MISSION IMPOSSIBLE 2 : Trouver le carrÃĐ parfait
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Nouvelle question du test d'entrÃĐe à Oxford de 2023
Un seul des nombres suivants est un carrÃĐ parfait. Lequel ?
a) 99 999 999
b) 123 333 333
c) 649 485 225
d) 713 291 035
e) 987 654 321
Plan de la vidÃĐo
00:00 Enjeu de la question
01:00 Anecdote sur les QCM
02:59 RÃĐsolution de la question
07:05 Conclusion
Remarque : un carrÃĐ ne peut se terminer que par 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; ou 9 jamais par 3 pour ÃĐliminer la b)
Et 0
j'avais trouvÃĐ avec cette facon aussi. L'explication qu'il donne.. j'ai pas compris.. :-D
@@shift4156 son explication est 1 peu comparable, mais intuitive et approximative : Appelons N=123 333 333. Si N est divisible par 3 et pas par 9, ça veut dire qu'il s'ÃĐcrit : 3*x avec x non divisible par 3. Inversement, si c'est un carrÃĐ, il s'ÃĐcrira A*A. Puisque N est divisible par 3, A = 3 * quelque chose, soit A= 3*B, et A* A = 9 * B*B. Or il n'est pas divisible par 9 donc ça coince.
Absolument. Je ne vois donc pas l'intÃĐrÊt d'y passer 2min pour expliquer le critÃĻre de divisibilitÃĐ !
Absolument
Pour 99.999.999 on pouvait aussi dire que c'ÃĐtait 10000Âē-1, donc c'est pas un carrÃĐ. Ãa marche aussi, c'ÃĐtait un moyen assez rapide de l'ÃĐliminer.
Et c'est bien plus convaincant que ce qui est proposÃĐ dans la vidÃĐo !
@@sebastien5048 Merci..
trÃĻs bien vu. c'est ça les vrais mathÃĐmaticiens.
Tout à fait d'accord. C'est mÊme certainement pour cette raison que l'on n'a pas proposÃĐ 999 999 999 et que c'est la seule valeur à 8 chiffres
@@sebastien5048 C'est effectivement plus convaincant, mais ce qui est proposÃĐ en vidÃĐo a le mÃĐrite de pouvoir Être repris pour tous les nombres ayant un nombre impair de 9 (999 ; 99 999 ; 9 999 999 ; ...).
MÊme à ~50 piges, ces vidÃĐos sont toujours excellentes ð
Merci !
TrÃĻs bel exercice.
Personnellement, pour la e, je l'ai faite avec la propriÃĐtÃĐ des nombres pairs/impairs.
On a que des propositions impairs donc la racine est impaire, donc de la forme 2p+1.
Ainsi notre nombre ÃĐlevÃĐ au carrÃĐ est de la forme 4p^2+4p+1. On a donc p^2+p=246913580.
On cherche p en posant delta sachant que delta est notre nombre de dÃĐpart (b-4ac=1+4*246913580).
Ainsi on a p=(-1Âąsqrt(246913580))/2
P=-1/2 Âąsqrt(61728395)
Or p doit Être entier. On sait qu'un carrÃĐ finissant par 5 doit finir par 25 ce qui n'est pas le cas. La racine ne sera donc pas un nombre entier et elle ne peut pas finir par ",5" car le carrÃĐ ne pourrait pas Être entier non plus.
Donc p ne peut pas Être un entier.
Excellent ! Quelle belle dÃĐmonstration.
Le raisonnement est pas mal mais dÃĐjà faut pas oublier que ça doit Être fait sans calculatrice. Et à le fin tu dis que p =( -1+/- sqrt(246913580))/2 or ton delta (qui n'est d'ailleurs pas le nombre de dÃĐpart) est ÃĐgal à 1+4Ã246913580 pas "juste à 246913580 comme tu l'ÃĐcris dans ton calcul donc delta = 1+987654320.
Soit P=(-1+/-sqrt(1+987654320))/2 soit (-1+sqrt(987654321))/2
Et donc tu tournes en rond parceque maintenant pour savoir si 987654321 est un carrÃĐ parfait tu dois savoir si 987654321 est un carrÃĐ parfait pour pouvoir calculer le delta.
Le nombre de dÃĐpart que tu cherches est bien 2p +1 et comme p=(-1+sqrt(987654321))/2, le nombre de dÃĐpart c'est juste sqrt(987654321), on tourne encore en rond ð .
Enfin avoir une indication sur p on s'en fiche un peu, c'est sur 2p+1 qu'il faut vÃĐrifier les propriÃĐtÃĐs mais bon tous les cas rien de rout cela n'est faisable sans calculatrice et dans un temps raisonnable pendant un qcm
@@Unydric je l'ai fait trop vite en effet, on tourne en rond. J'ai oubliÃĐ un facteur 4, ça ne fonctionne pas, c'est ça de ne pas avoir de papier à cÃītÃĐ de soit.
Les divisions par 2 se font de tÊte, tu prends le dernier chiffre et tu vois si tu le divise par 2 ou si tu cherches quel chiffre multipliÃĐ par 2 donnera le chiffre recherchÃĐ +10. Tu fais ce choix en fonction de si le chiffre directement à gauche est pair ou impair. Un peu foireux à expliquer mais simple à mettre en pratique. C'est juste une division euclidienne en soit, par 2 ça se fait bien de tÊte.
208 : 8=>4, 0=>0, 2=>1 : 104
7316 : on a 1 directement à gauche donc on cherche 16 =>"8", on retiens à gauche 1-1=0(la retenue). On a 3 directement à cÃītÃĐ du 0 donc on cherche 10 => "5", 3-1=2, à gauche on a 7 donc on cherche 12=>"6" et enfin 7-1=6=>"3": 3658.
Enfin, on perd effectivement un peu l'intÃĐrÊt de l'exercice
Un nombre se terminant par ÃĐlevÃĐ Ã n'importe quel puissance se termine pas 5.
Merci beaucoup prof trop fort
Pour le point (e) les carrÃĐs qui donnent une suite dÃĐcroissante de chiffres en reprÃĐsentation dÃĐcimale sont des palindromes : cette suite dÃĐcroissante se trouve à droite et à gauche d'un chiffre central. Par exemple 11Âē=121, 111Âē=12321, 1111Âē=1234321, 11111Âē=123454321. Ils sont donc faciles à exprimer et il suffit de compter le nombre de 1 qui compose ce nombre pour exprimer son carrÃĐ. Si on compte 6 fois le 1 son carrÃĐ sera exprimÃĐ en faisant croÃŪtre les chiffres de 1 à 6 puis dÃĐcroÃŪtre aprÃĻs le 6 de 5 à 1.
111111Âē=12345654321
Ceci se vÃĐrifie jusqu'Ã l'ordre 9.
AprÃĻs...
belle analyse j ai juste trouvÃĐ " a l instinct" le 25 au final.
Salut hedacademy pourriez vous faire une leçon sur les grandeurs composÃĐe svp
Like comme d'habitude
Salut monsieur pourriez vous faire une vidÃĐo sur comment montrer qu'un sous ensemble admet un maximum ou un minimum
peux-tu nous faire une leçon sur ordre et opÃĐration s'il te plaitnous vous aime beaucoupððĨ°ð
Pour la e), on peut prendre le reste de la division par 7, ce qui fait 3. Les seuls restes qui peuvent Être des carrÃĐs parfait sont 0, 1, 2 et 4.
sauf que 987654321 c'est 3Âēx17Âēx379721
dÃĐmontrer que 987654321 n'est pas un carrÃĐ parfait c'est dÃĐmontrer que 379721 n'est pas un carrÃĐ parfait
c'est en fait un nombre premier, mais pas facile à dÃĐmontrer.
on peut donc employer la mÃĐthode bourrin et dÃĐduire que ce n'est pas e) la solution au QCM et passer à la question suivante
Pour la rÃĐponse b, on pouvait ÃĐgalement l'ÃĐliminer en observant qu'aucun carrÃĐ ne se termine par 3
Mais pour le b, aucun entier au carrÃĐ ne se termine pas 3 non ? Pourquoi toute cette enquÊte ? Et petite astuce pour le critÃĻre de divisibilitÃĐ par 3, c'est plus simple de faire encore une ÃĐtape (2+4=6, 6 est multiple de 3).
aucun entier, plutÃīt !
â@@Jetplaneteffectivement mais vous devriez quand mÊme modifier votre commentaire pour ÃĐviter une mauvaise comprÃĐhension
Assez facile de voir que 24 est dans la table de 3 quand mÊme non ?
Pour la b il suffit simplement de dire que tous les carrÃĐs parfait finissent par 0, 1, 4, 9, 6, ou 5
Donc les nombre finissant en 2 3 7 et 8 ne peuvent pas Être des carrÃĐs parfaits
"grand bien lui fasse" ahahah
J'adore ce prof!
Pour le e)
J'ai juste remarquÃĐ que pour le c) (la bonne rÃĐponse) on peut le dÃĐcomposer en "carrÃĐ parfait", en gros en produit de facteurs premier mais qui donnent que des carrÃĐs
649485225= 3x3x5x5x1699x1699 donc 3^2x5^2x1699^2
Et comme ça marche pas pour les autres bah le e c'est pas lui, aprÃĻs je sais pas si ce que j'ai fait marche par chance ou c'est vraiment un truc qu'on peut gÃĐnÃĐraliser.
Vous pouvez tout a fait gÃĐnÃĐraliser car le produit des carrÃĐs est ÃĐgal au carrÃĐ des produits.
Par contre comment avez vous fait cette dÃĐcomposition de tÊte ?
Je voulais dire sans machine.
une dÃĐcomposition en produits de facteurs premiers dont les termes sont tous au carrÃĐ donne nÃĐcessairement un carrÃĐ parfait (donc ce n'est pas de la chance)
Merci à ta calculatrice ou à ton brouillon d'avoir trouvÃĐ la dÃĐcomposition ;D.
Pas forcÃĐment obligÃĐ d'ÃĐliminer la E. il suffit soit de prouver la C, soit de l'ÃĐliminer. Ce qui peut se montrer laborieux ÃĐgalement (mÊme si on a vu que c'ÃĐtait un multiple de 25 * 9, et de.... 1699^2)
Mais s'il faut rÃĐflÃĐchir vite et qu'il y'a 200 questions, ça me paraÃŪt pas Être un choix totalement dÃĐconnant de tenter ð
Je remarque qu'exceptÃĐ pour 0 et 4, la paritÃĐ des deux derniers nombres est toujours diffÃĐrentes : (21, 41, ... 26, 46, ... 19, 39...)
paire 1, impaire 6, paire 9 et comme mentionnÃĐ 25.
on peut d'office ÃĐliminer a, b et d
AprÃĻs j'ai une belle feuille excel à ma disposition, je ne pense pas que j'aurais su sans elle.
ððð
La racine du e se termine par 11111 (pour avoir 54321 en fin du carrÃĐ) , or 11111^2 = 123454321, ca coince, ou un truc comme ça ð
11111 est-il le seul nombre de 5 chiffres dont le carrÃĐ se termine par 54321?
(il faudrait le dÃĐmontrer pour que cette preuve marche. ça n'a pas l'air si simple.)
C'est excellent pour parfaire la justesse sur les bends ça! Merci pour l'idÃĐe SÃĐbastien. As-tu prÃĐvu des vidÃĐos de technique genre bends+vibrato?
Je crois que ton appli a buggÃĐ :d Ãa mâest arrivÃĐ
T'as dÃŧ te gourer de vidÃĐo.Ici c'est pas la 6 cordes qu'on gratte mais plutÃīt ses mÃĐninges ... ð ðļ
Lol marrant de retrouver un guitariste qui matte des mathsâĶ on a 2 point communs ð
Par ÃĐlimination, ce n'est pas la a car 99 999 999 c'est 100 000 000 - 1, soit 10âļ - 1 = (10âī)Âē - 1.
Ensuite, la b est incorrecte car aucun nombre, au carrÃĐ, donne 3.
AprÃĻs pour le d, c'est faux aussi, car il termine par 5. Donc il ne peut Être que le carrÃĐ d'un nombre multiple de 5. Or, il est trÃĻs grand, donc il contient au moins 5Âē, soit 25. Or, un nombre est divisible par 25 ssi ses deux derniers chiffres sont divisibles par 25 (dÃĐmonstration possible grÃĒce aux congruences). Ses deux derniers chiffres sont 3 et 5. Or 35 n'est pas divisible par 25. Donc ça n'est pas un multiple de 25, donc pas un carrÃĐ parfait.
Pour le choix entre la c et la e, j'attends de voir la vidÃĐo, mais mon choix porterai plus sur la c du fait qu'elle termine par 225, qui est 15Âē
dÃĐsolÃĐ mais 99 999 999 n'est pas ÃĐgal 1 000 000 - 1 mais le raisonnement est bon , c'est plutot 100 000 000 -1 (10^8) doit (10^4)Âē)-1
@@alain_b_ ah oui, en effet ð
Veuillez m'excuser pour la petite coquille. Merci beaucoup pour l'avoir signalÃĐ !
Pour le dernier, intriguÃĐ, j'ai constatÃĐ, sauf erreur qu'un nombre de 2 Ã 9 chiffres composÃĐ de chiffres consÃĐcutifs, croissants ou dÃĐcroissants n'est jamais un carrÃĐ parfait. Hasard, thÃĐorÃĻme, conjecture?
La logique est simple, rapide et rigoureuse : si on arrive à diviser le carrÃĐ parfait par N une fois, il faut pouvoir le diviser par N une seconde fois. a) 9 * 11 111 111 critere de div par 9 -> la somme des 1 vaut 8, on ne peut pas le diviser par 9 une seconde fois. b) 3 * 41 111 111 critere de div par 3 -> la somme 4+1+...+1 n'est pas multiple de 3 on ne peut pas div par 3 une seconde fois. d) on div par 5 ca se termine par 7 on ne peut pas diviser par 5 une seconde fois .. reste c) et e) c'est plus dur. e) critiere de div par 9 marche, on divisise 987 654 321 / 9 (assez rapide a la main) = 109 739 369 -> re-critere de div par 9 ne marche pas une seconde fois ... donc la seule solution par elimination est c)
Pour le dernier, je pense que c'est l'instinct car 379721 est facteur premier (j'ai utilisÃĐ un logiciel pour le trouver)
C'est le a
987654321 est divisible par 9 (facile à voir) et le dividende est lui divisible 2x par 17, qui l'eut cru. Donc il y a le carrÃĐ de 17*3 à l'intÃĐrieur à savoir 51Âē = 2601. AprÃĻs le dividende de la division par 2601 c'est 379.721 et là , c'est difficile de voir s'il y a le carrÃĐ d'un nombre premier dedans, mais ce n'est dÃĐjà plus divisible par 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17 et donc par consÃĐquent divisible par 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289.
Quand on prend la calculatrice et que l'on fait la racine carrÃĐe de 379.721 ça donne environ 616, donc il aurait fallu tester tous les nombres premiers jusque là . Ãa fait beaucoup.
9+8+1+2+7+6+3+4+5 est multiple de 9 en effet.
tout les nombres premiers qui finissent pas 1 ou 9 pour Être plus prÃĐcis, un peu lourdingue pour un QCM
voir rÃĐponse de @jltheisen6612
pour le b c'est surtout que 41 est premier
Mais le fait que le carrÃĐ d'un nombre finissant par 5 finit toujours par 5 ne suffisait-il pas à choisir directement la C sans avoir à ÃĐliminer les autres rÃĐponses ?
On pourrait aussi utiliser l extraction de la racine carrÃĐ d un nombre
Justement les nombres sont longs et la calculatrice interdite. Câest pour ça que cette mÃĐthode ÂŦ ÃĐvidente Âŧ est peu pertinente : extraire les racines carrÃĐes à la main prendrait trop de temps (et il faut se souvenir que dans ce genre de test il y a beaucoup de questions et peu de temps total pour rÃĐpondre).
Les nombres qui finissent par 2, 3, 7 et 8 ne peuvent pas Être des carrÃĐs parfaits.
Seuls les nombres finnisant par:
- 00
- 01, 21, 41, 61 et 81
- 04, 24, 44, 64 et 84
- 25
- 16, 36, 56, 76 et 96
- 09, 29, 49, 69, 89
Peuvent Être des carrÃĐs parfaits.
Remarquons que lâavant dernier chiffre est pair sauf si le nombre finit par 6
TrÄq bien, merci
Ce n'est pas ÃĐcrit correctement : par exemple, 221 n'est pas un carrÃĐ parfait.
Il a dit qui peuvent, pas qui doivent.@@Harfinou
@@Jibigi282 ? Bah alors "221 ne peut pas Être un carrÃĐ parfait", ce qui revient au mÊme...
Pour la rÃĐponse b, il suffit de constater qu'aucun carrÃĐ ne peut finir par 3.
Racine de 3Âē ?
@@sebastiendemeyer2434 3Âē=9 essayez de trouver un nombre entier dont le carrÃĐ se termine par 3 vous aurez du mal ð
â@@sebastiendemeyer2434, sauf que la racine carrÃĐe de 3Âē n'est pas un carrÃĐ parfait.
Bonjour, concernant la solution e, comme 20X20 = 400 le nombre de rang infÃĐrieur qui serait candidat est 19X19 = 361 ; de la mÊme façon qu'on sait que le carrÃĐ d'un nombre finissant par 5 se termine par 25, le carrÃĐ d'un nombre finissant par 1 ou par 9 se termina par 1. Or, 11 et 19 ne sont pas candidats.
Ne pas oublier le critÃĻre qu'un carrÃĐ parfait impair est ÃĐgal a 1 modulo 4
En effet, 25.485^2=649.485.225
Donc la racine de 2 * rÃĐponse c ça ferais quel forme gÃĐomÃĐtrique ?
La question c'est quesk est le petit carrÃĐ qui est devenu grand sans laissÃĐ de petit "reste" de petit carrÃĐ de 1.
Sans faire Miou Miou
Vous pouvez faire une vidÃĐo sur partie entiere
Je sais pas si y'a grand-chose d'intÃĐressant à faire avec la partie entiÃĻre, une fois qu'on a dit "tu prends un nombre, t'oublies tout ce qu'il y a aprÃĻs la virgule et voilà la partie entiÃĻre de ce nombre", c'est bon t'as fait le tour
Pour la e : je ne vois pas de mÃĐthode sans utilisation d'une feuille de brouillon pour poser les multiplications et les divisions.
Un carrÃĐ parfait est forcÃĐment le produit de nombres premiers au carrÃĐ
Les nombres premiers carrÃĐs sont 4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361
987654321 / 9 = 109739369 (n'est divisible ni pas 4, ni par 9, ni par 25)
109739369 / 289 = 379721 (qui est un nombre plus manipulable)
On sait que 600*600 = 360000
Il ne faut que quelques multiplications pour voir que 379721 est entre 616*616 et 617*617 (j'ai essayÃĐ 610, 620, 615, 616, 617, soit 5 opÃĐrations)
Il n'y a donc pas de solution entiÃĻre.
il n y a pas d age pour se regaler avec les casses tete
Bonsoir, la solution de âeâ vous apparaÃŪt ððððēoðģðē ÃĐvidente ! Est-ce un piÃĻge ? ... j'aimerais bien la solution. Merci
Remarquez que les carrÃĐs ne se terminent pas par 2,3,7et8 et donc celui qui se termine par ne pose aucun problÃĻme (Berry )Maroc
j'avais ÃĐliminÃĐ le truc qui finit en 3 en premier, parce que t'as aucun carrÃĐ qui finit en 3, meme raisonnement que pour le 25.
Pour le coup de la racine, il faut ajouter "autre chose" en dernier choix, pour forcer la vÃĐrification.
A vue de nez, il existe surement une batterie de tests pour savoir si un nombre est un carrÃĐ. Mais c'est ÃĐvident que des nombres rÃĐsisteront aux tests. Alors on sait qu'un nombre peut Être un carrÃĐ, mais dans les nombres astronomique un test nÃĐgatif ne donnerais pas de certitude disons. Sujet interessant, dites si je me trompe.
Pour la e). Pour que le rÃĐsultat du carrÃĐ parfait se termine par 1 c'est que le carrÃĐ parfait a pour unitÃĐ 1 ou 9. 9 est ÃĐliminÃĐ car ne donnera pas 21 ( 19x19 = 400-40+1 = 361 ( en developpant (x-1)^2 )). Pour que le rÃĐsultat se termine par 21, il faut que la dizaine du carrÃĐ parfait soit 1. Grrr .... il y a aussi 6 comme dizaine ! ^^ ... Quelle horreur cet exercice ! ^^ ... Bon bah j'ai pas ^^ ....
Pourquoi Oxford nous a proposÃĐ la rÃĐponse e ?
Demandons donc à Clairefontaine ð
Au bout de 2 secondes, J ai criÃĐ 379 Ã haute voix comme si j ÃĐtais dans la classe.ð ð ð
CâÃĐtait exactement le but recherchÃĐ ð
ah c'ÃĐtait toi que j'ai entendu ?
HS mais il faudra m'expliquer ce qu'est une ÃĐgalitÃĐ imparfaiteð on n'arrÊte pas d'entendre "ÃĐgalitÃĐ parfaite" (et je l'avoue ça me saoule).
La e parce que 21est multiples de 3et nn de 9
Jâai utilisÃĐ ma calculatrice et ça ÃĐtÃĐ super rapide ð
Toujours 1er ðĨðĨ
Effectivement, on ÃĐlimine trÃĻs rapidement a) b) d).
Je n'ai pas trouvÃĐ de mÃĐthode vraiment rapide et efficace pour dÃĐmontrer que e) n'ÃĐtait pas un carrÃĐ (ça paraÃŪtrait ÃĐtonnant, certes, mais who knowsâĶ)
Par contre, avec un peu d'expÃĐrience et de pratique du calcul mental-ÃĐcrit, on trouve en moins de 2' que c) l'est.
On divise 649.485.225 par 25 (on multiplie par 4, on divise par 100), on trouve 25.979.409 qui est multiple de 9 ; donc on divise par 9 ce qui donne 2.886.601, trÃĻs proche de 2.890.000 qui est le carrÃĐ de 1700. Comme le nombre se termine par 1 il doit Être le carrÃĐ d'un nombre qui se termine par 1 ou 9.
Et il est (relativement) facile de voir que 2.886.601 = 2.890.000 - 3400 +1 soit le carrÃĐ de 1700-1 = 1699 (qui, Ã vue de nez est premier).
c) est donc le carrÃĐ de 3x5x1699
Pour 99.999.999, le truc c'est, si tu divises par 9 comme tu l'as fait dans la vidÃĐo, on obtient 9 x 11.111.111, et donc pour que ce soit un carrÃĐ parfait, il faudrait qu'il y ait du 9 dans 11.111.111 or ce nombre n'est pas divisible par 9 puisque la somme de ses chiffres donne 8.
Lol, j'ai commentÃĐ avant que tu ne parles de 123 333 333
comme 9 est un carrÃĐ, l'argument ne tient pas. 36 et un carrÃĐ. 36/9 donne 4. 4 n'est pas divisible par 9. Ou alors j'ai mal compris votre idÃĐe
Et pour 123 333 333, aucun carrÃĐ d'entiers compris entre 0 et 9 ne se termine par 3 de toute façon ! donc chiffre à faire sauter direct !
le e) divisible par 9, mais alors la dÃĐcimale est 8: impossible pour un carrÃĐ (1x1:1, 2x2:4, 3x3:9, 4x4:16, 5x5: 25, 6x6: 36, 7x7: 49, 8x8: 64, 9x9: 81... pas de 8 en dÃĐcimale
Le e s'ÃĐlimine pour la mÊme raison que le b
Comme ils disent : Fucking Hell !
Le b est impossible car tout carrÃĐ se termine par 0, 1, 4, 25, 6 ou 9
00 pas 0
@@NINANINA-rh9ky trÃĻs juste
pour le e, on dirait le mot de passe wifi de ma mÃĻre, voilà pourquoi je lâÃĐlimine
Le e) pour ce terminer en 21, il faut que le carrÃĐ se termine en 11, mais pour que ça se termine en 321, ça ne peut pas Être 111,pas Être 211, pas Être 311, pas Être 411,etc
"pour se terminer en 21, il faut que le carrÃĐ se termine en 11" : je suppose que vous voulez dire "pour qu'un carrÃĐ se termine en 21, il faut que le nombre se termine par 11", mais il peut aussi se terminer par 39, 61, ou 89...
@@christianf9865 dans ma premiÃĻre pensÃĐ je pensais que ces chiffres ÃĐtait exclu car cela ferait plus que 321 mais cela n exclut pas en effet un chiffre plus grand qui rÃĐsulte en une retenue pour le 3. J avais donc ÃĐtÃĐ trop vite.
C'est un peu une erreur d'ÃĐliminer 99 999 999 que parce que 11 111 111 n'est pas un carrÃĐ parfait. Il y aurait pu avoir un carrÃĐ parfait avec 7 comme unitÃĐ.
Il me semble que quand vous divisez un carrÃĐ parfait par un autre carrÃĐ parfait vous obtenez obligatoirement soit un carrÃĐ parfait soit un non-entier.
En fait ce nâest pas lâargument quâil donne dans la vidÃĐo.
a : 99 999 999 = 100 000 000 - 1 = 10 000Âē - 1 donc pas carrÃĐ
b : divisible par 3 mais pas par 9 -> pas carrÃĐ
d : divisible par 5 mais pas par 25 -> pas carrÃĐ
aprÃĻs je bloque
Raisonnement faux : pour la a) la diffÃĐrence de deux carrÃĐs peut aussi Être un carrÃĐ : par exemple 25-9=16 et ce sont tous des carrÃĐs. Il faudrait justifier le "donc" car vous ne le faites pas... c'est ce qu'on trouve d'ailleurs souvent dans certaines copies de cancres : "on sait jamais, le donc peut passer" mais les profs ne s'y trompent plus depuis longtemps !
@@michelbernard9092 il n'a jamais prÃĐtendu que son "donc" ÃĐtait justifiÃĐ par l'affirmation "la diffÃĐrence de deux carrÃĐs n'est jamais un carrÃĐ", c'est vous qui en faites cette interprÃĐtation.
Il ne justifie pas son "donc" car il est parfaitement ÃĐvident, dÃĻs lors qu'on a constatÃĐ que 100 000 000 est un carrÃĐ, que 99 999 999 n'en est pas un.
Et non, je ne prÃĐtends pas que "la diffÃĐrence entre carrÃĐs n'est jamais 1".
@@michelbernard9092 Ce qu'il a voulu dire, c'est que un carrÃĐ -1 n'est jamais un carrÃĐ :
soit a un rÃĐel positif quelconque,
aÂē - 1 = (a - 1)(a + 1)
Comme a-1 n'est jamais ÃĐgal à a+1 sur R (on peut le vÃĐrifier grÃĒce à un raisonnement par l'absurde) => aÂē-1 n'est jamais un carrÃĐ sur R.
edit: sur R*
@@michelbernard9092 (x+1)Âē - xÂē = 2x+1
deux carrÃĐs consecutifs ne peuvent donc pas etre espacÃĐs de 1 sauf si x = 0 donc xÂē = 0 et (x+1)Âē = 1. dans tout les autres cas deux carrÃĐs ne peuvent pas etre succesifs
@@sebastien5048 "car il est parfaitement ÃĐvident, dÃĻs lors qu'on a constatÃĐ que 100 000 000 est un carrÃĐ, que 99 999 999 n'en est pas un."
Ah bon, si c'est si "parfaitement ÃĐvident", alors il vous sera aisÃĐ de le dÃĐmontrer.. ou pas ?"
En math il faut aussi dÃĐmontrer les ÃĐvidences qui ne font pas l'objet de thÃĐorÃĻmes. Ici c'est assez simple à faire, mais le "donc' ne suffit pas, c'est un "zÃĐro" sur la copie !
Plus simple encore, aucun carrÃĐ parfait ne se termine par 3.
987.654.321 = 9 x 109.739.369
Si 109.739.369 = n^2, n doit se terminer par ... 3 ou ... 7
comme 10500 x 10500 = 10500 x (10000 + 500) = 105000000 + 5250000 = 110.250.000 > 109.739.369
et
10400 x 10400 = 10400 x (10000 + 400) = 104000000 + 4160000 = 108.160.000 < 109.739.369
On va essayer
10497 x 10497 = 10497 x (10000 + 497) = 104970000 + 5217009 = 110187009
10493 x 10493 = 10493 x (10000 + 493) = 104930000 + 5173049 = 110187009
10487 x 10487 = 10487 x (10000 + 487) = 104870000 + 5107169 = 109977169
10483 x 10483 = 10483 x (10000 + 483) = 104830000 + 5063289 = 109893289
Comme 10.487^2 > 109.739.369 > 10.483^2, et il n'existe d'aucun nombre entier entre 10.483 et 10.487 qui se termine par 3 ou 7, ni 109.739.369 ni 987.654.321 (= 9 x 109.739.369) est un carrÃĐ parfait.
a : 33 333 333Âē de rien
Non dÃĐsolÃĐ, a= 3 x 33 333 333, c'est faux.
3:33 fin de l'exercice , c fini par 25.
125 nâest pas un carrÃĐ parfait
@@Zannithe ð :"Si tu veux terminer vite, va doucement."
Tous les raccourcis ne sont pas forcement de bonnes routes. Bien fait pour moi !
c'est quoi un carrÃĐ imparfait ? 3Âē = 8 lol
un carrÃĐ parfait est un nombre dont la racine carrÃĐe est un nombre entier ( ex: 1 4 9 16 25 etc)
@@Shakalito-93 Je crois que c'ÃĐtait une blague.
â@@Shakalito-93c'ÃĐtait une joke ð
un carrÃĐ qui a un cÃītÃĐ de longueur anormale. ð
@@Photoss73 un carrÃĐ un samedi soir de cuite lol
pour le e)
987654321 est divisible par 9, donc on a 3Âēx109739369
109739369 n'est pas divisible par 3, reste à dÃĐmontrer qu'il n'est pas divisible par 7
109739369 = 105000000+4200000+490000+49000+350+14+5, qui n'est pas divisible par 7
Je ne vois pas en quoi dÃĐmontrer qu'il n'est pas divisible par 7 est une preuve. 9 est un carrÃĐ et il n'est pas divisible par 7.
@@MrWarlls bah tout les carrÃĐs de nombre finissant par 7 finissent par 9
et j'ai bien prÃĐciser le cas du 3...
169 n'est ni divisible par 3 et 7, pourtant c'est le carrÃĐ de 13
@@PhilLeChatounet 109 739 369 est un multiple de 17 car 6 455 257x 17= 109 739 369
6 455 257 est aussi un multiple de 17 car 369 721x 17= 6 455 257
369 721 est un nombre premier
@@MrWarlls oui mais on s'en fout de la rÃĐciproque, ce n'est pas le sujet
Un carrÃĐ parfait ne peut jamais se terminer par 3 donc la rÃĐponse b est à ÃĐliminer.
Un carrÃĐ parfait ne peut jamais se finir par 99 donc la rÃĐponse a est à ÃĐliminer.
Si un nombre qui se termine par 5 est carrÃĐ alors sa racine carrÃĐ se finit par cinq et le premier nombre se finit par 25 et jamais par 35 . Donc la rÃĐponse d est à ÃĐliminer.
La dÃĐcomposition de 987.654.321 en facteurs premiers est 3Âē * 17 * 379721 donc deux facteurs qui sont reprÃĐsentÃĐ en nombres impaires . Donc la rÃĐponse e est à ÃĐliminer.
La bonne rÃĐponse ne peut donc Être que la rÃĐponse c.
Au final, il apparaÃŪt que (a), (b) et (d) sâÃĐliminent en 10 secondes grÃĒce à des propriÃĐtÃĐs ÃĐlÃĐmentaires des carrÃĐs parfaits. Reste (c) et (e) pour lesquels rien jusquâà maintenant (hormis ÂŦ lâintuition Âŧ) nâa ÃĐtÃĐ proposÃĐ permettant soit dâen choisir, soit dâen ÃĐliminer formellement un des deux par une mÃĐthode similaire ou un calcul faisable de tÊte (au moins sans calculatrice) dans un temps raisonnable. La question reste ouverteâĶ
pour le e) , il est divisible par 9 mais le rÃĐsultat n'est pas div. par 3 donc il ne peut pas Être le carrÃĐ d'un nb se finissant par 9
reste a regarder pour un nb se finissant par 1 ...
9 x 49 = 441
441 est divisible par 9, mais le rÃĐsultat 49 n'est pas div. par 3, mais 441 est un carrÃĐ parfait quand mÊme. 441 = 21^2
Bon alors voilà comment on torche cette petite chose insignifiante et sans faire son escroc comme le monsieur :
Pour 99 999 999, on remarque simplement que ça vaut 10^8-1=(10^4+1)(10^4-1)=10001x9999.
9999 peut lui-mÊme s'ÃĐcrire de la mÊme façon 99x101. Et comme 101 ne divise pas 10001, on ne peut pas avoir de carrÃĐ.
Pour 123 333 333, on dit simplement qu'un carrÃĐ ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.
Pour 713 291 035, on remarque effectivement que si le carrÃĐ se termine par 5, alors nÃĐcessairement le nombre d'origine aussi, mais que le carrÃĐ d'un nombre se terminant par 5 se termine lui-mÊme par 25 : (10x+5)Âē=100xÂē+100x+25=100x(x+1)+25.
Pour 987 654 321, il y a un peu plus de travail. On commence par remarquer que le nombre est divisible par 9 puisque la somme des chiffres fait 45 (la somme des nombres de 1 Ã 9 : 9x10/2). Comme 9 est un carrÃĐ, notre nombre est un carrÃĐ si et seulement si ce nombre divisÃĐ par 9 l'est aussi. On divise donc par 9 : 109 739 369.
On va maintenant utiliser une valeur proche de la racine carrÃĐe de ce nombre : 10 500.
10 500Âē=10 000x105Âē=110 250 000
On suppose que notre nombre est le carrÃĐ d'un nombre qu'on va ÃĐcrire sous la forme 10 500-x
(10 500-x)Âē=110 250 000-21 000x+xÂē
Donc 21 000x-xÂē=110 250 000-109 739 369=510 631
On remarque ensuite que x
Pour le b il est plus rapide de remarquer qu'aucun carrÃĐ ne se termine par 3