Super vidéo! Pour le coup de l'aire du disque qui est environ égale à la circonférence, ça a de grandes conséquences en physique, c'est la base du principe holographique ! En gros quasiment toute l'information peut être stockée sur le bord :) Hâte de voir la suite !
Intéressant, mais.... intense ! Si on voulait vérifier tous ces calculs, ça prendrait du temps. Donc je te fais confiance ! En tous cas, c'est rigolo, en effet, le plan hyperbolique.
génial, j'avais déjà vu ce sujet avec Étienne Ghys. il parlait de température pour l'éloignement d'un objet dans le plan. j'aime parfois penser que notre univers est aussi un plan hyperbolique. ça répondrait à bien des questions dont j'ignore les réponses. je suis profane en math . sorti d'une équation de degré 1 a une inconnue, je capte plus rien mais ça me fascine. merci pour vos vidéos Alex
Bon...jour (Il est 4h du matin.) La géométrie hyperbolique m'est très sympathique, ainsi que la trigonométrie hyperbolique. On y trouve de nombreuses égalités et formules parfois très utiles pour des calculs se rapportant à tout autre chose. Par exemple l'identité remarquable si peu connue suivante : Soit R un nombre réel quelconque. Il peut s'écrire R=A+B, avec A = a^2 et B = b^2. Alors, on obtient : (a^2 + b^2) = (a+ib)(a-ib) C'est à dire que tout réel peut être pris comme un produit de deux nombres complexes conjugués. (Pratique pour noter des mots de passe de façon détournée.) J'ai toujours du mal avec les intégrales d'autant que... lorsque j'étais en terminale je préférais aller prendre un thé (oui !) avec les copains au si sympathique bar "Chez Jeanine" plutôt que de forcer ne serait-ce qu'un peu plus sur les intégrales. Ce que je regrette, mais cela peut se rattraper. Ce qui me permettra de travailler de façon plus sérieuse avec la géométrie hyperbolique plutôt que d'y chercher des "astuces" calculatoires. On peut faire beaucoup si l'on dispose d'un outil qui relie la géométrie, les nombres complexes et les exponentielles. (On peut même arriver sur les quaternions. Oui ! Car j'ai remarqué que leur écriture sous forme de matrices de quatre exponentielles complexes pouvait être un outil de démonstration puissant pour relier des fonctions toutes bêtes, qui semblent ne pas avoir grand chose en commun.) Si l'on devient plus sérieux, comme vous, on peut faire un vrai travail en devenant (enfin) ami avec les intégrales. NEKO
Ah et un autre petit truc, à la différence de la géométrie euclidienne il y a une échelle intrinsèque en hyperbolique ! Là vous la mettez à 1 (la courbure est -1), mais dès qu'on parle d'une application il faut remettre les unités, et en particulier pour la comparaison avec le golf ou le baseball il faudrait dire quelle courbure a été choisie pour faire ce calcul (et elle est visiblement assez forte ici, peut-être 1 / m^2 ?)
Niveau lycée.... des années 50 ! Merci pour cette vidéo bien sympathique qu'on aurait pu compléter avec les définitions de ch(x) et sh(x) à partir d'une hyperbole , de même qu'on définit les sin et cos avec un cercle.
Bonjour, En effet, c'est vraiment niveau Licence cette fois. Je suis d'accord qu'il faut introduire sh et ch comme les fonctions paramétrant l'hyperbole, qui est en fait le cercle en métrique Lorentzienne ! Mais la vidéo était déjà bien longue. Un jour, j'en parlerai. - Alex
Merci pour cette vidéo qui une fois de plus m'a plongé dans la magie des Maths. Tout comme pour la Magie, j'ai admiré le "tour", mais je n'ai pas compris toutes ses "ficelles". Petite question pourquoi ce plan et la trigonométrie associée s'appellent Hyperbolique ? Et s'il existe un plan Hyperbolique, existe-t-il un plan Parabolique, et un plan Elliptique ?
Bonjour, Merci pour votre intérêt ! Les mots "elliptique-parabolique-hyperbolique" apparaissent souvent en maths (et pas seulement). En grec ancien, ils signifient quelque chose comme manque, égalité et abondance. En maths, cette signification se réfère typiquement à une certaine quantité. Pour les coniques (ellipses, paraboles et hyperboles), cette quantité est l'excentricité (ellipse = excentricité < 1, parabole = 1 et hyperbole > 1). Pour les géométries, c'est la courbure. Le plan hyperbolique a une courbure plus petit que 0. Ainsi, on pourrait appeler le plan Euclidien, qui a une courbure nulle, "plan parabolique" et la sphère "plan elliptique" (parfois on parle en effet de "géométrie elliptique"). - Alex
Bonjour, Je trouve bizarre que la surface et le périmètre du cercle s'expriment par la même expression, car ce ne sont pas les mêmes dimensions: la première s'exprime en L^2 alors que le second s'exprime en L^1 ?? 🤔🤨 Autre question : si je dessine des fractals sur le plan hyperbolique est-ce que la dimension fractalienne est conservée?
Bonjour, Vous avez raison, je n'ai pas indiqué les unités. Pour un cercle de diamètre r (en mètres), la circonférence ainsi que l'aire croissent comme l'exponentielle de r (en m pour le premier et en m² pour le deuxième). Quant à la dimension fractale (la dimension de Hausdorff), c'est une notion intrinsèque qui est définie pour n'importe quel espace métrique. Elle reste la même si votre courbe est tracée sur le plan Euclidien ou sur le plan hyperbolique. - Alex
@@Thomaths Effectivement je n'avais pas réfléchi, comme on divise par y dans la métrique, elle n'a plus de dimension, et du coup les surfaces non plus, ne faudrait-il pas multiplier par une dimension caractéristique?
En effet, le plan hyperbolique a une échelle intrinsèque (il n'y a pas de dilatations !). On peut choisir par exemple de mettre les aires en m^2. - Alex
BBonjour, merci beaucoup pour cette video que j'ai découvert il y a peu, et que je me suis décidé à comprendre (pour une fois haha), il y a un passage qui me reste flou, pourriez vous m'éclairer? à 8:14 j'avoue ne pas comprendre grand chose à ce calcul, que représente dz et dz_ (dz 'barre'), et pourquoi sont ils différents à un signe près, à part que dans le dz'barre' on le défini avec les conjugué de u et de du ? Je n'arrive pas bien à me représenter tout ça, peut-être n'ai-je pas assez étudié les nombres complexes. Merci des vos éclaircissements
Bonjour, Il faut en effet un peu de théorie des nombres complexes. On considère z = x + iy un nombre complexe. Alors son conjugué est par définition bar(z) = x - iy. Alors on vérifie que x^2 + y^2 = z bar(z), le module de z au carré. De même pour les formes différentielles : dz = dx + i dy et dbar(z) = dx - i dy. On peut alors calculé que dx^2 + dy^2 = dz dbar(z). J'espère que cela vous aide. - Alex
@@Thomaths Oui, merci beaucoup, mais alors je pensais que dz était l'idée d'un déplacement comme pour le dx, dy dans la formule, mais là c'est donc calculé comme une dérivée non? qu'est-ce que ça veut dire ?
@@MewMew-s1s Je ne suis pas sûr de bien comprendre. On peut toujours interpréter dz comme un petit déplacement (dans le plan complexe). Pareil pour dbar(z). Une dérivée est un taux d'accroissement, càd un quotient de deux déplacements. Quand on a par exemple y=f(x), alors au niveau des différentielles cela donne dy = f'(x)dx. Autrement dit f'(x) = dy/dx.
@@Thomaths Mais donc à quel déplacement correspond dz, sachant qu'il est exprimé par rapport à u? La distance entre les deux? et comment est-il calculé, surtout dbar(z)? Cela veut-il dire qu'il faut considérer z comme une sorte de fonction de u (z(u))?
De mon point de vue, il n"existe pas de géométrie non euclidienne, mais des géométries restreintes via des tenseurs. Partant du principe que la géométrie euclidienne est la seule qui occupe tout l'espace avec tous les points équidistants entre eux et posant l'équipotentialité de tous les points de la géométrie, quelle que soit la valeur ou taille du point. Tandis que pour toutes les autres, comme la géométrie sphérique ou hyperbolique présenté ici, voient les points non équidistants ou/et non équipotentiels entre eux. Le monde imaginé par Poincaré l'illustre bien. Contrairement à ce que dit Poincaré, m'est avis que les habitants de son monde imaginaire commenceraient par poser la géométrie euclidienne, avant de s'apercevoir qu'ils vivent dans un monde où la géométrie est munie de tenseurs. Car on peut noter dans votre vidéo, mais cela est vrai pour toute démonstration, qu'on prend toujours le plan euclidien pour poser les géométries dites non euclidienne et qui sont pour moi des restriction de la géométrie euclidienne. On ne part pas d'une géométrie dites non euclidienne, car cela deviendrait alors hypercomplexe. Essayez donc avec un axe non perpendiculaire ou avec des courbes au lieu de droites, donc, un axe hyperbolique !?
Bonjour, Vous avez raison, la primitive de 1/sin(t) est ln(tan(t/2)). Ici, on l'évalue en arccos(-y) (avec y=2/sqrt(5)) ce qui donne le argth(y). Ce n'est pas évident ! Vous pouvez raisonner ainsi: dt/sin(t) = -d(cos(t))/sin^2(t). Donc un changement de variable dans l'intégrale y=cos(t) donne un intégrant -dy/(1-y^2), où on reconnaît la dérivée de argth. J'espère que cela vous aide. - Alex
Super vidéo! Pour le coup de l'aire du disque qui est environ égale à la circonférence, ça a de grandes conséquences en physique, c'est la base du principe holographique ! En gros quasiment toute l'information peut être stockée sur le bord :)
Hâte de voir la suite !
Intéressant, mais.... intense ! Si on voulait vérifier tous ces calculs, ça prendrait du temps. Donc je te fais confiance ! En tous cas, c'est rigolo, en effet, le plan hyperbolique.
Merci beaucoup, cette vidéo m'a aidé pour mon rapport de stage.
génial, j'avais déjà vu ce sujet avec Étienne Ghys. il parlait de température pour l'éloignement d'un objet dans le plan. j'aime parfois penser que notre univers est aussi un plan hyperbolique. ça répondrait à bien des questions dont j'ignore les réponses. je suis profane en math . sorti d'une équation de degré 1 a une inconnue, je capte plus rien mais ça me fascine. merci pour vos vidéos Alex
Superbe vidéo comme d'hab !
Bon...jour (Il est 4h du matin.)
La géométrie hyperbolique m'est très sympathique, ainsi que la trigonométrie hyperbolique. On y trouve de nombreuses égalités et formules parfois très utiles pour des calculs se rapportant à tout autre chose. Par exemple l'identité remarquable si peu connue suivante :
Soit R un nombre réel quelconque. Il peut s'écrire R=A+B, avec A = a^2 et B = b^2.
Alors, on obtient : (a^2 + b^2) = (a+ib)(a-ib) C'est à dire que tout réel peut être pris comme un produit de deux nombres complexes conjugués. (Pratique pour noter des mots de passe de façon détournée.)
J'ai toujours du mal avec les intégrales d'autant que... lorsque j'étais en terminale je préférais aller prendre un thé (oui !) avec les copains au si sympathique bar "Chez Jeanine" plutôt que de forcer ne serait-ce qu'un peu plus sur les intégrales. Ce que je regrette, mais cela peut se rattraper. Ce qui me permettra de travailler de façon plus sérieuse avec la géométrie hyperbolique plutôt que d'y chercher des "astuces" calculatoires.
On peut faire beaucoup si l'on dispose d'un outil qui relie la géométrie, les nombres complexes et les exponentielles. (On peut même arriver sur les quaternions. Oui ! Car j'ai remarqué que leur écriture sous forme de matrices de quatre exponentielles complexes pouvait être un outil de démonstration puissant pour relier des fonctions toutes bêtes, qui semblent ne pas avoir grand chose en commun.) Si l'on devient plus sérieux, comme vous, on peut faire un vrai travail en devenant (enfin) ami avec les intégrales.
NEKO
Mais elles sont superbes tes vidéos !
Merci 🙏🙏🏻🙏🏿
Super vidéo !
Passionnant !!!!
Merci !
Ah et un autre petit truc, à la différence de la géométrie euclidienne il y a une échelle intrinsèque en hyperbolique ! Là vous la mettez à 1 (la courbure est -1), mais dès qu'on parle d'une application il faut remettre les unités, et en particulier pour la comparaison avec le golf ou le baseball il faudrait dire quelle courbure a été choisie pour faire ce calcul (et elle est visiblement assez forte ici, peut-être 1 / m^2 ?)
Tu as raison ! J'ai pris les chiffres pour le golf et le baseball de la vidéo de numberphile. - Alex
Premier commentaire et premier like avant de visionner. Merci pour le contenu très utile et bonne continuation
Niveau lycée.... des années 50 ! Merci pour cette vidéo bien sympathique qu'on aurait pu compléter avec les définitions de ch(x) et sh(x) à partir d'une hyperbole , de même qu'on définit les sin et cos avec un cercle.
Bonjour,
En effet, c'est vraiment niveau Licence cette fois. Je suis d'accord qu'il faut introduire sh et ch comme les fonctions paramétrant l'hyperbole, qui est en fait le cercle en métrique Lorentzienne ! Mais la vidéo était déjà bien longue. Un jour, j'en parlerai. - Alex
oh la vidéo 19b elle est impossible 🤬
Amazing! Thanks a lot
Merci pour cette vidéo qui une fois de plus m'a plongé dans la magie des Maths.
Tout comme pour la Magie, j'ai admiré le "tour", mais je n'ai pas compris toutes ses "ficelles".
Petite question pourquoi ce plan et la trigonométrie associée s'appellent Hyperbolique ?
Et s'il existe un plan Hyperbolique, existe-t-il un plan Parabolique, et un plan Elliptique ?
Bonjour,
Merci pour votre intérêt ! Les mots "elliptique-parabolique-hyperbolique" apparaissent souvent en maths (et pas seulement). En grec ancien, ils signifient quelque chose comme manque, égalité et abondance.
En maths, cette signification se réfère typiquement à une certaine quantité. Pour les coniques (ellipses, paraboles et hyperboles), cette quantité est l'excentricité (ellipse = excentricité < 1, parabole = 1 et hyperbole > 1). Pour les géométries, c'est la courbure. Le plan hyperbolique a une courbure plus petit que 0. Ainsi, on pourrait appeler le plan Euclidien, qui a une courbure nulle, "plan parabolique" et la sphère "plan elliptique" (parfois on parle en effet de "géométrie elliptique").
- Alex
@@Thomaths Je vous souhaite un Joyeux Noël.
Et merci pour cette explication, à la fois simple est parfaite.
Je viens de progresser en Maths 😉
Bonjour,
Je trouve bizarre que la surface et le périmètre du cercle s'expriment par la même expression, car ce ne sont pas les mêmes dimensions: la première s'exprime en L^2 alors que le second s'exprime en L^1 ?? 🤔🤨
Autre question : si je dessine des fractals sur le plan hyperbolique est-ce que la dimension fractalienne est conservée?
Bonjour,
Vous avez raison, je n'ai pas indiqué les unités. Pour un cercle de diamètre r (en mètres), la circonférence ainsi que l'aire croissent comme l'exponentielle de r (en m pour le premier et en m² pour le deuxième).
Quant à la dimension fractale (la dimension de Hausdorff), c'est une notion intrinsèque qui est définie pour n'importe quel espace métrique. Elle reste la même si votre courbe est tracée sur le plan Euclidien ou sur le plan hyperbolique. - Alex
@@Thomaths Effectivement je n'avais pas réfléchi, comme on divise par y dans la métrique, elle n'a plus de dimension, et du coup les surfaces non plus, ne faudrait-il pas multiplier par une dimension caractéristique?
En effet, le plan hyperbolique a une échelle intrinsèque (il n'y a pas de dilatations !). On peut choisir par exemple de mettre les aires en m^2. - Alex
BBonjour, merci beaucoup pour cette video que j'ai découvert il y a peu, et que je me suis décidé à comprendre (pour une fois haha), il y a un passage qui me reste flou, pourriez vous m'éclairer?
à 8:14 j'avoue ne pas comprendre grand chose à ce calcul, que représente dz et dz_ (dz 'barre'), et pourquoi sont ils différents à un signe près, à part que dans le dz'barre' on le défini avec les conjugué de u et de du ? Je n'arrive pas bien à me représenter tout ça, peut-être n'ai-je pas assez étudié les nombres complexes. Merci des vos éclaircissements
Bonjour,
Il faut en effet un peu de théorie des nombres complexes. On considère z = x + iy un nombre complexe. Alors son conjugué est par définition bar(z) = x - iy. Alors on vérifie que x^2 + y^2 = z bar(z), le module de z au carré. De même pour les formes différentielles : dz = dx + i dy et dbar(z) = dx - i dy. On peut alors calculé que dx^2 + dy^2 = dz dbar(z).
J'espère que cela vous aide. - Alex
@@Thomaths Oui, merci beaucoup, mais alors je pensais que dz était l'idée d'un déplacement comme pour le dx, dy dans la formule, mais là c'est donc calculé comme une dérivée non? qu'est-ce que ça veut dire ?
@@MewMew-s1s Je ne suis pas sûr de bien comprendre. On peut toujours interpréter dz comme un petit déplacement (dans le plan complexe). Pareil pour dbar(z). Une dérivée est un taux d'accroissement, càd un quotient de deux déplacements. Quand on a par exemple y=f(x), alors au niveau des différentielles cela donne dy = f'(x)dx. Autrement dit f'(x) = dy/dx.
@@Thomaths Mais donc à quel déplacement correspond dz, sachant qu'il est exprimé par rapport à u? La distance entre les deux? et comment est-il calculé, surtout dbar(z)? Cela veut-il dire qu'il faut considérer z comme une sorte de fonction de u (z(u))?
De mon point de vue, il n"existe pas de géométrie non euclidienne, mais des géométries restreintes via des tenseurs. Partant du principe que la géométrie euclidienne est la seule qui occupe tout l'espace avec tous les points équidistants entre eux et posant l'équipotentialité de tous les points de la géométrie, quelle que soit la valeur ou taille du point. Tandis que pour toutes les autres, comme la géométrie sphérique ou hyperbolique présenté ici, voient les points non équidistants ou/et non équipotentiels entre eux. Le monde imaginé par Poincaré l'illustre bien. Contrairement à ce que dit Poincaré, m'est avis que les habitants de son monde imaginaire commenceraient par poser la géométrie euclidienne, avant de s'apercevoir qu'ils vivent dans un monde où la géométrie est munie de tenseurs. Car on peut noter dans votre vidéo, mais cela est vrai pour toute démonstration, qu'on prend toujours le plan euclidien pour poser les géométries dites non euclidienne et qui sont pour moi des restriction de la géométrie euclidienne. On ne part pas d'une géométrie dites non euclidienne, car cela deviendrait alors hypercomplexe. Essayez donc avec un axe non perpendiculaire ou avec des courbes au lieu de droites, donc, un axe hyperbolique !?
Super... mais un peu raide...
5:54 argth ?!?! Si f(x) = 1/sin x ses primitives sont F(x)=ln(!tg(x/2)!) + Cte ::::::: je suis perdu
Bonjour,
Vous avez raison, la primitive de 1/sin(t) est ln(tan(t/2)). Ici, on l'évalue en arccos(-y) (avec y=2/sqrt(5)) ce qui donne le argth(y). Ce n'est pas évident ! Vous pouvez raisonner ainsi: dt/sin(t) = -d(cos(t))/sin^2(t). Donc un changement de variable dans l'intégrale y=cos(t) donne un intégrant -dy/(1-y^2), où on reconnaît la dérivée de argth. J'espère que cela vous aide. - Alex