Solche Aufgaben mache ich immer iterativ in einer Excel-Tabelle: bei diesem Beispiel habe ich hierfür Zelle A2 für die Eingabe des Gewichts des kleinen Sacks verwendet und in Zelle B2 die Formel "=(20-A2)*(81/A2-2)" zur Berechnung des Preises vom großen Sack (in Abhängigkeit vom Gewicht des kleinen Sacks) eingegeben. Und jetzt so lange Spalte A2 verändern (oder ggf. Zielwertsuche verwenden), bis man in Spalte B2 den Wert 248 bekommt. Das passiert dann bei einem Gewicht von 4,5 kg für den kleinen Sack. Danach halt den Rest ausrechnen...
Genau so geht's! Gratuliere ! Denken hilft. Und es braucht auch keine 2 Gleichungen, wenn man die "Preisgleichung" aufstellt: x sei der Preis der größeren Mengen, dann gilt: (248:x) + 81: (x+2) = 20. Bei lockerer Draufsicht auf das Problem lässt sich die Lösung dann erahnen.
Eine erste Abschätzung liefert den dreifachen Preis zu einem etwas geringeren Kilopreis, also ein Verhältnis von irgend etwas um 3:1 oder 15:5 kg. Sack 1 wiegt x kg zu y €/kg und kostet 248 €. Es ergibt sich ein Gewicht zu 248/y kg. Sack 2 wiegt (20-x) kg zu (y+2) €/kg und kostet 81 €. Es ergibt sich ein Gewicht zu -81/(y+2) + 20 kg. Wir können die Gleichungen für die jeweiligen Gewichte gleichsetzen: 248/y kg = -81/(y+2) + 20 kg Die Nenner werden durch Multiplikation heraus gekürzt 248y + 496 = -81y + 20(y(y+2)) und die Terme zusammen gefasst: 329y + 496 = 20y² + 40y -20y² + 289y + 496 = 0 Die quadratische Gleichung hat zwei Nullstellen, von denen im Sachzusammenhang nur y ≠ 0 oder genauer y > 0 Sinn ergeben kann. Es ergibt sich ein Kilopreis von y = 16 €/kg. Durch Einsetzen in Gleichung I kann nun der Inhalt von Sack 1 zu 15,5 kg und folglich der Inhalt von Sack 2 zu 20 kg -15,5 kg = 4,5 kg berechnet werden. Oder: Sack 1 wiegt x kg zu y €/kg und kostet 248 €. Es ergibt sich ein Kilopreis zu 248€/x kg. Sack 2 wiegt (20-x) kg zu (y+2) €/kg und kostet 81 €. Es ergibt sich ein Kilopreis zu 81€/(20-x) kg - 2 €/kg. Nun können analog die Kilopreise gleichgesetzt und direkt das Gewicht ausgerechnet werden. Da kommt aber dasselbe raus. 😂
Intuitiver scheint mir, nicht mit Euro pro kg anzusetzen, sondern mit kg pro Euro. Insgesamt sehr einfache Aufgabe. Da braucht man weder Schätzen, noch Excel Tabellen, noch mehrere Unbekannte: 248/x + 81/(x+2) = 20. Nach Lösen der quadratischen Gleichung ist x = 16 Euro/kg. Negative Lösung ungültig. Gewicht der Säcke ist dann natürlich 248/16 und 81/18 kg,
@@Mathegym Ich glaube hier liegt ein partielles Missverständnis vor. @martinfurtner2136 schreibt "intuitiver" und "sehr einfache Aufgabe". Er spricht nicht von "leichterer Rechnung". In der Tat habe ich auch intuitiv den o.g. Ansatz über den Preis gemacht, der zu einer fast vertrauten Gleichung führt: -20x^2+289x+496=0 und den Grundpreis 16€ ergibt. Aber die Preise waren nicht gefragt, und so ist für mich im Nachhinein die Lösung im Video die überlegtere Fassung. Denn die Berechnung der Mengen über den Preis entfällt ja
@martinfurtner2136 Es ist ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Auch bei Ihnen! Sie brauchen genauso viele Unbekannte wie Mathegym, Sie vermeiden nur das Anschreiben. Mathegym schreibt den Zusammenhang "Summe der Gewichte = 20" an, Sie verzichten auf explizite Formulierung der analogen Bedingung "Preis2 = Preis1 + 2€" und setzen diesen Zusammenhang gleich ein, da ergibt sich dann Ihre Gleichung mit einer Unbekannten. Das hätte Mathegym auch machen können, wäre aber kein guter Stil in einem Lernvideo.
@@Indus24 Als Lehrer/Dozent hat er nun mal die Aufgabe, es ausführlich aufzuschreiben und möglichst klar, jeden Schritt zu zeigen. Plausibilität anzeigen sieht nach deutlich mehr Arbeit aus.
Jeder der geübt ist in algebraischen Gleichungssystemen mit 2 Unbekannten LÖST DAS PROBLEM SPIELEND. WER DARIN NICHT GEÜBT IST, WIESO SOLL MAN DEM ODER DER DIE AUFGABE GEBEN?
Ich habs nach ein paar Minuten rausbekommen, aber tatsächlich nur durch probieren. Hab zwischen 12:8 und 16:4 rumprobiert, bis ich auf 15,5 : 4,5 kam. Ist zwar nicht die eleganteste Lösung, aber wie man es direkt ausrechnet, wie in dem Video hätte ich nicht gewusst. Da ich direkt ans Ende gesprungen bin, um die Lösung zu checken, seh ich jetzt auch nur die Rechnung an der Wand. Aber ehrlich gesagt muss ichs auch garnicht wissen.
Es ist doch wirklich weniger kompliziert, wenn man diesen umständlichen Term ( -2x^2 -289x + 4960 = 0) zu einem vertrauten (x^2 + 144,5 x - 2580 = 0) umformt. So kann man bequem die PQ Formel anwenden. Also ergibt sich: x = - 72,25 + Wurzel aus (5220,0625 + 2580 ) = 15,5. Warum denn immer umständlich, wenn es auch einfach geht!
Habe ich hier die Ironie übersehen? Wieso einen Rechenschritt und ein paar Divisionen mehr machen, folglich mit 4 Nachkommastellen rechnen und Tippfehler riskieren, wenn man die Zahlen so wie sie geliefert werden verwenden kann?
Let the €248 bag be x kg, and the €81 bag be (20 - x) kg. (248/x + 2)(20 - x) = 81 (248/x + 2)*20 - (248/x + 2)*x = 81 248*20/x + 2*20 - 248*x/x - 2*x = 81 4960/x + 40 - 248 - 2x = 81 4960/x - 289 - 2x = 0 4960 - 289x - 2x² = 0 4960 - 320x + 31x - 2x² = 0 160*(31 - 2x) + x*(31 - 2x) = 0 (160 + x)*(31 - 2x) = 0 (160 + x) = 0 OR (31 - 2x) = 0 x = -160 OR x = 15½ First solution is negative, which is not realistic. Hence, x = 15½ kg is the mass of the €248 bag, and (20 - x) = 4½ kg is the mass of the €81 bag. And the price per kg is €248/(15½) = €16 for the big bag, and €81/(4½) = €18 for the small bag. EDITED to correct the dollar ($) signs into euro (€) signs.
Solche Aufgaben mache ich immer iterativ in einer Excel-Tabelle: bei diesem Beispiel habe ich hierfür Zelle A2 für die Eingabe des Gewichts des kleinen Sacks verwendet und in Zelle B2 die Formel "=(20-A2)*(81/A2-2)" zur Berechnung des Preises vom großen Sack (in Abhängigkeit vom Gewicht des kleinen Sacks) eingegeben. Und jetzt so lange Spalte A2 verändern (oder ggf. Zielwertsuche verwenden), bis man in Spalte B2 den Wert 248 bekommt. Das passiert dann bei einem Gewicht von 4,5 kg für den kleinen Sack. Danach halt den Rest ausrechnen...
Ich habe mir die Zahlen als Produkte dargestellt:
248 = 8*31 und 81 = 9*9
8*31 = 16*15,5 und 9*9 = 18*4,5
16 und 18 haben 2 Unterschied
15,5 + 4,5 = 20
Passt sofort !
15,5 kg * 16 €/kg = 248 €
4,5 kg * 18 €/kg = 81 €
Genau so geht's! Gratuliere ! Denken hilft. Und es braucht auch keine 2 Gleichungen, wenn man die "Preisgleichung" aufstellt: x sei der Preis der größeren Mengen, dann gilt: (248:x) + 81: (x+2) = 20. Bei lockerer Draufsicht auf das Problem lässt sich die Lösung dann erahnen.
Eine erste Abschätzung liefert den dreifachen Preis zu einem etwas geringeren Kilopreis, also ein Verhältnis von irgend etwas um 3:1 oder 15:5 kg.
Sack 1 wiegt x kg zu y €/kg und kostet 248 €. Es ergibt sich ein Gewicht zu 248/y kg.
Sack 2 wiegt (20-x) kg zu (y+2) €/kg und kostet 81 €. Es ergibt sich ein Gewicht zu -81/(y+2) + 20 kg.
Wir können die Gleichungen für die jeweiligen Gewichte gleichsetzen:
248/y kg = -81/(y+2) + 20 kg
Die Nenner werden durch Multiplikation heraus gekürzt
248y + 496 = -81y + 20(y(y+2))
und die Terme zusammen gefasst:
329y + 496 = 20y² + 40y
-20y² + 289y + 496 = 0
Die quadratische Gleichung hat zwei Nullstellen, von denen im Sachzusammenhang nur y ≠ 0 oder genauer y > 0 Sinn ergeben kann.
Es ergibt sich ein Kilopreis von
y = 16 €/kg.
Durch Einsetzen in Gleichung I kann nun der Inhalt von Sack 1 zu 15,5 kg und folglich der Inhalt von Sack 2 zu 20 kg -15,5 kg = 4,5 kg berechnet werden.
Oder:
Sack 1 wiegt x kg zu y €/kg und kostet 248 €. Es ergibt sich ein Kilopreis zu 248€/x kg.
Sack 2 wiegt (20-x) kg zu (y+2) €/kg und kostet 81 €. Es ergibt sich ein Kilopreis zu 81€/(20-x) kg - 2 €/kg.
Nun können analog die Kilopreise gleichgesetzt und direkt das Gewicht ausgerechnet werden.
Da kommt aber dasselbe raus. 😂
Intuitiver scheint mir, nicht mit Euro pro kg anzusetzen, sondern mit kg pro Euro. Insgesamt sehr einfache Aufgabe. Da braucht man weder Schätzen, noch Excel Tabellen, noch mehrere Unbekannte:
248/x + 81/(x+2) = 20. Nach Lösen der quadratischen Gleichung ist x = 16 Euro/kg. Negative Lösung ungültig.
Gewicht der Säcke ist dann natürlich 248/16 und 81/18 kg,
Und was ist daran jetzt leichter als bei meiner Rechnung? Nur verdichtet geschrieben.
@@Mathegym Ich glaube hier liegt ein partielles Missverständnis vor. @martinfurtner2136 schreibt "intuitiver" und "sehr einfache Aufgabe". Er spricht nicht von "leichterer Rechnung".
In der Tat habe ich auch intuitiv den o.g. Ansatz über den Preis gemacht, der zu einer fast vertrauten Gleichung führt: -20x^2+289x+496=0 und den Grundpreis 16€ ergibt. Aber die Preise waren nicht gefragt, und so ist für mich im Nachhinein die Lösung im Video die überlegtere Fassung. Denn die Berechnung der Mengen über den Preis entfällt ja
@martinfurtner2136 Es ist ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Auch bei Ihnen! Sie brauchen genauso viele Unbekannte wie Mathegym, Sie vermeiden nur das Anschreiben. Mathegym schreibt den Zusammenhang "Summe der Gewichte = 20" an, Sie verzichten auf explizite Formulierung der analogen Bedingung "Preis2 = Preis1 + 2€" und setzen diesen Zusammenhang gleich ein, da ergibt sich dann Ihre Gleichung mit einer Unbekannten. Das hätte Mathegym auch machen können, wäre aber kein guter Stil in einem Lernvideo.
@@MathegymHaha! Nur verdichtet geschrieben = Zeit und Resourcen gespart!
@@Indus24 Als Lehrer/Dozent hat er nun mal die Aufgabe, es ausführlich aufzuschreiben und möglichst klar, jeden Schritt zu zeigen.
Plausibilität anzeigen sieht nach deutlich mehr Arbeit aus.
Habs mit Gleichungssystem und dann p-q-formel geloest.
Hab’s auch raus, jedoch hab ich eine Gleichung mit 4 unbekannten erstellt 😂 so ist es einfacher
Übern Daumen gepeilt: bißl mehr als 15kg und bißl weniger als 5kg.
Jeder der geübt ist in algebraischen Gleichungssystemen mit 2 Unbekannten LÖST DAS PROBLEM SPIELEND. WER DARIN NICHT GEÜBT IST, WIESO SOLL MAN DEM ODER DER DIE AUFGABE GEBEN?
Ich habs nach ein paar Minuten rausbekommen, aber tatsächlich nur durch probieren. Hab zwischen 12:8 und 16:4 rumprobiert, bis ich auf 15,5 : 4,5 kam. Ist zwar nicht die eleganteste Lösung, aber wie man es direkt ausrechnet, wie in dem Video hätte ich nicht gewusst. Da ich direkt ans Ende gesprungen bin, um die Lösung zu checken, seh ich jetzt auch nur die Rechnung an der Wand. Aber ehrlich gesagt muss ichs auch garnicht wissen.
Es ist doch wirklich weniger kompliziert, wenn man diesen umständlichen Term ( -2x^2 -289x + 4960 = 0) zu einem vertrauten (x^2 + 144,5 x - 2580 = 0) umformt. So kann man bequem die PQ Formel anwenden. Also ergibt sich: x = - 72,25 + Wurzel aus (5220,0625 + 2580 ) = 15,5. Warum denn immer umständlich, wenn es auch einfach geht!
Habe ich hier die Ironie übersehen? Wieso einen Rechenschritt und ein paar Divisionen mehr machen, folglich mit 4 Nachkommastellen rechnen und Tippfehler riskieren, wenn man die Zahlen so wie sie geliefert werden verwenden kann?
😊Geschafft Preis großer Sack ist 16 Euro pro Kilo und Gewicht ist15,5 kg
Lösung:
x[€/kg] = Preis pro Kilo im 1. Sack. Dann gilt die Gleichung:
248/x+81/(x+2) = 20 |*x*(x+2) ⟹
248*(x+2)+81x = 20*x*(x+2) ⟹
248x+496+81x = 20x²+40x ⟹
329x+496 = 20x²+40x |-329x-496 ⟹
20x²-289x-496 = 0 |/20 ⟹
x²-289/20*x-24,8 = 0 |p-q-Formel ⟹
x1/2 = 289/40±√[(289/40)²+24,8] = 7,225±8,775 ⟹
x1 = 7,225+8,775 = 16 und x2 = 7,225-8,775 < 0 [bei dieser Aufgabe ohne Belang] ⟹
Gewicht des 1.Sacks = 248[€]/16[€/kg] = 15,5[kg]
Gewicht des 2.Sacks = 20[kg]-15,5[kg] = 4,5[kg]
Bei mir schafften es IMMER ALLE
Also, ich hab 15,92 Kg und 4,08 Kg herausbekommen.
Liegt wohl an Rundungsfehlern…
Halt alle Infos verwursten und quadratische Gl. aufstellen
Let the €248 bag be x kg, and the €81 bag be (20 - x) kg.
(248/x + 2)(20 - x) = 81
(248/x + 2)*20 - (248/x + 2)*x = 81
248*20/x + 2*20 - 248*x/x - 2*x = 81
4960/x + 40 - 248 - 2x = 81
4960/x - 289 - 2x = 0
4960 - 289x - 2x² = 0
4960 - 320x + 31x - 2x² = 0
160*(31 - 2x) + x*(31 - 2x) = 0
(160 + x)*(31 - 2x) = 0
(160 + x) = 0 OR (31 - 2x) = 0
x = -160 OR x = 15½
First solution is negative, which is not realistic.
Hence,
x = 15½ kg is the mass of the €248 bag, and
(20 - x) = 4½ kg is the mass of the €81 bag.
And the price per kg is
€248/(15½) = €16 for the big bag, and
€81/(4½) = €18 for the small bag.
EDITED to correct the dollar ($) signs into euro (€) signs.