저도 수험생이라 정확하진 않을 수 있어요 ^^; 저 문제를 현장에서 푼다면 등호성립순간을 잡아내서 대입 후 마무리하는게 가장 현실적인 방법이겠지요. 정수조건이 쓰이지 않긴 하지만, 대부분의 학생들이 이렇게 풀었을 겁니다. 다만, 시험이 끝난 후 저 문제에 정수조건이 왜 들어가있는지 생각해보면 .. 개인적인 의견이지만 아마 저 문제를 만들 때 기출제된 요소 중에서 강사님 말씀대로 FTC와 정수조건을 결합해서 출제했을 확률이 높은게, 이미 사관학교 22번 소재로 출제된 것이라 그렇습니다. 주어진 식을 도함수의 정적분으로 해석하고, K로 이루어진 식 자체를 다시금 기하적으로 표현해서 정수조건을 결합한 형태로 출제하였다가, 난이도 문제로 문제를 수정하고 21번에 배치했다고 봐요. 다만, 저렇게 문제를 수정하면 단순 계산 문제가 되어버리니 평균변화율로 해석하지 않을래? 하는 일종의 트릭으로 숨겨둔 것이겠지요. 다만, f'(x) 가 이차함수임을 활용하면, {f'(x+2)-f'(x)}/2 = f'(x+1) 이 성립하고, 저 식을 적분하고 적분상수를 구해서 f(x)를 찾으면, 계산이 조금 더 간결해지는 건 맞습니다. 사실 저 문제는 계산 문제입니다. 문제에서 주어진 식이 기하적으로 함의하는 것과, 식의 다양한 변형도 가능하긴 하지만, 저 문제에서 핵심적으로 쓰이지 않습니다. -2와 -1 사이의 정수는 존재하지 않고, 등호성립순간을 계산 가능하게끔 하는 장치에 불과하기 때문에 그래요. 여담이지만, 현재 수능 문제에서 정수조건은 대략 두 가지로 활용되고 있습니다. 문제에서 정수조건 자체가 부족한 식을 대체하거나 기하적 의미를 담고 있어서 사용하지 않으면 풀이가 더 이상 진전되지 않는 문제도 있고 (수2/미적), 마지막 결론을 도출하는 과정에서 답을 걸러주는 역할만 하기도 합니다. (수1) 년도까지는 기억이 나지 않습니다만, 예전 가형 기출문제 중에서 정적분으로 정의된 함수를 기반으로 구간을 정수로 잡아서 이산적인 해석을 요구한 문제가 있는데, 241122에도 비슷한 사고를 요구했던 것을 보면, 이번 21번도 비슷한 맥락이 아닐까 추측만 해 보는 것이지요. 더 이상 개수새기라던가 순서쌍이 결정되기 위한 조건으로서의 정수조건은 출제하지 않는 것을 보면 이제 정수조건을 곁다리가 아닌 메인조건으로 끌고와서 이산적이다의 개념을 물어보려고 하는 것 같기도 하구요.
으헉. 일단 초 장문의 정성스런 댓글에 감사인사부터 드립니다. 거기다 정말 처음부터 끝까지, 제가 드리고 싶었던 이야기를 저보다도 더 자세하게, 또 명확하게 설명해주셔서 이에 감탄했습니다. 정말 감사합니다. 앞에서부터 시작하자면, 맞습니다. 일단 문제 풀이 방식은 어찌되었던 두 함수의 교점을 찾아서 대입하는 방법으로 접근하면 답 자체는 쉽게 구할 수 있는 그런 문제였습니다. 그런데 대체 왜 '모든 정수 k 에 대하여 성립하는 부등식' 이라는 표현을 주었을까, 그런 표현이 있다면 이 문제가 의도하는 것이 살짝 더 있지 않았을까 이 생각에서 출발한 영상이 됩니다. 그래서 컴팩트한 풀이랑은 그냥 백만년 멀어졌지만요. 수험생이라고 하셨는데, 고3이나 재수생이 아니신것 같단 생각입니다. 사용하시는 단어나 논리로 보아 다시 공부하시는 것 같은데요. 그정도로 잘 정리해주셨어요. 만약 현역이거나 재수생이시라면, 우와아아. 제가 정말 놀랠겁니다. 여튼 다시한번 좋은 댓글과 정리에 감사드립니다. 더 좋은 영상으로 찾아뵙겠습니다. 종종 찾아와 주세요!
@@Math_is_Dharma 답글을 이제야 확인하였네요. 고정을 해주시다니 ㅎㅎ 부족한 댓글인걸요. 댓을 쓰다 보니 너무 21번 문제에만 치중한 감이 없지않아 있어서, 영상에서 설명하신 내용을 저도 조금 더 적어보려고 합니다. 요즘 수학 교과서에서는 미적분의 기본정리 (FTC) 를 명확히 가르치지 않고, 구분구적법도 리만합과 관련지어 기하적인 내용을 설명하지 않고 너 주어진 식을 적분식으로 어떻게 바꿔볼 수 있겠니? 에만 치중해서 가르치고 있지요. 한편으로는 참 안타깝습니다 대부분의 강사들도 도함수의 정적분은 원함수 함숫값의 차라는 명제를 단순 암기로 지도하지만, 사실 더 큰 의미가 있는데 말이지요. 대입해서 도출된 "값" 인 원함수의 함숫값과, 도함수의 정적분, 즉 넓이로 해석이 가능함과 동시에 값이 아닌 의미로 바라볼 수 있다는 말이지요. 즉, 이산적인 값으로 볼 것이냐. 리니어한 하나의 해석으로 볼 거냐의 문제입니다. 예전 가형 기출에는 이런 소재를 되게 잘 다루었는데, 요즘은 잘 다루지 않아서 아쉽기는 합니다. 특히 회로설계에서 주요한 관점으로 적용되는 내용이라 물리 좋아하는 교수님이 출제했나 싶기도 하고 그러네요
@@YoungUkJo-s9l이차함수의 성질 생각해보시면 되어요. (x+1, f(x+1)과 (x+2,f(x+2)) 를 이은 직선의 기울기와 동일한 미분계수를 가지는 지점이 폐구간 사이에 존재함은 평균값 정리로 증명 가능하지만 미분계수와 같은 지점이 정확히 중점의 x좌표라는건 이차함수의 성질입니다.
1. 영상에서는 f(k) 를 이산함수로 바라보아 정의역이 정수인 함수로 정의하였습니다. 따라서 f(k)를 미분 혹은 적분하는 것은 안되지만, f(x) 는 연속함수이기에 f'(x) 의 정적분을 정의하는 것은 가능합니다. 제가 이 영상에서 강조하는 것은, 이산함수와 연속함수의 차이를 통한 문항 내용의 이해와 풀이입니다. 2. 오해의 소지가 있는 표현이 있어 바로잡습니다. f(k) 들이 이산함수라 해도, '평균변화율 자체'는 존재합니다. 일종의 점과 점 사이의 기울기로 나타낼 수 있습니다. 이산함수를 미적분 하지 말라는 표현을 드림에 있어 오해의 소지가 있는 표현이 있었습니다. 시청에 방해되는 표현을 드려 죄송합니다.
전 수험생 시절이 벌써 7,8년이 지나서 요즘 시험장의 학생들은 어떤생각을 하고 풀었는지는 잘 모르겠습니다 단순히 킬러문제 배제 정책과 요즘 수능트렌드에 덧붙여서 여전히 계산이 복잡한 문제가 출제된다고 생각할 수 있을겁니다 다만 이런 문제를 다양한 관점에서 탐구해보는 것은 그들의 논리력과 사고력을 충분히 길러 줄 수 있는 문제로 보이네요 수학을 배운 사람이라면 반드시 그 문제의 본질에 대해 알고 넘어갈 필요가 있습니다 정수조건이 주어졌기 때문에 우리가 필요한 것은 어떤 특정한 값인걸 확인 할 수 있고 부등식을 해석하기 위해선 결국 기하학적 해석이 필요하다는 결론을 도출할 수 있습니다 우리가 필요한 건 어떤 특정한 값이기 때문에 기하학적 해석과 연관해서 주어진 두 함수의 교점을 이용해야겠다는 또하나의 방법을 찾을 수 있을것이고요 필요한 값을 찾은 후에는 다양한 방식으로 이 문제를 풀어낼 수 있겠습니다만 전 이 영상의 풀이가 제일 평가원 풀이에 가깝다는 생각이 듭니다 FTC의 본질을 통해 문제를 풀어나가는 과정은 확실히 평가원이 좋아할만 풀이법이죠 그렇다고 이 문제를 괄시해도 되냐고 물어보면 전 아닌것 같습니다 거의 똑같은 문제가 출제된 적도 있고(15년 9월 A형 21번) 올해 사관학교에서도 비슷한 문제가 출제된 것으로 기억하거든요 수능에서도 한번즘 다시 다뤄볼만하지 않나 싶습니다
하지만 여기서 걱정이 되는 것은.. 범위가 줄어들대로 줄어든 이 판국에 문제에 변별력을 줘야하다보니 문제가 점점 괴랄해지지 않을까.. 이런 문제를 푸는 학생들에게 과연 부담이 없을지.. 이산과 연속을 번갈아가면서 고민하는 방법은 확실히 고등 수학 범주에서 쉽게 해결할 수는 없는 방법입니다 기초 대학 수학을 배우고서야 조금씩 다룰 수 있을 법한 분야인데 이런걸 시험문제로 내버린다는게 참 아쉽습니다
@@김치-r9l 정성 가득한 장문의 댓글에 먼저 감사드립니다. 예 말씀하신대로의 과정을 따르면, 이 문항은 생각보다 수월하게 정답에 접근하게 됩니다. 그런데 ‘왜 그렇게 해야하는지’ 에 대한 고찰들은 요새 학생들이 더 잘 못하고 있습니다. 왜냐하면 최근들어 수능의 출제 스타일이, 이전 기출에서의 유형 반복 혹은 심화 정도로 고착화되어있었기 때문입니다. 그걸 탈피해보고자 평가원이 최근들어 온갖 소재를 바탕으로 온갖 내용들을 섞은(!) 이야기를 들고 오고 있는데, 작년에는 킬러 출제 금지의 영향으로 인해 계산이 괴랄(..)한 수준까지 도달하기도 했습니다. 올해는 그건 좀 너무했다, 다른 방식으로 가보자 그런 생각을 하고 있는 것 같단 느낌이 좀 들구요. 해서 다양한 해석이 가능한 버전을 보여드리려 했습니다. 당연히 이 문제를 컴팩트하게 푸는 것과는 확실히 차이가 있겠습니다만, 김치님께서 말씀해주신대로 이전 기출에서 나왔던 소재에 정수조건을 더하여 좀 더 많은 의미를 찾아볼 수 있게 만든듯 합니다. 사관학교 문제는 올해가 아니라 재작년 문제가 이와 아주 흡사했었는데요. 요걸로 또 영상 한번 제작해보겠습니다. 다시한번 좋은 피드백 주셔서 감사드립니다. 행복한 추석 보내세요!
저 같은 경우에는 어차피 정수조건 이용해서 f' 구하는거니까 f를 삼차식으로 그냥 설정해놓고 계산하면 나오겠지- 하는 믿음을 가지고 풀었습니다. (x+2)^n-x^n꼴도 나름 계산이 정형화되어 있으니까요 ㅎㅎ (어차피 문제 푸는 과정에서 이용하긴 했지만) 좌항과 우항이 같아지는 지점(-2,-1)을 구한 걸 처음부터 이용했으면 더 빨리 풀 수도 있었다고는 생각하고요 ㅎㅎ 이런 문제에서는 계산 방법보다 이산함수라는 것을 정확히 이해했는지와 자신의 방법에 대한 신뢰를 가지고 곧바로 푸는 게 중요하지 않았나, 그런 생각이 드네요😊
오. 그것도 좋은 방법이었습니다. 사고하신 과정도 훌륭합니다! 사실 단순 연산으로 풀어도 얼마든지 ‘답’자체는 나오는 문제가 분명합니다만, 그렇게만 하면 이 문제에서 얻어갈 수 있는 내용을 못 얻어가게 될까봐, 제가 좀 더 깊게 파고들어간 것에 불과한지라.. 지금처럼 단계별로, 조건별로 정확하게 해석하실 수 있는 상황이라면 저의 이런 영상은 애초에 필요가 없…. 쿨럭… ㅠㅠ
풀이 잘 봤습니다. 저는 AI랑 수학을 복수전공하는 대학생이에요. 다른 강사의 풀이를 보지는 못했지만 요즘 평가원이 악랄하네요. 일부러 2를 분모에 집어넣어서 적분으로 해석하기 어렵게 만들고... f의 도함수가 적분가능하기 때문에 f(k+2) - f(k)를 미적분의 기본정리를 이용해 f'(x)의 적분으로 생각하는 것은 자연스러운 발상이네요. 다른 식으로도 풀 수 있는지 궁금해지네요
고득점 받던 사람은 저 식 구조 보면 평균변화율 / 도함수의 정적분 / 단순대입인가 이런 판단 해요. 기출도 많구요. 다만 교수님 설명대로 저 부등식이 정수조건에서 성립하므로 함부로 미분해선 안되기에 저는 교점이 있을까해서 방정식 풀고 대입을 해봤구요. 변별을 해야하는데 21번이면 나름 준킬러~킬러위치인데 너무 쉽게 내면 안되죠 ㅎㅎ
@@윤가드-w4c 그렇군요,, 저는 수능 본지 몇 년 된 사람이라 수능 기출에 무슨 요소가 있었는지 다 까먹고 살았네요... 아마 그동안 트렌드도 바뀌었을 거구요. 아마 제가 시험장에 있었어도 비슷하게 풀었을 것 같습니다. 제가 봐도, 이 문제는 수학 공부를 철저히 해야 맞힐 수 있는 문제로 보입니다. 학생들은 각자대로 아쉬움이 남았을 것 같아요.
앗. ai하고 수학 복수전공이시라니 생각만 해도 머리 아픈 2가지를 동시에 하고 계시군요 ㅎㅎ 한쪽에서는 수열과 미적분을 죽어라 하고 한쪽에서는 이론과 정의를 죽어라 하는 으어어으어어ㅣㅏㅁ너;ㅣ아ㅓㅁ;ㅏㅓ … 여하간, 분모에 2를 넣어서 ‘잘 안보이게’ 하던가 ‘평균변화율 떠올려!‘ 하는 식의 트릭을 건것 같습니다. 최근의 입시 시장에서 워낙 정형화되어있는 풀이법과 사교육시장에서의 ’훈련‘등이 많이 있다보니까, 그런 것들을 역이용해서 ’생각없이 훈련된 학생들’은 오히려 힘들어지는 그런 문제들을 만들고 싶었던 건 아닐까, 뭐 그렇게도 생각해봅니다. 말씀대로 ‘철저하게’ 공부했던 학생들을 위한 문제로 보입니다. 정작 문제는 그다지 철저하지 않게, 대충 풀어도 답이 나오게 만들어둔 이 문제 자체의 허술(…)함이랄까요. 그럼에도 불구하고 이 문제에서 얻어가야 할, 그러니까 ‘공부해둬야할’ 내용은 학생들이 충분히 알았으면 해서 좀 더 깊게 파고들어가봤습니다. ㅠㅠ
재밌는 풀이네요. 차분식이라고 생각할수도 있겠지만 그냥 문제를 낼려고 만든 의미 없는 것 이라고 생각해도 풀리기 때문에 관점은 그냥 그때 떠올릴 수 있냐에 따라 달라지는것이라 별로 엄청 중요한것 같진 않고요. 다만 저런 새로운 관점은 시험에서 요구하는 수학적 추론에 대해 매우 좋은 방향이라고 생각합니다. 그럼에도 불구하고 요즘 문제들은 무언가 괴리감이 크게 느껴지는 것이 단원간에 있는 벽을 완전히 부순 느낌입니다. 미분을 물어보는 문제에 이산처럼 보이도록 껴놓아 이산과 연속의 관점을 여러번 바꿀 수 있는 능력을 고등학생에게 물어보는건 조금 하드하지 않나 싶네요. 교과서에 구체적으로 이산과 연속 함수의 차이를 대놓고 용어로 설명하지도 않고요. 그정도 수준은 고등학생보단 대학교1,2학년 학생들이나 배울법한 이야기인데요. 요즘 문제가 너무하네요... 그냥 미분만 물어봐도 혹은 수열만 깊게 물어봐도 재밌는 관점이 많은데도 불구하고요. 입시가 고일대로 고였나 봅니다.
정성스런 댓글에 먼저 감사를 드립니다. 차분식으로 바라보는 건 또 다른 방법이 되겠습니다만, 그건 너무 기술적인 풀이 같아보여서, 이 문제의 변형 혹은 아이디어 차용된 문제에서도 학생들에게 도움이 되는 방향성을 찾아보고 싶었습니다. 그래서 좀 더 내부를 바라보는 방향으로 진전시켜서 문제풀이를 시도해 봤던 거구요. 여하간, 말씀주신대로 단원간의 벽이 거의 없이 이것저것 뒤섞인 상태의 문제들이 된지 꽤 되었습니다. 고교 과정에서 구체적으로 이산과 연속함수의 정의를 다루지는 않지만, 그 특성을 이용하는 문제들은 계속 나오고 있는 편이구요. 아마 더 늘면 늘었지, 줄지는 않을거라 생각하고 있습니다. 그런데 말씀주신 내용에서처럼, 미분이면 미분, 수열이면 수열에 관해서 심도있는 이야기를 전개하고 싶어도, 출제진들 입장에서 그럴 수가 없는 상황이 계속 벌어지고 있습니다. 예를 들어 미분을 이야기해서 라이프니츠 미분 표현을 통한 다양한 응용은 미적분 선택과목으로 갔고, 적분의 정의와 구분구적법에 대한 내용도 미적분으로 갔고, (그래서 실제로 공통 수학2 에서는 적분의 정의가 없습니다. 기술적인 풀이만 쓰여져있구요.) 수열에서는 점화식이 삭제되고, 급수는 또 미적분으로 갔고.. 뭐 그렇습니다. 그러다보니 ’재미있고 심도있는’ 소재란 소재는 전부 빼놓았고, 이에 따라 남은 내용만 가지고 좀 더 변별력있는 문항을 만들려 하다보니 점차로 더 ’하드‘ 한 이야기가 되고 있는 것도 사실입니다. 사교육 시장에서 강사를 하고 있는 입장이지만, 대체 교육체계 만드시는 분들은 왜 자꾸 산으로 가는 체계를 만들어 내는지 그저 한탄스러울 따름입니다. 잡설이 길었습니다. 좋은 말씀 주셔서 감사드리고, 또 다음에 찾아주세요. 감사합니다.
영상 도입부에서 정의역을 어떻게 잡냐에 따라서 이산함수와 연속함수가 구분된다고 분명히 설명을 했는데도 딴소리하시는 분들이 많네요. 주어진 부등식을 구성하는 함수들의 정의역이 정수집합이므로 미분 적분의 논리로 다룰 순 없고, 주어진 이산함수의 함숫'값' f(k+2)-f(k)를 실수 'x'에 대한 '연속'함수인 f'(x)를 k부터 k+2까지 정적분한 '값' 으로 바라봐야한다는 설명인데 말이죠
아 맞습니다. 사실 제가 이야기하고 싶어했던 요점을 정확하게 짚어주셨어요. 그래프 그려서 해석할 수도 있지만, 정수조건이기에 사실은 ‘점’에 불과한 것이라, 그래프 개형을 잠시 접어두고 값과 점만을 바라보는 방식으로 해석하는 것을 해보셨으면 하는 거였어요. ….. 이렇게 간편하게 정리해주셨는데 어려워하시는 분들이 많은걸 보면 아무래도 제가 말을 너무 헷갈리게 했나봅니다. ㅠㅠ
앗. 만약에 동훈님께서 그런 생각이 드신다면, 그렇게 하셔도 무방합니다. 이게 약간 닭이 먼저냐 달걀이 먼저냐 같은 개념이라서 그렇습니다. 연속함수를 그려두어도 그게 이산함수로서 어떻게 다르게 작용하는지가 보이면 굳이 완전하게 구별해서 접근할 필요가 없습니다. 고교 수학에서는 별도로 ‘이산 함수’ 라는 것을 규정하지 않은 탓에, 대체로 선을 그리고 거기에 정수나 자연수 조건을 넣는 것이 더 자연스러운 과정이 되구요. 실제로도 다들 그렇게 이산수학의 기초를 쌓아가게 됩니다. 이 영상은 이산함수와 연속함수를 잘 구별하지 못하는 경우에 더 도움이 될 수 있도록 제가 강하게 힘을 줘서 이야기해두려 했던 것인데 지금 생각해보니 영상 찍을 시점에 빨리 마무리 하고 퇴근(!!) 했어야 했기에 빨리 찍었던 것 같은데, 말씀주신 부분에 관해서 좀 더 고민하고 차근히 진행할걸 하는 생각도 드네요. 시청해주셔서 감사드리고, 또 좋은 피드백 주셔서 감사합니다! :)
안녕하세요 저는 중1학생을 둔 학부모입니다. 중등수학공부 검색하다가 우연히 선생님 영상을 보게 됐는데 정말 좋은 수업방식들을 강의해주셔서 지난 영상들까지 거의다보았습니다. 수학 공부하는 방법을 제대로 가르쳐주시는 선생님은 진짜 찾기 힘든데 진짜 보석같은 선생님을 이제야 찾은것같습니다. 저희아이를 선생님께 배우게 하고싶어서 클러스 인강을 들어가보았는데 고2과정 수1 ,2 심화과정만 있고 수 상하 개념 강의는 없더라구요. 내년후반쯤 아이가 고등수학을 시작할때 인강으로 선생님 개념 강의을 들을수 있는 방법은 없을까요? 그리고 선생님은 수능수학 전문 선생님이시지만 혹시 중등과정 강의도 런칭해주실수 있을까요? 꼭 부탁드립니다. 중등부터 선생님께 체계적으로 배우게 하고 싶습니다. 그리고 진짜로 어디에서도 들을수 없는 진짜 올바른 수학교육 강의들 올려주셔서 진심으로 감사드립니다.
좋은 말씀 감사합니다. 일단 클러스에서 ‘수능형 강의’를 제외한 기본기 강의가 내려져있습니다. 회사와 상의후에 이제 바뀌는 교육체계, 그러니까 현 중3을 위한 기본기 강의부터는 계획하고 있습니다. 이에 관해서는 제가 커뮤니티 공지로 따로 띄워두도록 하겠습니다. 그러니 내년이라면 충분히 들으실 수 있을겁니다. :) 다만 중학교 과정에 대한 수업이라는…거는 아마 요원할 것 같습니다. 중학교는 단순 암기형으로 공부하는게 성적이 잘 나오는 길이고, 수능은 이번에는 암기에 이해를 기반으로 하는 해석형으로 공부해야 하는 것인지라.. 너무 접근하는 방식이 다르기 때문입니다. ㅠㅠ
으악 작수 22번… 사실 그건 ‘정수조건’ 이라기 보다는 그냥 아이큐 테스트… 혹은 운빨 테스트에 가깝지 않을까 합니다. 저어어어엉말 많이 그려본 학생과, 우연히 딱 형태가 보인 학생과 딱히 차이가 나질 않는 그런. -_-. 전 개인적으로 그 문항보다는 차라리 이번 21번을 더 고차원적으로 만드는게 더 재미있는 문제가 아닐까 합니다 ㅎㅎ
졸업한지 10년된 사람입니다 수능을 치른지 참 오래되어서 제 의견이 의미있을지는 잘 모르겠습니다만 굳이 부등식 가운데를 2로 나눠서 줘가지고 수험생들 낚으려는 악의성만 제외하면 상당히 잘 만들어진 문제라고 생각이 듭니다 올바른 개념적 접근만 할 수 있다면 쉽고 간결하게 풀리지만 그렇지 않으면 시간이 너무 오래 걸리거나 못푸는 문제니까요 다만 제가 궁금한 것은 왜 이 문제가 유독 유튜브에서 난리가 난 것일까? 하는 생각이 들었습니다 난이도로만 보면 이보다 더 어려운 4점 문제는 그동안 수도없이 많았을텐데요
@@l.t.d8531 오잉 평균변화율로 보면 낚여서 헤매기 십상이라는 게 위 동영상의 취지인거같은데.. 혹시 영상 보셨습니까? 그리고 저도 오래되긴했지만 학창시절에 평가원모의고사 및 수능 1등급 놓쳐본적 없는사람입니다 공격적 발언은 삼가주세요 오히려 '평균변화율처럼 보여도 그 접근이 틀릴 수 있으니 조심하여라' 라는 메시지를 주려는거면 이해라도 하겠습니다만 "평균변화율 이용해서 공부하라"는 메시지를 평가원이 주려고 했다는건 이 동영상의 내용과 상반된다고 생각이 듭니다
제가 보기엔 정의역이 실수로 주어지고 특히 정의역이 정수일때의 조건이 주어진거니 세함수 모두 그래프를 그려보는게 적절한 접근이라 보여집니다. 그려보면 교점이 있으니 계산만 하면되겠지요. 저도 동의가 안되긴 하네요. 그리고 정의역은 이미 실수로 주어진 상황인데 자꾸 이산함수라고 하시는것도 적절한 표현은 아닌것 같습니다.
세 개의 그래프의 교점을 생각해서, 그 값을 대입하는 방식의 접근 정말 좋습니다! 다만 말씀주신 내용에서, 정의역이 원래 실수로 다 존재하는데 정수만을 준 것이 아닙니다. 가운데 함수만 실수 조건에서의 정의역이고, 부등식을 구성하는 좌우의 식은 ’정수조건에서만‘ 존재하도록 되어 있기 때문에, 실수 모든 조건에서 존재한다고 생각하면 힘들어집니다.
음.. 22년 9모 21번 같은 경우에는, 지수함수와 삼각형의 닮음을 이용하여 푸는 문제입니다. 지수와 로그가 같이 등장하거나, 지수 혹은 로그가 그려져있고 기울기가 1인 선이 표현되어 있거나, 지수 혹은 로그가 그려져있고 기울기가 -1인 선이 표현된 경우에 역함수를 떠올리시는 것이 좋습니다. 말씀하신 그 문제에서는 기울기가 1,-1인선 모두 없고 지수만 있기 때문에 그냥 삼각형으로 보시는것이 좋습니다.
f(k) 는 이산함수라서 점입니다. 하지만 f(x)는 연속함수라서 미적분으로 표현할 수 있습니다. f(k+2)-f(k) 는 값이므로, 정적분으로 표현하는 것이 가능합니다. 이에 f'(x)를 적분해서 표현할 수 있게 되지요. '이산함수'와 '연속함수'를 같게 보는 것이 아니라, '다르게' 보라는 것이 이 문제에 내재된 이야기라 봅니다.
이번영상은 동의하기 힘듭니다. 별로설득력이 없어요 게다가 이문제 대부분 상위권학생들은 기하학적 접근이 정수조건때문에 쉽지않아서 그냥 간단히 수식으로 답을낸 문젠데 뭔가 심오한게 있는마냥 ... 게다가 간단한 내용을 분량길게 뽑으려고 초반에 너무 늘어지게 불필요한 도입을 길게 촬영한 느낌이 강하게 듭니다.
아, 동의하지 않으셔도 됩니다. 사람마다 바라보는 방향성이 얼마든지 다를 수 있으니까요. 이건 영상에서도 언급해드렸지만 '제가 바라보는 방향' 입니다. 수학을 가르치는 강사로서 제가 보기에는, 요새 이산함수와 연속함수의 차이를 다루는 문제가 분명 늘어나고 있지만 아직 아무도 그 이야기를 하고 있지는 않습니다. 제 수업과정에서는 이를 강조하는 편이기에, 이 기회에 확실히 알려드리는 용도로 이 영상이 제작되었습니다. 그래서 '컴팩트한 풀이'를 요구하시는 분들께는 제 영상에서의 말이 쉽게 와닿지는 않을거라 봅니다. 다만 '정수조건'때문에 그리기 힘들다-가 왜 일어나는지, 그렇다면 그 차이에서 어떤 내재된 의미가 있는지 알려드리기 위해 제작한 영상이라 보시면 됩니다. 제 영상들이 으레 늘 그렇듯이, '컴팩트하게 풀기' 보다는 '최대한 관련지식을 확실히 짚고가는' 영상이기에 그렇습니다. 제가 유튜브로 먹고 사는 사람도 아니고 ㅋㅋㅋ 심오한게 있는거 마냥, 분량 길게 뽑으려고 영상 길게 만들어봐야 저만 고생이지 뭐 달라지는게 있습니까 ㅎㅎㅎ
entp329님의 댓글에 동의하기 힘듭니다 댓글내용이 전혀 쓸모도 없고 생산성도 없습니다 자신만의 관점을 제시하여 보는 사람들이 이해의 폭을 넓히는데 도움이 되는것도 아니고 스스로 영상을 만들어 올릴수 있는 능력이나 용기도 전혀 없는 상황에서 여러사람에게 도움을 주고 있는 이런 영상에 쓸데없는 열등감만을 일으키는 것은 그냥 지나가려고 해도 참을수가 없을정도 입니다 영상을 만드는 분의 태도가 그리 겸손한 편은 아닌지라 개인적인 호불호는 있을수 있다고 생각합니다만 이런식으로 상대방의 노력을 비아냥 거리고 깍아내리는 것은 상당히 낮은 수준을 드러내는 행위입니다 반박을 할때는 준비를 더 많이 해야하고 눈치껏 타이밍도 잘 잡고 누가 봐도 그럴만 하다는 공감대도 형성을 해야 합니다 보아하니 본인도 영상 만들어 올린 경험이 있는것으로 보이는데 그걸 아는 사람이 이런다면 더더욱 부끄러운줄 알았으면 합니다
사실 문제 자체의 풀이는 어렵지 않습니다. 그냥 좌우 교점 찾아서 대입하면 되는 거거든요. 그런데 '왜 그렇게 해야하는가, 왜 모든 정수에 관해 성립하는' 이라는 조건을 주었는가. 이런 것에 대한 고찰을 진행하다보니 더 어려운 이야기로 깊게 파고들어가봤습니다. 이번 시험에서 (아주 쉬웠다고 다들 평가가 자자한데도 불구하고) 이 문제가 정답률이 가장 낮았던 이유는, 아무래도 어떤 고찰을 해보는 사고실험보다는 단순한 훈련을 통한 기술적인 '빠른 문제풀이' 가 해답이라고 다들 믿고 있었기 때문이 아닐까, 저는 그렇게 생각합니다.
이산함수라서 미분한게 의미가 없다 하셨는데 그럼 문제에서 f프라임3을 구하라는것도 의미가 없어지고 이산함수라 미분할 수 없기 때문에 평균변화율로 해석할 수 없다는데 미분계수도 아니고 평균변화율이 안된다는게 무슨 말인가요? 극한이 취해져 있는 상태도 아닌데 평균변화율 값과 미분가능성이 무슨 관계인지..
@@오스페아 대신 답변을 드리자면, x가 특정한 값으로 한없이 가까이 가는 극한값을 가지려면 f(x)가 실수 집합에서 정의되어야 합니다. 정수 집합에서만 성립하는 본 문제의 조건은 k를 특정 값으로 한없이 가까이 보낼 수 없기 때문에 극한을 사용할 수 없습니다. 미분계수와 도함수도 결국은 극한의 일종입니다.
@@user-matlee2477 미분계수 순간변화율과 평균변화율 개념에 대해 혼동하시는거 같은데 평균변화율에는 극한의 개념이 들어가지 않습니다. 평균변화율의 기하적 의미인 두 점을 이은 선분의 기울기에서 한점을 다른 한점에 다가갈 때의 기울기를 순간변화율이라 하고 이 때 극한의 개념이 도입되기 때문에 제가 이야기하는 질문인 이산함수이기 때문에 평균변화율로 해석할 수 없다와는 맞지 않는 답변입니다.
헑 두분의 토론에 감사드립니다. 일단 한가지 짚고 넘어가자면, 네 맞습니다. 이산함수라도 평균변화율은 존재합니다. 일종의 점과 점 사이의 기울기로 항상 존재하는 것이기 때문에 평균변화율이 아예 없지는 않습니다. 헌데 이 문제에서 평균변화율을 떠올리면 대체로 함수의 개형을 유추하는 쪽으로 흘러가버리기에, 그러지 않게 하기 위해서 제가 강하게 말을 하는 과정에서 '평균변화율이 아예 없다' 고 오해하기 좋게 말씀드린 듯 합니다. 이에 관해서는 제가 고정 댓글로 남겨두도록 하겠습니다. 감사합니다!
오 맞습니다. 다만 이 영상에서 제가 이야기하고 싶었던 것은, '모든 정수에 대하여' 라는 말이 왜 주어진 것이었는지에 대한 고찰이었습니다. 사실 왼쪽 오른쪽 그려서 교점 찾아 대입한다면, 굳이 '모든 정수에 대하여' 라는 말보다 그냥 어떤 정수 k에 관하여 라고 주었어도 가능했던 풀이기에 무언가 다른 정보를 더 찾아보려 노력한 것이었습니다. 시청해주셔서 감사합니다!
저도 수험생이라 정확하진 않을 수 있어요 ^^;
저 문제를 현장에서 푼다면 등호성립순간을 잡아내서 대입 후 마무리하는게 가장 현실적인 방법이겠지요. 정수조건이 쓰이지 않긴 하지만, 대부분의 학생들이 이렇게 풀었을 겁니다.
다만, 시험이 끝난 후 저 문제에 정수조건이 왜 들어가있는지 생각해보면 .. 개인적인 의견이지만
아마 저 문제를 만들 때 기출제된 요소 중에서 강사님 말씀대로 FTC와 정수조건을 결합해서 출제했을 확률이 높은게, 이미 사관학교 22번 소재로 출제된 것이라 그렇습니다.
주어진 식을 도함수의 정적분으로 해석하고, K로 이루어진 식 자체를 다시금 기하적으로 표현해서 정수조건을 결합한 형태로 출제하였다가, 난이도 문제로 문제를 수정하고 21번에 배치했다고 봐요.
다만, 저렇게 문제를 수정하면 단순 계산 문제가 되어버리니 평균변화율로 해석하지 않을래? 하는 일종의 트릭으로 숨겨둔 것이겠지요.
다만, f'(x) 가 이차함수임을 활용하면, {f'(x+2)-f'(x)}/2 = f'(x+1) 이 성립하고, 저 식을 적분하고 적분상수를 구해서 f(x)를 찾으면, 계산이 조금 더 간결해지는 건 맞습니다.
사실 저 문제는 계산 문제입니다. 문제에서 주어진 식이 기하적으로 함의하는 것과, 식의 다양한 변형도 가능하긴 하지만, 저 문제에서 핵심적으로 쓰이지 않습니다. -2와 -1 사이의 정수는 존재하지 않고, 등호성립순간을 계산 가능하게끔 하는 장치에 불과하기 때문에 그래요.
여담이지만, 현재 수능 문제에서 정수조건은 대략 두 가지로 활용되고 있습니다.
문제에서 정수조건 자체가 부족한 식을 대체하거나 기하적 의미를 담고 있어서 사용하지 않으면 풀이가 더 이상 진전되지 않는 문제도 있고 (수2/미적), 마지막 결론을 도출하는 과정에서 답을 걸러주는 역할만 하기도 합니다. (수1)
년도까지는 기억이 나지 않습니다만, 예전 가형 기출문제 중에서 정적분으로 정의된 함수를 기반으로 구간을 정수로 잡아서 이산적인 해석을 요구한 문제가 있는데, 241122에도 비슷한 사고를 요구했던 것을 보면, 이번 21번도 비슷한 맥락이 아닐까 추측만 해 보는 것이지요.
더 이상 개수새기라던가 순서쌍이 결정되기 위한 조건으로서의 정수조건은 출제하지 않는 것을 보면 이제 정수조건을 곁다리가 아닌 메인조건으로 끌고와서 이산적이다의 개념을 물어보려고 하는 것 같기도 하구요.
으헉. 일단 초 장문의 정성스런 댓글에 감사인사부터 드립니다.
거기다 정말 처음부터 끝까지, 제가 드리고 싶었던 이야기를 저보다도 더 자세하게,
또 명확하게 설명해주셔서 이에 감탄했습니다. 정말 감사합니다.
앞에서부터 시작하자면, 맞습니다. 일단 문제 풀이 방식은 어찌되었던 두 함수의 교점을 찾아서 대입하는 방법으로 접근하면 답 자체는 쉽게 구할 수 있는 그런 문제였습니다.
그런데 대체 왜 '모든 정수 k 에 대하여 성립하는 부등식' 이라는 표현을 주었을까,
그런 표현이 있다면 이 문제가 의도하는 것이 살짝 더 있지 않았을까
이 생각에서 출발한 영상이 됩니다. 그래서 컴팩트한 풀이랑은 그냥 백만년 멀어졌지만요.
수험생이라고 하셨는데, 고3이나 재수생이 아니신것 같단 생각입니다.
사용하시는 단어나 논리로 보아 다시 공부하시는 것 같은데요. 그정도로 잘 정리해주셨어요.
만약 현역이거나 재수생이시라면, 우와아아. 제가 정말 놀랠겁니다.
여튼 다시한번 좋은 댓글과 정리에 감사드립니다.
더 좋은 영상으로 찾아뵙겠습니다. 종종 찾아와 주세요!
@@Math_is_Dharma
답글을 이제야 확인하였네요. 고정을 해주시다니 ㅎㅎ
부족한 댓글인걸요.
댓을 쓰다 보니 너무 21번 문제에만 치중한 감이 없지않아 있어서, 영상에서 설명하신 내용을 저도 조금 더 적어보려고 합니다.
요즘 수학 교과서에서는
미적분의 기본정리 (FTC) 를 명확히 가르치지 않고, 구분구적법도 리만합과 관련지어 기하적인 내용을 설명하지 않고 너 주어진 식을 적분식으로 어떻게 바꿔볼 수 있겠니? 에만 치중해서 가르치고 있지요. 한편으로는 참 안타깝습니다
대부분의 강사들도 도함수의 정적분은 원함수 함숫값의 차라는 명제를 단순 암기로 지도하지만, 사실 더 큰 의미가 있는데 말이지요.
대입해서 도출된 "값" 인 원함수의 함숫값과, 도함수의 정적분, 즉 넓이로 해석이 가능함과 동시에 값이 아닌 의미로 바라볼 수 있다는 말이지요.
즉, 이산적인 값으로 볼 것이냐. 리니어한 하나의 해석으로 볼 거냐의 문제입니다.
예전 가형 기출에는 이런 소재를 되게 잘 다루었는데, 요즘은 잘 다루지 않아서 아쉽기는 합니다.
특히 회로설계에서 주요한 관점으로 적용되는 내용이라 물리 좋아하는 교수님이 출제했나 싶기도 하고 그러네요
질문있습니다 !!! f'(x)가 이차함수인것과 {f'(x+2)-f'(x)}/2= f'(x+1)이 성립하는게 왜 그런건지 잘 모르겠어요.
산술평균은 직선인 1차함수에서나 되는거 아닌가, 혹시 말씀하신게 평균값정리?와 관련된 얘긴가 알쏭달쏭 헷갈려요 잘 모르겠고.. 가르쳐주세유
@@YoungUkJo-s9l이차함수의 성질 생각해보시면 되어요. (x+1, f(x+1)과 (x+2,f(x+2)) 를 이은 직선의 기울기와 동일한 미분계수를 가지는 지점이 폐구간 사이에 존재함은 평균값 정리로 증명 가능하지만 미분계수와 같은 지점이 정확히 중점의 x좌표라는건 이차함수의 성질입니다.
@@정밀컷터 {f'(x+2)-f'(x)}/2=f"(x+1)아님? 잘못쓰신거 같은데
1. 영상에서는 f(k) 를 이산함수로 바라보아 정의역이 정수인 함수로 정의하였습니다.
따라서 f(k)를 미분 혹은 적분하는 것은 안되지만, f(x) 는 연속함수이기에 f'(x) 의 정적분을 정의하는 것은 가능합니다.
제가 이 영상에서 강조하는 것은, 이산함수와 연속함수의 차이를 통한 문항 내용의 이해와 풀이입니다.
2. 오해의 소지가 있는 표현이 있어 바로잡습니다.
f(k) 들이 이산함수라 해도, '평균변화율 자체'는 존재합니다. 일종의 점과 점 사이의 기울기로 나타낼 수 있습니다.
이산함수를 미적분 하지 말라는 표현을 드림에 있어 오해의 소지가 있는 표현이 있었습니다. 시청에 방해되는 표현을 드려 죄송합니다.
도함수만 빠지면 그냥 고1 문제인데 문항번호의 무게감 + 수능범위 선입견이 불러온 사고의 관성 때문에 학생들이 어렵게 느꼈을거 같네요
확통 88점 나온 현역인데 솔직히 1분 보다가 넘김
나중에 다시 풀긴 했는데
진짜 8번이나 9번 아님 19번에 있었으면 금방 풀었을듯..
@@youtubecoms개허수네
@@도현-h1c ㅇㅈ요 개쉬웠는데 ㅈㄴ 틀려서 슬픔
도움이 정말 많이 됩니다. 배우는 사람 입장에서 한단계 한단계 이해할 수 있도록 세심한 정성과 배려까지 들어간 강의네요. 훌륭하십니다.
도움이 되셨다니 감사합니다. 열심히 하겠습니다! :)
이해가 너무 잘되고 감탄이 절로 나옴니다.마지막 추가문제까지 설명들으니 이산함수문제 유형 풀때 정말 많은 도움이 될듯 하네요.
이런 반응을 주시다니 감사합니다. 가능한 최대한 엑기스 우려내려고 노력해봤습니다 ㅎㅎ
수학 만진지가 5년이 다되가서 좀 기억이 안나긴하는데 2k-8=4k^2+14인 2개 값을 구한다음 그걸 f(x)=x^3+ax^2+bx+c에 대입해서 풀었네요
등호 있는 부등식
1. 계산 2.추가 등식 생성 3. 선택기준 4. 항등식에서 함수생성
@@ConcernTroll 역시 수학은 강평
@@성이름-b3g 예아
전 수험생 시절이 벌써 7,8년이 지나서 요즘 시험장의 학생들은 어떤생각을 하고 풀었는지는 잘 모르겠습니다
단순히 킬러문제 배제 정책과 요즘 수능트렌드에 덧붙여서 여전히 계산이 복잡한 문제가 출제된다고 생각할 수 있을겁니다
다만 이런 문제를 다양한 관점에서 탐구해보는 것은 그들의 논리력과 사고력을 충분히 길러 줄 수 있는 문제로 보이네요
수학을 배운 사람이라면 반드시 그 문제의 본질에 대해 알고 넘어갈 필요가 있습니다
정수조건이 주어졌기 때문에 우리가 필요한 것은 어떤 특정한 값인걸 확인 할 수 있고
부등식을 해석하기 위해선 결국 기하학적 해석이 필요하다는 결론을 도출할 수 있습니다
우리가 필요한 건 어떤 특정한 값이기 때문에 기하학적 해석과 연관해서 주어진 두 함수의 교점을 이용해야겠다는 또하나의 방법을 찾을 수 있을것이고요
필요한 값을 찾은 후에는 다양한 방식으로 이 문제를 풀어낼 수 있겠습니다만 전 이 영상의 풀이가 제일 평가원 풀이에 가깝다는 생각이 듭니다
FTC의 본질을 통해 문제를 풀어나가는 과정은 확실히 평가원이 좋아할만 풀이법이죠
그렇다고 이 문제를 괄시해도 되냐고 물어보면 전 아닌것 같습니다
거의 똑같은 문제가 출제된 적도 있고(15년 9월 A형 21번) 올해 사관학교에서도 비슷한 문제가 출제된 것으로 기억하거든요
수능에서도 한번즘 다시 다뤄볼만하지 않나 싶습니다
하지만 여기서 걱정이 되는 것은.. 범위가 줄어들대로 줄어든 이 판국에 문제에 변별력을 줘야하다보니 문제가 점점 괴랄해지지 않을까..
이런 문제를 푸는 학생들에게 과연 부담이 없을지..
이산과 연속을 번갈아가면서 고민하는 방법은 확실히 고등 수학 범주에서 쉽게 해결할 수는 없는 방법입니다
기초 대학 수학을 배우고서야 조금씩 다룰 수 있을 법한 분야인데 이런걸 시험문제로 내버린다는게 참 아쉽습니다
@@김치-r9l 정성 가득한 장문의 댓글에 먼저 감사드립니다.
예 말씀하신대로의 과정을 따르면, 이 문항은 생각보다 수월하게 정답에 접근하게 됩니다.
그런데 ‘왜 그렇게 해야하는지’ 에 대한 고찰들은 요새 학생들이 더 잘 못하고 있습니다.
왜냐하면 최근들어 수능의 출제 스타일이, 이전 기출에서의 유형 반복 혹은 심화 정도로 고착화되어있었기 때문입니다.
그걸 탈피해보고자 평가원이 최근들어 온갖 소재를 바탕으로 온갖 내용들을 섞은(!) 이야기를 들고 오고 있는데,
작년에는 킬러 출제 금지의 영향으로 인해 계산이 괴랄(..)한 수준까지 도달하기도 했습니다.
올해는 그건 좀 너무했다, 다른 방식으로 가보자 그런 생각을 하고 있는 것 같단 느낌이 좀 들구요.
해서 다양한 해석이 가능한 버전을 보여드리려 했습니다.
당연히 이 문제를 컴팩트하게 푸는 것과는 확실히 차이가 있겠습니다만, 김치님께서 말씀해주신대로
이전 기출에서 나왔던 소재에 정수조건을 더하여 좀 더 많은 의미를 찾아볼 수 있게 만든듯 합니다.
사관학교 문제는 올해가 아니라 재작년 문제가 이와 아주 흡사했었는데요.
요걸로 또 영상 한번 제작해보겠습니다. 다시한번 좋은 피드백 주셔서 감사드립니다. 행복한 추석 보내세요!
@@Math_is_Dharma 재작년 사관 기출이었나요 대충 찾아본거라 가물가물해서 잘못쓴것 같네요 ㅎㅎ;
곰곰히 생각해봤는데 수능에서는 뭔가 작년인가 재작년에 나온것 처럼 이런 정수는 없었습니다 짜잔 이런식으로 나올법한 문제가 아닌가 싶네요
즐거운 명절 보내세요~!
세상에 제일 깔끔한 풀이네요.. 그리고 이산 함수 개념까지 나오는데 그거 생각 못 하면 발리는 문제입니다...
나름 깔끔하게 하려고 노력했는데, 이게 그러니까 막 빨리 찍고 집에 가고 싶었던 탓에 -__-
생각보다 완전 깔끔하고 이쁘게 나온 강의가 아니라서, 그저 죄송스럽습니다. ㅠㅠ
그럼에도 불구하고 시청해주셔서 감사합니다.
저 같은 경우에는 어차피 정수조건 이용해서 f' 구하는거니까 f를 삼차식으로 그냥 설정해놓고 계산하면 나오겠지- 하는 믿음을 가지고 풀었습니다. (x+2)^n-x^n꼴도 나름 계산이 정형화되어 있으니까요 ㅎㅎ
(어차피 문제 푸는 과정에서 이용하긴 했지만) 좌항과 우항이 같아지는 지점(-2,-1)을 구한 걸 처음부터 이용했으면 더 빨리 풀 수도 있었다고는 생각하고요 ㅎㅎ
이런 문제에서는 계산 방법보다 이산함수라는 것을 정확히 이해했는지와 자신의 방법에 대한 신뢰를 가지고 곧바로 푸는 게 중요하지 않았나, 그런 생각이 드네요😊
오. 그것도 좋은 방법이었습니다. 사고하신 과정도 훌륭합니다!
사실 단순 연산으로 풀어도 얼마든지 ‘답’자체는 나오는 문제가 분명합니다만,
그렇게만 하면 이 문제에서 얻어갈 수 있는 내용을 못 얻어가게 될까봐, 제가 좀 더 깊게 파고들어간 것에 불과한지라..
지금처럼 단계별로, 조건별로 정확하게 해석하실 수 있는 상황이라면 저의 이런 영상은 애초에 필요가 없…. 쿨럭… ㅠㅠ
풀이 잘 봤습니다. 저는 AI랑 수학을 복수전공하는 대학생이에요. 다른 강사의 풀이를 보지는 못했지만 요즘 평가원이 악랄하네요. 일부러 2를 분모에 집어넣어서 적분으로 해석하기 어렵게 만들고... f의 도함수가 적분가능하기 때문에 f(k+2) - f(k)를 미적분의 기본정리를 이용해 f'(x)의 적분으로 생각하는 것은 자연스러운 발상이네요. 다른 식으로도 풀 수 있는지 궁금해지네요
다른 영상 보니까, 댓글 보니까, 다들 그냥 f(k+2) - f(k)를 직접 계산하신 분도 있고, 그래서 뭐 이것저것 문제에 대한 아쉬움들이 많은 여론이군요...
고득점 받던 사람은 저 식 구조 보면 평균변화율 / 도함수의 정적분 / 단순대입인가 이런 판단 해요.
기출도 많구요.
다만 교수님 설명대로 저 부등식이 정수조건에서 성립하므로 함부로 미분해선 안되기에 저는 교점이 있을까해서 방정식 풀고 대입을 해봤구요.
변별을 해야하는데 21번이면 나름 준킬러~킬러위치인데 너무 쉽게 내면 안되죠 ㅎㅎ
@@윤가드-w4c 그렇군요,, 저는 수능 본지 몇 년 된 사람이라 수능 기출에 무슨 요소가 있었는지 다 까먹고 살았네요... 아마 그동안 트렌드도 바뀌었을 거구요. 아마 제가 시험장에 있었어도 비슷하게 풀었을 것 같습니다. 제가 봐도, 이 문제는 수학 공부를 철저히 해야 맞힐 수 있는 문제로 보입니다. 학생들은 각자대로 아쉬움이 남았을 것 같아요.
앗. ai하고 수학 복수전공이시라니 생각만 해도 머리 아픈 2가지를 동시에 하고 계시군요 ㅎㅎ
한쪽에서는 수열과 미적분을 죽어라 하고 한쪽에서는 이론과 정의를 죽어라 하는 으어어으어어ㅣㅏㅁ너;ㅣ아ㅓㅁ;ㅏㅓ …
여하간, 분모에 2를 넣어서 ‘잘 안보이게’ 하던가 ‘평균변화율 떠올려!‘ 하는 식의 트릭을 건것 같습니다.
최근의 입시 시장에서 워낙 정형화되어있는 풀이법과 사교육시장에서의 ’훈련‘등이 많이 있다보니까,
그런 것들을 역이용해서 ’생각없이 훈련된 학생들’은 오히려 힘들어지는 그런 문제들을 만들고 싶었던 건 아닐까,
뭐 그렇게도 생각해봅니다. 말씀대로 ‘철저하게’ 공부했던 학생들을 위한 문제로 보입니다.
정작 문제는 그다지 철저하지 않게, 대충 풀어도 답이 나오게 만들어둔 이 문제 자체의 허술(…)함이랄까요.
그럼에도 불구하고 이 문제에서 얻어가야 할, 그러니까 ‘공부해둬야할’ 내용은 학생들이 충분히 알았으면 해서
좀 더 깊게 파고들어가봤습니다. ㅠㅠ
발성, 내용 전달력 엄청 좋으시네여
좋게 들어주셔서 감사합니다!
평가원의도를 정확하게 짚어내는 풀이같습니다.
잘 보았습니다!^^
공감해 주셔서 감사합니다. 바라건대는 점으로서의 함수를 볼 줄 아는 습관이 학생들에게 많이 길러졌으면 합니다.
평가원은 ‘이전에 나왔던 문제 대로의 문제’를 원하지 않는 것이 분명해보이거든요.
요즘 트렌드에 맞는 문제들 다양하게 많이 만드셔서 자세한 풀이 포함해서 n제 실모 만들어 파시면 좋겠네요
으헉. 실모 제작은 으음.. ㅠㅠ
지금은 내년도 교재 제작에 더 열을 올리는 형국인지라 이게 좀 마무리되고 나서 여유가 생기면
좀 더 다양한 실모나 엔제 묶음집도 만들 수 있게 고민해보겠습니다. 좋은 말씀 감사합니다!
와... 짱이에요 ..많은 도움 얻고 가요
도움이 되셨다니 감사합니다
재밌는 풀이네요. 차분식이라고 생각할수도 있겠지만 그냥 문제를 낼려고 만든 의미 없는 것 이라고 생각해도 풀리기 때문에 관점은 그냥 그때 떠올릴 수 있냐에 따라 달라지는것이라 별로 엄청 중요한것 같진 않고요.
다만 저런 새로운 관점은 시험에서 요구하는 수학적 추론에 대해 매우 좋은 방향이라고 생각합니다.
그럼에도 불구하고 요즘 문제들은 무언가 괴리감이 크게 느껴지는 것이 단원간에 있는 벽을 완전히 부순 느낌입니다.
미분을 물어보는 문제에 이산처럼 보이도록 껴놓아 이산과 연속의 관점을 여러번 바꿀 수 있는 능력을 고등학생에게 물어보는건 조금 하드하지 않나 싶네요. 교과서에 구체적으로 이산과 연속 함수의 차이를 대놓고 용어로 설명하지도 않고요. 그정도 수준은 고등학생보단 대학교1,2학년 학생들이나 배울법한 이야기인데요.
요즘 문제가 너무하네요...
그냥 미분만 물어봐도 혹은 수열만 깊게 물어봐도 재밌는 관점이 많은데도 불구하고요. 입시가 고일대로 고였나 봅니다.
정성스런 댓글에 먼저 감사를 드립니다.
차분식으로 바라보는 건 또 다른 방법이 되겠습니다만, 그건 너무 기술적인 풀이 같아보여서,
이 문제의 변형 혹은 아이디어 차용된 문제에서도 학생들에게 도움이 되는 방향성을 찾아보고 싶었습니다.
그래서 좀 더 내부를 바라보는 방향으로 진전시켜서 문제풀이를 시도해 봤던 거구요.
여하간, 말씀주신대로 단원간의 벽이 거의 없이 이것저것 뒤섞인 상태의 문제들이 된지 꽤 되었습니다.
고교 과정에서 구체적으로 이산과 연속함수의 정의를 다루지는 않지만, 그 특성을 이용하는 문제들은 계속 나오고 있는 편이구요.
아마 더 늘면 늘었지, 줄지는 않을거라 생각하고 있습니다.
그런데 말씀주신 내용에서처럼, 미분이면 미분, 수열이면 수열에 관해서 심도있는 이야기를 전개하고 싶어도,
출제진들 입장에서 그럴 수가 없는 상황이 계속 벌어지고 있습니다.
예를 들어 미분을 이야기해서 라이프니츠 미분 표현을 통한 다양한 응용은 미적분 선택과목으로 갔고,
적분의 정의와 구분구적법에 대한 내용도 미적분으로 갔고, (그래서 실제로 공통 수학2 에서는 적분의 정의가 없습니다. 기술적인 풀이만 쓰여져있구요.)
수열에서는 점화식이 삭제되고, 급수는 또 미적분으로 갔고.. 뭐 그렇습니다.
그러다보니 ’재미있고 심도있는’ 소재란 소재는 전부 빼놓았고, 이에 따라 남은 내용만 가지고 좀 더 변별력있는 문항을 만들려 하다보니
점차로 더 ’하드‘ 한 이야기가 되고 있는 것도 사실입니다.
사교육 시장에서 강사를 하고 있는 입장이지만, 대체 교육체계 만드시는 분들은 왜 자꾸 산으로 가는 체계를 만들어 내는지
그저 한탄스러울 따름입니다.
잡설이 길었습니다. 좋은 말씀 주셔서 감사드리고, 또 다음에 찾아주세요. 감사합니다.
영상 도입부에서 정의역을 어떻게 잡냐에 따라서 이산함수와 연속함수가 구분된다고 분명히 설명을 했는데도 딴소리하시는 분들이 많네요.
주어진 부등식을 구성하는 함수들의 정의역이 정수집합이므로 미분 적분의 논리로 다룰 순 없고, 주어진 이산함수의 함숫'값' f(k+2)-f(k)를 실수 'x'에 대한 '연속'함수인 f'(x)를 k부터 k+2까지 정적분한 '값' 으로 바라봐야한다는 설명인데 말이죠
아 맞습니다. 사실 제가 이야기하고 싶어했던 요점을 정확하게 짚어주셨어요.
그래프 그려서 해석할 수도 있지만, 정수조건이기에 사실은 ‘점’에 불과한 것이라, 그래프 개형을 잠시 접어두고
값과 점만을 바라보는 방식으로 해석하는 것을 해보셨으면 하는 거였어요.
….. 이렇게 간편하게 정리해주셨는데 어려워하시는 분들이 많은걸 보면 아무래도 제가 말을 너무 헷갈리게 했나봅니다. ㅠㅠ
와 .. 저도 분석하면서 수열취급 적분취급 두 경로까지 적어뒀는데 마무리를 못했거든요. 감사합니다 !!
오.. 수열취급과 적분취급 두가지 방향성으로 나누어 분석하셨다니 멋집니다! 전 뭐 막 말한 거 같은데 ㅠㅠ…
@@Math_is_Dharma 아뇨 선생님 말씀이 마무리에 너무 도움이 됐습니다. 내공이 대단하십니다...
수열 취급이 뭘 말하는건지 물어봐도 될까요..?
목소리가 좋으십니다.
엇 좋은 말씀 감사합니다. 저는 가끔 튀어오르는 목소리 때문에
듣기 싫어하시는 분들이 계시면 어쩌나, 많이 걱정하는 편입니다. ㅠㅠ
평소에 도움 많이 받고 있는데, 이번 내용은 동의하기가 힘드네요. 이산함수라고 해도 연속 그래프를 그리고 점을 찍는 접근이 더 자연스럽지 않나 싶습니다.
앗. 만약에 동훈님께서 그런 생각이 드신다면, 그렇게 하셔도 무방합니다.
이게 약간 닭이 먼저냐 달걀이 먼저냐 같은 개념이라서 그렇습니다.
연속함수를 그려두어도 그게 이산함수로서 어떻게 다르게 작용하는지가 보이면
굳이 완전하게 구별해서 접근할 필요가 없습니다.
고교 수학에서는 별도로 ‘이산 함수’ 라는 것을 규정하지 않은 탓에, 대체로 선을 그리고 거기에 정수나 자연수 조건을 넣는 것이
더 자연스러운 과정이 되구요. 실제로도 다들 그렇게 이산수학의 기초를 쌓아가게 됩니다.
이 영상은 이산함수와 연속함수를 잘 구별하지 못하는 경우에
더 도움이 될 수 있도록 제가 강하게 힘을 줘서 이야기해두려 했던 것인데
지금 생각해보니 영상 찍을 시점에 빨리 마무리 하고 퇴근(!!) 했어야 했기에 빨리 찍었던 것 같은데,
말씀주신 부분에 관해서 좀 더 고민하고 차근히 진행할걸 하는 생각도 드네요.
시청해주셔서 감사드리고, 또 좋은 피드백 주셔서 감사합니다! :)
안녕하세요 저는 중1학생을 둔 학부모입니다. 중등수학공부 검색하다가 우연히 선생님 영상을 보게 됐는데 정말 좋은 수업방식들을 강의해주셔서 지난 영상들까지 거의다보았습니다. 수학 공부하는 방법을 제대로 가르쳐주시는 선생님은 진짜 찾기 힘든데 진짜 보석같은 선생님을 이제야 찾은것같습니다. 저희아이를 선생님께 배우게 하고싶어서 클러스 인강을 들어가보았는데 고2과정 수1 ,2 심화과정만 있고 수 상하 개념 강의는 없더라구요. 내년후반쯤 아이가 고등수학을 시작할때 인강으로 선생님
개념 강의을 들을수 있는 방법은 없을까요? 그리고 선생님은 수능수학 전문 선생님이시지만 혹시 중등과정 강의도 런칭해주실수 있을까요? 꼭 부탁드립니다. 중등부터 선생님께 체계적으로 배우게 하고 싶습니다. 그리고 진짜로 어디에서도 들을수 없는 진짜 올바른
수학교육 강의들 올려주셔서 진심으로 감사드립니다.
좋은 말씀 감사합니다. 일단 클러스에서 ‘수능형 강의’를 제외한 기본기 강의가 내려져있습니다.
회사와 상의후에 이제 바뀌는 교육체계, 그러니까 현 중3을 위한 기본기 강의부터는 계획하고 있습니다.
이에 관해서는 제가 커뮤니티 공지로 따로 띄워두도록 하겠습니다. 그러니 내년이라면 충분히 들으실 수 있을겁니다. :)
다만 중학교 과정에 대한 수업이라는…거는 아마 요원할 것 같습니다.
중학교는 단순 암기형으로 공부하는게 성적이 잘 나오는 길이고,
수능은 이번에는 암기에 이해를 기반으로 하는 해석형으로 공부해야 하는 것인지라..
너무 접근하는 방식이 다르기 때문입니다. ㅠㅠ
이 강의의 핵심을 다루는 문제가 또 더 있을까요...찾아서 해봐야 연습이 되는데
정수조건 보자마자 작수 22번 떠올려서 던진 문제.. 다시 봤을때도 평균변화율만 보려다가 끝난 문제.. 이젠 확실히 알겠네요.
으악 작수 22번… 사실 그건 ‘정수조건’ 이라기 보다는 그냥 아이큐 테스트… 혹은 운빨 테스트에 가깝지 않을까 합니다.
저어어어엉말 많이 그려본 학생과, 우연히 딱 형태가 보인 학생과 딱히 차이가 나질 않는 그런. -_-.
전 개인적으로 그 문항보다는 차라리 이번 21번을 더 고차원적으로 만드는게 더 재미있는 문제가 아닐까 합니다 ㅎㅎ
와 지리네요 진짜
고2인데 큰 깨달음 얻고 갑니다 유튜브에 맛있는 영상 너무 많아서 추석떄 마스터하려구요
헛.. 한동안 제가 유튜브에 신경을 많이 못 썼던지라 영상이 많지 않을건데요 ㅠㅠ
죄송합니다. 이제 좀 다시 달려보겠습니다. 그간 쌓인 영상들로 이번 추석이 재미있으셨으면 좋겠습니다!
와우 똑똑하세요 새로운 시선도 알아갑니다잉
똑똑한 사람이 되고 싶습니다. 크어 ㅠㅠ
졸업한지 10년된 사람입니다
수능을 치른지 참 오래되어서 제 의견이 의미있을지는 잘 모르겠습니다만
굳이 부등식 가운데를 2로 나눠서 줘가지고 수험생들 낚으려는 악의성만 제외하면 상당히 잘 만들어진 문제라고 생각이 듭니다
올바른 개념적 접근만 할 수 있다면 쉽고 간결하게 풀리지만 그렇지 않으면 시간이 너무 오래 걸리거나 못푸는 문제니까요
다만 제가 궁금한 것은 왜 이 문제가 유독 유튜브에서 난리가 난 것일까? 하는 생각이 들었습니다
난이도로만 보면 이보다 더 어려운 4점 문제는 그동안 수도없이 많았을텐데요
악의성이 아니라 추후에 평균변화율 이용해서 공부하라는 것입니다.. 저 식을 계속 잡고 있다보면 평균변화율에 대해 나름의 성질이 발견되는데, 그것까지 고려하고 만든 문제에요 뭔가 잘못 생각하고 계시는데 평가원은 사설출제진과 다르게 자비로운 집단입니다
@@l.t.d8531 오잉 평균변화율로 보면 낚여서 헤매기 십상이라는 게 위 동영상의 취지인거같은데.. 혹시 영상 보셨습니까?
그리고 저도 오래되긴했지만 학창시절에 평가원모의고사 및 수능 1등급 놓쳐본적 없는사람입니다 공격적 발언은 삼가주세요
오히려 '평균변화율처럼 보여도 그 접근이 틀릴 수 있으니 조심하여라' 라는 메시지를 주려는거면 이해라도 하겠습니다만 "평균변화율 이용해서 공부하라"는 메시지를 평가원이 주려고 했다는건 이 동영상의 내용과 상반된다고 생각이 듭니다
@@linjobi ㅋㅋㅋ님 댓글이 훨씬 더 공격적인데 뭐에 긁혀서 발작하시는지 궁금하네용 님 등급 물어본사람도 없는데 국어영역은 5등급이신가 봅니당…
@@yourmam_a어딜봐서 훨씬 공격적임. 일단 님이 가장 악의적인 댓글인건 알겠음.
정석 진짜 정석! 평가원 의도 파악 최고다 진짜.
이 문제에 국한해서 생각하지 않고, 되도록 ‘점’으로서의 함수 그림도 생각해보셨으면 !
그런 문제가 아니었을까 해요 ㅎ
좋은 영상 감사합니다. 쉬운 문제지만 평가원이 의도하는 방향이 있지 않을까 고민했는데, 많은 도움이 되었습니다.
도움이 되셨다니 다행입니다.
굳이 '모든 정수 k 에 관하여' 라고 해서 참 많은 사람 괴롭히는 문제네요..
예전에 ebs 기출의 미래에서, 샌드위치 정리를 이용한 문제를 풀었던 기억이 나서 관성적으로 좌항과 우항의 교점을 찾은 후 , 그냥 '이렇지 않을까?'하여 계산으로 밀고나가 풀었지만 찜찜한 느낌이 들어 여러 영상 찾아보는 중입니다! 도움되어 댓글 남깁니다
아, 맞습니다. 대체 정수조건은 왜 준것이지?! 하는 의문이 계속 남아있을 수 밖에 없는 문항이었어요.
도움이 되셨다 하니 제가 더 기쁩니다 :)
이산함수여도 두점을이어서 기울기가 아니더라도 가상의 두선을 머릿속으로 그어 가상의 기울기라고 생각한다면 f(K+2)+f(K)/2 가 기울기 아닌가요?
아 맞습니다. 제가 영상 설명에도 추가적으로 적어두었는데요.
두 점 사이의 평균변화율, 그러니까 선분의 기울기 자체는 존재합니다. 이 문제에서는 그걸 기하적으로 해석하지 ‘못’하는 것이라,
그렇게 하지 말라는 말씀을 드린다는게 과한 표현이 나갔나 봅니다. ㅠㅠ
미적분의 기본정리를 배웠다면 더 떠올리기 쉬웠을 것 같은 문제였네요.
예 맞습니다. 항상 미적분의 기본원리, FTC 를 생각해서 문제를 바라보면 의외로 해결책이 항상 있게
평가원은 그런 패턴을 보여왔습니다.
@@Math_is_Dharma 22개정에서 다시 포함됐던데 다행으로 생각합니다.
깔끔하십니다^^
감사합니다. 열심히 하겠습니다.
와 문제 개쩐다....15,16년도랑 비교가 불가능하네...
그냥 그래프 두 개 보고 교점 본 다음에 k는 정수라 부호 안바뀌네? 하고 식 두 개 찾고 바로 정적분 1분컷 작년에도 그렇고 수능은 이렇게 안나올듯한데 아무리봐도
저거 시험장에서 괜히 정확하게 해보겠다고 도함수 정적분으로 접근하다가 계산 실수해서 틀림...
흐억! ... 그저 눈물 ㅠㅠ
선생님 발성이 너무 좋으신데 따로 연습하시는게 있을까요?? 마이크 제품이 어떤건지도 알고 싶습니다.
선생님 3등급은 지금 어떻게 공부해야할까요 .. 항상 감사히 잘보고있습니다
❤
제가 보기엔 정의역이 실수로 주어지고 특히 정의역이 정수일때의 조건이 주어진거니 세함수 모두 그래프를 그려보는게 적절한 접근이라 보여집니다. 그려보면 교점이 있으니 계산만 하면되겠지요.
저도 동의가 안되긴 하네요. 그리고 정의역은 이미 실수로 주어진 상황인데 자꾸 이산함수라고 하시는것도 적절한 표현은 아닌것 같습니다.
세 개의 그래프의 교점을 생각해서, 그 값을 대입하는 방식의 접근 정말 좋습니다!
다만 말씀주신 내용에서, 정의역이 원래 실수로 다 존재하는데 정수만을 준 것이 아닙니다. 가운데 함수만 실수 조건에서의 정의역이고,
부등식을 구성하는 좌우의 식은 ’정수조건에서만‘ 존재하도록 되어 있기 때문에, 실수 모든 조건에서 존재한다고 생각하면 힘들어집니다.
2015년 기출이었나 평가원 30번 문제중에 이산함수 문제가 있었던거 같은데😅😅
엇.. 저도 자세히는 기억이 안나는데, 여튼 예전에도 이산 함수로서의 특징을 이용하는 문제가 있었습니다!
한번 말씀주신 부근의 문제들도 더 연구해보겠습니다. 감사합니다. :)
이 풀이가 가장 평가원 출제의도에 가까운 풀이가 맞습니다. 풀이는 제 생각과 같지만 정적분으로 차환해 식을 간결하게 만들생각은 못했네요. 어설프게 공부하고 딴지거는 친구들도 있는거같네요 ㅎㅎ 잘 보고갑니다.
@@kongkong5 뭔 지가 평가원인것마냥 싸질러놨놐ㅋㅋ진짜웃기다
@@비트컴퓨터-f6f ㄹㅇㅋㅋ
@@비트컴퓨터-f6f ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 진짜 젤 싫음
선생님 그러면 2022학년도 9모 21번같은건 지수식에 로그함수를 대입해도 값이 안나오던데 그래프가 평행이동 된 상태여서 대입해도 안나오는건가요? 고2입니다..!
음.. 22년 9모 21번 같은 경우에는, 지수함수와 삼각형의 닮음을 이용하여 푸는 문제입니다.
지수와 로그가 같이 등장하거나, 지수 혹은 로그가 그려져있고 기울기가 1인 선이 표현되어 있거나,
지수 혹은 로그가 그려져있고 기울기가 -1인 선이 표현된 경우에 역함수를 떠올리시는 것이 좋습니다.
말씀하신 그 문제에서는 기울기가 1,-1인선 모두 없고 지수만 있기 때문에 그냥 삼각형으로 보시는것이 좋습니다.
미분,적분이 아니라면서 적분으로 계산하나요? 부등식의 동치관계로 등식을 2개 유도해서 연립하는게 올바른 풀이 아닌가요?
f(k) 는 이산함수라서 점입니다. 하지만 f(x)는 연속함수라서 미적분으로 표현할 수 있습니다.
f(k+2)-f(k) 는 값이므로, 정적분으로 표현하는 것이 가능합니다. 이에 f'(x)를 적분해서 표현할 수 있게 되지요.
'이산함수'와 '연속함수'를 같게 보는 것이 아니라, '다르게' 보라는 것이 이 문제에 내재된 이야기라 봅니다.
값이잖니 정적분
평가원 아무 의도 없습니다^^
그렇게 보실 수도 있습니다. =ㅅ=
걍 제가 봤을 땐 교사가 내서 그렇습니다...
아 진짜 도움 많이 되었습니다. 정수조건에 더 예민하게 반응해야했었군요 😢
정수조건 진짜.. 가끔 사람 환장하게도 만들지만, 가끔 정말 재미있는 이야기를 들려줄 때도 있어요 ㅠㅠ
이번영상은 동의하기 힘듭니다.
별로설득력이 없어요
게다가 이문제 대부분 상위권학생들은 기하학적 접근이
정수조건때문에 쉽지않아서 그냥
간단히 수식으로 답을낸 문젠데
뭔가 심오한게 있는마냥 ...
게다가 간단한 내용을 분량길게 뽑으려고 초반에 너무 늘어지게 불필요한 도입을 길게 촬영한 느낌이 강하게 듭니다.
아, 동의하지 않으셔도 됩니다. 사람마다 바라보는 방향성이 얼마든지 다를 수 있으니까요.
이건 영상에서도 언급해드렸지만 '제가 바라보는 방향' 입니다.
수학을 가르치는 강사로서 제가 보기에는,
요새 이산함수와 연속함수의 차이를 다루는 문제가 분명 늘어나고 있지만 아직 아무도 그 이야기를 하고 있지는 않습니다.
제 수업과정에서는 이를 강조하는 편이기에, 이 기회에 확실히 알려드리는 용도로 이 영상이 제작되었습니다.
그래서 '컴팩트한 풀이'를 요구하시는 분들께는 제 영상에서의 말이 쉽게 와닿지는 않을거라 봅니다.
다만 '정수조건'때문에 그리기 힘들다-가 왜 일어나는지,
그렇다면 그 차이에서 어떤 내재된 의미가 있는지 알려드리기 위해 제작한 영상이라 보시면 됩니다.
제 영상들이 으레 늘 그렇듯이, '컴팩트하게 풀기' 보다는 '최대한 관련지식을 확실히 짚고가는' 영상이기에 그렇습니다.
제가 유튜브로 먹고 사는 사람도 아니고 ㅋㅋㅋ
심오한게 있는거 마냥, 분량 길게 뽑으려고 영상 길게 만들어봐야 저만 고생이지 뭐 달라지는게 있습니까 ㅎㅎㅎ
entp329님의 댓글에 동의하기 힘듭니다
댓글내용이 전혀 쓸모도 없고 생산성도 없습니다
자신만의 관점을 제시하여
보는 사람들이 이해의 폭을 넓히는데 도움이 되는것도 아니고
스스로 영상을 만들어 올릴수 있는 능력이나 용기도 전혀 없는 상황에서
여러사람에게 도움을 주고 있는 이런 영상에
쓸데없는 열등감만을 일으키는 것은
그냥 지나가려고 해도 참을수가 없을정도 입니다
영상을 만드는 분의 태도가 그리 겸손한 편은 아닌지라 개인적인 호불호는 있을수 있다고 생각합니다만
이런식으로 상대방의 노력을 비아냥 거리고 깍아내리는 것은 상당히 낮은 수준을 드러내는 행위입니다
반박을 할때는
준비를 더 많이 해야하고
눈치껏 타이밍도 잘 잡고
누가 봐도 그럴만 하다는 공감대도 형성을 해야 합니다
보아하니 본인도 영상 만들어 올린 경험이 있는것으로 보이는데
그걸 아는 사람이 이런다면 더더욱 부끄러운줄 알았으면 합니다
@@MKS-d2w 별내용도 없는 문제에 사족이 길다는 글을쓴건데
제글의 어느글에 발작버튼이 있었는지 아주 풀발기해서 분노의 장문 댓글 남기셨네 ㅋ
발작하게 만들었다면 죄송하지만
사실인걸요 ㅎㅎ
덕분에 많이 웃고 갑니다.
아하 형님
평가원이 학생들을 말려 죽일 생각이네요
사실 문제 자체의 풀이는 어렵지 않습니다. 그냥 좌우 교점 찾아서 대입하면 되는 거거든요.
그런데 '왜 그렇게 해야하는가, 왜 모든 정수에 관해 성립하는' 이라는 조건을 주었는가.
이런 것에 대한 고찰을 진행하다보니 더 어려운 이야기로 깊게 파고들어가봤습니다.
이번 시험에서 (아주 쉬웠다고 다들 평가가 자자한데도 불구하고)
이 문제가 정답률이 가장 낮았던 이유는, 아무래도 어떤 고찰을 해보는 사고실험보다는
단순한 훈련을 통한 기술적인 '빠른 문제풀이' 가 해답이라고 다들 믿고 있었기 때문이 아닐까, 저는 그렇게 생각합니다.
@@Math_is_Dharma 아.고맙습니다. 저는 일반인인데 수학유튜버를 취미로 보고 있는데 선생님의 풀이가 이해할 수 있는 설명이 되었습니다.😆 물 론 조금더 찬찬이 봐야 부분도 있지만요.
이산함수라서 미분한게 의미가 없다 하셨는데 그럼 문제에서 f프라임3을 구하라는것도 의미가 없어지고 이산함수라 미분할 수 없기 때문에 평균변화율로 해석할 수 없다는데 미분계수도 아니고 평균변화율이 안된다는게 무슨 말인가요? 극한이 취해져 있는 상태도 아닌데 평균변화율 값과 미분가능성이 무슨 관계인지..
f(k) 는 이산함수입니다. 그런데 f(x)는 연속함수입니다.
정의역이 다르기 때문에, 아예 다른 함수입니다. 따라서 미분을 할 수가 있고, 그러니 f'(3) 도 의미를 갖습니다.
이산함수와 연속함수의 차이에 대해서 다시 한번 생각해주세요. 감사합니다!
@@Math_is_Dharma이산함수면 평균변화율이 없다는건 무슨 말인가요?
@@오스페아 대신 답변을 드리자면, x가 특정한 값으로 한없이 가까이 가는 극한값을 가지려면 f(x)가 실수 집합에서 정의되어야 합니다. 정수 집합에서만 성립하는 본 문제의 조건은 k를 특정 값으로 한없이 가까이 보낼 수 없기 때문에 극한을 사용할 수 없습니다. 미분계수와 도함수도 결국은 극한의 일종입니다.
@@user-matlee2477 미분계수 순간변화율과 평균변화율 개념에 대해 혼동하시는거 같은데 평균변화율에는 극한의 개념이 들어가지 않습니다. 평균변화율의 기하적 의미인 두 점을 이은 선분의 기울기에서 한점을 다른 한점에 다가갈 때의 기울기를 순간변화율이라 하고 이 때 극한의 개념이 도입되기 때문에 제가 이야기하는 질문인 이산함수이기 때문에 평균변화율로 해석할 수 없다와는 맞지 않는 답변입니다.
헑 두분의 토론에 감사드립니다.
일단 한가지 짚고 넘어가자면, 네 맞습니다. 이산함수라도 평균변화율은 존재합니다.
일종의 점과 점 사이의 기울기로 항상 존재하는 것이기 때문에 평균변화율이 아예 없지는 않습니다.
헌데 이 문제에서 평균변화율을 떠올리면 대체로 함수의 개형을 유추하는 쪽으로 흘러가버리기에,
그러지 않게 하기 위해서 제가 강하게 말을 하는 과정에서 '평균변화율이 아예 없다' 고 오해하기 좋게 말씀드린 듯 합니다.
이에 관해서는 제가 고정 댓글로 남겨두도록 하겠습니다. 감사합니다!
어차피 기울기 형태는 쓰지도 않는데 왜 평가원은 굳이 저렇게 2로 나눈 형태로 준거죠?
음.. 굳이 생각해보자면, ‘고민해보지 않고 평균변화율과 개형 풀이 방식에 훈련된 학생들‘이 더 힘들어지게
일종의 함정을 파고 싶었던 거 아닐까, 그렇게 생각합니다. -__-…
차라리 안붙이느니만 못한 사족 같은 느낌이지요.
아하
부등식 왼쪽 오른쪽 함수를 그냥 그려보니까 항상 만족하려면 어뜩해야할지 깨달아서 풀었어요
오 맞습니다. 다만 이 영상에서 제가 이야기하고 싶었던 것은,
'모든 정수에 대하여' 라는 말이 왜 주어진 것이었는지에 대한 고찰이었습니다.
사실 왼쪽 오른쪽 그려서 교점 찾아 대입한다면, 굳이 '모든 정수에 대하여' 라는 말보다
그냥 어떤 정수 k에 관하여 라고 주었어도 가능했던 풀이기에
무언가 다른 정보를 더 찾아보려 노력한 것이었습니다.
시청해주셔서 감사합니다!
이런문제 그냥 지나가도되지않나요? 작년9월에도 이런의미없는문제나오고 수능엔 아무일없었다는듯이간거같은데..
평가원의 문제 선정은 그야말로 하늘의 뜻인지라! -_-
그래도 하나씩 파보는걸 알려드리는게 강사로서 해야할 일이겠죠 ㅠㅠ
아하