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實在有趣，原來1/2階層是有定義有答案的。這個數學講解我聽得懂
（1/2）！要轉換為極座標下去積分，比較好算！
很簡單就是階乘的重新定義，或擴展！
數學家到底都在想什麼？連個階乘都會跟e有關...然後兩隻筆咻來咻去，積分微分弄一弄就冒出了個π，真神奇（無惡意，純粹讚嘆與不解）
感謝老師詳細的解說。只是我真的鴨子聽雷，聽無。我學數學有限，伽瑪函數，大兀函數第一次聽到。長知識了謝謝！謝謝！
經典的階乘問題
笑死，少尾巴
@@Tim78763 笑死
有階乘就有半階乘跟琶乘
老師請問:「 二分之一階乘」有沒有違背階乘的定義啊?
其实在做解析延拓啦
曹老師 曹老師 我愛你！
曹老師也是我的菜🤩
身為暑假後要去讀統計所的我看到這個就馬上想到gamma
最后一句话，不严谨：0！=1 是人为定义的。我说不严谨的理由是：x!，从(0，+∞)，是递增函数。如果是[0，+∞)，就是0！是特例。
Wait, so you had a Chinese channel all these time ??!!
Yes lol
階乘的正實數最小值是多少？怎麼算？我用程式逼近的結果為，0.4616到0.4618之間，如何求解析解？
我只知道要先求導數，但我不知道階乘的導數怎麼求。
Heyyyy Toby, 好久不見！
@@bprptw 好久不見～
Γ’(x)=Γ(x)ψ(x) 其中 ψ 是 digamma function, 就是Γ 函數取log 再微分Gamma 函數沒有零根，所以局部最小值一定在ψ 的零點但這些零點長得很醜只能數值解 見例如維基百科
老师红蓝笔切换好丝滑
感覺是一個搬石頭砸腳的問題呢
曹老师有兴趣录制解释里面一些常用的数值的影片吗？比如那个-∞∫∞（e^-x2）dx为什么等于Π^(1/2)？每次感觉好像懂了，但看到这些直接拿来的数值就感觉有点不踏实
我有部舊影片 th-cam.com/video/QdYsbx0SVKA/w-d-xo.html
所以伽马函数为什么要定义n！=G（n+1）？
因為歐拉在嘗試用gamma函數來表達beta函數時發現這樣定義gamma函數會比較簡潔
好厉害
在交易的世界裡 0.886也是一種常用的黃金比例
其實只是差不多而已，你說的那個應該是黃金比例開四次方根，而這裡的是π^2/16
@@美乃滋是不是一種-b5h 0.5次方
原來老師的聲音是這樣😂在Instagram上面刷到的影片都沒說話🤣
感覺要大學有修過這方面才能看得懂一點，解釋給高中的人看要從頭講符號又太花時間
多久沒刮鬍子了？🧔♂
一个gamma function养活了许多数学youtuber😂
從整數延拓到分數，失去直觀的意義，有什麼應用的價值嗎？
你有沒有想過分數次的微分或積分也可以定義？x^3 2次微分是6x，3/2次微分是什麼？gamma函數在這裡可以用到。
wow，原来老师也有汉语的频道 。
階乘的定義是什麼先講清楚啦！
老师要怎么解决我对微积分的恐惧😢
老師可以介少Bessel function 嗎貝索😂
想請問廣義階乘有什麼時候會使用到嗎
Gamma函數在統計物理裡面很常用
實數次微積分的計算
正态分布的一半。
π=4，（1/2）！=1🤣
手里是啥哦
我竟然看完了…
果然听你说中文比英文容易懂多了😂😂
你沒解釋為什麼要用這兩種函數...也沒解釋為什麼這兩種函數長這樣...
阿函數的定義就長這樣啊，你不會問為什麼正弦是對邊除斜邊吧
1. 為什麼選這兩個函數？因為他們都可以是階乘函數在複平面上的解析研拓函數。2. 為什麼這兩種函數長這樣？階乘函數也是有其他樣子的解析研拓函數，但是複數解析研拓有個很重要的性質就是零點以外會一樣，就算函數看起來完全不一樣，這時候看起最漂亮的函數的就會留下來。
他的問題很好，就像正弦如果只是對邊除斜邊的話，請問為什麼 sin(a+bi) = sin(a + 2*\pi + bi)，這裡 i 是複數的 i, a, b 屬於實數, \pi 是圓周率。
@@cuptea859 这2个函数把n代在里面就是階乘
@@cuptea859 因为加了2pi不会影响值，在複变里加2pi很重要，你学到的时候就懂了
不知道您还说中文？！
sqr(pi)/2
那麼, 最小的階乘值x!是多少?當x=?時?
大二的工程數學（物理數學）就可明白！
負數的階乘呢？
負數沒有階乘
@@小衫-n2q有 不過就是解析延拓了
@@小衫-n2q錯，是負整數沒有階乘
@@cyka._.39 對，謝謝補充
甚麼沒有沒有就自己定義一個出來
is he chinese or japanese ?
Taiwanese
He has an English channel @blackpenredpen
什麼鬼又積分又微分的
祝福你以後的人生被微積分絆倒❤️
完全不懂
从定义看，(1／2)！就没有意义
胡說八道！連階乘的基本數學概念都沒搞清楚，就瞎說。階乘的定義域就是自然數（正整數），無法適用於一般有理數。
你冷靜一點。先去買杯可不可還是龜記喝一下。我也要一杯，順便幫我買份雞排。謝謝。 然後再看看這部影片 th-cam.com/video/L4Trz6pFut4/w-d-xo.htmlsi=N8aOKINxtQoRWmB2
@@bprptw 蠢蛋，Pi函數和Gamma函數只是應用差值而已，只是人為虛構編造出來的函數，用來擬合離散階乘數的遞歸性，其計算結果根本就不是真正的階乘。
@@bprptw 我比較好奇的是，討論分數階乘時，為何先考慮的是它的答案，而不是定義？延展沒問題，它在現實所表示的意義或是算式是甚麼呢？
原始階乘在坐標軸上非連續函數，非正整數階乘只是人用展延的方式得到的連續函數，而正整數階乘值的點恰好落在這條函數的線上，所以才能推導出非正整數階乘的值，但這些值在現實中沒有形，無法透過算式計算得到這些值。數學很多值在現實中都是無意義或是錯誤的，之所以好用因為人類只需要近似值，拿真實世界來說，你不可能得到3.14量子這種周長，構成物質能量最小單位就是一個量子。
@@maniacklk8708 你冷靜下來了沒?
實在有趣，原來1/2階層是有定義有答案的。這個數學講解我聽得懂
（1/2）！要轉換為極座標下去積分，比較好算！
很簡單就是階乘的重新定義，
或擴展！
數學家到底都在想什麼？連個階乘都會跟e有關...然後兩隻筆咻來咻去，積分微分弄一弄就冒出了個π，真神奇
（無惡意，純粹讚嘆與不解）
感謝老師詳細的解說。
只是我真的鴨子聽雷，聽無。
我學數學有限，伽瑪函數，大兀函數第一次聽到。
長知識了
謝謝！
謝謝！
經典的階乘問題
笑死，少尾巴
@@Tim78763 笑死
有階乘就有半階乘跟琶乘
老師請問:「 二分之一階乘」有沒有違背階乘的定義啊?
其实在做解析延拓啦
曹老師 曹老師 我愛你！
曹老師也是我的菜🤩
身為暑假後要去讀統計所的我看到這個就馬上想到gamma
最后一句话，不严谨：
0！=1 是人为定义的。
我说不严谨的理由是：x!，从(0，+∞)，是递增函数。如果是[0，+∞)，就是0！是特例。
Wait, so you had a Chinese channel all these time ??!!
Yes lol
階乘的正實數最小值是多少？怎麼算？
我用程式逼近的結果為，
0.4616到0.4618之間，
如何求解析解？
我只知道要先求導數，
但我不知道階乘的導數怎麼求。
Heyyyy Toby, 好久不見！
@@bprptw 好久不見～
Γ’(x)=Γ(x)ψ(x) 其中 ψ 是 digamma function, 就是Γ 函數取log 再微分
Gamma 函數沒有零根，所以局部最小值一定在ψ 的零點
但這些零點長得很醜只能數值解 見例如維基百科
老师红蓝笔切换好丝滑
感覺是一個搬石頭砸腳的問題呢
曹老师有兴趣录制解释里面一些常用的数值的影片吗？比如那个-∞∫∞（e^-x2）dx为什么等于Π^(1/2)？每次感觉好像懂了，但看到这些直接拿来的数值就感觉有点不踏实
我有部舊影片 th-cam.com/video/QdYsbx0SVKA/w-d-xo.html
所以伽马函数为什么要定义n！=G（n+1）？
因為歐拉在嘗試用gamma函數來表達beta函數時發現這樣定義gamma函數會比較簡潔
好厉害
在交易的世界裡 0.886也是一種常用的黃金比例
其實只是差不多而已，你說的那個應該是黃金比例開四次方根，而這裡的是π^2/16
@@美乃滋是不是一種-b5h 0.5次方
原來老師的聲音是這樣😂
在Instagram上面刷到的影片都沒說話🤣
感覺要大學有修過這方面才能看得懂一點，解釋給高中的人看要從頭講符號又太花時間
多久沒刮鬍子了？🧔♂
一个gamma function养活了许多数学youtuber😂
從整數延拓到分數，失去直觀的意義，有什麼應用的價值嗎？
你有沒有想過分數次的微分或積分也可以定義？x^3 2次微分是6x，3/2次微分是什麼？gamma函數在這裡可以用到。
wow，原来老师也有汉语的频道 。
階乘的定義是什麼先講清楚啦！
老师要怎么解决我对微积分的恐惧😢
老師可以介少Bessel function 嗎貝索😂
想請問廣義階乘有什麼時候會使用到嗎
Gamma函數在統計物理裡面很常用
實數次微積分的計算
正态分布的一半。
π=4，（1/2）！=1🤣
手里是啥哦
我竟然看完了…
果然听你说中文比英文容易懂多了😂😂
你沒解釋為什麼要用這兩種函數...也沒解釋為什麼這兩種函數長這樣...
阿函數的定義就長這樣啊，你不會問為什麼正弦是對邊除斜邊吧
1. 為什麼選這兩個函數？
因為他們都可以是階乘函數在複平面上的解析研拓函數。
2. 為什麼這兩種函數長這樣？
階乘函數也是有其他樣子的解析研拓函數，但是複數解析研拓有個很重要的性質就是零點以外會一樣，就算函數看起來完全不一樣，這時候看起最漂亮的函數的就會留下來。
他的問題很好，就像正弦如果只是對邊除斜邊的話，請問為什麼 sin(a+bi) = sin(a + 2*\pi + bi)，這裡 i 是複數的 i, a, b 屬於實數, \pi 是圓周率。
@@cuptea859 这2个函数把n代在里面就是階乘
@@cuptea859 因为加了2pi不会影响值，在複变里加2pi很重要，你学到的时候就懂了
不知道您还说中文？！
sqr(pi)/2
那麼, 最小的階乘值x!是多少?當x=?時?
大二的工程數學（物理數學）就可明白！
負數的階乘呢？
負數沒有階乘
@@小衫-n2q有 不過就是解析延拓了
@@小衫-n2q錯，是負整數沒有階乘
@@cyka._.39 對，謝謝補充
甚麼沒有
沒有就自己定義一個出來
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He has an English channel @blackpenredpen
什麼鬼又積分又微分的
祝福你以後的人生被微積分絆倒❤️
完全不懂
从定义看，(1／2)！就没有意义
胡說八道！連階乘的基本數學概念都沒搞清楚，就瞎說。
階乘的定義域就是自然數（正整數），無法適用於一般有理數。
你冷靜一點。先去買杯可不可還是龜記喝一下。我也要一杯，順便幫我買份雞排。謝謝。 然後再看看這部影片 th-cam.com/video/L4Trz6pFut4/w-d-xo.htmlsi=N8aOKINxtQoRWmB2
@@bprptw 蠢蛋，Pi函數和Gamma函數只是應用差值而已，只是人為虛構編造出來的函數，用來擬合離散階乘數的遞歸性，其計算結果根本就不是真正的階乘。
@@bprptw 我比較好奇的是，討論分數階乘時，為何先考慮的是它的答案，而不是定義？
延展沒問題，它在現實所表示的意義或是算式是甚麼呢？
原始階乘在坐標軸上非連續函數，非正整數階乘只是人用展延的方式得到的連續函數，而正整數階乘值的點恰好落在這條函數的線上，所以才能推導出非正整數階乘的值，但這些值在現實中沒有形，無法透過算式計算得到這些值。
數學很多值在現實中都是無意義或是錯誤的，之所以好用因為人類只需要近似值，拿真實世界來說，你不可能得到3.14量子這種周長，構成物質能量最小單位就是一個量子。
@@maniacklk8708 你冷靜下來了沒?