DANKE! Ich bin schon so lange aus der Schule raus und hab schon viel vergessen. Du hast wunderbar logisch erklÃĪrt, was man nicht machen darf. ðð
Gut erklÃĪrt. Allerdings ist es - wenn man es genau nimmt - vÃķllig falsch zu behaupten, dass jede Zahl geteilt durch sich selbst immer 1 ergibt. Korrekt muss es heiÃen, jede Zahl ungleich 0 geteilt durch sich selbst ergibt 1. 0 geteilt durch 0 ist ja ebenfalls nicht definiert.
Schreibweisen Multiplikationszeichen: ⧠Bruch: frac(ZÃĪhler)(Nenner) Potenz: Basis^(Exponent) Bei der dritten Regel ist die einzige Ausnahme, die es gibt, leider nicht erwÃĪhnt worden. Dabei lÃĪsst sie sich leicht ableiten, wenn das, was in der zweiten Regel gesagt wurde (teilen durch Null ist unzulÃĪssig) auf das, was in der dritten Regel erklÃĪrt wird, angewendet wird. In der dritten Regel gibt es die folgende Ableitung: frac(a^(n))(a^(n)) = a^(n - n) = a^(0) Nun setzen wir fÞr die Variable a die Zahl Null (0) ein. Wir haben dann 0^(0). Nach dem, was in der dritten Regel erklÃĪrt wird, gilt folgendes: 0^(0) = 0^(1 - 1) = 0^(1) ⧠0^(-1) = 0 ⧠frac(1)(0) = frac(0)(0) Und wie aus der zweiten Regel ja bekannt ist, darf nicht durch Null geteilt werden. NatÞrlich kann jederzeit eine Definition wie Def.: 0^(0) = 1 eingefÞhrt werden. Das muss dann aber jedesmal explizit getan werden. Sonst gilt, dass 0^(0) undefiniert ist, weil frac(0)(0) undefiniert ist. Viele GrÞÃe Marcus ð
Also beim 4. Fall hÃĪtte ich dann als Folgefrage gehabt, wieso man Potenzgesetze so zusammenfassen kann, denn ob ich nun eine Wurzel zusammenfasse oder eine Potenz ist ja am Ende nur Symbolik. Kommt man dann nicht irgendwo am Ende zu einem "Das wurde mal von einem Mathematiker dreist so festgelegt, der es sich einfach machen wollte."
Definiert wird schon in der Mathematik, aber nicht "dreist". In der Schule werden Potenzen mit rationalen Exponenten meist mit der Wurzel definiert. Daraus ergeben sich bestimmte Potenzgesetze. Aber es gibt ja auch Potenzen mit natÞrlichen Exponenten, die Þber die wiederholte Multiplikation definiert werden und da gelten ebenfalls Potenzgesetze. Diese Gesetze dÞrfen sich natÞrlich nicht widersprechen und das tun sie auch nicht. Darauf muss man achten, wenn Definitionen auf zusÃĪtzliche Zahlenbereiche erweitert werden. Ansonsten ist es richtig, dass ich Wurzelterme auch als Potenz beschreiben kann und umgekehrt.
Bei der ersten Regel hat das "durch Null teilen" zumindest eine der beiden LÃķsungen gefunden. Ich wÞrde sagen man sollte erst einmal 0 selbst einsetzen (da darf man ja nicht durch teilen). Wenn das dann eine LÃķsung ist, dann darf man unter der Annahme, dass x != 0 ist, trotzdem durch 0 teilen und findet vielleicht noch andere LÃķsungen. Bei der dritten Regel gibt es aber eine Ausnahme ... 0^0 ist mWn genau so wenig definiert, wie 0/0. D.h. dieses a/a gibt immer 1 gilt auch nicht bei 0/0. Laut Regel 2 darf man nicht durch 0 teilen, auch nicht 0 selbst ð
@@berndkru Unsinn. Das gilt nach der rekursiven Definition von Potenzen reeller Zahlen. Da Du ein Neuling in der Mathematik zu sein scheinst, empfehle ich Dir ein beliebiges Buch Þber Analysis zu konsultieren. Per Definition ist 0^0 = 1.
@@uwe4308 TatsÃĪchlich kommt es darauf an, in welchem Teilgebiet der Mathematik man sich bewegt. Grundlegend ist die Definition von 0^0 immer dann sinnvoll, wenn es um natÞrliche Zahlen geht, und genau so wird es auch Þblicherweise gehandhabt. In der Zahlentheorie, in der Informatik, in der Mengenlehre (insbesondere bei der Ordinal- und Kardinalzahlarithmetik), in der Kombinatorik und so weiter geht es um natÞrliche Zahlen, deshalb ist es dort nur sinnvoll, 0^0 als 1 zu definieren. Dies liegt daran, dass das Potenzieren auf den natÞrlichen Zahlen rekursiv definiert wird mit n^0 = 1 und n^(m+1) = n * n^m, woraus sofort 0^0 = 1 folgt. 0^0 ist insbesondere auch die Anzahl an Funktionen von der leeren Menge (-> null Elemente) zu sich selbst, von denen es genau eine gibt (die Funktion mit leerem Definitionsbereich), woraus sich wiederum viele Aussagen in der Kombinatorik ergeben. AuÃerdem spielt die Null als natÞrliche Zahl eine Rolle in der Definition der natÞrlichen Exponentialfunktion Þber ihre Taylorreihe eine Rolle. Per definitionem ist e^x = x^0 + x + 1/2 x^2 + 1/6 x^3 + 1/24 x^4 + ... + 1/n! x^n + ... (die Null bei x^0 steht die 0 im Kontext einer natÞrlichen Zahl da, weil es sich um eine Reihe Þber die natÞrlichen Zahlen handelt) sodass fÞr x = 0 gilt e^0 = 0^0 + 0 + 1/2*0^2 + 1/6*0^3... e^0 = 0^0 + 0 + 0 + 0 ... e^0 = 0^0 Es ist natÞrlich e^0 = 1 eine grundlegende Eigenschaft, die von der natÞrlichen Exponentialfunktion verlangt wird. Deshalb muss 0^0 hier notwendig 1 sein. Ãhnlich sieht es Þbrigens auch beim binomischen Lehrsatz aus. Ich war ursprÞnglich auch ein vehementer Verfechter von 0^0, doch es gibt ein Gegenargument, was mich doch Þberzeugt hat: Es ist nÃĪmlich teilweise nÞtzlich, 0^0 in der Analysis nicht zu definieren. Es gibt nÃĪmlich etwas, was man in der Analysis gerne voraussetzt, weil es viele Beweise vereinfacht, indem es Ausnahmen und SonderfÃĪlle vermeidet. Es geht um die Stetigkeit von elementaren Funktionen auf ihrem Definitionsbereich. Diese hÃĪtte man gerne, jedoch ist sie nur dann gegeben, wenn 0^0 nicht definiert wird. Beispielsweise ist die elementare Funktion f: (0 , â) -> R mit f(x) = 0^x auf ihrem Definitionsbereich stetig. WÃĪre der Definitionsbereich jedoch [0, â) und 0^0 = 1, so wÃĪre die Funktion nicht mehr auf ihrem gesamten Defintionsbereich stetig.
Die Regel, dass man in einer Gleichung nicht durch x dividieren soll, trifft auf jeden Term zu, der x enthÃĪlt und mÃķglicherweise 0 werden kÃķnnte. Also auch durch (x+2) sollte man nicht dividieren.
Ich appreciate ihren Content wirklich, aber mÞssen Sie immer alles so furchtbar langsam auf-/ausschreiben (unter anderem jeden trivialen Rechenschritt)?
DANKE! Ich bin schon so lange aus der Schule raus und hab schon viel vergessen. Du hast wunderbar logisch erklÃĪrt, was man nicht machen darf. ðð
Freut mich, dass es geholfen hat!
Daumen hoch!
Induktionsbeweis bei drittens sehr nice âĪ
Wenn ich durch X teilen will, muss ich ausschlieÃen, dass x=0 ist.
sehr gut erklÃĪrt ð
Danke ð
Nice Video
Gut erklÃĪrt. Allerdings ist es - wenn man es genau nimmt - vÃķllig falsch zu behaupten, dass jede Zahl geteilt durch sich selbst immer 1 ergibt. Korrekt muss es heiÃen, jede Zahl ungleich 0 geteilt durch sich selbst ergibt 1. 0 geteilt durch 0 ist ja ebenfalls nicht definiert.
3. Regel nur fÞr x ungleich 0. Wie Du zuvor selbst erklÃĪrt hast, muss man ausschlieÃen, dass man nicht etwa durch Null zu dividieren versucht.
Schreibweisen
Multiplikationszeichen: â§
Bruch: frac(ZÃĪhler)(Nenner)
Potenz: Basis^(Exponent)
Bei der dritten Regel ist die einzige Ausnahme, die es gibt, leider nicht erwÃĪhnt worden. Dabei lÃĪsst sie sich leicht ableiten, wenn das, was in der zweiten Regel gesagt wurde (teilen durch Null ist unzulÃĪssig) auf das, was in der dritten Regel erklÃĪrt wird, angewendet wird.
In der dritten Regel gibt es die folgende Ableitung:
frac(a^(n))(a^(n)) = a^(n - n) = a^(0)
Nun setzen wir fÞr die Variable a die Zahl Null (0) ein. Wir haben dann 0^(0). Nach dem, was in der dritten Regel erklÃĪrt wird, gilt folgendes:
0^(0) =
0^(1 - 1) =
0^(1) ⧠0^(-1) =
0 ⧠frac(1)(0) =
frac(0)(0)
Und wie aus der zweiten Regel ja bekannt ist, darf nicht durch Null geteilt werden. NatÞrlich kann jederzeit eine Definition wie
Def.: 0^(0) = 1
eingefÞhrt werden. Das muss dann aber jedesmal explizit getan werden. Sonst gilt, dass 0^(0) undefiniert ist, weil frac(0)(0) undefiniert ist.
Viele GrÞÃe
Marcus ð
Also beim 4. Fall hÃĪtte ich dann als Folgefrage gehabt, wieso man Potenzgesetze so zusammenfassen kann, denn ob ich nun eine Wurzel zusammenfasse oder eine Potenz ist ja am Ende nur Symbolik. Kommt man dann nicht irgendwo am Ende zu einem "Das wurde mal von einem Mathematiker dreist so festgelegt, der es sich einfach machen wollte."
Definiert wird schon in der Mathematik, aber nicht "dreist". In der Schule werden Potenzen mit rationalen Exponenten meist mit der Wurzel definiert. Daraus ergeben sich bestimmte Potenzgesetze. Aber es gibt ja auch Potenzen mit natÞrlichen Exponenten, die Þber die wiederholte Multiplikation definiert werden und da gelten ebenfalls Potenzgesetze. Diese Gesetze dÞrfen sich natÞrlich nicht widersprechen und das tun sie auch nicht. Darauf muss man achten, wenn Definitionen auf zusÃĪtzliche Zahlenbereiche erweitert werden. Ansonsten ist es richtig, dass ich Wurzelterme auch als Potenz beschreiben kann und umgekehrt.
Diese Frage hatte ich schon ein bisschen erwartet ð Das kann ich gerne in einem anderen Video noch erklÃĪren
Bei der ersten Regel hat das "durch Null teilen" zumindest eine der beiden LÃķsungen gefunden. Ich wÞrde sagen man sollte erst einmal 0 selbst einsetzen (da darf man ja nicht durch teilen). Wenn das dann eine LÃķsung ist, dann darf man unter der Annahme, dass x != 0 ist, trotzdem durch 0 teilen und findet vielleicht noch andere LÃķsungen.
Bei der dritten Regel gibt es aber eine Ausnahme ... 0^0 ist mWn genau so wenig definiert, wie 0/0. D.h. dieses a/a gibt immer 1 gilt auch nicht bei 0/0. Laut Regel 2 darf man nicht durch 0 teilen, auch nicht 0 selbst ð
SchÃķnes Video, lediglich bei dem âGesetzâ x^0 sollte man fÞr x die 0 nicht zulassen, denn 0^0 ist nicht definiert. (Meines Wissens ðŽ)
Ist richtig, 0^0 ist nicht definiert.
@@berndkru Unsinn. Das gilt nach der rekursiven Definition von Potenzen reeller Zahlen. Da Du ein Neuling in der Mathematik zu sein scheinst, empfehle ich Dir ein beliebiges Buch Þber Analysis zu konsultieren. Per Definition ist 0^0 = 1.
@@uwe4308 TatsÃĪchlich kommt es darauf an, in welchem Teilgebiet der Mathematik man sich bewegt. Grundlegend ist die Definition von 0^0 immer dann sinnvoll, wenn es um natÞrliche Zahlen geht, und genau so wird es auch Þblicherweise gehandhabt. In der Zahlentheorie, in der Informatik, in der Mengenlehre (insbesondere bei der Ordinal- und Kardinalzahlarithmetik), in der Kombinatorik und so weiter geht es um natÞrliche Zahlen, deshalb ist es dort nur sinnvoll, 0^0 als 1 zu definieren. Dies liegt daran, dass das Potenzieren auf den natÞrlichen Zahlen rekursiv definiert wird mit n^0 = 1 und n^(m+1) = n * n^m, woraus sofort 0^0 = 1 folgt. 0^0 ist insbesondere auch die Anzahl an Funktionen von der leeren Menge (-> null Elemente) zu sich selbst, von denen es genau eine gibt (die Funktion mit leerem Definitionsbereich), woraus sich wiederum viele Aussagen in der Kombinatorik ergeben.
AuÃerdem spielt die Null als natÞrliche Zahl eine Rolle in der Definition der natÞrlichen Exponentialfunktion Þber ihre Taylorreihe eine Rolle.
Per definitionem ist
e^x = x^0 + x + 1/2 x^2 + 1/6 x^3 + 1/24 x^4 + ... + 1/n! x^n + ...
(die Null bei x^0 steht die 0 im Kontext einer natÞrlichen Zahl da, weil es sich um eine Reihe Þber die natÞrlichen Zahlen handelt)
sodass fÞr x = 0 gilt
e^0 = 0^0 + 0 + 1/2*0^2 + 1/6*0^3...
e^0 = 0^0 + 0 + 0 + 0 ...
e^0 = 0^0
Es ist natÞrlich e^0 = 1 eine grundlegende Eigenschaft, die von der natÞrlichen Exponentialfunktion verlangt wird. Deshalb muss 0^0 hier notwendig 1 sein.
Ãhnlich sieht es Þbrigens auch beim binomischen Lehrsatz aus.
Ich war ursprÞnglich auch ein vehementer Verfechter von 0^0, doch es gibt ein Gegenargument, was mich doch Þberzeugt hat: Es ist nÃĪmlich teilweise nÞtzlich, 0^0 in der Analysis nicht zu definieren. Es gibt nÃĪmlich etwas, was man in der Analysis gerne voraussetzt, weil es viele Beweise vereinfacht, indem es Ausnahmen und SonderfÃĪlle vermeidet. Es geht um die Stetigkeit von elementaren Funktionen auf ihrem Definitionsbereich. Diese hÃĪtte man gerne, jedoch ist sie nur dann gegeben, wenn 0^0 nicht definiert wird. Beispielsweise ist die elementare Funktion f: (0 , â) -> R mit f(x) = 0^x auf ihrem Definitionsbereich stetig. WÃĪre der Definitionsbereich jedoch [0, â) und 0^0 = 1, so wÃĪre die Funktion nicht mehr auf ihrem gesamten Defintionsbereich stetig.
Bei der 4. Regel: Wenn Wurzel 9 = 9^0.5 ist , kann man das noch anders darstellen so wie z.B 9^5 = 9*9*9*9*9. Ich hoffe du verstehst meine Frage ð
Bitte noch ein zweites Video.
Wozu? Das erste war schon Mist.
Schade, dass es dir nicht gefallen hat.
Kommt :)
Wenn 0 zum quadrat gleich null ist, wie kann dann 0 hoch null eins sein?
âïļ
Die Regel, dass man in einer Gleichung nicht durch x dividieren soll, trifft auf jeden Term zu, der x enthÃĪlt und mÃķglicherweise 0 werden kÃķnnte. Also auch durch (x+2) sollte man nicht dividieren.
In der Theorie der RÃĪder und Wiesen ist die Nulldivision erlaubt. Du solltest immer die algebraische Struktur angeben in der Du Mathematik betreibst.
X^2 ist nur dann 1, wenn x nicht 0 ist. Ist x = 0 ist das Ergebnis unbestimmt!
mit 1.5x laufen lassen
0^0 ist nicht 1 !
Ich appreciate ihren Content wirklich, aber mÞssen Sie immer alles so furchtbar langsam auf-/ausschreiben (unter anderem jeden trivialen Rechenschritt)?
Das ist immer ein Drahtseilakt: Manche hÃĪtte es gerne etwas kÞrzer, andere wollen es ausfÞhrlicher. Ich versuche immer einen Mittelweg zu finden :)