Есть ещё координатный метод. Пусть точка В - центр координат. Тогда окружность проходит через три точки: (0;6), (0:0) и (7:-1). Уравнение окружности (х-a)^2 + (y-b)^2 = R^2. Подставляем в него координаты точек и получаем систему из трёх уравнений, которая легко решается: a = 4, b = 3. Соответственно, радиус окружности корень квадратный из 3^2 + 4^2 = 25.
Если провести отрезок AD, то получается два подобных треугольника с коэффициентом подобия 6, то есть BC разбивается на два отрезка 6 и 1. Выходит, что оба треугольника равнобедренные, а значит угол BAD = 45. Тогда по теореме синусов 2R= BD/sin(45) = sqrt(7^2+1^2) / (sqrt(2)/2) = 10, а R = 5.
Я пошел в ту же сторону, но забыл про теорему синусов. Из двух подобных треугольников находим AD, по теореме Пифагора находим BD, дальше у нас вписанный треугольник с тремя известными сторонами - находим площадь (по формуле Герона, например), находим радиус
Продлили зеленую линию и она стала равна8, провели из середины под прямым углом высоту, из середины красной тоже высоту, в точке соединения центр круга, из точки в прочертили радиус, треугольник стороны 3 и 3,5 далее радиус равен корень квадратный из суммы квадратов 3 и 3,5, получаем примерно 4
Приведенное тут нахождение СК неочевидно, и вероятно - неверно. Есть другое предложение, рассматриваем треугольник FBD который состоит очевидно из двух прямоугольных, BDC и и FBC. Где нам известны все катеты, то есть легко найти и площадь и стороны.
Говорят, что в Москве кур доят. Задача решена, но увы не геометрически, а алгебраически. Если ВСD достроить до прямоугольника ВСDЕ, то ясно что треугольник АЕD равнобедренный прямоугольный (6+1=7), а это значит что прямая АD сечёт ВК под углом 45 градусов. Поскольку вписанные углы равны, то угол АDК прямой, а угол АDС равен 45 градусов, то и угол СDК тоже равен 90-45=45 градусов. А это значит, что СD=СК. Тогда, по теореме Пифагора, диаметр окружности равен 10, а радиус соответственно 5.
Спасибо за разбор! Но можно, пожалуйста, больше стереометрии: это тоже очень интересно и ломает мозг (в хорошем смысле) не меньше. Например, задачи сложного уровня из учебника Мерзляка 10 и 11 классов, там много на построение и нахождение отношений.
Всё намного проще, есть хорда размером 6 и есть часть хорды размером 7 и отрезок на окружность размером 1. Теперь по теореме Пифагора понятно, что у части хорды отсутствует значение 1, тогда вся хорда будет размером 8. Остаётся решить 6²+8²=(2R)², 100=10², R=10/2=5 Всё гениальное - просто.
Так нужно доказать (!), что тот кусочек 1!!! Мы э этим и заимались слегка. Возьмите другие размеры, 6, 5 и 3. И посмотрите. Но спасибо, что смотрите нас.
@GeometriaValeriyKazakov и доказательство простое у Пифагора, что тут треугольник с углами два по 45° со сторонами 1 и 1, геометрия 5-6 класс средней школы. А, вы высшую математику применяете.
@GeometriaValeriyKazakov если построить в кругу хорды 6 и кусочки 5 и 3, тогда и диаметр изменится. Вы не знаете свойства хорды, круга и прочего из Пифагора и других геометров, поэтому плавание в этом. Лично за более 70 лет прекрасно это знаю из советской школы и учила этому детей и студентов. А, вы пытаетесь преподавать...
Не... Я верен методу координат. Ставим начало координат в точку В, оси - по BA и BC. Учтём, что ордината центра окружности лежит на серединнном перпендикуляре к AB. Вводим неизвестную абсциссу центра X. Для точек B и D - записываем уравнение окружности: x^2 + 3^2 = R^2 (7-x)^2 +(-1-3)^2 = R^2 Приравнивая левые части - получаем простое линейное уравнение, откуда найдём X = 4 Ну и дальше, подставив в первое уравнение, найдём R=5
мне нравится Ваш канал, что здесь можно увидеть много вариантов решения, и узнать что-то новое для себя, или вспомнить то, что давно забыл, но я воспользовался своим давно проверенным вариантом решения: проводим DF, проводим серединный перпендикуляр, проводим радиусы в точки B и D, получаем два прямоугольных треугольника и R^2=3^2+x^2 и R^2=4^2+(7-x)^2 => 3^2+x^2=4^2+(7-x)^2 => 9+x^2=16+49-14x+x^2 => 14x=56, х=4, R^2=3^2+4^2, R=5
Них...вааще не врубился. Zасрал голову на ночь глядя... Заснуть не смогу - спасибо тебе мил-человек - гипотенуза в кошмарном сне на косинус-фи через корень квадратный множиться будет... Ууууу!
Таки была уже эта задача: th-cam.com/video/zEmE8d5N-5s/w-d-xo.html&lc=UgxjkFyqmBBhoZEGOmx4AaABAg.AD8rGkEK0d3AD_Sfx4d0oc , Только вот там неудачно получилось что самый маленький отрезок оказался частью диаметра, но в общем виде решение и автор предложил, и я свое тоже. Тут в общем и вся уловка только в том, что за маленьким отрезком параллельная хорда прячется, а дальше уже всё известно и Пифагор))) А вот комментаторы от души над автором тогда поиздевались типа зачем дальше решать задачу когда диаметр уже найден.
Да, была похожая. И да, некоторые слабенькие зрители, почему-то решите, что отрезок - часть диаметра, хотя это никак не следовало сразу из условия Всегда есть слабоподготовленные зрители, которые не очень разбираются в математике. Поэтому веселяться. Но на то и канал, чтобы научить. У вас прекрасная память. Спасибо.
В нижнем полукруге можно построить прямоугольную трапецию. В ней выделить 2 прямоугольных треугольника с катетами 3 и 4. Имеем Египет , а далее все ясно. Интересно мнение автора и всех остальных математиков
@@ВадимКличко-г3с проводим горизонтальную линию через центр окружности. Она делит круг на 2 полукруга: верхний и Нижний. В нижнем полукруге рисуем трапецию с основаниям 3 и 4 . И высота у неё 7. (Высота лежит на горизонтальном диаметре, она же боковая грань).трапеция прямоугольная. Высота (она же боковая грань) делится на 2 отрезка длиной 3 и 4. Эта точка есть центр окружности. Рисуем 2 прямоугольных треугольника со сторонами (3,4,5). ( они лежат в трапеции). 5 - это радиус. Всё
Все, что надо понять - что продленный до окружности зеленый отрезок равен 8. Проще всего это увидеть, если провести срединный перпендикуляр, он же - диаметр, к красному отрезку, и увидеть симметрию. То есть "весь" (ну, в смысле - продленный до окружности) синий отрезок равен 1 + 6 +1, и делится точкой пересечения с зеленым на куски 7 и 1. Ну, и все, радиус 5. Если такие вопросы задают в Стэнфорде, то ...
В принципе не так сложно. Подсказки есть. Продлеваем ВС до пересечения с окружностью (точка К), продлеваем DC также до точки N. Из трапеции ABNM и свойств хорд МN и AK доказываем, что СК=СД=1, отсюда СК =8, Египетский треугольник АВК, диаметр АК =10, R=5.
Если на отрезке в 7 единиц отложить справа отрезок в 1 елиницу, то через новую точку под углом в 45 градусов пройдет прямая, на которой будут лежать гипотенузы и треугольника с катетами 1 и 1, и треугольника с катетами 6 и 6. Это значит, что если мы изменим сторону одного из таких прямоугольных равнобедренных треугольников на какое-то расстояние, то на это же расстояние изменится длина другого катета, но с противолодным знаком. Таким образом, диаметр окружности будет равен гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 6,5 и 6,5. Диаметр равен √[(6,5^2)*2]=6,5√2 Радиус равен 3,25√2 или 13√2/4. В чём противоречие
Пусть AD пересекает BC в точке E. Треугольники ABE и CDE подобны, поэтому CD/CE = AB/BE, или 1/CE=6/(7-CE), отсюда CE=1, BE=6, и ABE - равнобедреный прямоугольный треугольник, поэтому угол BAD=45.
Маск не поступал в Стэнфордский университет. Только собирался. Странно было бы бакалавру по физике и экономике после окончания Пенсильванского университета при поступлении в другой универ сдавать такой экзамен. :-))
Пусть ACDB - трапеция, в которой основания AB=a, CD=b, а высота BC⊥AB и равна h. Также проведём среднюю линию MN (M∈AC, N∈BD) длиной ½(a+b). Опишем около △ABD окружность с центром O и рассмотрим △BCD и △NMO: они оба прямоугольны (M и O лежат на серединном перпендикуляре к AB как центры описанных около △ABC и △ABD; MN||AB), а ∠MNO = ∠CBD из MN⊥BC и ON⊥BD, тогда они подобны. Следовательно CD/BC = MO/NM, откуда MO = NM·CD/BC = ½(a+b)·b/h. Из прямоугольного △MNO NO² = MO²+MN² = ¼(a+b)²·(1+(b/h)²), из прямоугольного △BCD BD² = BC²+CD² = h²+b² (значит DN² = [½BD]² = ¼h²[1+(b/h)²]); из прямоугольного △DNO DO² = DN²+NO² = ¼h²(1+(b/h)²) + ¼(a+b)²·(1+(b/h)²) = ¼(1+(b/h)²)·(h²+(a+b)²). Замечу что ¼(h²+(a+b)²) - квадрат половины диагонали AD; есть способ прийти к аналогичному результату, используя среднюю линию △ACD. Пристальным взглядом можно увидеть и b/h = tg∠CBD, но это уже рюшечки (заменять 1+tg² на cos⁻² имело бы смысл, будь вместо CD дана хорда BD). 😉 Применительно к нашему случаю получается ¼(1+1⁄7²)·(7²+(6+1)²) = ¼·50⁄49·(49+49) = 25, то есть радиус равен 5.
здесь сразу угадывается 5 но и решать ничего не нужно от B к C отступаете 1, вверх 6, это квадрат 6 внутри круга, по его сторонам до окружности везде 1 (можете достроить мысленно квадрат и маленькие треугольнички) собственно всё: 6, 8 = 10 радиус 5
1. Проводим из точки D прямую, параллельную ВС, пересекающую прямую АВ в точке L и окружность в точке M. 2. По теореме о секущей к окружности LM * LD = LB * LA откуда LM =1 3. Проводим перпендикуляр из точки М пересекающий ВС в точке N. Получаем прямоугольный треугольник ВМN c катетами 1 и 1. 4. Так параллельные прямые отсекают равные дуги, а хорды стягивающие равные дуги равны, гипотенуза BM = DK, откуда треугольники BMN = CDK, откуда СК =1, ВК=8. Замечание: Пункт 3 можно было не делать а рассмотреть треугольники BLM = CDK по тому же свойству. 5. как у Вас.
Радиус окружности, описанной около произвольного треугольника, вычисляется по формуле: R = a b c / 4S, где a, b, c - стороны треугольника, S - его площадь. О каком треугольнике речь, думаю ясно, координаты его вершин вычисляются очень легко, длины сторон и площадь - как следствие, тоже.
еще раз Нам нужен радиус-диаметр, для этого нужно значение ВК. Рецепт а)подобие б)свойство пересекающихся хорд в)Пифагор а) продолжим ВС до ВК и проведем АД. ВС сечется т М на 6 и 1. б) Квадрат произведения огрызков АД =72*2=144. квадрат МК=144/36=4. Откуда МК=2 и ВК=6+2=8 с) квадрат диаметра равен сумме квадратов катетов =64+36=100. АК=10 Ответ:5
Рассматриваем треугольник BСF, откуда СF=7, следовательно треугольник BСF равнобедренный, угол В=45, находим сторону треугольник АF=корень из 50, получаем равнобедренный треугольник треугольник BАF, где угол АBF=45, далее применим формулу: корень из 50/sin45=2R, откуда R=5
Параллельно и вертикально вниз перенесем BС на 1 и продлим AB тоже на 1. Точки С и D совпадут и пусть эта новая точка будет D. Точка B теперь вне окружности и все еще прямой угол нового прямоугольного треугольника ABD с катетами 7, 7. Очевидно, что это половина квадрата. Пусть новая точка пересечения отрезка BD и окружности будет B'. Очевидно, что старый не продленный отрезок(хорда) AB равен новому B'D и равен 6. Опустим перпендикуляр из центра окружности на B'D. Длина перпендикуляра очевидно равна половине старой хорды AB и плюс 1, так как мы сдвинули на эту величину старый BC. Поэтому перпендикуляр из O на B'D = 4 и он делит новую хорду B'D пополам. Проводим гипотенузу из центра окружности в D и получаем прямоугольный треугольник 3, 4, 5. Где 5 - гипотенуза треугольника и радиус окружности.
Доказываем что угол ВАД равен 45° т.к. образуются подобные треугольники ( надо доказать), тогда центральный угол БОД 90% Находим ВД2=50, тогда радиус равен пяти. Так решал Маск.
В уме решается ровно за 2 минуты. Алгебраически. Ищем координаты центра. прямая (3.5, -0.5) + к*(1,7) - это серединный перпендикуляр к BD, пересекается с прямой y=3. В точке (4,3) - это и есть координаты центра окружности в системе с центром отсчета в В. Фсе. Дальше т. Пифагора. Не надо искать сложных чертежей там, где можно решить уравнение в уме. Мальчик Владик, 55 годиков.
Или так (для разнообразия): в трапеции ВАСD т. пересечения диагоналей делит диагональ ВС в отношении 1 : 6, т. о., вписанный ∠ВАD = 45°, а центральный ∠ВОD = 90°. В ▲ВОD ВD = 5√2, ВО = ОD = R = 5.
Точка пересечения отрезка "1" с окружностью - А. Отрезок "1" продлим вверх до пересечения с окружностью. Точку пересечения назовем D. Точки пересечения красного отрезка с окружностью В (нижняя) и С. Соединим С с D. Получим трапецию ABCD.Точка пересечения отрезка "7" с АD - H. Соединим В с D. Получили треугольник АВD, вокруг которого описана данная окружность. АD=8 (по построению) По теореме Пифагора ВD^2=BH^2+HD^2 BD=√(7^2+7^2)=7√2 АВ^2=АН^2+ВН^2 АВ=√(7^2+1)=5√2 R=AB×BD×AD/4S(ABD) (по формуле R=aвc/4S) S(ABD)=AD×BH/2 R=(5√2×7√2×8)/(4×8×7/2)=5✅
Возьмите другие отрезки: 6 5 и 3 и уже не будет равенства. Равно не потому, что видно, а потому, что математика дает это. И я не высмеиваю, а учу математике. А не фигне на глазок.
Я бы решал аналитической геометрией. Координаты точки b принял бы (0, 0), и находил бы координаты точки пересечения прямых - перпендикуляров к серединам отрезков ab и bd. А радиус - расстояние от точки a до найденного центра окружности.
BCF и CDK - равнобедренные, CK = CD = 1. BK = 8. Серединные перпендикуляры к AB и BK в пересечении дают центр окружности (W).В треугольнике BW(середина BK) один катет 3, второй 4, гипотенуза (она же радиус R) равна 5 (по "египетскому треугольнику"). Олимпиадная задача в классе этак шестом средней школы.
@@GeometriaValeriyKazakov Я также продлил АС до круга и понял что это 8. Далее центр круга лежит на половине этих прямых. Представляем прямоугольник со сторонами 4 и 3 вершина его это центр круга, по теореме Пифагора получаем 5. И всё.
Я преподаю математику в Америке. Из опыта знаю, что американец не станет заморачиваться ни с какими доказательствами и выводами. Продлит отрезак, что 7 см до пересечения с окружностью, предположит сразу, что до пересечения 1, длина отрезка 8, а поскольку угол 90 градусов и вписанный, то угол отсекает диаметр, который из теоремы Пифагора 10, а радиус 5. И поскольку красиво получилось то звучит сакраментальная американская фраза: Это работает! Маск вам будет возиться с такими проблемами....
Спасибо. У нас речь идет о математике. Вся математика вообще в мире - доказательная. Наши школьники (корейские и китайские) на выпускном экзамене письменно объясняют решение (думаю вы это знаете). Поэтому мы ссылаемся на теоремы и свойства, что правильно, на наш взгляд. А вы можете делать все на глазок. Это же угадать не сложно, как в бизнесе. Поэтому Илон и ушел в бизнес из Стенфорда. Но ведь Эндрю Уайльз как-то доказал теорему Ферма. Честно, я очень рад, что вы заглянули к нам. Если что-то заинтересует, то зайдите в плейлисты канала, там материал разбит по классам и уровням.
Да в этом ролике мне интересно, что предположит по вашему мнению американец при других размерах хорд: 6, 5 и 2. th-cam.com/video/sCeOY6-WyVA/w-d-xo.htmlsi=HzWLvYine3T8N97o
Достроить до равнобедренной трапеции встроенной в окружность. Внутри трапеции построим равнобедренный прямоугольный треугольник со сторонами равными 7и углами 45 град. От сюда следует что центральный угол который опирается на хорду являющейся стороной трапеции будет 90 град. Стороны треугольника с центральным углом являются радиусами в равнобедренном треугольнике и хордой (сторона трапеции). В итоге сторона трапеции равна квадр корень из 50, а радиус равен кор из 50 поделить на кор из 2 . В результате 5 😁✌️
@arxippp-lb2tv вариант "шеф" - вряд ли, он уже отписывался по этому поводу... Более вероятен вариант - "зрители балУют", удаляя свои комменты, посчитав их неуместными... Хотя есть и третий - "модераторы Ютуба прикалываются")))
Спасибо. Это и так всем понятно. Хайп нам не нужен, нужна помощь и позитив зрителей. Может кто-то почитает, что Илон закончил 2 универа и поступил в третий - Стэнфордский. Правда, ушел из него.
Господа взрослые. Доказывать очевидное через ссылку на очевидное без доказательства этого очевидного в школе не прокатывает. Это я к тому, что канал вроде как в рамках школьноно образования. Самое муторное в школе это как раз очевидности, которые учитель предлагает доказать. Ду ю андестэнд ?
я дважды испытал шок в школе 1. Доказательство равенства треугольников по первому и особенно по второму признаку. 2. "Доказательство", что расстояние между центрами взаимно касающихся окружностей равно сумме радиусов.
А уравнение окружности теперь разве в школе не учат? x**2+y**2=r**2 Xa**2+3**2=R**2 Xb**2+(-3)**2=R**2 Xd**2+(-3-1)**2=R**2 => (7-Xa)**2+16=R**2 (7-Xa)**2+16=Xa**2+9 => 14abs(Xa)=56 => Xa=4 R=sqrt(4**2+3**2)=5
![Тестовый вопрос, на который все ответили неверно [Veritasium]](/img/n.gif)
Наш канал на ДЗЕН: dzen.ru/geometry.
Есть ещё координатный метод. Пусть точка В - центр координат. Тогда окружность проходит через три точки: (0;6), (0:0) и (7:-1). Уравнение окружности (х-a)^2 + (y-b)^2 = R^2. Подставляем в него координаты точек и получаем систему из трёх уравнений, которая легко решается: a = 4, b = 3. Соответственно, радиус окружности корень квадратный из 3^2 + 4^2 = 25.
Валерий, спасибо за ваши разборы задач.
Если провести отрезок AD, то получается два подобных треугольника с коэффициентом подобия 6, то есть BC разбивается на два отрезка 6 и 1.
Выходит, что оба треугольника равнобедренные, а значит угол BAD = 45. Тогда по теореме синусов 2R= BD/sin(45) = sqrt(7^2+1^2) / (sqrt(2)/2) = 10, а R = 5.
Да, это отличное решение.
Я пошел в ту же сторону, но забыл про теорему синусов. Из двух подобных треугольников находим AD, по теореме Пифагора находим BD, дальше у нас вписанный треугольник с тремя известными сторонами - находим площадь (по формуле Герона, например), находим радиус
Продлили зеленую линию и она стала равна8, провели из середины под прямым углом высоту, из середины красной тоже высоту, в точке соединения центр круга, из точки в прочертили радиус, треугольник стороны 3 и 3,5 далее радиус равен корень квадратный из суммы квадратов 3 и 3,5, получаем примерно 4
Приведенное тут нахождение СК неочевидно, и вероятно - неверно. Есть другое предложение, рассматриваем треугольник FBD который состоит очевидно из двух прямоугольных, BDC и и FBC. Где нам известны все катеты, то есть легко найти и площадь и стороны.
Говорят, что в Москве кур доят. Задача решена, но увы не геометрически, а алгебраически.
Если ВСD достроить до прямоугольника ВСDЕ, то ясно что треугольник АЕD равнобедренный прямоугольный (6+1=7), а это значит что прямая АD сечёт ВК под углом 45 градусов.
Поскольку вписанные углы равны, то угол АDК прямой, а угол АDС равен 45 градусов, то и угол СDК тоже равен 90-45=45 градусов. А это значит, что СD=СК. Тогда, по теореме Пифагора, диаметр окружности равен 10, а радиус соответственно 5.
см. следующие ролик, там мы это разбираем
Спасибо за разбор! Но можно, пожалуйста, больше стереометрии: это тоже очень интересно и ломает мозг (в хорошем смысле) не меньше. Например, задачи сложного уровня из учебника Мерзляка 10 и 11 классов, там много на построение и нахождение отношений.
Всё намного проще, есть хорда размером 6 и есть часть хорды размером 7 и отрезок на окружность размером 1. Теперь по теореме Пифагора понятно, что у части хорды отсутствует значение 1, тогда вся хорда будет размером 8.
Остаётся решить 6²+8²=(2R)², 100=10², R=10/2=5
Всё гениальное - просто.
Так нужно доказать (!), что тот кусочек 1!!! Мы э этим и заимались слегка. Возьмите другие размеры, 6, 5 и 3. И посмотрите. Но спасибо, что смотрите нас.
@GeometriaValeriyKazakov и доказательство простое у Пифагора, что тут треугольник с углами два по 45° со сторонами 1 и 1, геометрия 5-6 класс средней школы. А, вы высшую математику применяете.
@GeometriaValeriyKazakov если построить в кругу хорды 6 и кусочки 5 и 3, тогда и диаметр изменится. Вы не знаете свойства хорды, круга и прочего из Пифагора и других геометров, поэтому плавание в этом. Лично за более 70 лет прекрасно это знаю из советской школы и учила этому детей и студентов.
А, вы пытаетесь преподавать...
Не... Я верен методу координат.
Ставим начало координат в точку В, оси - по BA и BC.
Учтём, что ордината центра окружности лежит на серединнном перпендикуляре к AB. Вводим неизвестную абсциссу центра X. Для точек B и D - записываем уравнение окружности:
x^2 + 3^2 = R^2
(7-x)^2 +(-1-3)^2 = R^2
Приравнивая левые части - получаем простое линейное уравнение, откуда найдём X = 4
Ну и дальше, подставив в первое уравнение, найдём R=5
Супер!
Я в середине ролика на глаз прикинул что 5 радиус)) интересно если нарисовать это линейкой и промерить этт считалось бы решением?)))
мне нравится Ваш канал, что здесь можно увидеть много вариантов решения, и узнать что-то новое для себя, или вспомнить то, что давно забыл, но я воспользовался своим давно проверенным вариантом решения: проводим DF, проводим серединный перпендикуляр, проводим радиусы в точки B и D, получаем два прямоугольных треугольника и R^2=3^2+x^2 и R^2=4^2+(7-x)^2 => 3^2+x^2=4^2+(7-x)^2 => 9+x^2=16+49-14x+x^2 => 14x=56, х=4, R^2=3^2+4^2, R=5
Ну если вытянуть руку маска и соединить противоположные точки, линия называется зига, то задача решается легче
Да, так Цезарь обращался к народу. Шикльгруббер скопировал
Них...вааще не врубился.
Zасрал голову на ночь глядя... Заснуть не смогу - спасибо тебе мил-человек - гипотенуза в кошмарном сне на косинус-фи через корень квадратный множиться будет...
Ууууу!
Таки была уже эта задача: th-cam.com/video/zEmE8d5N-5s/w-d-xo.html&lc=UgxjkFyqmBBhoZEGOmx4AaABAg.AD8rGkEK0d3AD_Sfx4d0oc , Только вот там неудачно получилось что самый маленький отрезок оказался частью диаметра, но в общем виде решение и автор предложил, и я свое тоже. Тут в общем и вся уловка только в том, что за маленьким отрезком параллельная хорда прячется, а дальше уже всё известно и Пифагор)))
А вот комментаторы от души над автором тогда поиздевались типа зачем дальше решать задачу когда диаметр уже найден.
Да, была похожая. И да, некоторые слабенькие зрители, почему-то решите, что отрезок - часть диаметра, хотя это никак не следовало сразу из условия Всегда есть слабоподготовленные зрители, которые не очень разбираются в математике. Поэтому веселяться. Но на то и канал, чтобы научить. У вас прекрасная память. Спасибо.
В нижнем полукруге можно построить прямоугольную трапецию. В ней выделить 2 прямоугольных треугольника с катетами 3 и 4. Имеем Египет , а далее все ясно. Интересно мнение автора и всех остальных математиков
что вы называете нижним полукругом ?
@@ВадимКличко-г3с проводим горизонтальную линию через центр окружности. Она делит круг на 2 полукруга: верхний и Нижний. В нижнем полукруге рисуем трапецию с основаниям 3 и 4 . И высота у неё 7. (Высота лежит на горизонтальном диаметре, она же боковая грань).трапеция прямоугольная. Высота (она же боковая грань) делится на 2 отрезка длиной 3 и 4. Эта точка есть центр окружности. Рисуем 2 прямоугольных треугольника со сторонами (3,4,5). ( они лежат в трапеции). 5 - это радиус. Всё
Все, что надо понять - что продленный до окружности зеленый отрезок равен 8. Проще всего это увидеть, если провести срединный перпендикуляр, он же - диаметр, к красному отрезку, и увидеть симметрию. То есть "весь" (ну, в смысле - продленный до окружности) синий отрезок равен 1 + 6 +1, и делится точкой пересечения с зеленым на куски 7 и 1. Ну, и все, радиус 5. Если такие вопросы задают в Стэнфорде, то ...
Че то ты гонишь. Сначала надо доказать, что нелостающий отрезок до окружности зеленой линии равен 1. Но тогда теорема Пифагора тебе в руки.
От прав, сразу нужно доказать, что верхний 1. А тогда 7*1=7*х, откуда недостающий 1.
@@НиколайВатутин-с3е Вы не докажете, что нижний 1, не доказав, что верхний 1.
а почему отрезок равен 1 ? это вовсе не так.
@@Могонинибаданага Сразу не очевидно, но легко доказать, что недорисованный отрезок до окружности зеленой линии равен 1.
В принципе не так сложно. Подсказки есть. Продлеваем ВС до пересечения с окружностью (точка К), продлеваем DC также до точки N. Из трапеции ABNM и свойств хорд МN и AK доказываем, что СК=СД=1, отсюда СК =8, Египетский треугольник АВК, диаметр АК =10, R=5.
Если на отрезке в 7 единиц отложить справа отрезок в 1 елиницу, то через новую точку под углом в 45 градусов пройдет прямая, на которой будут лежать гипотенузы и треугольника с катетами 1 и 1, и треугольника с катетами 6 и 6.
Это значит, что если мы изменим сторону одного из таких прямоугольных равнобедренных треугольников на какое-то расстояние, то на это же расстояние изменится длина другого катета, но с противолодным знаком.
Таким образом, диаметр окружности будет равен гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 6,5 и 6,5.
Диаметр равен √[(6,5^2)*2]=6,5√2
Радиус равен 3,25√2 или 13√2/4.
В чём противоречие
Пусть AD пересекает BC в точке E. Треугольники ABE и CDE подобны, поэтому CD/CE = AB/BE, или 1/CE=6/(7-CE), отсюда CE=1, BE=6, и ABE - равнобедреный прямоугольный треугольник, поэтому угол BAD=45.
Хорошая задача! Надо добавить как 25 задачу на ОГЭ по математике в категории ,,окружности,,
Согласен. Это класссичесая задача.
Маск не поступал в Стэнфордский университет. Только собирался. Странно было бы бакалавру по физике и экономике после окончания Пенсильванского университета при поступлении в другой универ сдавать такой экзамен. :-))
Он поступил и проучился 3 дня.
Надо дорисовать параллелограмм. 6×(7+Х). Диагональ есть диаметр окружности. Решить систему уравнений. Х=1. D=10. R=5.
Параллеограмм не вписывается в окружность, если он не прямоугольник.
@GeometriaValeriyKazakov Согласен. Имел ввиду прямоугольник. А написал параллелограмм. .
ну. проще через координаты и формулу окружности. взять B за (0,0). (x-x0)^2+(y-y0)^2 = R^2;
Продолжить зелёный отрезок ,равный 7 и чернвй равный 1 и использовать произведение отрезков,пересекающихся хорд равны между собой а дальше легко.
Пусть ACDB - трапеция, в которой основания AB=a, CD=b, а высота BC⊥AB и равна h. Также проведём среднюю линию MN (M∈AC, N∈BD) длиной ½(a+b).
Опишем около △ABD окружность с центром O и рассмотрим △BCD и △NMO: они оба прямоугольны (M и O лежат на серединном перпендикуляре к AB как центры описанных около △ABC и △ABD; MN||AB), а ∠MNO = ∠CBD из MN⊥BC и ON⊥BD, тогда они подобны. Следовательно CD/BC = MO/NM, откуда MO = NM·CD/BC = ½(a+b)·b/h.
Из прямоугольного △MNO NO² = MO²+MN² = ¼(a+b)²·(1+(b/h)²), из прямоугольного △BCD BD² = BC²+CD² = h²+b² (значит DN² = [½BD]² = ¼h²[1+(b/h)²]); из прямоугольного △DNO DO² = DN²+NO² = ¼h²(1+(b/h)²) + ¼(a+b)²·(1+(b/h)²) = ¼(1+(b/h)²)·(h²+(a+b)²). Замечу что ¼(h²+(a+b)²) - квадрат половины диагонали AD; есть способ прийти к аналогичному результату, используя среднюю линию △ACD. Пристальным взглядом можно увидеть и b/h = tg∠CBD, но это уже рюшечки (заменять 1+tg² на cos⁻² имело бы смысл, будь вместо CD дана хорда BD). 😉
Применительно к нашему случаю получается ¼(1+1⁄7²)·(7²+(6+1)²) = ¼·50⁄49·(49+49) = 25, то есть радиус равен 5.
Супер! Это и хотелось.
здесь сразу угадывается 5
но и решать ничего не нужно
от B к C отступаете 1, вверх 6, это квадрат 6 внутри круга, по его сторонам до окружности везде 1 (можете достроить мысленно квадрат и маленькие треугольнички)
собственно всё: 6, 8 = 10
радиус 5
А как будем решать при 6, 4, 3?
@GeometriaValeriyKazakov
Хм, это другой круг
наверное, 6.4, 2?
в этом случае ответ очевиден: 3, 4 = 5
@@GeometriaValeriyKazakov
если 6,4,3
то решаем ур-е
9 + x**2 = (x-4)**2 + 36
x = 5.375
r = ~ 6,16
1. Проводим из точки D прямую, параллельную ВС, пересекающую прямую АВ в точке L и окружность в точке M.
2. По теореме о секущей к окружности LM * LD = LB * LA откуда LM =1
3. Проводим перпендикуляр из точки М пересекающий ВС в точке N. Получаем прямоугольный треугольник ВМN c катетами 1 и 1.
4. Так параллельные прямые отсекают равные дуги, а хорды стягивающие равные дуги равны, гипотенуза BM = DK, откуда треугольники BMN = CDK, откуда СК =1, ВК=8.
Замечание: Пункт 3 можно было не делать а рассмотреть треугольники BLM = CDK по тому же свойству.
5. как у Вас.
Я решил. Единственное, что я понял из этого: Маск такой богатый не из-за этой задачи)))
5 минут ушло на решение. Легкая задача. 42 года работаю разработчиком.
Радиус окружности, описанной около произвольного треугольника, вычисляется по формуле:
R = a b c / 4S, где a, b, c - стороны треугольника, S - его площадь. О каком треугольнике речь, думаю ясно, координаты его вершин вычисляются очень легко, длины сторон и площадь - как следствие, тоже.
еще раз
Нам нужен радиус-диаметр, для этого нужно значение ВК.
Рецепт а)подобие б)свойство пересекающихся хорд в)Пифагор
а) продолжим ВС до ВК и проведем АД. ВС сечется т М на 6 и 1.
б) Квадрат произведения огрызков АД =72*2=144. квадрат МК=144/36=4. Откуда МК=2 и ВК=6+2=8
с) квадрат диаметра равен сумме квадратов катетов =64+36=100. АК=10
Ответ:5
Совершенно верно
А можно просто было по теореме Пифагора найти неизвестную сторону а от туда найти радиус.
Гипотенуза тр ABC не проходит через центр.
Рассматриваем треугольник BСF, откуда СF=7, следовательно треугольник BСF равнобедренный, угол В=45, находим сторону треугольник АF=корень из 50, получаем равнобедренный треугольник треугольник BАF, где угол АBF=45, далее применим формулу: корень из 50/sin45=2R, откуда R=5
Вопрос Илону Маску после экзамена - Илон вы так плохо учились , но сдали экзамен на отлично , что с вами было ? Илон:- " со мной были деньги ."
А Маск знает, что у него есть задача?
То, что СК=1 можно показать чуть проще. Плохо, что здесь нельзя выкладывать фотки, чтоб показать более простые решения
Параллельно и вертикально вниз перенесем BС на 1 и продлим AB тоже на 1. Точки С и D совпадут и пусть эта новая точка будет D. Точка B теперь вне окружности и все еще прямой угол нового прямоугольного треугольника ABD с катетами 7, 7. Очевидно, что это половина квадрата. Пусть новая точка пересечения отрезка BD и окружности будет B'. Очевидно, что старый не продленный отрезок(хорда) AB равен новому B'D и равен 6. Опустим перпендикуляр из центра окружности на B'D. Длина перпендикуляра очевидно равна половине старой хорды AB и плюс 1, так как мы сдвинули на эту величину старый BC. Поэтому перпендикуляр из O на B'D = 4 и он делит новую хорду B'D пополам. Проводим гипотенузу из центра окружности в D и получаем прямоугольный треугольник 3, 4, 5. Где 5 - гипотенуза треугольника и радиус окружности.
Наконецто я с вами, я так рада! Нашла впн/ секрет/
Всем расскажи!
Вам учитель подсказал VPN?
Какой?
Обычная задача на отрисовку окружности по 3 точкам. Достаточно ввести систему координат.
Да, никто не спороит Вопрос насколько координатка будует заморочено. abc|4S думаю тоже самое
BC=7, CD=1, BD=√50, угол BAD=45, BD/sin45=2R, R=5
Доказываем что угол ВАД равен 45° т.к. образуются подобные треугольники ( надо доказать), тогда центральный угол БОД 90% Находим ВД2=50, тогда радиус равен пяти. Так решал Маск.
Этоо отличное решение.
Спасибо
В уме решается ровно за 2 минуты. Алгебраически. Ищем координаты центра. прямая (3.5, -0.5) + к*(1,7) - это серединный перпендикуляр к BD, пересекается с прямой y=3. В точке (4,3) - это и есть координаты центра окружности в системе с центром отсчета в В. Фсе. Дальше т. Пифагора. Не надо искать сложных чертежей там, где можно решить уравнение в уме. Мальчик Владик, 55 годиков.
Замечательно
Мне больше нравится 1-й способ, т. к. не надо ничего доказывать, только считать, причём почти устно.
Или так (для разнообразия): в трапеции ВАСD т. пересечения диагоналей делит
диагональ ВС в отношении 1 : 6, т. о., вписанный ∠ВАD = 45°,
а центральный ∠ВОD = 90°. В ▲ВОD ВD = 5√2, ВО = ОD = R = 5.
@@adept7474 Спасибо за подробное объяснение. Для школьников это важно.
Отложем ВМ=6 тогда АВМ и МСD прямоугольные равнобедренные , значит АМD прямая и BD хорда стягивающяя дугу 90 , BD=√50 а радиус =√50/√2=5 !
"очевидно, ясно, понятрно" - буду напоминать в других роликах. :)
Не помешает, очевидно.
Угол АДК прямой а угол BAD 45gr. Отсюда все получается
Про горизонтальную ось симметрии окружности - не доказано, от лукавого. Нет никаких ссылок на теоремы.
B(0,0), A(0,6), D(7,-1). А теперь искать в интернете формулу построения окружности по трем точкам, расположенным на этой окружности. Если что, ответ 5
Маск только подал заявление с Stenford, он там не учился и не думаю что он решал эту задачу .
Конечно, не решал. Завлекалка. Источники утверждают, что проучился он "ровно 3 дня в Стэнфорде"
Точка пересечения отрезка "1" с окружностью - А. Отрезок "1" продлим вверх до пересечения с окружностью. Точку пересечения назовем D. Точки пересечения красного отрезка с окружностью В (нижняя) и С. Соединим С с D. Получим трапецию ABCD.Точка пересечения отрезка "7" с АD - H. Соединим В с D. Получили треугольник АВD, вокруг которого описана данная окружность.
АD=8 (по построению)
По теореме Пифагора
ВD^2=BH^2+HD^2
BD=√(7^2+7^2)=7√2
АВ^2=АН^2+ВН^2
АВ=√(7^2+1)=5√2
R=AB×BD×AD/4S(ABD) (по формуле R=aвc/4S)
S(ABD)=AD×BH/2
R=(5√2×7√2×8)/(4×8×7/2)=5✅
Задача Маска: как кинуть зигу, чтобы это не было похоже на фашистское приветствие?
зы: Маск с ней не справился.
Недавно видел похожую задачу у Александра Усольцева
Я даввал эту задачу год назад!
Нумеруйте пожалуйста задачи!
см. "ТЕПЛЕНЬКАЯ ПОШЛА! Найдите радиус за 3 хода."
Уволю!
Посмотрите, сколько просмотров!
Сначала у блогеров совсем другие задачи. А после уже сложновато, много работы.
А, проще не могли задачу предложить? Решается быстро и устно! R=5.
Вот проще: th-cam.com/video/-Kc5GW1Dbmw/w-d-xo.htmlsi=nM80rRSQaoo65G2K
Я в чем прикол? устная задача в два действия.
А кто-то скажет, что CK=CD, потому, что "просто видно"(Знаю, так нельзя, поэтому и высмеиваю таких)
Так ведь видно:
АВК=90°
АДК=90°
FДА=45°
FДК=45°
СД=СК=1;
R=½*√(1²+1²+7²+7²);
R=5
Возьмите другие отрезки: 6 5 и 3 и уже не будет равенства. Равно не потому, что видно, а потому, что математика дает это. И я не высмеиваю, а учу математике. А не фигне на глазок.
Я бы решал аналитической геометрией. Координаты точки b принял бы (0, 0), и находил бы координаты точки пересечения прямых - перпендикуляров к серединам отрезков ab и bd. А радиус - расстояние от точки a до найденного центра окружности.
Ну наверное радиус равен 5.
BCF и CDK - равнобедренные, CK = CD = 1. BK = 8. Серединные перпендикуляры к AB и BK в пересечении дают центр окружности (W).В треугольнике BW(середина BK) один катет 3, второй 4, гипотенуза (она же радиус R) равна 5 (по "египетскому треугольнику"). Олимпиадная задача в классе этак шестом средней школы.
Если соединить серидины АВ и СР, затем B с F, получатся два прямоугольных подобных треугольника одна из сторон которой ( гипотенуза) равна радиусу .
Я решил в уме за минуту и немного не так.
А как?
@@GeometriaValeriyKazakov Я также продлил АС до круга и понял что это 8. Далее центр круга лежит на половине этих прямых. Представляем прямоугольник со сторонами 4 и 3 вершина его это центр круга, по теореме Пифагора получаем 5. И всё.
Я преподаю математику в Америке. Из опыта знаю, что американец не станет заморачиваться ни с какими доказательствами и выводами. Продлит отрезак, что 7 см до пересечения с окружностью, предположит сразу, что до пересечения 1, длина отрезка 8, а поскольку угол 90 градусов и вписанный, то угол отсекает диаметр, который из теоремы Пифагора 10, а радиус 5. И поскольку красиво получилось то звучит сакраментальная американская фраза: Это работает! Маск вам будет возиться с такими проблемами....
Спасибо. У нас речь идет о математике. Вся математика вообще в мире - доказательная. Наши школьники (корейские и китайские) на выпускном экзамене письменно объясняют решение (думаю вы это знаете). Поэтому мы ссылаемся на теоремы и свойства, что правильно, на наш взгляд. А вы можете делать все на глазок. Это же угадать не сложно, как в бизнесе. Поэтому Илон и ушел в бизнес из Стенфорда. Но ведь Эндрю Уайльз как-то доказал теорему Ферма. Честно, я очень рад, что вы заглянули к нам. Если что-то заинтересует, то зайдите в плейлисты канала, там материал разбит по классам и уровням.
Да в этом ролике мне интересно, что предположит по вашему мнению американец при других размерах хорд: 6, 5 и 2. th-cam.com/video/sCeOY6-WyVA/w-d-xo.htmlsi=HzWLvYine3T8N97o
R=(7sqt2×5sqrt2×8)/4s(28)=70/14=5 через формулу окружности описаной фокруг трапеции
Достроить до равнобедренной трапеции встроенной в окружность. Внутри трапеции построим равнобедренный прямоугольный треугольник со сторонами равными 7и углами 45 град. От сюда следует что центральный угол который опирается на хорду являющейся стороной трапеции будет 90 град. Стороны треугольника с центральным углом являются радиусами в равнобедренном треугольнике и хордой (сторона трапеции). В итоге сторона трапеции равна квадр корень из 50, а радиус равен кор из 50 поделить на кор из 2 . В результате 5 😁✌️
а куда каменты пропадают?
Есть вариант, что шеф удаляет.
@arxippp-lb2tv мои -- никогда! ))))))))))))
@arxippp-lb2tv вариант "шеф" - вряд ли, он уже отписывался по этому поводу... Более вероятен вариант - "зрители балУют", удаляя свои комменты, посчитав их неуместными... Хотя есть и третий - "модераторы Ютуба прикалываются")))
Этого не знаю
@arxippp-lb2tv Зачем мне?
Маск здесь не при чём. Громкий заголовок ради хайпа.
Спасибо. Это и так всем понятно. Хайп нам не нужен, нужна помощь и позитив зрителей. Может кто-то почитает, что Илон закончил 2 универа и поступил в третий - Стэнфордский. Правда, ушел из него.
Да. Это вам не росегэ. Все значительно проще
У нас полно задач уровня ЕГЭ и олимпиадных. Все это тренировка к любому экзамену. И все мы доказываем!
R=5
Господа взрослые. Доказывать очевидное через ссылку на очевидное без доказательства этого очевидного в школе не прокатывает. Это я к тому, что канал вроде как в рамках школьноно образования. Самое муторное в школе это как раз очевидности, которые учитель предлагает доказать. Ду ю андестэнд ?
я дважды испытал шок в школе
1. Доказательство равенства треугольников по первому и особенно по второму признаку.
2. "Доказательство", что расстояние между центрами взаимно касающихся окружностей равно сумме радиусов.
Уточните, пожалуйста, вопрос. У нас в роликах почти всегда все доказывается.
@@GeometriaValeriyKazakov Да я без претензий. Просто видимо здесь все взрослые и нет школьников.
R==5.3
תבנה את השרטוט ב SOLID אז תראה את הטעות
Отписка и бан. За тупизну "вывески"
А уравнение окружности теперь разве в школе не учат? x**2+y**2=r**2
Xa**2+3**2=R**2
Xb**2+(-3)**2=R**2
Xd**2+(-3-1)**2=R**2 => (7-Xa)**2+16=R**2
(7-Xa)**2+16=Xa**2+9 => 14abs(Xa)=56 => Xa=4
R=sqrt(4**2+3**2)=5
в 10 классе