Núcleo de T: (x - z, y, - y) = (0,0,0), logo: x - z = 0 y = 0 - y = 0, cuja solução é y = 0 e x = z. Arbitrando x = t, t ∈ ℝ, temos que ker(T) = {(x,y,z) ∈ ℝ³ tal que x = t, y = 0, z = t, t ∈ ℝ} Como ker(T) é gerado por (1,0,1), uma vez que (t,0,t) = t(1,0,1), e {(1,0,1)} é LI, temos que B1 = {(1,0,1)} é base de ker(T) e dim ker(T) = 1. Imagem de T: (x - z, y, - y) = x(1,0,0) + y(0,1,-1) + z(-1,0,0), portanto Im(T) = [(1,0,0),(0,1,-1),(-1,0,0)], porém esse conjunto é LD, portanto não é base. Isso pode ser identificado pois (-1,0,0) = -(1,0,0) portanto são múltiplos. Ao excluir um deles, (-1,0,0) por exemplo, obtemos um conjunto LI: a(1,0,0) + b(0,1,-1) = (0,0,0) (a, b, - b) = (0,0,0), da qual resulta imediatamente que a = b = 0. Dessa forma B2 = {(1,0,0),(0,1,-1)} é base de Im(T) e dim Im(T) = 2.
Boa explicacão professor! Mto bom 👏 poderia pensar assim, como vc fez ker(T) = [(0,1,1)] e do teorema do núcleo imagem concluímos que Im(T) = 2. Logo, tome a base de IR3 {(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0)} que claramente é LI e obter T(1,0,0)=(-1,1,0) e T(0,1,0)=(0,0,1) que são LI e, portanto, base de Im(T), ou seja, Im(T)=[(-1,1,0),(0,0,1)]
De certo, esta é outra forma de fazer. No caso da resolução da videoaula eu não uso o Teorema do Núcleo e da Imagem pois neste ponto do curso eu ainda não falei desse teorema.
Tanto a transformação discutida na videoaula quanto a transformação deixada como exercício no final, não são injetoras (já que em ambos os casos o núcleo não foi composto apenas pelo vetor nulo).
Uma coisa é a dimensão do contradomínio ℝ³ (que é 3) e outra coisa é a dimensão da imagem de T (que será no máximo 3). Lembre-se que a imagem é um subconjunto do contradomínio. No caso desse exercício, a dimensão da imagem de T é 2. Sendo assim, uma base para essa imagem terá 2 vetores.
Sim, essa é uma base possível para Im(T). No gabarito dessa videoaula (na descrição do vídeo) eu coloquei a base B = {(0, 1, -1), (1, 0, 0)} para Im(T).
Para achar o núcleo você precisa resolver a equação: T(x, y, z) = (0, 0, 0) Ou seja, temos que : (x + y + z, x - y + z, x + y - z) = (0, 0, 0) A partir dessa equação montamos o sistema: x + y + z = 0 x - y + z = 0 x + y - z = 0 Agora tente resolver esse sistema! Se você ficar com dúvida, comente aqui. A resposta final vai ficar: N(T) = {(0, 0, 0)}.
Núcleo de T:
(x - z, y, - y) = (0,0,0), logo:
x - z = 0
y = 0
- y = 0, cuja solução é y = 0 e x = z.
Arbitrando x = t, t ∈ ℝ, temos que ker(T) = {(x,y,z) ∈ ℝ³ tal que x = t, y = 0, z = t, t ∈ ℝ}
Como ker(T) é gerado por (1,0,1), uma vez que (t,0,t) = t(1,0,1), e {(1,0,1)} é LI, temos que B1 = {(1,0,1)} é base de ker(T) e dim ker(T) = 1.
Imagem de T:
(x - z, y, - y) = x(1,0,0) + y(0,1,-1) + z(-1,0,0), portanto Im(T) = [(1,0,0),(0,1,-1),(-1,0,0)], porém esse conjunto é LD, portanto não é base. Isso pode ser identificado pois (-1,0,0) = -(1,0,0) portanto são múltiplos. Ao excluir um deles, (-1,0,0) por exemplo, obtemos um conjunto LI:
a(1,0,0) + b(0,1,-1) = (0,0,0)
(a, b, - b) = (0,0,0), da qual resulta imediatamente que a = b = 0.
Dessa forma B2 = {(1,0,0),(0,1,-1)} é base de Im(T) e dim Im(T) = 2.
Está correto. Muito bem! 🤩
Obrigado pelas aulas professor, fiz um PIX.
Obrigado pela ajuda! 😍
Aula maravilhosa Aquino 🙏
EXCELENTE AULA!!!
Obrigado, Yago! :)
Álgebra Linear é top...parabéns professor pela aula! Obrigado pela aula!
Prof. Ricardo, Álgebra Linear é top mesmo! :)
Parabéns
Obrigado! 😃
suas aulas me salvaram mt obrigado (so foi dificil nas primeiras aulas)
Que bom que salvaram!
Você é top! Aula muito boaa!!!
Obrigado! 😃
Boa explicacão professor! Mto bom 👏 poderia pensar assim, como vc fez ker(T) = [(0,1,1)] e do teorema do núcleo imagem concluímos que Im(T) = 2. Logo, tome a base de IR3 {(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0)} que claramente é LI e obter T(1,0,0)=(-1,1,0) e T(0,1,0)=(0,0,1) que são LI e, portanto, base de Im(T), ou seja, Im(T)=[(-1,1,0),(0,0,1)]
De certo, esta é outra forma de fazer. No caso da resolução da videoaula eu não uso o Teorema do Núcleo e da Imagem pois neste ponto do curso eu ainda não falei desse teorema.
Como classifica sobre a injetividade desta questão?
Tanto a transformação discutida na videoaula quanto a transformação deixada como exercício no final, não são injetoras (já que em ambos os casos o núcleo não foi composto apenas pelo vetor nulo).
A imagem não deveria ter uma base com 3 vetores já que o contradomínio é R³ ? Não poderia adicionar um terceiro vetor da base canônica?
Uma coisa é a dimensão do contradomínio ℝ³ (que é 3) e outra coisa é a dimensão da imagem de T (que será no máximo 3). Lembre-se que a imagem é um subconjunto do contradomínio. No caso desse exercício, a dimensão da imagem de T é 2. Sendo assim, uma base para essa imagem terá 2 vetores.
@@LCMAquino obrigado!
Base para Im(T) que eu achei foi { (-1,0,0) , (0,1,-1) }
Sim, essa é uma base possível para Im(T). No gabarito dessa videoaula (na descrição do vídeo) eu coloquei a base B = {(0, 1, -1), (1, 0, 0)} para Im(T).
e se T: R³ --> R³, T(x,y,z) = (x + y + z, x - y + z, x + y - z) , qual seria o Nucleo ?
Para achar o núcleo você precisa resolver a equação:
T(x, y, z) = (0, 0, 0)
Ou seja, temos que :
(x + y + z, x - y + z, x + y - z) = (0, 0, 0)
A partir dessa equação montamos o sistema:
x + y + z = 0
x - y + z = 0
x + y - z = 0
Agora tente resolver esse sistema! Se você ficar com dúvida, comente aqui. A resposta final vai ficar: N(T) = {(0, 0, 0)}.