안녕하세요? 이 영상을 예전에 보고, 이번에 또 봅니다. ^^ 제 영상에도 댓글을 남겨 주셔서 매우 감사하고... 사실은 저도 이 채널의 많은 영상을 보고 공부하고 있습니다. 덕분에 많은 도움이 되었는데, 혹시나 서울에 계시다면 한번 커피나 한잔 하면서 뵈면 좋겠다는 생각도 해 봅니다.^^
읽어보았는데, 제 지식 수준으로는 이해가 잘 안되네요 ㅠㅠ... 자연로그를 엄밀하게 정의하면 ∫1/z dz로 정의된다는 것은 맞다고 저도 들어본 적이 있었습니다. 그러니까, 자연로그의 정의가 ∫1/z dz라는 것을 생각해보면 제가 정리해놓은 것은 같은 말의 반복 혹은 같은 것을 다르게 표현 한 것이라고 볼 수 있겠네요. ky choi님께서 지적하시는 부분이 이 부분 일 것 같긴 한데... 그러니까 '증명'이라는 단어가 부적절하다는 의미로 지적하신 것으로 파악됩니다. 그래서 결론적으로 이 영상의 제목이 문제가 되는 것이라면 제목을 바꿔야겠습니다.
오일러 공식은 증명되는 것이 아닙니다. 자연상수에 대한 복소수 승수에 대한 정의에 불과합니다. 사칙연산과 테일러전개, 미분, 적분의 경우에 복소수 지수로 지수법칙을 확장하기 위해서는 자연상수의 지수승을 오일러공식과 같이 정의해야 기존 연산법칙들이 가능하다는 의미 이상이하가 아닙니다.
복소수인 1/z을 z에 대해서 적분한 결과를 ln(z)라고 도출했는데.. 실수가 아닌 복소수에서 그렇게 도출한 것 자체가 복소수의 자연로그값에 대한 정의에 불과한 것입니다. 복소수의 1/z적분이 실수 적분과 같이 ln(z)로 이루어진다는 아무런 사전 근거와 보장이 없습니다. 만약 실수와 같은 방식으로 ln으로 적분한다고 가정한 것이라면 그 가정 자체에 복소수의 자연로그 ln의 정의가 포함된 것일 뿐입니다. 따라서 복소수의 지수승에 대한 정의 역시 포함되는 것이고 오일러공식은 유도한 것이 아니라 정의된 것으로 보아야 마땅합니다.
안녕하세요. 답변이 매우 늦었습니다. 한동안 유튜브에 관심이 없었던지라... 양해 바랍니다. 자연로그의 정의가 ∫1/z dz라는 것을 생각해보면 제가 정리해놓은 것은 같은 말의 반복 혹은 같은 것을 다르게 표현 한 것이라고 볼 수 있겠네요. ky choi님께서 지적하시는 부분이 이 부분이 맞는지요...? 그러니까 '증명'이라는 단어가 부적절하다는 의미로 지적하신 것으로 파악됩니다.
1. 왜 x+iy=r*cos세타+i*r*sin세타가 되는가? x= r*cos세타 이고 y=r*sin세타 이기 때문이다. 2:35 2. y=cos세타 + i*sin세타 가 되는 이유는? 반지름=1일때, cos세타가 보이는 x 축값을 나타내고, sin세타가 안보이는 y 축값을 나타내기 때문이다. 3:00
단지 계산을 단순화 시키는게에요. r은 계산에 아무런 영향을 주지 않는 상수이고 그래서 그대로 놓아두어도 되지만 미리 없애버리는게 편하죠. 그대로 살려두면 x=rcos@, y=rsin@가 되는데 계산과정을 그대로 따라가다보면 r은 아무 의미 없다는걸 금방 아시게 될 겁니다.
@@user-sl7ld5zk7x 아니요 영상에서 z = cosθ + isinθ라 했고, z는 복소수이므로 z의 절댓값 |z|은 |cosθ + isinθ| 이라는거고 여기서 복소수의 절대값은 복소평면 상의 원점과 해당 복소수 좌표 간 거리이므로 |z|는 항상 √(cos²θ + sin²θ)=1입니다. 그래서 영상에서 써주는 절댓값 기호는 처음부터 안써줘도 된다는 의미였습니다. 단순한 허수 계산 제외하고 복소수의 절댓값하며 복소평면하며 실수 범위를 벗어나는 복소수 수학은 고등과정에서 안다뤄서 모르실 수도 있을겁니다.
@@RolonoaDZoro 고3인데요.. 절댓값 z가 항상 1이라는 것은 이해가 가는데 z는 -1인경우도 있는 것 아닌가요? 로그의 정의역은 양수인데 음의 값을 가지기도 하는 z를 절댓값 기호 없이 사용한다는 점이 이해가 안갑니다.. 조금만 더 자세히 설명해주실 수 있을까요..?
카... 나는 문과인데도 경제학을 전공했다보니... 공식이 이해가 되네. 너네들 수학 자신 없으면 경제학과는 지원하지 마라. 대학원 가려는 몇몇 경제학과 동기들은 4학년 1학기에 심지어 공대가서 미적분학 듣더라. 죄기랄... 참고로 경제학과 학생이 공대가서 미적분학 듣는다고 전공 인정 못받는다.. ㅡ,.ㅡ;;;; 전공 선택도 아니고 걍 일반교양 학점으로 인정 받는다. ㅡ,ㅡ.;;;; 경제학에서 미적분학이 얼마나 중요한데. 이 걸 왜 전공 선택도 아니고 걍 교양학점으로만 인정하는지... 하. 안타깝...
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안녕하세요? 이 영상을 예전에 보고, 이번에 또 봅니다. ^^
제 영상에도 댓글을 남겨 주셔서 매우 감사하고... 사실은 저도 이 채널의 많은 영상을 보고 공부하고 있습니다.
덕분에 많은 도움이 되었는데, 혹시나 서울에 계시다면 한번 커피나 한잔 하면서 뵈면 좋겠다는 생각도 해 봅니다.^^
너무 감사합니다 아름답게 납득했어요
수학유튜브 7년째인데 이런 댓글은 처음입니다. 감사합니다 👍
미분방정식을 하려면 꼭 공업수학을 배워야 하는건 아니구요..... 서점 가면 만화로된 미분방정식 책이 있습니다. 일본거 번역한건데. 고등학교에서 이과수학 좀 했다하는 정도면, 충분히 이해할 수 있습니다. 미분방정식이 그렇게 어려운 내용은 아니라....
chang young bong 그 이종필의 아주 특별한 상대성이론 강의랑 물리가 쉬워지는 수학인가? 암튼 그 교재 두개를 항상 별참하고 다닙니다 하지만 단점이라면 고등학생인 저는 입시준비를 하기 때문에 일일이 증명을 하면 다른 과목을 집중을 못하게 되더라고요
저는 지수 법칙을 통해서 오일러 공식을 접했는데 이런 방법도 있었네요 감사합니다
헐... 기하학적 증명법보다 미방접근법이 훨 깔끔하네요.
감사 감사!!!
질문이 있는데요, 복소 함수를 미분하기 위해서는 코시-리만 방정식을 사용해 미분 가능한지부터 조사해봐야 하는데 여기서는 코시-리만 방정식이 성립하는것인가요?
오 정말 차근차근 설명을 잘해주시네요~ 많은 정보 얻고 갑니다!
감사합니다 설명이 친절해서 이해가 쏙쏙되네요
강의 잘봤습니다^^
한가지 질문이 있는데요
증명과정의 마지막 적분부분에서 적분상수를 쎄타가 0이면 1이라고 처리해서 하셨는데 애초에 각 쎄타를 0으로 잡을수 있는 근거는 뭔가요??
물론 쎄타가 0이면 등식자체는 성립하긴합니다만...
0=
항등식 개념 같은데요
적분상수, 즉, 변수가 아니기 때문에 임의의 값을 대입해서 구할수 있어요
질문 있습니다.
∫1/zdz에서는 적분상수가 안 붙나요?
∫1/z dz, ∫i d(\theta)의 두 부정적분을 모두 계산해주면 양변에 모두 적분 상수가 붙게 되기 때문에 ... 두 적분 상수를 합쳐줘서 하나의 적분 상수로 표현하면 된다고 생각하여서 영상에서와 같이 적었습니다
AngeloYeo 생략한 과정이 있었군요.
감사합니다.
밑의 ky choi님의 지적은 어떻게 생각하시는지요.
읽어보았는데, 제 지식 수준으로는 이해가 잘 안되네요 ㅠㅠ... 자연로그를 엄밀하게 정의하면 ∫1/z dz로 정의된다는 것은 맞다고 저도 들어본 적이 있었습니다.
그러니까, 자연로그의 정의가 ∫1/z dz라는 것을 생각해보면 제가 정리해놓은 것은 같은 말의 반복 혹은 같은 것을 다르게 표현 한 것이라고 볼 수 있겠네요. ky choi님께서 지적하시는 부분이 이 부분 일 것 같긴 한데... 그러니까 '증명'이라는 단어가 부적절하다는 의미로 지적하신 것으로 파악됩니다.
그래서 결론적으로 이 영상의 제목이 문제가 되는 것이라면 제목을 바꿔야겠습니다.
그러니까 제 영상의 내용은 꼭 마치 힘, 질량, 가속도의 관계를 설명하면서 F=ma를 증명했다고 말하는 것과 같은 것이라는 비판을 해주신 것이겠지요.
오일러 공식은 증명되는 것이 아닙니다. 자연상수에 대한 복소수 승수에 대한 정의에 불과합니다. 사칙연산과 테일러전개, 미분, 적분의 경우에 복소수 지수로 지수법칙을 확장하기 위해서는 자연상수의 지수승을 오일러공식과 같이 정의해야 기존 연산법칙들이 가능하다는 의미 이상이하가 아닙니다.
달리말하면 복소수 자연로그값에 대한 정의 일수도 있습니다.
복소수인 1/z을 z에 대해서 적분한 결과를 ln(z)라고 도출했는데.. 실수가 아닌 복소수에서 그렇게 도출한 것 자체가 복소수의 자연로그값에 대한 정의에 불과한 것입니다. 복소수의 1/z적분이 실수 적분과 같이 ln(z)로 이루어진다는 아무런 사전 근거와 보장이 없습니다. 만약 실수와 같은 방식으로 ln으로 적분한다고 가정한 것이라면 그 가정 자체에 복소수의 자연로그 ln의 정의가 포함된 것일 뿐입니다. 따라서 복소수의 지수승에 대한 정의 역시 포함되는 것이고 오일러공식은 유도한 것이 아니라 정의된 것으로 보아야 마땅합니다.
ky choi lnz 분지절단이 어떻게 주어지냐에 따라 다르지 않을까요 ㅎㅎㅎ
안녕하세요. 답변이 매우 늦었습니다. 한동안 유튜브에 관심이 없었던지라... 양해 바랍니다.
자연로그의 정의가 ∫1/z dz라는 것을 생각해보면 제가 정리해놓은 것은 같은 말의 반복 혹은 같은 것을 다르게 표현 한 것이라고 볼 수 있겠네요. ky choi님께서 지적하시는 부분이 이 부분이 맞는지요...? 그러니까 '증명'이라는 단어가 부적절하다는 의미로 지적하신 것으로 파악됩니다.
수학전공이시죠?
재미있고 친질해요!
+이석현 재밌게보셨다니 다행입니다 ^^ ㅎ
1. 왜 x+iy=r*cos세타+i*r*sin세타가 되는가?
x= r*cos세타 이고 y=r*sin세타 이기 때문이다. 2:35
2. y=cos세타 + i*sin세타 가 되는 이유는?
반지름=1일때, cos세타가 보이는 x 축값을 나타내고, sin세타가 안보이는 y 축값을 나타내기
때문이다. 3:00
테일러 급수를 이용해서 배운 적이 있는데 이게 훨씬 간결하네요
안녕하세요. 저도 테일러 급수로 가장 먼저 오일러 공식을 접했는데, 이 방법도 괜찮은 유도방법인 것 같습니다 ㅎ
잘봤습니다
+이수용 댓글 감사합니다 :D
간결하네요!
네 ! 저도 테일러 급수를 이용한 증명보다 이쪽이 더 간결하다고 생각합니다 ㅎ
근데 여기 글 쓰고 그림 그리는 화이트보드 프로그램은 이름이 뭔가요???
안녕하세요. 아이캔노트 라는 무료프로그램입니다 ㅎㅎ
A_0이 세타가 0일때 1이 되는거면 세타가 0이 아닌경우에는 A_0이 1이 아니니까 e^i세타=cos세타+isin세타 가 성립안되지 않나요??
고딩 미적분 떼니까 이해되넴 ㅎㅎ 개꿀잼
고등학생 아래는 웁니다
복소수가 미분과 적분이된다는 전제를 미리설명해야 이해가 될듯합니다
마지막에 A_0이 항상 1이라고 생각해도 되는건가요?
안녕하세요. 네 맞습니다. 아래의 링크에 들어가보시면 식 (12) 부근부터 A_0가 1임을 증명하는 부분이 있으니 참고해보셔도 좋을것 같습니다.
angeloyeo.github.io/2020/09/22/Euler_Formula_Differential_Equation.html
@@AngeloYeo 감사합니다 !!
강의 잘 봤습니다 이해안되는 부분이 있는데요 왜 r이 1인 단위원인 경우를 생각해서 z=~라고 하는건가요??아무나 빨리 가르쳐주세용 ㅠㅠ
단지 계산을 단순화 시키는게에요. r은 계산에 아무런 영향을 주지 않는 상수이고 그래서 그대로 놓아두어도 되지만 미리 없애버리는게 편하죠. 그대로 살려두면 x=rcos@, y=rsin@가 되는데 계산과정을 그대로 따라가다보면 r은 아무 의미 없다는걸 금방 아시게 될 겁니다.
5분26초쯤에 위3줄은 이해했는데요, z값이 e의 i세타승이 아니라 1/e의 i세타승이 될수도있는거아닌가요? 역수치해서요..
상수 c에 의해서 다 커버 됩니다
프로그램 뭐 쓰시는 거예요?
프로그램은 iCanNote와 oCAM을 사용하고 있습니다~
♥
끝부분에서 z=e^iq .... 이와같이 e 가 왜 슬그머니 나오나요 ? 무슨 이유로 아무런 관계도 없어보이는 e 가 등장을 하네요. 몰라서 죄송합니다.
ln의 정의에여
1÷z 를 z 에 대해 적분하면 ln z 가 되기 때문에 ln을 풀면 e가 나옵니다
천재
썸네일이랑 결과로 나온 수식이 다른데 썸네일 수식은 어떻게 나오죠?
e^{i\theta}=cos\theta + i sin\theta 라고 했으니 e^{i \pi}=cos\pi + i sin\pi 입니다. 따라서 e^{i\pi}=-1이니 -1을 좌변으로 이항하면 e^{i\pi}+1=0이 됩니다.
5:30 절댓값 어디갔나요?
많이 늦긴 하지만
처음부터 절댓값 기호를 써줄 필요도 없습니다.
z = cosx + isinx인데
복소평면에서 단위원 모양이고
복소수의 절댓값(크기)는 복소평면의 원점과 복소수 좌표의 거리이므로 항상 1입니다.
그래서 굳이 ln|z|로 나타내지 않아도 됩니다.
@@RolonoaDZoro 고3인데 이해가 안가네요. z가 크기를 의미하나요?
@@user-sl7ld5zk7x
아니요
영상에서 z = cosθ + isinθ라 했고,
z는 복소수이므로
z의 절댓값 |z|은 |cosθ + isinθ| 이라는거고
여기서 복소수의 절대값은 복소평면 상의 원점과 해당 복소수 좌표 간 거리이므로
|z|는 항상 √(cos²θ + sin²θ)=1입니다.
그래서 영상에서 써주는 절댓값 기호는 처음부터 안써줘도 된다는 의미였습니다.
단순한 허수 계산 제외하고
복소수의 절댓값하며 복소평면하며
실수 범위를 벗어나는 복소수 수학은
고등과정에서 안다뤄서 모르실 수도 있을겁니다.
@@RolonoaDZoro 아 이해가 됐네요! 감사합니다
@@RolonoaDZoro 고3인데요.. 절댓값 z가 항상 1이라는 것은 이해가 가는데 z는 -1인경우도 있는 것 아닌가요? 로그의 정의역은 양수인데 음의 값을 가지기도 하는 z를 절댓값 기호 없이 사용한다는 점이 이해가 안갑니다.. 조금만 더 자세히 설명해주실 수 있을까요..?
아름 답네요. 햐... 수학 전공하는 사람들은 행복할 듯.
저도 처음 오일러 공식을 접했을 때는 정말 신기하고 재밌었습니다 ㅎㅎ 수학전공을 할껄 그랬나... 하는 생각도 해보기도 했지요 ㅎㅎ 댓글 감사드리고 좋은 하루 되세요!
카... 나는 문과인데도 경제학을 전공했다보니... 공식이 이해가 되네.
너네들 수학 자신 없으면 경제학과는 지원하지 마라.
대학원 가려는 몇몇 경제학과 동기들은 4학년 1학기에 심지어 공대가서 미적분학 듣더라.
죄기랄...
참고로 경제학과 학생이 공대가서 미적분학 듣는다고 전공 인정 못받는다.. ㅡ,.ㅡ;;;;
전공 선택도 아니고 걍 일반교양 학점으로 인정 받는다. ㅡ,ㅡ.;;;;
경제학에서 미적분학이 얼마나 중요한데. 이 걸 왜 전공 선택도 아니고 걍 교양학점으로만 인정하는지... 하. 안타깝...
이해안되는게 있는데요. 어떻게 1/-i 가 i가 되죠?
1/(-i)에서 분자 분모에 i를 곱해주면 i/(-i*i)=i/{(-1)*(-1)}=i 입니다
+AngeloYeo 헷갈렸네요! 감사합니다 너무 쉽고 재밌어요!
+AngeloYeo 혹시 더 영상을 안만드시나요? 만드신다면 로그의 의미에 대해 자세하게 알려주세요~!
로그요... 로그는 큰 숫자를 다루기 위해서 만들어진 개념인데... 시간되면 정리해서 영상 만들어보겠습니다 ! ^^
+AngeloYeo 감사합니다 수고하세요!
뭐로노 문과는 웁니다
+hoho haha 아... 미분방정식에 대해서 조금만 공부하게 되면 그다지 어려운 내용이 아닙니다 울지마세요 ㅎ
오일러의 다면체 정리도 ,,,,,
음 ㅠㅠ 제가 "그" 오일러 정리도 몇번 들어보긴 했지만 제가 공부하는 분야에서는 쓰이는것을 보지 못해서 깊게 공부해보질 못했습니다 ㅠ.ㅠ
왜 식이 x+iy가 되나요? ㅜㅜ
복소평면에서 x축은 실수, y축은 허수를 의미하기 때문입니다 😁
저는 고2 이고 수학을 좋아해서 영상을 봤는데 무리인가요?ㅋㅋ
테일러 급수는 해석학 배워야 알지 않나요??
과학고2학년이면 ㄱㅊ
저는 이제 고3되고 수학을 넘 좋아해서 봐요~ 수학좋아하신다면 간단한 미분방정식도 풀어보는 것도 강!추! 하네요/ ^ ^
이분 이제 대학1학년이시겠군여