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最後の微分の導出のところで(log(y))'=y'/yを用いていますが、これはlog(x)=1/xを前提としているので、結局は循環論法になっているように感じました。
証明しようとしていることはlog(x)の微分ではなくaˣの微分だから別にいいんじゃないですか？🤔
「どうして〜なの？」という疑問の立て方は、why ではなく how の形式のことが多々あります。入門的内容、とくに TH-cam の解説動画に顕著です。この解説は現状の記述であり証明ではないので、何も問題はありません。
問題分の「α=-1のときだけ対数となる理由」の答えが示されていないように思います。高校の教科書を読んだ人の多くが潜在的に疑問に思ったであろう、「x^(-1)を積分したらゼロ乗（定数）になるんじゃないの？」という問いに対して、「x^(α+1)のαを-1にするんじゃなくて、「(x^(α+1))/(α+1)」のαを-1にするんですよ」というところがポイントであることがわかって、とても有意義な問題と思います。それでいて、上記の問いにはまだ答えられていないように思っています。極限を計算すればそうなるでしょ、ということではなく、何故それが対数なのか、など。
コメント有難うございます。確かにそこまで踏み込めばもっと良い内容になりますね。
@@マルチーズ先生のやさしい東大数 いいえ、「（必要なことを満たしたうえで、）もっと良くなる」のではなく、現状では問題文への解答として足りていないのではないか？と言っています。
確かに私も気にしたことがあります。y=x^(α+1))/(α+1)のαを変化させた時のグラフがあると分かりやすそうですね。
y＝x^(α+1)/(α+1)のグラフをxy平面上に図示すれば、もっと分かりやすかったかも。（αを連続的に変化させながら）
そうですね。そのグラフを示した方が分かりやすかったですね。
x=0は明らかに不適とはいえ、x>0の場合しか考慮してないですがx
論理の循環に対する指摘が多いですが、動画の趣旨としてはこれで良いと思います。そもそも動画の本質は、「α=-1だけ特別な理由」であって、「α=-1の時の証明」ではないと思います。後者は誰でも導けるので。前者に対する回答として、「α=-1の時が特別なのではなく、連続的に変化していて、決して孤立した結果ではない」という回答を与えているに過ぎないと思うからです。
結局、通常の公式を使うと分母が0になる。そこで、対応する微分を考えると自然対数が出てくるってことなんですよね
対数になる理由ではなくて、αに関する極限と積分が交換できますという話ですね。
・不定積分を定積分に置き換えて計算していますが、なぜそれで良いのでしょうか（積分区間を作為的に1～xとしているのも気になります）・積分区間と積分する変数がどちらもxというのは正しいのでしょうか。被積分関数は別の文字にしないといけない気がします
定義上誤りではないので、誤解のない限り大丈夫かと
不定積分を勝手に定積分に置き換えるのは厳密には駄目かも知れませんが、高校範囲ならセーフなのではないでしょうか？不定積分とは「微分して被積分関数になる関数を求める」もので、上端が変数(1)かつ下端が定数のとき被積分関数の変数(2)に変数(1)を代入することで求めたい関数が求まります。積分区間を1〜xにしているのは0
1点目の疑問について。サイエンス社出版の笠原晧司著「微分積分学」によると、区間Iで定義された可積分関数f(x)の不定積分F(x)は、a∈Iなる任意の値を用いてF(x)=∫aからx f(t)dtで定義される、と書かれています。※リーマン積分により定積分を定義した上で、微積分学の基本定理を使用せずに定義しています。したがって動画内の不定積分の書き換えは単に定義に基づいて積分を書き換えただけですので、数学的に問題ありません。下端の値は不定積分の定義上、定義域に属していれば任意ですので、計算しやすい1を採用しても問題ありません。なお、不定積分の定義上、下端のaの値に応じて得られるF(x)の値が定数だけずれますが、それはいわゆる積分定数として処理されるものなので、aが1でも2でもeでも、被積分関数の定義域に属していれば良いです。
・1つ目の疑問について不定積分は定積分を計算するための道具です。不定積分の正確な定義として積分区間の上端が x で与えられる定積分として定義されます。下端は定数なら何でもよいので下端の選び方によって不定積分も無数に定義できます。本質的には定数分のずれしかないので結果に影響しません。議論する対象をひとつに固定するために動画内では下端を 1 に固定しています。・2つ目の疑問についてご指摘の通り正しくありません。既出の変数や定数と同じ文字を積分変数に使うことはできません。複雑な関数になると積分区間と被積分関数の両方に x が登場する場合もあります。(x - t) を 0 から x まで t で積分、といったように。その点だけ動画の表記は不正確です。まあ、意味は何となくわかりますが。
あ～これ知りたかったこと！今まで上手く説明できなかったのです。なるほど～そんな考えた方もあるということですね。参考にします😊
コメント有難うございます。参考にしてください！
積分は微分の逆操作だから、d/dx(logx)=1/xが示せるのであれば、必要十分ではないか？
堂々巡りしてませんか？
それはそうなんだけど指数が-1の時が他と比べて明らかに特別なのではなく、実は繋がってるんだよ〜 ということを伝えたいのならこれでもいいんじゃない？
結局、（高校数学では）積分は微分の逆ってだけ？
はぇ～🤔
抑も定義から出発し且つ妥当性を担保されてる議論としてあまりにも不親切。後味の悪さは疑問がかえって増えただけということは否めない。
最後の微分の導出のところで(log(y))'=y'/yを用いていますが、これはlog(x)=1/xを前提としているので、結局は循環論法になっているように感じました。
証明しようとしていることはlog(x)の微分ではなくaˣの微分だから別にいいんじゃないですか？🤔
「どうして〜なの？」という疑問の立て方は、why ではなく how の形式のことが多々あります。
入門的内容、とくに TH-cam の解説動画に顕著です。
この解説は現状の記述であり証明ではないので、何も問題はありません。
問題分の「α=-1のときだけ対数となる理由」の答えが示されていないように思います。
高校の教科書を読んだ人の多くが潜在的に疑問に思ったであろう、「x^(-1)を積分したらゼロ乗（定数）になるんじゃないの？」という問いに対して、
「x^(α+1)のαを-1にするんじゃなくて、「(x^(α+1))/(α+1)」のαを-1にするんですよ」というところがポイントであることがわかって、とても有意義な問題と思います。
それでいて、上記の問いにはまだ答えられていないように思っています。極限を計算すればそうなるでしょ、ということではなく、何故それが対数なのか、など。
コメント有難うございます。確かにそこまで踏み込めばもっと良い内容になりますね。
@@マルチーズ先生のやさしい東大数 いいえ、「（必要なことを満たしたうえで、）もっと良くなる」のではなく、現状では問題文への解答として足りていないのではないか？と言っています。
確かに私も気にしたことがあります。
y=x^(α+1))/(α+1)のαを変化させた時のグラフがあると分かりやすそうですね。
y＝x^(α+1)/(α+1)のグラフをxy平面上に図示すれば、もっと分かりやすかったかも。
（αを連続的に変化させながら）
そうですね。そのグラフを示した方が分かりやすかったですね。
x=0は明らかに不適とはいえ、x>0の場合しか考慮してないですがx
論理の循環に対する指摘が多いですが、動画の趣旨としてはこれで良いと思います。
そもそも動画の本質は、「α=-1だけ特別な理由」であって、「α=-1の時の証明」ではないと思います。後者は誰でも導けるので。
前者に対する回答として、「α=-1の時が特別なのではなく、連続的に変化していて、決して孤立した結果ではない」という回答を与えているに過ぎないと思うからです。
結局、通常の公式を使うと分母が0になる。そこで、対応する微分を考えると自然対数が出てくるってことなんですよね
対数になる理由ではなくて、αに関する極限と積分が交換できますという話ですね。
・不定積分を定積分に置き換えて計算していますが、なぜそれで良いのでしょうか（積分区間を作為的に1～xとしているのも気になります）
・積分区間と積分する変数がどちらもxというのは正しいのでしょうか。被積分関数は別の文字にしないといけない気がします
定義上誤りではないので、誤解のない限り大丈夫かと
不定積分を勝手に定積分に置き換えるのは厳密には駄目かも知れませんが、高校範囲ならセーフなのではないでしょうか？不定積分とは「微分して被積分関数になる関数を求める」もので、上端が変数(1)かつ下端が定数のとき被積分関数の変数(2)に変数(1)を代入することで求めたい関数が求まります。積分区間を1〜xにしているのは0
1点目の疑問について。
サイエンス社出版の笠原晧司著「微分積分学」によると、区間Iで定義された可積分関数f(x)の不定積分F(x)は、a∈Iなる任意の値を用いてF(x)=∫aからx f(t)dtで定義される、と書かれています。
※リーマン積分により定積分を定義した上で、微積分学の基本定理を使用せずに定義しています。
したがって動画内の不定積分の書き換えは単に定義に基づいて積分を書き換えただけですので、数学的に問題ありません。
下端の値は不定積分の定義上、定義域に属していれば任意ですので、計算しやすい1を採用しても問題ありません。
なお、不定積分の定義上、下端のaの値に応じて得られるF(x)の値が定数だけずれますが、それはいわゆる積分定数として処理されるものなので、aが1でも2でもeでも、被積分関数の定義域に属していれば良いです。
・1つ目の疑問について
不定積分は定積分を計算するための道具です。
不定積分の正確な定義として積分区間の上端が x で
与えられる定積分として定義されます。
下端は定数なら何でもよいので下端の選び方によって
不定積分も無数に定義できます。本質的には定数分の
ずれしかないので結果に影響しません。
議論する対象をひとつに固定するために動画内では
下端を 1 に固定しています。
・2つ目の疑問について
ご指摘の通り正しくありません。既出の変数や定数と同じ文字を
積分変数に使うことはできません。複雑な関数になると
積分区間と被積分関数の両方に x が登場する場合もあります。
(x - t) を 0 から x まで t で積分、といったように。
その点だけ動画の表記は不正確です。まあ、意味は何となくわかりますが。
あ～これ知りたかったこと！
今まで上手く説明できなかったのです。
なるほど～そんな考えた方もあるということですね。
参考にします😊
コメント有難うございます。参考にしてください！
積分は微分の逆操作だから、d/dx(logx)=1/xが示せるのであれば、必要十分ではないか？
堂々巡りしてませんか？
それはそうなんだけど
指数が-1の時が他と比べて明らかに特別なのではなく、実は繋がってるんだよ〜 ということを伝えたいのならこれでもいいんじゃない？
結局、（高校数学では）積分は微分の逆ってだけ？
はぇ～🤔
抑も定義から出発し且つ妥当性を担保されてる議論としてあまりにも不親切。
後味の悪さは疑問がかえって増えただけということは否めない。