Тут синус и не нужен смотрим на треугоник ADB его сторонв равны 15, 20, 25 соответственно 3, 4, 5 значит он прямоугольный. А раз угол B прямой то AD диаметр. Соответственно R=AD/2=25/2=12, 5
Я, как семиклассник с полувековым стажем, решал одним инструментом -- рожковым ключом 14х17. Из середины семерошного восстановил срединный перпендикуляр, суть диаметр. Он сечет 16-ный на отрезки 25/2 и 7/2. А всю хорду -- пополам. Поэтому вертикальная хорда = 25, а достроенный отрезок =9. По теореме о пересек хордах находим второй кусок горизонтальной хорды =(16*9)/12=12. Откуда вертикальная хорда суть диаметр. Ответ:25/2 ______ Пожалуйста, обозначайте точки
Ещё. Проверить точку пересечения хорд. 16*9= 12*Х. Х= 12. А это значит, что хорда 25. Есть диаметр . Так как диаметр делит хорду перпендикулярную ему пополам.
В домашке 10,625. Основание трапеции продлеваем на (15-9)=6 единиц. Боковые стороны по 10, т.Пифагора. Перпендикуляр 8 продлеваем и проводим гипотенузу прямоугольного треугольника. Это диаметр окружности. Проводим хорду, соединяющую точки на окружности так чтобы получились два подобных прямоугольных треугольника. Получим пропорцию 8/6=15/х, х=11,25. По т.Пифагора Д^2= 81+(8+11.25)^2=81+19,25^2=451,5625. Д=21,25, R=10,625
1) Продлеваем отрезок 16 вниз до пересечения с окружностью, получаем равнобедренную трапецию; опускаем вторую высоту трапеции; 16 - 7 = 9 - это верхний кусок основания, значит нижний такой же 2) Продлеваем отрезок 12 вправо до пересечения с окружностью и пользуемся свойством пересечения хорд: x × 12 = 16 × 9, x = 12 - это кусок хорды, который мы только что достроили; итого вся хорда равна 24 3) Прямой угол всегда опирается на диаметр, поэтому гипотенуза пр.тр. с катетами 7 и 24 является диаметром данной окружности; итого: d² = 7² + 24² = 625 d = 25 r = 12,5 Ответ: 12,5 . Вывод: пришлось использовать кучу свойств для окружности P.S. Это решение более общее и не зависит от случайных красивых совпадений с цифрами, хотя можно было заметить, что перпендикуляр 16 к хорде 24 является серединным, а значит центр окружности лежит на нём, откуда всё основание трапеции 25 является диаметром окружности
А не проще было определить размер гипотенузы в треугольнике с катетами 12 и 16, которая по теореме Пифагора равна 20? Обязательно нужно показать, что ты очень много знаешь о свойствах касательных, хорд, о секущих, всё равно это производные от теоремы Пифагора, как и тригонометрия?
@@Vanson_Rad А что, теперь нужно искать синус прямых углов, которые прямо указывают на параллельность хорды 7 и части хорды 16? Да ты крутой математик, прямо Архимед Сиракузский! Проще нужно быть, проще, как говорил сатирик Аркадий Исакович Райкин!
Когда вы используете теорему Пифагора для треугольника АВД, где доказательство что он прямоугольный. Если это так, то задача сразу решается прямой угол опирвется на диаметр.
Автор доказывает это по обратной теореме Пифагора, но прежде уменьшает все стороны в одинаковое количество раз, тем самым получая подобный треугольник, у которого не меняются углы, к счастью, этот треугольник оказался Египетским со сторонами 3:4:5
А вы попробуйте от 16 отнять семь, а потом к 16 прибавить разницу? Я не написал сразу прибавить, чтобы все поняли, как определить большее основание равнобедренной трапеции, которая вписана в окружность! Из прямоугольного треугольника с высотой 12 и основанием 16, гипотенузы равна 20, а катет прямоугольного треугольника, который образуется при соединении конца хорды 7, с продолжением катета 16 к пересечению с окружностью с другой стороны, будет равен 15. А гипотенуза этого треугольника будет равна 25, а это диаметр окружности!
Продлил отрезки 16 и 12 до пересечения с окружностью. Части пересекающихся хорд 16 * 9 = 12 * х, х=12. Если перпендикуляр к хорде делит её пополам, то это диаметр. Значит диаметр 25, а радиус 12.5 ДЗ - начало аналогично 15 * 6 = 8 * х, х = 11,25 Диаметр - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 9 и 19,25 или с катетами 21 и 3,25. По теореме Пифагора, для любого из этих треугольников, диаметр равен 21,25
По мне - куда проще всё. Первый вариант для тех, кто не знает, что серединный перпендикуляр хорды проходит через центр - задаём начало координат в точке 7-12, ось абсцисс - направляем по горизонтальному отрезку, ось ординат - по вертикальному. Центр - (X,Y) Составляем три уравнения по точкам: (0-X)^2+ (7-Y)^2=R^2 (0-X)^2+ (0-Y)^2=R^2 (12-X)^2+ (16-Y)^2=R^2 Система легко решается. Для тех, кто знает свойство серединного перпендикуляра - можно составить систему только из двух уравнений, зная ординату центра (обязательно для точки на конце отрезка 16): (0-X)^2+ (0-3,5)^2=R^2 (12-X)^2+ (16-3,5)^2=R^2 Ответ получается тот же самый.
Если я правильно понял замысел ролика, то идея была показать набор подходов, какими подобные задачи можно решать. Конечно пересекающимися хордами этот список уместно пополнить, в первой задаче, получив AD, длиной 25, которую ВН делит на 16 и 9, задача в принципе решена, если ВН продлить до пересечения с окружностью, тогда по свойству хорд мы получим, что BH будет половиной той хорды, которую мы получим после продления, значит AD делит хорду пополам под углом 90 градусов, значит AD диаметр. Кстати, можно еще вспомнить свойство равнобедренной трапеции, при котором НD будет полу суммой оснований, откуда AD вычисляется линейным уравнением. В ДЗ, имея верхнее основание 9 и полусумму 15, также по свойству хорд, вычисляется вся хорда, часть которой составляем высота 8, а там через Пифагора мы получим диаметр, имея вписанный угол 90 градусов
@@kazakovgeom в советской школе нам много раз подкидывали ловушки с равнобедренной и вписанной трапецией пока мы опытным путем не усвоили, что, если трапеция вписанная, то равнобедренная равно как и вокруг любой равнобедренной трапеции можно описать окружность
ДЗ. А тут, когда ни одна из хорд не является диаметром, как раз нужна теорема синусов или ф-ла площади треугольника S = ( а • в • с)/4R. Я был неправ. Лишняя информация не является лишней, особенно когда может пригодиться. По аналогии с предыдущей задачей sin a = 8/17, R = 10/(2 • 8/17) = 10,625. R = 10,625. При этом большая хорда (продлённая 15-ка) равна 21, а диаметр равен 21, 25. Чуть-чуть хорде не хватило до повышения ранга. Но чуть-чуть не считается.
Две параллельных хорды - явный намёк на трапецию. А в окружность вписываются только р/б трапеции.. Всё понятно, можно не поворачивать на 90 градусов. Все цифры подобраны так, что задача решается одними египетскими треугольниками. Первый треуг. АВН : (3 • 3)² + (3 • 4)² = (3 • 5)². Второй НВД : (4 • 3)² + (4 • 4)² = (4 • 5)². И третий АВД : (5 • 3)² + (5 • 4)² = (5 • 5)². При этом в 3-ем треуг.
М-да.... . Несмотря на свою видимую простоту задача действительно замечательная, хотя и сформулирована путано, не без недоразумений. Нет, ну, разумеется, для тех, кто ставит своей задачей просто найти ответ, то такая задача не будет выделяться среди прочих задач. Как говорится, решил - и ладно. Эта задача для таких - просто задача, как и всякая другая. Но для тех, кто занимается исследованием задач, такая задача является подлинной находкой в интернете, жемчужиной в этих "авгиевых конюшнях". Не думается также, что сам автор рассчитывал найти здесь адекватное понимание данной задачи аудиторией потому, что сам не понимает её подлинного значения. Это видно. Видно это как из формулировки этой задачи, так и из предложенного им способа её решения. Тем не менее, автор этой задачи тем отличается от "простых смертных", что он чувствует всем своим нутром пространственные законы, хотя это чувство не находит в его голове полностью адекватного содержанию выражения. Как говорится, бьет порой прямо в ... девятку. Чтобы в этом убедиться, достаточно познакомиться вот с этим материалом: drive.google.com/file/d/1yuNvuFMFIzFYbsbHjJIPik5dhGxF9Uf5/view?usp=sharing . Да. Скорость решения данной задачи зависит только от скорости вычисления. Ответ ясен с самого начала: 12,5. Разумеется, что изложение данного материала весьма не пропорционально по времени скорости решения этой задачи. Но вычислять не значит ведь понимать. Для завоевания понимания требуется больше времени, чем для контроля вычисления. Там, в конце данного материала, я дал ссылку на изображение развития так называемой "теоремы Пифагора". Из соображения удобства я воспроизвожу ее здесь: drive.google.com/file/d/1I2IgL1Zp1_eTx20ChbenuWmmDn2J2Opi/view?usp=sharing
@@kazakovgeom И ... тем не менее. В связи с данной задачей у меня есть к Вам один вопрос. Вот какой. Почему три точки, не лежащие на одной прямой, могут быть описаны окружностью или - как принято говорить в терминах сегодняшней тарабарщины - "принадлежат" одной и той же окружности? Причина?
@@kazakovgeom И Вы считаете, что этот Ваш ответ есть ответ на вопрос "почему можно?"? Ведь данная "теорема" не выявляет причинной связи и предполагает в качестве молчаливой предпосылки то, что пыжится доказать. Вас-то самого убеждает Ваш собственный ответ?
@@kazakovgeom дз : Отрезки 15 и 8 продлеваем. Получаем хорды. Находим их. Затем строим прямоугольник в середине окружности. Его диагональ это диаметр окружности. Если нужен радиус - поделите на два
Приветствую. В своем решении опирался на то, что ВН*ВН=АН*АD, следовательно тр. АВD прямоугольный. Правильным ли является такой подход или необходимо доказывать это свойство высоты прямоугольного треугольника?
Как не странно, но в этот раз глупое на первый взгляд случайное решение имеет смысл: мы доказали, что большее основание является диаметром, значит центр окружности находится на его середине; в своём решении, поделив 7 по полам, ты буквально отметил середину второго основания, а т.к. трапеция равнобедренная, то эти середины находятся друг на против друга и если соединить их, то получится прямоугольник; дальше ты вычитаешь 3,5 из 16 - это ты буквально перенёс половину верхнего основания в нижнее через полученный прямоугольник, и отрезав её от 16 действительно получил реальный радиус
![Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]](http://i.ytimg.com/vi/JsrRqLK8zKg/mqdefault.jpg)
Тут синус и не нужен смотрим на треугоник ADB его сторонв равны 15, 20, 25 соответственно 3, 4, 5 значит он прямоугольный. А раз угол B прямой то AD диаметр. Соответственно R=AD/2=25/2=12, 5
Я, как семиклассник с полувековым стажем, решал одним инструментом -- рожковым ключом 14х17.
Из середины семерошного восстановил срединный перпендикуляр, суть диаметр. Он сечет 16-ный на отрезки 25/2 и 7/2. А всю хорду -- пополам. Поэтому вертикальная хорда = 25, а достроенный отрезок =9. По теореме о пересек хордах находим второй кусок горизонтальной хорды =(16*9)/12=12. Откуда вертикальная хорда суть диаметр.
Ответ:25/2
______
Пожалуйста, обозначайте точки
Блестяще изложено. Кратко и по существу.
Высота 12 является средним геометрическим отрезков 9 и 16, значит угол, из которого она проведена, прямой.
Ещё. Проверить точку пересечения хорд. 16*9= 12*Х. Х= 12. А это значит, что хорда 25. Есть диаметр . Так как диаметр делит хорду перпендикулярную ему пополам.
В домашке 10,625. Основание трапеции продлеваем на (15-9)=6 единиц. Боковые стороны по 10, т.Пифагора. Перпендикуляр 8 продлеваем и проводим гипотенузу прямоугольного треугольника. Это диаметр окружности. Проводим хорду, соединяющую точки на окружности так чтобы получились два подобных прямоугольных треугольника. Получим пропорцию 8/6=15/х, х=11,25. По т.Пифагора Д^2= 81+(8+11.25)^2=81+19,25^2=451,5625. Д=21,25, R=10,625
Отлично.
6:30
Прямной треугольник (15-20-25) на диаметре АД. Гамовер!
А проверить треугольник АВD на прямой угол В, сразу?
С 6.50 дальше проще,
Видим что авд угол 90⁰
Соответственно дуга ад 180⁰, т.е. диаметр
Прямоугольный треугольник он всегда опирается на диаметр, а значит в этом случае будет равен половине стороны Ад, и следовательно 12.5
Только прямой угол, вписанный в окружность
1) Продлеваем отрезок 16 вниз до пересечения с окружностью, получаем равнобедренную трапецию; опускаем вторую высоту трапеции; 16 - 7 = 9 - это верхний кусок основания, значит нижний такой же
2) Продлеваем отрезок 12 вправо до пересечения с окружностью и пользуемся свойством пересечения хорд: x × 12 = 16 × 9, x = 12 - это кусок хорды, который мы только что достроили; итого вся хорда равна 24
3) Прямой угол всегда опирается на диаметр, поэтому гипотенуза пр.тр. с катетами 7 и 24 является диаметром данной окружности; итого:
d² = 7² + 24² = 625
d = 25
r = 12,5
Ответ: 12,5 .
Вывод: пришлось использовать кучу свойств для окружности
P.S. Это решение более общее и не зависит от случайных красивых совпадений с цифрами, хотя можно было заметить, что перпендикуляр 16 к хорде 24 является серединным, а значит центр окружности лежит на нём, откуда всё основание трапеции 25 является диаметром окружности
Хорошо, что я решил задачу именно этим способом и теперь с лёгкостью могу решить дз:
1) 15 - 9 = 6
2) 15 × 6 ÷ 8 = 45/4 = 11,25
3) 8 + 11,25 = 19,25 = 77/4
4) 9² + (77/4)² = 81 + 5929/16 = (1296+5929)/16 = 7225/16 = (85/4)²
5) 85/4 ÷ 2 = 85/8 = 10,625
Ответ: 10,625.
А не проще было определить размер гипотенузы в треугольнике с катетами 12 и 16, которая по теореме Пифагора равна 20? Обязательно нужно показать, что ты очень много знаешь о свойствах касательных, хорд, о секущих, всё равно это производные от теоремы Пифагора, как и тригонометрия?
@@КонстантинВинников-р6б А чтобы это дало? Надо ещё тогда искать синус угла и пользоваться теоремой синусов
@@Vanson_Rad А что, теперь нужно искать синус прямых углов, которые прямо указывают на параллельность хорды 7 и части хорды 16? Да ты крутой математик, прямо Архимед Сиракузский! Проще нужно быть, проще, как говорил сатирик Аркадий Исакович Райкин!
Это НЕ хорды, кроме одной, которая имеет длину 7. Это действительно хорда, остальные нет.
В математике недопустима неточная терминология.
БОЖЕ МОЙ, КАК Я МОГ? Каюсь!
Когда вы используете теорему Пифагора для треугольника АВД, где доказательство что он прямоугольный. Если это так, то задача сразу решается прямой угол опирвется на диаметр.
Автор доказывает это по обратной теореме Пифагора, но прежде уменьшает все стороны в одинаковое количество раз, тем самым получая подобный треугольник, у которого не меняются углы, к счастью, этот треугольник оказался Египетским со сторонами 3:4:5
Он смотрел треугольник BHD а потом через него доказал что ABD прямоуголтный
Домашняя работа: R=10,625.
сПАСИБО.
А вы попробуйте от 16 отнять семь, а потом к 16 прибавить разницу? Я не написал сразу прибавить, чтобы все поняли, как определить большее основание равнобедренной трапеции, которая вписана в окружность! Из прямоугольного треугольника с высотой 12 и основанием 16, гипотенузы равна 20, а катет прямоугольного треугольника, который образуется при соединении конца хорды 7, с продолжением катета 16 к пересечению с окружностью с другой стороны, будет равен 15. А гипотенуза этого треугольника будет равна 25, а это диаметр окружности!
Спасибо.
Продлил отрезки 16 и 12 до пересечения с окружностью. Части пересекающихся хорд 16 * 9 = 12 * х, х=12. Если перпендикуляр к хорде делит её пополам, то это диаметр. Значит диаметр 25, а радиус 12.5
ДЗ - начало аналогично 15 * 6 = 8 * х, х = 11,25
Диаметр - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 9 и 19,25 или с катетами 21 и 3,25. По теореме Пифагора, для любого из этих треугольников, диаметр равен 21,25
супер.
Благодарю. Не совсем простая устная задача. Решал ч-з площадь тр ВСД.
Дз. 10,625, если не ошибся в расчётах. Уже пришлось подключать калькулятор.
Согалсен. Не совсем.
По мне - куда проще всё. Первый вариант для тех, кто не знает, что серединный перпендикуляр хорды проходит через центр - задаём начало координат в точке 7-12, ось абсцисс - направляем по горизонтальному отрезку, ось ординат - по вертикальному. Центр - (X,Y) Составляем три уравнения по точкам:
(0-X)^2+ (7-Y)^2=R^2
(0-X)^2+ (0-Y)^2=R^2
(12-X)^2+ (16-Y)^2=R^2
Система легко решается.
Для тех, кто знает свойство серединного перпендикуляра - можно составить систему только из двух уравнений, зная ординату центра (обязательно для точки на конце отрезка 16):
(0-X)^2+ (0-3,5)^2=R^2
(12-X)^2+ (16-3,5)^2=R^2
Ответ получается тот же самый.
ОТЛИЧНО.
Если я правильно понял замысел ролика, то идея была показать набор подходов, какими подобные задачи можно решать.
Конечно пересекающимися хордами этот список уместно пополнить, в первой задаче, получив AD, длиной 25, которую ВН делит на 16 и 9, задача в принципе решена, если ВН продлить до пересечения с окружностью, тогда по свойству хорд мы получим, что BH будет половиной той хорды, которую мы получим после продления, значит AD делит хорду пополам под углом 90 градусов, значит AD диаметр.
Кстати, можно еще вспомнить свойство равнобедренной трапеции, при котором НD будет полу суммой оснований, откуда AD вычисляется линейным уравнением.
В ДЗ, имея верхнее основание 9 и полусумму 15, также по свойству хорд, вычисляется вся хорда, часть которой составляем высота 8, а там через Пифагора мы получим диаметр, имея вписанный угол 90 градусов
Точно так. А также, что нельзя безосноватлеьно считать, что О лежит на отрезке.
крутил выход на вписанную равнобедренную трапецию. То есть сведение к стандартной привычной.
@@kazakovgeom в советской школе нам много раз подкидывали ловушки с равнобедренной и вписанной трапецией пока мы опытным путем не усвоили, что, если трапеция вписанная, то равнобедренная равно как и вокруг любой равнобедренной трапеции можно описать окружность
7 пополам и отнять от 16 😁
А 12 куда пропало?
ДЗ. А тут, когда ни одна из хорд не является диаметром, как раз нужна теорема синусов или ф-ла площади треугольника S = ( а • в • с)/4R. Я был неправ. Лишняя информация не является лишней, особенно когда может пригодиться. По аналогии с предыдущей задачей sin a = 8/17, R = 10/(2 • 8/17) = 10,625. R = 10,625. При этом большая хорда (продлённая 15-ка) равна 21, а диаметр равен 21, 25. Чуть-чуть хорде не хватило до повышения ранга. Но чуть-чуть не считается.
Щас тебе Андрей из седьмого класса расскажет про теоремы синусов и косинусов, достроив равнобедренный трапецию, с основаниями 25 и 7.
Две параллельных хорды - явный намёк на трапецию. А в окружность вписываются только р/б трапеции.. Всё понятно, можно не поворачивать на 90 градусов. Все цифры подобраны так, что задача решается одними египетскими треугольниками. Первый треуг. АВН : (3 • 3)² + (3 • 4)² = (3 • 5)². Второй НВД : (4 • 3)² + (4 • 4)² = (4 • 5)². И третий АВД : (5 • 3)² + (5 • 4)² = (5 • 5)². При этом в 3-ем треуг.
Точно так! Так и задумывал задачу.
М-да.... . Несмотря на свою видимую простоту задача действительно замечательная, хотя и сформулирована путано, не без недоразумений. Нет, ну, разумеется, для тех, кто ставит своей задачей просто найти ответ, то такая задача не будет выделяться среди прочих задач. Как говорится, решил - и ладно. Эта задача для таких - просто задача, как и всякая другая. Но для тех, кто занимается исследованием задач, такая задача является подлинной находкой в интернете, жемчужиной в этих "авгиевых конюшнях". Не думается также, что сам автор рассчитывал найти здесь адекватное понимание данной задачи аудиторией потому, что сам не понимает её подлинного значения. Это видно. Видно это как из формулировки этой задачи, так и из предложенного им способа её решения. Тем не менее, автор этой задачи тем отличается от "простых смертных", что он чувствует всем своим нутром пространственные законы, хотя это чувство не находит в его голове полностью адекватного содержанию выражения. Как говорится, бьет порой прямо в ... девятку. Чтобы в этом убедиться, достаточно познакомиться вот с этим материалом: drive.google.com/file/d/1yuNvuFMFIzFYbsbHjJIPik5dhGxF9Uf5/view?usp=sharing .
Да. Скорость решения данной задачи зависит только от скорости вычисления. Ответ ясен с самого начала: 12,5. Разумеется, что изложение данного материала весьма не пропорционально по времени скорости решения этой задачи. Но вычислять не значит ведь понимать. Для завоевания понимания требуется больше времени, чем для контроля вычисления.
Там, в конце данного материала, я дал ссылку на изображение развития так называемой "теоремы Пифагора". Из соображения удобства я воспроизвожу ее здесь: drive.google.com/file/d/1I2IgL1Zp1_eTx20ChbenuWmmDn2J2Opi/view?usp=sharing
Спасибо.
@@kazakovgeom Всегда готов! )
@@kazakovgeom И ... тем не менее. В связи с данной задачей у меня есть к Вам один вопрос. Вот какой. Почему три точки, не лежащие на одной прямой, могут быть описаны окружностью или - как принято говорить в терминах сегодняшней тарабарщины - "принадлежат" одной и той же окружности? Причина?
@@Progressor1027 Согалсно теореме об описанной окружности треугольника "Можно и только одну"
@@kazakovgeom И Вы считаете, что этот Ваш ответ есть ответ на вопрос "почему можно?"? Ведь данная "теорема" не выявляет причинной связи и предполагает в качестве молчаливой предпосылки то, что пыжится доказать. Вас-то самого убеждает Ваш собственный ответ?
Третий класс , четвертая четверть
а ДЗ?
@@kazakovgeom дз :
Отрезки 15 и 8 продлеваем. Получаем хорды. Находим их. Затем строим прямоугольник в середине окружности. Его диагональ это диаметр окружности. Если нужен радиус - поделите на два
Приветствую. В своем решении опирался на то, что ВН*ВН=АН*АD, следовательно тр. АВD прямоугольный. Правильным ли является такой подход или необходимо доказывать это свойство высоты прямоугольного треугольника?
мне кажется, надо сперва доказать, что ABD прямоугольник
7:2=3,5|16-3,5=12,5🤔
Как не странно, но в этот раз глупое на первый взгляд случайное решение имеет смысл: мы доказали, что большее основание является диаметром, значит центр окружности находится на его середине; в своём решении, поделив 7 по полам, ты буквально отметил середину второго основания, а т.к. трапеция равнобедренная, то эти середины находятся друг на против друга и если соединить их, то получится прямоугольник; дальше ты вычитаешь 3,5 из 16 - это ты буквально перенёс половину верхнего основания в нижнее через полученный прямоугольник, и отрезав её от 16 действительно получил реальный радиус
И никакой магии, хотя и очень красиво!
О чем тут говорить 13 минут, очевидно R 12.5
Я тоже атк думаю. А что ДЗ?
16*х=12*12
НЕ НАДО,
@@kazakovgeom эт начало
Дз: 10,625
Прямоугольный треугольник он всегда опирается на диаметр, а значит в этом случае будет равен половине стороны Ад, и следовательно 12.5
И дальше можно было не решать
И дальше можно было не решать