，没想到背后有这么多有意思的想法
天 真的接受我的膜拜吧 講的太好了
謝謝老師,讚讚讚........
感謝支持 ~
謝謝！我總算明白了無理數指數！平時在網路上一直找不到能明白的解答。不過我有兩個問題：1，方程式可以兩邊平方，可以兩邊開平方（但還要加±號），那麼方程式可以兩邊½次方嗎？例如x^2=9→x^(2×½)=9^½→x=3，可是這樣就少了-3這個答案，那還可以兩邊½次方嗎？2，這是個對數的問題，在這個影片留言好像離題了，不過我還是想順便問問（希望不要介意），3³=27→log(3)27=3，那(-3)³=-27可以寫成對數式嗎？看了對數的定義，底數和真數不能為負，那如果我要求一個如(-3)^n=-26之類的對數值要怎麼求？希望能為我解答，萬分感謝～你的影片很棒，加油！
第2題我沒看到括號，有括號此方程式因該無解如果是-3^n=-26那麼n=log3(26)
因該是說指數函數的底數為負的情況下沒有定義
@@user-gw1kq9di4p 原來如此，非常感謝解答
Hi~叶--霜, 感謝你的肯定，你的問題回覆如下:1、方程式兩邊做平方或½次方處理時，要非常小心。我們當然可以將x=1兩邊平方，得到x^2=1，這是完全沒問題的；但是新方程式同時也因為"平方"這個操作而多出一個根(x=-1)，所以雖然說我們可以做平方的處理，但是平方前、平方後的兩個方程式，其實並不完全等價，這點要留意。而將x^2=9兩邊同取½次方，變成x=3，則是會令方程式少掉一個負根(x=-3)。原因是一般而言(若無特別註記)，方程式的定義域是在 "x屬於所有實數" 的範圍，而分數指數的定義域則是在 "x>0" 的範圍，兩者並不相同。所以除非一開始已經假設x>0，否則不建議在等式兩邊同取½次方。2、這也是一個定義域的問題。雖然(-3)^x=-27有一個實根x=3，但是這並不代表對所有實數x，(-3)^x都可以被良好定義，所以我們就規定讓底數>0。在對數裡面也是一樣，當真數0。於是在這樣(不得不)的規定或定義下，將底數或真數表示成負數，就會變成沒有意義。希望有回答到你的問題~~
@@stepp.academy 感激不盡！我問遍了我中學的老師都沒給出那麼詳細的解釋，你算是幫了我解開了疑惑呢👏
老師，你好，關於7:55處之矛盾，我想問個問題令Z為一複數，今有方程式(Z^n)+(Z^-n)=2如果我在等號兩旁，同乘上Z^n就可將方程式化為(Z^2n)-2(Z^n)+1=0，便可以進一步求解然而，在我同乘Z^n的時候似乎已經在底數為複數的時候使用了指數律，而依據定義來說，只有在底數為實數時才可使用，那為何如此運算不會招致矛盾呢?(此題乃106數甲指考之複選題，此疑惑乃由詳解發現)但，依等量公理，方程式的兩端，的確可以同乘一個非零的數並保持相等，請問是為什麼呢?
隨著數學的發展，當然會有想將Z^n做定義的想法。該定義如下: (Z為非零複數，n為正整數)1、當n=0，定義Z^0=1。2、當n≥2，定義Z^n=Z^(n-1)*Z。3、定義Z^(-n) = 1/(Z^n)(BTW，指考這樣的出題方式不太適當吧...)
@@stepp.academy 謝謝老師，我明白了。
終於出了～謝謝老師我等了好久XD
歹勢~我也覺得自己搞了超級無敵久...Orz
@@stepp.academy 沒關係啦～老師辛苦了
感覺最後K是無理數？是嗎？如果是那如何證明？或有理數的無理數次方一定是無理數嗎？或是，或否，或2種可能都存在，如何證明，哎!抱歉!我剛吃飽。
10是有理數，log2是無理數，但10^log2=2是有理數，所以都有可能
想請問影片中 6:53 n√a^m = (n√a)^m 等號兩邊的數在計算上是否有先後順序？ 我的意思是 等號左邊部分 是先算a^m 再開n次方 ；而等號右邊則是 a先開n次方 再算其的m次方
有
請問為甚麼計算機可以按出(-1)^(1/3)的結果-1
這是一個好問題，老實說我不知道答案，不過我猜或許和 當n是奇數(1,3,5,...)時，x^n = -1(或其他負數)會存在一個負實根有關。所以你按(-1)^(1/3)、(-1)^(1/5)、(-1)^(1/7)...時，計算機都會show出答案，我猜它show的就是這個負實根。但是如果你按的不是(-1)^(1/n)，而是(-1)^(2/n)或(-1)^(3/n)等等，計算機就會顯示Math ERROR了。我想是它在做程式編寫時，對於1/n和非1/n的分數採用了不同的計算及判斷規則。如果你找到這個問題的正確答案的話，請再留言和我分享，感恩~~
@@stepp.academy 我猜想可能是為了滿足指數屬於所有有理數才規定 a大於0，如果把指數的範圍剔除掉分母是偶數的有理數，a就可以小於0了吧。
負1等於正1！
yep......you cannot be too careful when dealing with exponents.
感謝
這部影片對我這出社會已久又想重新學習數學的我很有幫助！！
講得太好了 教家教前回來複習一遍😆
❤️
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老師講的好棒，把我以前沒注意到的觀念補齊。打算把老師所有影片都看完，已經看了1/2以上
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懂一點實數公理的朋友，a^x 當x是無理數時：1, a>1時，a^x 是 {a^r}的上確界，其中r是小於x的有理數；2，0
老師真的講的很好 希望可以把高中數學全部說完 就算付費我也甘願
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我也願意付費+1，油管上的數學就您的最清楚了！
內容製作的非常用心
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感谢，以前只知道背公式，没想到背后有这么多有意思的想法
天 真的接受我的膜拜吧 講的太好了
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謝謝老師,讚讚讚........
感謝支持 ~
謝謝！我總算明白了無理數指數！平時在網路上一直找不到能明白的解答。
不過我有兩個問題：
1，方程式可以兩邊平方，可以兩邊開平方（但還要加±號），那麼方程式可以兩邊½次方嗎？例如x^2=9→x^(2×½)=9^½→x=3，可是這樣就少了-3這個答案，那還可以兩邊½次方嗎？
2，這是個對數的問題，在這個影片留言好像離題了，不過我還是想順便問問（希望不要介意），3³=27→log(3)27=3，那(-3)³=-27可以寫成對數式嗎？看了對數的定義，底數和真數不能為負，那如果我要求一個如(-3)^n=-26之類的對數值要怎麼求？
希望能為我解答，萬分感謝～你的影片很棒，加油！
第2題我沒看到括號，有括號
此方程式因該無解
如果是-3^n=-26那麼n=log3(26)
因該是說指數函數的底數為負的情況下沒有定義
@@user-gw1kq9di4p 原來如此，非常感謝解答
Hi~叶--霜, 感謝你的肯定，你的問題回覆如下:
1、方程式兩邊做平方或½次方處理時，要非常小心。我們當然可以將x=1兩邊平方，得到x^2=1，這是完全沒問題的；但是新方程式同時也因為"平方"這個操作而多出一個根(x=-1)，所以雖然說我們可以做平方的處理，但是平方前、平方後的兩個方程式，其實並不完全等價，這點要留意。而將x^2=9兩邊同取½次方，變成x=3，則是會令方程式少掉一個負根(x=-3)。原因是一般而言(若無特別註記)，方程式的定義域是在 "x屬於所有實數" 的範圍，而分數指數的定義域則是在 "x>0" 的範圍，兩者並不相同。所以除非一開始已經假設x>0，否則不建議在等式兩邊同取½次方。
2、這也是一個定義域的問題。雖然(-3)^x=-27有一個實根x=3，但是這並不代表對所有實數x，(-3)^x都可以被良好定義，所以我們就規定讓底數>0。在對數裡面也是一樣，當真數0。於是在這樣(不得不)的規定或定義下，將底數或真數表示成負數，就會變成沒有意義。
希望有回答到你的問題~~
@@stepp.academy 感激不盡！我問遍了我中學的老師都沒給出那麼詳細的解釋，你算是幫了我解開了疑惑呢👏
老師，你好，關於7:55處之矛盾，我想問個問題
令Z為一複數，今有方程式(Z^n)+(Z^-n)=2
如果我在等號兩旁，同乘上Z^n就可將方程式化為(Z^2n)-2(Z^n)+1=0，便可以進一步求解
然而，在我同乘Z^n的時候似乎已經在底數為複數的時候使用了指數律，而依據定義來說，只有在底數為實數時才可使用，那為何如此運算不會招致矛盾呢?(此題乃106數甲指考之複選題，此疑惑乃由詳解發現)
但，依等量公理，方程式的兩端，的確可以同乘一個非零的數並保持相等，請問是為什麼呢?
隨著數學的發展，當然會有想將Z^n做定義的想法。該定義如下: (Z為非零複數，n為正整數)
1、當n=0，定義Z^0=1。
2、當n≥2，定義Z^n=Z^(n-1)*Z。
3、定義Z^(-n) = 1/(Z^n)
(BTW，指考這樣的出題方式不太適當吧...)
@@stepp.academy 謝謝老師，我明白了。
終於出了～謝謝老師我等了好久XD
歹勢~我也覺得自己搞了超級無敵久...Orz
@@stepp.academy 沒關係啦～老師辛苦了
感覺最後K是無理數？是嗎？如果是那如何證明？或有理數的無理數次方一定是無理數嗎？或是，或否，或2種可能都存在，如何證明，哎!抱歉!我剛吃飽。
10是有理數，log2是無理數，但10^log2=2是有理數，所以都有可能
想請問影片中 6:53 n√a^m = (n√a)^m 等號兩邊的數在計算上是否有先後順序？ 我的意思是 等號左邊部分 是先算a^m 再開n次方 ；而等號右邊則是 a先開n次方 再算其的m次方
有
請問為甚麼計算機可以按出(-1)^(1/3)的結果-1
這是一個好問題，老實說我不知道答案，不過我猜或許和 當n是奇數(1,3,5,...)時，x^n = -1(或其他負數)會存在一個負實根有關。所以你按(-1)^(1/3)、(-1)^(1/5)、(-1)^(1/7)...時，計算機都會show出答案，我猜它show的就是這個負實根。但是如果你按的不是(-1)^(1/n)，而是(-1)^(2/n)或(-1)^(3/n)等等，計算機就會顯示Math ERROR了。我想是它在做程式編寫時，對於1/n和非1/n的分數採用了不同的計算及判斷規則。如果你找到這個問題的正確答案的話，請再留言和我分享，感恩~~
@@stepp.academy 我猜想可能是為了滿足指數屬於所有有理數才規定 a大於0，如果把指數的範圍剔除掉分母是偶數的有理數，a就可以小於0了吧。
負1等於正1！
yep......you cannot be too careful when dealing with exponents.