Kannst du die FLÄCHE der Figur berechnen? - Flächeninhalt Figuren
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- เผยแพร่เมื่อ 2 ส.ค. 2024
- Flächeninhalt Figur berechnen
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man dem Geometrie Rätsel den Kreis aufteilen kann, um die zusammengesetze Fläche der Figuren zu bestimmen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Flächeninhalt Figur berechnen
0:23 Fläche aufteilen
2:24 Flächeninhalt berechnen
5:34 Bis zum nächsten Video :)
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Ich hab's so gemacht:
Das umgebende Quadrat Q hat eine Seitenlänge von 8 und damit eine Fläche von 64.
Ein Kreis K hat die Fläche von r²·π=4·π.
Subtrahiert man vom Quadrat 4 Kreise, bleibt die Fläche der 4 äußeren roten Sterne (ein Stern = S) übrig.
4·S=Q-4·K
4·S=64-16·π
S=16-4·π
S= 3,44
Und das evtl. noch mal 5.
Auch diese Lösung halte ich für enigermaßen anschaulich.
LG
So habe ich es auch gerechnet
Nice, ich bin ohne das Video zu sehen auf 17,2 gerundet gekommen. Fand ich relativ einfach.
Den Flächeninhalt des Quadrats minus den Flächeninhalten von 4 Kreisen, das ganze dann geteilt durch 4 und dann mal 5.
(64m²-(4*4m²*3,1416))/4*5=17,168m²
Vielen Dank für deinen Kanal, der hat meine alte Liebe zur Mathematik wiedererweckt.
Genau so hab ichs auch gemacht 👍🏼
(16 - Pi x 4) x 5=17,16814 lustige Aufgabe! Sie sieht auf Anhieb schwer aus, aber wenn man mal genau hinschaut...
Also, ich fand die Aufgabe ziemlich einfach. Allerdings rechne ich solche Aufgaben nicht zum ersten Mal.
@@timurkodzov718 sie ist ja auch einfach! Aber auf den ersten Blick sah es wirklich nach etwas aus, was man nicht so leicht berechnen kann. Zumindest für mich. Und ich habe damals Mathe als Abi Prüfungsfach gehabt. Man soll sich eben nicht vom ersten Anschein abschrecken lassen!
@@tdm-treiber Alles klar Sherlock
@@tdm-treiber Ist so. Sieht man das Quadrat vor lauter Kreisen nicht ist man so ziemlich auf verlorenem Posten 😌
Vielen Dank, Susanne, für ein weiteres anregendes Knobeln am Sonnensonntage. Ich mag die wohllaunigen Kommentare mit all den bunten, unterschiedlichen Herangehensweisen. Auch das erweitert ja bekanntlich den eigenen Horizont.
Ich steuere gerne grinsend bei, dass für mich sofort evident war, dass ich von einem die ganze Figur umfassenden Quadrat (8m x 8m) den ganzen Mittelkreis, 4 Halbkreise und 4 Viertelkreise abziehen muss, um auf die Fläche von 4 "Sternen" zu kommen. Dann noch flott mal 5/4 gerechnet und: Voilá: Ein weiteres witziges Stück Mathematik, dass für manche der Umweg die Abkürzung ist.
Mach' bitte weiter so!
Hallo Susanne, heute muss ich Dich und Deinen Kanal einmal wieder hochleben lassen. Es würde mich mal interessieren, wie viele Mathematikverdrossene schon von Deiner überragenden Arbeit profitiert haben - bestimmt `ne ganze Menge. Es bereitet mir immer wieder Freude, wenn ich sehe, dass Du einen neuen Beitrag hochgeladen hast. Es ist auch schön, mal einen Abstecher zu Deinen älteren Videos zu machen und die Entwicklung Deines Forums zu spüren - toll, wie Du das hier hinbekommen hast 🙂 Bei Deinem aktuellen Video habe ich wieder viel zu kompliziert herumgerätselt und Dich dann lieber erklären lassen - wie so oft. Ich wünsche Dir ein schöne neue Woche, Uwe.
ging mir ähnlich … 🤫. Und ich finds cool, dass knifflige Matheaufgaben hier so erklärt werden, dass auch ich es mit ü50 🫣noch verstehen kann. Fettes 🤩 Danke.
Es macht, wie immer Freude, zu zu sehen und mit zu denken. LG und ein schönes Wochenende allen.
Das freut mich wirklich sehr!
Wieder eine anscheinend schwere Aufgabe einfach gelöst und wieder super-toll erklärt. Einfach 👍👍👍
Hallo Susanne! Tolles Beispiel, wie man Figuren "umdenken" kann, um zur Lösung zu kommen. Danke
Ich habe den halbkreis an der Seite, zu dem die 4m angetragen waren, als Referenz genommen. Darum ein 2x4 Rechteck gezogen und den Halbkreis abziehen. Dann haben wir 2 von den roten Ecken. Insgesamt gibt es 20, also alles x10 nehmen. Ähnliches Prinzip eben nur mit einem halbkreis. 😁
Danke schönes Wochenende!
Dankeschön das wünsche ich dir auch! :)
@@MathemaTrick danke
Ich denke, eine rote Teilfläche ist einfach die Differenz: Quadrat (a=4) - Kreis (r=2), also = 16-4pi() oder 4[4-pi()] FE. Das mit 5 multipliziert ergibt: 20[4 - pi()] oder gerundet 17,17 🙂
Das war auch mein Ansatz und damit nach 30 Sekunden erledigt.
Die gesamte Fläche hat duch einen ganzen Kreis, vier Halbkreise und vier Viertelkreise und somit 4 Kreise. Die Seitenlänge von dem Quadrat ist 8 m. (Die gegebenen 4 m und zweimal der Radius, was zusammen ebenfalls der Durchmesser ist.)
Also ist AS = (8² - 4 * 2² * pi) : 4. Und Arot ist dann Arot = 5 * AS.
AS = (64 - 16 * pi) : 4
AS = 16 - 4 * pi
Arot = 5 * (16 - 4 * pi)
Arot = 80 - 20 * pi ~ 17,17 m²
Ich liebe deine Videos!
Du bist der neue Daniel Jung!!
Persönlich würd sehr gern noch weitere Videos zu Differentialgleichungen sehen, falls du darauf Lust hast :)
am liebsten ganz schwierige inhomogene DGLs mit sin, cos in Brüchen und so weiter!
Mach weiter so! Du hilfst mir und sicher noch vielen anderen beim Verstehen!
Dankeschön für die lieben Worte!!
Ich habe mir Anfangs den Stern in der Mitte weggedacht.
Dann habe ich die Gesamtfläche 8x8m² genommen, und davon 4 Kreise (Radius = 2m) abgezogen (zusammengestückelt aus den Kreisflächen, da ich den mittleren Stern ja anfangs weglasse).
Dann habe ich die Fläche von 4 Rauten, also rechne ich durch 4 und dann mal 5.
Ergebnis = 17,1681m²
Scheint mir etwas einfacher zu sein ;)
So hab ich's auch gemacht
Habe erstmal gedanklich ein rotes Quadrat 8x8m gebildet. Außen sieht man nun 4 weiße Halbkreise, sowie 4 Viertelkreise. In der Mitte denkt man sich einfach einen komplett weißen Kreis. Man zieht also die Fläche 4 voller Kreise von den 64m² ab, teilt das Ergebnis durch 4, schon weiß man die Fläche eines dieser roten Dinger.
Erstmal alles Gute und gute Besserung. Ich hatte vor Jahren auch mal - in dem Fall eine "normale" Grippe - mit ähnlichen Symptomen. Hat auch länger gedauert mit Luft und Geschmack und Kräften.
Aber nun werde ich mir erstmal die Aufgabe anhören. 😀
Als erstes stelle ich mir erstmal vor, dass das eine Fliese ist, mit der eine riesengroße Wand gefliest wird. Da ergibt sich doch ein durchgehendes einheitliches Muster, wie bei einem Kristall, und wenn man länger hinschaut, sollte man merken, dass das im Prinzip ein Schachbrett, belegt, dicht an dicht, mit runden weißen Dame-Steinen ist.
Und dass die fehlenden Flächen ganz einfach die Zwischenräume zwischen immer vier Steinen sind.
Dieses Zwischenräume sind flächenmäßig gleich mit den restlichen Flächen, wenn man aus einem Quadrat mit dem angegebenen Durchmesser den hineingezeichneten Kreis ausschneidet. Also 4 m zum Quadrat minus Pi-Viertel mal 4 m zum Quadrat: zusammengefasst: 4 Meter zum Quadrat mal ( 1 Minus die Pi-Viertel ). Damit haben wir dann schon die Fläche von einem der komischen roten Dinger, da ist davon Stücker 5 gibt, ist das ganze noch mit 15 multiplizieren:
Lösungsfläche = 5*(4 Meter)**2*(1-π/4). ("*" Bedeutet "mal*, "**" Bedeutet "hoch", wie in diversen Programmiersprachen, z.B. Python, dies sehr empfehlenswert zu lernen 😀).
PS: Sorry, noch Adam Riese vergessen: macht ausgerechnet 17,168 m2.
Ohhh!
Endlich die Quadratur des Kreises!!! Das ich das noch erleben durfte!!!😂😂😂😂
Juhu 😚 ein neues Video 👍
Vielen Dank und schönes Wochenende 🤘
Dankeschön, euch auch ein tolles Wochenende! 🥰
Super Herleitung!
Durch die Verwendung der Integralrechnung wird die Integration des vierten Teils der Kreisgleichung: √(1-x2)dx As= PI . Danke schon !!
Was doch gut das es dich gibt, macht Spaß👍⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️
Moin, ich fänd's toll, wenn du die Einheiten mitrechnest, weil, wenn man richtig rechnet, kommen auch die richtigen Einheiten raus.
Wäre schön, das auch mal zu zeigen :)
Edit: nach etwas Verwirrung und Zeichnen, bin ich genau wie du vorgegangen ;)
MfG
Rechnen ohne Einheiten gab bei uns Punktabzüge.
Schöne Aufgabe. Danke für das Video.
Dankeschön!
Du bist so genial🤩😍 das ist ja noch einfacher
genau
A1 = 8m x 8m - 4 x (r x r x 3.1414) A = A1 : 4 x 5
Peter Volgnandt
So ähnlich hab ich das Problem auch gelöst, wobei ich die Figur etwas vergrößert habe, ein Quadrat mit vier Kreisen 4 halbe , vier viertel und ein ganzer. Deren Flächen vom Quadrat abgezogen und dann die Flächen von vier "Zwickeln" berechnet.
Das Problem ist aber von anderer Hinsicht interessant. Wir haben hier den Aussschnitt aus einer Kugelpackung, was hier nicht die dichteste Möglichkeit ist Kugeln zu stapeln oder zu packen. Die berühmte Keplersche Vermutung von maximal dichtesten Kugelpackung wurde erst vor wenigen Jahren bewiesen, allerdings ein Beweis mit Computer.
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Danke, hat Spaß gemacht 😊
Super, das freut mich sehr!
Puh ich hab es kompliziert gemacht:
Erst den Flächeninhalt des äußersten Randes (8x8 m) genommen, davon die Fläche von 4 Kreisen abgezogen (da fehlt dann der mittlere Stern) und dieses Ergebnis durch 4 geteilt, um den Flächeninhalt eines Sterns zu erhalten. Diese hab ich dann zu den Flächen der 4 Sterne addiert und hab 17,2 als Ergebnis.
Habe Pi mit 3,14 gerechnet.
Hm 😀
A(Karo) = 4*4 - Pi*2^2 = (4-Pi) * 4
5 * A = (4-Pi) * 20 = 0,86 * 20 = 17,2 FE
Bevor ich daa Video schaue lasse ich mal meine Hypothese hier. Das ganze ist nen Quadrat von 8x8m, davon abgezogen die Fläche von 4 Vollkreisen mit 4m Durchmesser, Rest durch 4 ergibt die Fläche eines Sternchens und das multipliziert man wieder mit 5. So und jetzt das Video :)
Ich habe 20 mal [ein Quadrat minus einem Viertelkreis] gerechnet.
20 (r² - r²π/4) =
20 (2² - 2²π/4) =
20 (4 - 4π/4) =
20 (4 - π) =
80 - 20π
Nette Aufgabe an einem Samstag
(d*d-p*r^2)*5=
Nette Aufgabe, netter Kommentar! Gelungen!!
So schnell war ich noch nie! Ich konnte gar nicht so schnell schreiben. Doch vielen Dank. Beim nächsten mal versage ich wohl kläglich.😪
heute mal ein leichteres quiz aber finde deine videos immer super also bin gespannt
Hatte erst noch etwas komplizierter gedacht, bin dann aber doch auf deine Lösung gekommen 😇
Coole Figur. Ich merke schon du bringst uns langsam an höhere Mathematik ran
Coole Aufgabe. Ich habe mir in der Tat das äußere Qudrat zuerst vorgenommen. Und dann genau so wie Du mit den Teilkreisflächen gearbeitet. Bin aber an der mittleren Figur gescheitert...
Vielen dank 🙏 willkommen zurück 🤘
Dankeschööön Martin!!!
Fläche 4x4 minus Fläche Kreis mit Durchmesser 4 und das Ganze mal 5
16 - 12,566 = 3,434 x 5 = 17,17 geht auch :-)
Ich wollte auch erst am Anfang vom Kreis "klugerweise" vier Viertelkreise abziehen und stellte dann fest, dass nicht nur das Ergebnis, sondern auch ich eine absolute Null war. Als du dann das Quadrat gezeichnet hast, hab ich auch gesehen, welche Fläche ich zu viel abgezogen habe. Wieder einmal so einfach und trotz Mathe-LK Abi mit 13 Punkten (vor 17 Jahren) scheitert man heutzutage.
Ich habe zuerst die Fläche eines Kreises berechnet.
Dann habe ich mir die formen als ein Quadrat mit einem Kreis in der Mitte Vorgestellt. Nun musste ich nur noch die Fläche des Quadrates berechnen welches 4 x 4 ist und rechnete diese minus der Fläche des Kreises. Nun nimmt man nur noch das Ergebnis mal 5 (da man 5 „Sterne“ hat) und kommt auf das Ergebnis.
Zerlege die Fläche in 16 Teilquadrate. 12 außen, 4 innen. Der Viertelkreis im Quadrat mit r=2 hat eine Fläche pi. Der rote Rest R ist bei den äußeren Quadraten jeweils 4-pi. Die zentrale Quadrate enthalten zwei rote Flächen, also jeweils 2R. Insgesamt also 12 Quadrate mit R und 4 Quadrate mit 2R. Somit 20R = 20*(4-pi) = 17,17qm
Warum nicht einfach das Quadrat minus den Kreis = 4 Bogenteilstücke bzw. ein Stern. Stern mal 5 und fertig.
Ich habe es so gemacht:
Quadrat um die gesamte Figur denken, 4 Kreisflächen abziehen (alles was weiß ist, nur dass der Kreis in der Mitte einfach komplett abgezogen wird, mit dem Stern inklusive), dann hat man die Fläche von 4 Sternen. Dann einfach durch 4 teilen und das Ergebnis mal 5, dann hat man die Fläche von allen 5 Sternen.
Hi , Ich find dich sehr sympathisch dazu noch sehr intelligent was will ein mann mehr ,lg
Toll erklärt, aber bei der Angabe der Einheiten gehört m.E. eine Klammer darum. A=(80-20pi)m²
Wenn der Durchmesser des Kreises 4 ist, dann ist die Seitenlänge des umgebenden Quadrats 8 und von dessen Fläche muss nur das weiße abgezogen werden. Das wären erstmal 3 Vollkreise mit Durchmesser 4 und in der Mitte der Teil, der in etwa schon aus einem anderen Video bekannt war - 4²(π/2-1). Insgesamt also 64-12π-8π+16=80-20π=17,17m². Aber die Lösung im Video ist irgendwie besser.
Ich habe die Formel f(x)=-sqrt(4-(x-2)^2)+2 erstellt diese Formel von 0 bis 2 integriert und anschließend das Ergebnis mit 20 multipliziert. Ergebnis was das Gleiche.
Das geht doch viel einfacher :D Viereck - Kreis = Lösung. Warum so kompliziert? :D
Aber schöne Aufgabe! :)
Ich habe das gesamte Quadrat (8m * 8m) 64m² zugrunde gelegt. Dann die äußeren Halb- und Viertelkreise und den Innenkreis abgezogen ( 4* 2² Pi) . Ergab bei meinem Rechner 50,28m². Die von den 64m² abgezogen. Ergibt 13,72 m². Dividiert durch 4 und multipliziert mit 5 ergibt einen Flächeninhalt von 17,15 m²
Mein erster Gedanke war, ich rechne das äussere 8x8 Quadrat aus und ziehe 4-mal den Kreis ab, dann das Ergebnis mit 1,25 malgenomme ergibt den gesuchten Wert. Die im Video gezeigte Variante ist aber eleganter.
Warum x1,25?
Geteilt durch 4 (1/4) und mal 5 (5/1) sind 5/4 sind 1,25
Weil beim ersten Teil der Rechnung nur vier statt fünf rote Flächen berechnet wurden.
Ich war schnell bei 18m2.
Die seiten mit 6x6 und grob :2
Als Fliesenleger wäre das immernoch recht genau, um Material zu bestellen. Verschnitt hat man ja auch noch.
Mein Weg:
Zuerst das einhüllende Quadrat der gesamten Figur betrachten (bin im Folgenden zu faul für Einheiten ;P): Seitenlänge 4+2+2=8 (also die angegebenen 4 zuzüglich jeweils dem halben Kreisdurchmesser an beiden Enden), also ist dessen Flächeninhalt 8×8=64. Ignorieren wir zunächst den "Stern" im inneren Kreis, zeigt sich, dass wir von dem besagten Quadrat insgesamt 4 Kreise abziehen müssen, nämlich den inneren, die 4 Halbkreise oben, unten, rechts und links (=2 Vollkreise) und die 4 Viertelkreise an den Ecken (=1 Vollkreis). Mit 2 als Radius jedes Kreises und demnach pi*2^2=4*pi als Flächeninhalt macht das 4*4*pi=16*pi. Also erhalten wir 64-16*pi=16*(4-pi). Da wurde nun aber zu viel abgezogen! Der "Stern" in der Mitte (dessen Fläche bei diesem Zwischenergebnis fehlt) hat aber genau die gleiche Form wie seine umgebenden Sterne. Die 16*(4-pi) entsprechen dem Flächeninhalt dieser 4 Sterne. Also müssen wir davon 1/4 nehmen und wieder addieren, damit ergibt sich für den gesamten Flächeninhalt: A=16*(4-pi)+(16*(4-pi))/4=20*(4-pi)≈17,17.
Gegencheck mit Susannes Lösung: Bingo! 😁🎉
Mein Blick fiel auch auf die große Fläche mit 4 weißen Kreisen, die von einem Rechteck abgezogen werden müssen, um den Flächeninhalt von 4 Sternen zu erhalten. Als ich dann Susannes Vorgehensweise gesehen habe, erschien mir diese noch einen Tick smarter und leichter 😉
17 ist eine wunderbare Zahl.
Ich habe einfach den inneren Stern ignoriert, dann ein Quadrat um du äußere Figur gedacht, und von ihr vier Kreise abgezogen(1 für die Vierteljreise an den Ecken, zwei für die zwei Halbkreise und einen für den inneren Kreis sammt ignoriertem Stern) das Ergebnis habe ich dann einfach mit 1,2 multipliziert um auf fünf Sterne zu kommen. Deine Methode ist aber meiner Meinung nach einfacher.
👍👍👍👍👍👍
Könnten wir auch etwas mit Formaler Logik machen? Mich interessiert vor allem die materielle Implikation. Aber die anderen Sachen auch... 🙂
Ich habe versucht mit Dreieck die Aufgabe zu lösen. Das wird bischen komplizierter als was du gezeigt hast.
Hallo Susanne, mein Ansatz war leicht anders: Ich habe zunächst die Fläche eines Quadrats berechnet (4 qm), dann den entsprechenden Kreis (3,14 qm). Die Differenz für die verbleibende Fläche für die seltsame Figur ist dann gerundet 0,86 qm. Diese 0,86 qm multipliziert mit 20 und man kommt auf 16,80 qm (aufgrund der Rundungsfehler).
Als Kopfrechenaufgabe habe ich den Rundungsfehler in Kauf genommen :-)
Dankeschön - Hat Spass gemacht. Schönes Wochenende!
Hast du die gerundeten 0,86 noch einmal auf 0,84 abgerundet, bevor du mit 20 multipliziert hast? 😉
🤔 spannend! Also das quadrat, dass es umgibt ist 8x8. Da ziehe ich 4x0,5+4x0,25+1 kreis ab mitm Radius 4. Dann habe ich 4 von diesen figuren den dann mal 5/4
Ich habe mir eben überlegt, ein Quadrat in den Kreis einzuzeichnen. Das Quadrat hat dann die Diagonale von 4 m. Der Flächenunterschied zwischen dem Kreis und dem Quadrat sollte die Hälfte der weißen Flächen betragen. Das also verdoppelt und von der Kreisfläche abgezogen, sollte die Fläche eines Sterns ergeben. Und das mal 5
Rote Teil-Grundfläche außen: 8x2=16m² | Diese Teilfläche wird von einem weiße Kreis bedeckt. Fläche Kreis: 4x3,14=12,56m² | Kreis von roter Fläche abziehen= 16m² - 12,56m² = 3,44m² | Ein Stern ist also 3,44m² groß. Fünf Sterne: 5x3,44= 17,2
Muss man bei der vorletzten Zeile die m² nicht nach 80 und nach 20pi schreiben oder komplett weglassen?
Man kann ja auch nicht einfach sagen 10 - 5 Äpfel sondern 10 Äpfel -5 Äpfel.
Aber trotzdem super Video
Ja, oder alternativ um 80-20*pi Klammern setzen. Abgesehen davon hätten die m^2 auch schon eine Zeile höher mit dabei stehen müssen. ;) Da geht Susanne zugegeben etwas zu oberflächlich um mit den Schreibweisen. Aber trotzdem kein Beinbruch, das Problem und seine Lösung werden verständlich & nachvollziehbar herüber gebracht. ;)
Unser Mathelehrer erlaubt uns aber auch, die Einheiten erst am Ende hinzuschreiben.
Das ist letztlich Geschmackssache. Ich persönlich fühle mich wohler damit, wenn sie konsequent beibehalten werden, kann aber auch damit leben, wenn andere aus pragmatischen Gründen damit etwas lockerer umgehen. Solange es nachvollziehbar ist und nichts grundsätzlich Falsches dabei auftritt (wie eben die besagte von dir angesprochene "Unebenheit" der Schreibweise), passt das schon so. ;)
@@therocraft9907 Und ich musste damals Einheiten in jeder Zeile mitnehmen - erst recht, wenn es unterschiedliche Einheiten in einer Rechnung waren. Habe ich die nur am Ende hingeschrieben oder geschweige denn komplett weggelassen, gab es massiven Punktabzug.
@@therocraft9907 Aber spätestens wenn man in der Physik mit haufenweise verschiedene Einheiten in einer Gleichung zu tun hat, bekommt man dann Probleme. Oft ist es da auch so, dass man dann gar nicht mehr weiß, welche Einheit das Ergebnis eigentlich haben sollte! Und wenn man sich das gleich von Anfang angewöhnt, hat man dann keine Probleme mit den Einheiten!
64- pi*16 (für alle 5 roten Flächen zusammen) (glaube ich im Kopf)
Die Rechnung war ja recht trivial. Was mich allerdings interessieren würde und was ich gerne ein bisschen mehr im Detail hätte hören mögen ist, wie dein Gedankengang ist, um solche Aufgaben zu vereinfachen. Ich wäre gegen die Wand gelaufen und hätte versucht, die weißen "Reiskörner" zu berechnen, anstatt einfach ein Quadrat zu finden, was es so optisch erstmal gar nicht gibt.
wie wäre es zur Abwechslung mal mit Integral. Noch spannender fände ich aber das Arbelos-Ding zu berechnen.
Mein Weg war etwas umständlicher, führte aber zum selben Ergebnis. Ich habe die weiße Fläche W berechnet und diese von der Fläche des Gesamtquadrats G=(4r)²=16r² (8m Kantenlänge) abgezogen, um die rote Fläche R zu erhalten. Im äußeren Rand der Figur sind 4 weiße Halbkreise an den Kanten 4 Viertelkreise an den Ecken enthalten. Der Radius r=2m ist aus der Zeichnung bekannt. Das ergibt in Summe die Fläche von 3 Vollkreisen W(a) = 3πr². Nun bleibt noch die Fläche W(i) der vier weißen Zwickel im Inneren. Jeder dieser Zwickel ist ein Teil eines Quadrates der Kantenlänge r=2m, sein Flächeninhalt ergibt sich aus der Subtraktion der beiden roten Ecken, deren Flächen andererseits die Differenz aus Quadrat minus Viertelkreis ist, also pro Zwickel 2(r²-πr²/4) = 2r²(1-π/4) (der Faktor 2 vor der Klammer kommt daher, dass es 2 rote Ecken sind). Dieser Wert ist also von r² jeweils abzuziehen. Die Gesamtfläche der vier weißen Zwickel zusammen ist also W(i)=4(r²-2r²(1-π/4))=4r²(1-2(1-π/4)). Die weiße Gesamtfläche ist demnach W=W(a)+W(i)=3πr²+4r²(1-2(1-π/4))=r²(3π+4(1-2(1-π/4))). Die rote Fläche ist
R=G-W=16r²-r²(3π+4(1-2(1-π/4)))=r²(16-(3π+4(1-2(1-π/4))))=r²(16-(5π-4))=r²(20-5π)=4(20-5π) Quadratmeter ≈ 17,16815 Quadratmeter.
Es sind gesamt 5 "Blätter", die man in 20 Viertelblätter zerlegen kann.
Die Fläche eines Viertelblatts ist ein kleines Quadrat mit Größe 2x2 abzüglich des Viertelkreises mit Radius 2.
A = 20* (2*2 - 1/4*2²*pi) = 17,17m²
Praktische anwendung
👌👌👌😺
Man könnte auch das gesamte 8x8m große Quadrat nehmen und davon die Fläche von 4 Kreisen abziehen (das mittlere rote Viereck außer Acht gelassen) und hätte so die Fläche der vier äußeren roten Vierecke
Zu dem könnte man dann ein Viertel des Wertes addieren (was die Fläche des mittleren ergibt)
In der Tat, Fräulein Scherer, ein charmanter Lösungsweg. Allerdings verstummt die Frage nicht, woher die Prämisse stammt, es handele sich in besagtem Zentralquadrat um Viertelkreise. Kann man das, was optisch augenscheinlich ist, mathematisch voraussetzten?
@0:18: man nehme sich einen einzigen Stern, und schaue sich diesen an: es ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 m, aus dem ein Kreis selben Durchmessers (= Radius 2 m) ausgeschnitten ist. Die Fläche des Kreises wird von der Fläche des Quadrates abgezogen, das Ergebnis mal 5 genommen. Die Verschiebung wird durch das additive Element der Multiplikation berücksichtigt.
A=64-π*4^2+(64-π*4^2)÷4=17,17 m^2
Dies ist auf 2 stellen gerundet der exakte flächeninhalt, so wie ich vorgegangen bin
((4×4)-2^2*pi)*5= ca. 17,16 liebe Grüße
Algorithmus MathemaTrick😌
5/4 × (64 - 16 × Pi)
Das ganze Gebilde ist 8x8=64
- 4 Kreise a 12,566= 13,736 (da sind allerdings 4 rote Flächen drin)
=> 13,736/4*5=17,17
Hab ein Kreuz in der Mitte gemacht, dann die roten Viertel nach außen geklappt, gesehen, da ist ein Quadrat, von dem ich eine Kreisfläche abziehen kann, =ein Teil, x5
❤️❤️
Hey könntest du mal was zu wechselwinkel machen ich benötige das im Beruf auf kapiere es nicht so ganz ich verwechsel da immer was
a) saucool. probier ich sofort.
b) [vmtl. jahrzehnte später]: ?
c) obwohl ich mich an die komplementäre aufgabe von vor einem monat erinnere, bei
der ich ganz zufrieden mit mir war, heute nach 30min nix hingekriegt. sommerflaute.
Ab Min 4: 07 Viertel-Kreis- Berechnung Ao = r² * PI. Und der Radius soll 2m sein vom Viertel- Kreis. Und um alle 4 Halb-Kreise zu berechnen setzt Susanne 2 m für den Radius ein, also Ao= 2m * 3,14, aber stimmt das? Wenn ja, warum? Ich verstehe es nicht. Für mich sind es vier Halbkreise und es müsste nach meiner Überlegung Ao= 4 * 2m * 3,14 sein.
Habe mal links oben einen 4tel stern ausgerechnet und dann (4 *5)
ich habe eine frage,
kann man mit Fachhochschulreife reines Mathematik studieren? ich bin schon am zweifeln ich möchte was studieren und habe nur bock auf Mathe tatsächlich.
Schau mal hier berichte ich ein wenig über meine Erfahrungen im Mathe-Studium: th-cam.com/video/h4P3iOLHXf8/w-d-xo.html Vielleicht hilft dir das bei deiner Entscheidung. Lies ruhig auch die Kommentare, da haben viele auch von ihren Erfahrungen berichtet.
@@MathemaTrick
ok ich habe mir grad den video angeguckt und muss sagen ich bin tatsächlich einer der spaß beim aufgaben lösen hat und nicht gerne viel ließt und spaß beim beweisen hat😅
v.a. ist mein deutsch noch nicht mal so stark daher würde ich mir was anders denken. ich hab jetzt bisschen über Informatik nachgedacht, da gibt es gott sei dank auch mathe drin😁
sollte es mir Sehr sehr schwer auffallen dann mach ich halt was anders mal gucken wo ich am ende lande💥
Mein Lösungsansatz wäre gewesen: Den Kreisumfang eines Kreises mit einem Durchmesser von 4m vierteln und aus den vierteln ein Quadrat bilden, dessen Inhalt kongurent ist zum Flächeninhalt einer roten Figur.
exakt so
Another way of solving this (not better, just different).
Imagine a square box around the 5 red stars.
The surface area of that box is 8x8 m² = 64 m².
Now remove the central red star as it is annoying.
This leaves a full white circle in the center, together with 4 half-circles along the edges of the box and 4 quarter-circles in the corners.
This totals to 4 full white circles with a total white surface area of 4 times pi.2² m² which is 16.pi m².
The rest of the box is the 4 red stars which thus have a surface area of 64 - 16.pi m².
But the question had 5 red stars, not 4, so we multiply by 5/4, giving 80 - 20.pi m² as the answer.
1) Ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 m hat eine Fläche von 16 m².
2) Ein Kreis mit Radius 2 m hat eine Fläche von 2² * π = 4π und ist somit etwas kleiner als das in 1) genannte Quadrat.
3) Die Differenz entspricht 4 Vierteln eines roten "Sterns" und damit einem ganzen roten "Stern": 16 - 4π
4) Es liegen fünf "Sterne" vor: A = 5 * (16 - 4π) = 20 * (4 - π) ≈ 20 * 0.86 = 17,17 m²
Sehr gut erklärt, dass man mal Klammern braucht, aber kurz vor Schluss hinter eine Summe einfach m^2 scheiben - ohne Klammern - geht eigentlich nicht.
4 mal pi für die Kreis Fläche.
Diese dann halbieren da man oben links die Hälfte des Objektes ausrechnen möchte, und von ihr zwei viertel abgezogen werden.
Das Ergebnis von dem halben Kreis muss man dann noch von dem Rechteck oben links (2 x 4) abziehen.
Dann hat man die Fläche von der Hälfte des roten Objektes.
Insgesamt gibt es 5 Objekte, also 10 halbe Objekte. Das Ergebnis muss also noch x 10 gerechnet werden.
Hallo Zusammen, guten Abend,
zuerst mal lieben Dank an Susanne für diese schöne Aufgabe.
Mein Lösungsansatz ist:
1) bestimme den Flächeninhalt 1 roten Teilflache
2) rechne das Ergebnis mal 5, weil die Teilfläche 5x vorhanden ist. 🙂
zu 1) Der vorgegebene "Durchmesser-Graph" ist in jeder der roten Teilfiguren der Abstand von einer Spitze zur jeweils gegenüberliegenden Spitze. Somit kann man um jeder rote Teilfigur ein Quadrat "malen" bei der die Spitzen der Teilfigur auf den Sitenlinien des Quadrats liegen. Für die Für die Fläche der Teilfigur ergibt sich dann Fläche Quadrat - die "weißen Fläch an den Ecken =Fläche Teilfigur.
Für die weißen Flächen kann man (hoffentlich) erkennen, dass es jeweils Viertelkreise sind. Da es 4 Viertelkreise sind ergibt sich für die gesamte weiße Fläche ergibt sich somit ein Kreis.
Die Seitenlänge des Quadrats entspricht derr Länge des gegebene Durchmesser-Graphen, also 4m
Gleichzeitig ist der "Durchmesser Grap" der Durchmesser des weißen Kreis, somit der Radius die Hälfte davon, also 2m
Fläche Quadrat = Seitenlänge² =(4m)² = 16m²
Fläche Kreis= pi * Radius² = pi * (2m)² pi * 4m²
Fläche rote Teilfigur =Fläche Quadrat minus Fläche Kreis = 16m -4*pi*m²
zu 2) Gesamte rote Fläche =5*(16m-4*pi*m)=80m-20*pi*m = gerundet 17,17m
Mal sehen ob meine Lösung stimmt.
LG euch allen aus dem Schwabenland und noch ein schönes Wochenende.
Habe es anders gemacht. Fläche von 2x2, davon den 1/4 Kreis abgezogen und das ganze mal 20. Fertig. ;)
Aber das ist das schöne an solchen Aufgaben, es eben nicht DIE Lösung für das ganze.
~17,17
Hab es über einen anderen Weg berechnet: (64-4*(4Pi))/4 = 1rotes Karo. Das mal 5 und ich komme auch auf 80-20Pi :)
Hallo!
Ich habe Ihnen einen Video mitgebracht.
th-cam.com/video/1UFXnkjDWt8/w-d-xo.html
Ja könnte ich berechnen denke ich. In Geometrie war ich immer fit.
In der Mitte den Kreis würde ich tatsächlich zuerst berechnen. Denn die anderen Kreise, welche die Segmentierungen beschreiben sind identische Kreise.
Zumindest behaupte ich das ohne es zu beweisen.
Dann kann es nicht so schwer sein ein Blatt zu berechnen, die Schnittmenge zweier Kreise.
Mal vier und das Ergebnis von der Kreisflache ( pi mal r ²) subtrahieren. Dieses Ergebnis mal fünf.
Das Problem eine Schnittmenge zweier identischer Kreise zu berechnen stellt sich häufig in vielen Anwendungen ( Architektur, Gartenbau, Malerei... )
In dieser Aufgabe schneiden sich identische Kreise jeweils im 90 Grad Bereich also rechtwinklig. Damit ist schon mal klar dass die Aufgabe auf Realschulabschlussniveau lösbar ist.
So long.
Etwas anders vorgegangen, aber doch ähnlich:
Durch Betrachten der Symmetrie stellt man fest:
Die Gesamtfläche G = 8 x 8 = 64
(Man stelle sich einfach einen Rahmen um die Gesamtfigur herum gezeichnet vor, das ist ein Quadrat mit 8 m Seitenlänge)
Damit ich die Fläche von den nur 4 roten Sternen bekomme, muss ich von der Gesamtfläche insgesamt 4 weiße Kreisflächen Fwk abziehen (in den Ecken des Gesamtquadrats liegt je ein weißer Viertelkreis, macht also einen weißen Kreis, dazu kommen noch zwei weitere weiße Kreise (oben/unten, links/rechts) sowie der weiße Kreis in der Mitte macht zusammen 4 weiße Kreise.
Also
Fs4 = G - 4 Fwk
Die gesamte rote Fläche ergibt sich dann durch ergänzen um einen weiteren roten Stern, also 1/4 der berechneten Fläche Fs4:
Fwk = r^2 * pi
Fs4 = 64 - 4 Fwk = 64 - 16 * pi
oder etwas umgeschrieben:
Fs4 = 4 * (16 - 4 * pi)
Somit ist die rote Gesamtfläche (5 Sterne):
Fs5 = 5 * (16 -4 * pi)
Genauso bis auf das ich d^2*PI/4 verwendet habe. 🧮
Fläche rot ist 5*(d^2 - d^2*PI/4 )
= 5 * d^2 * (1 - PI/4) | d=4m
= 80m^2 * (1 - PI/4)
= 17,16814692820414m^2
Ich habe gerechnet (4 - 1/4 * Pi * r^2)*20 und komme auf 17,1681
Mein Ansatz vor schauen der Lösung: (2²-((π*2²)/4))*20 = 17.168
Habe einfach den Flächeninhalt von einem roten viertel eines Sterns berechnet, in dem ich den flächeninhalt von einem Viertel Kreis mit dem Radius 2 von einem Quadrat mit der Seitenlänge 2 abziehe. Dann einfach mal 20 nehmen um die Sterne "aufzufüllen".