利用半角公式計算多重根號

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  • เผยแพร่เมื่อ 17 ธ.ค. 2024

ความคิดเห็น • 42

  • @逝去的記憶
    @逝去的記憶 2 ปีที่แล้ว +23

    補充知識:老師給的方法之所以是對的
    是因為高等微積分裡的均勻連續的等價敘述
    也就是
    如果A包含於R 而且A有界 則對任意A中的柯希序列{Xn} 來說 他的{f(Xn)}也會是柯希序列 若且唯若 f在R上均勻連續
    老師在這裡用cos函數 cos是均勻連續在[0 pi] 所以 對任何[0 pi]的柯希序列 (影片裡的是數列{pi/2^n} n為自然數)
    他的f(Xn)也是柯希序列(對應到影片裡的{根號2/2,根號(2+根號2)/2,…})
    因此這個題目我們可以說從數列的角度來看他確實是收斂的
    (若有錯誤歡迎糾正)

    • @gary0617
      @gary0617  2 ปีที่แล้ว +2

      很完整的講解,給你置頂

    • @小伯特
      @小伯特 2 ปีที่แล้ว +2

      推,現在數學系大二剛學到🤣

    • @逝去的記憶
      @逝去的記憶 2 ปีที่แล้ว +4

      @@小伯特 辛苦你了 我們數學系比較特別 我們大三才有 我跟你一樣大二 不過有先知道一點

    • @yuhsuan227
      @yuhsuan227 2 ปีที่แล้ว +1

      印象中有一個"sequential characterization of continuity"
      只要求f在bounded ball B內是連續的
      只要B內任何Xn收斂到a in B
      就可以保證f(Xn)收斂到f(a)
      不需要到均勻連續這麼強的假設

    • @逝去的記憶
      @逝去的記憶 2 ปีที่แล้ว +2

      @@yuhsuan227 你是對的 我條件放太嚴格了

  • @sagiriouoizumi2455
    @sagiriouoizumi2455 2 ปีที่แล้ว +9

    另解 需先證收斂
    考慮一遞迴式
    { a(1) = sqrt(2)
    { a(n+1) = sqrt(2+a(n)) ,for all n 為正整數
    先證有上界
    a(1) ≦ 2 成立
    如果 a(k) ≦ 2 成立
    則 a(k+1) = sqrt(2+a(k)) ≦ sqrt(2+2) = 2
    by math induction
    a(n) ≦ 2 ,for all n 為正整數
    再證遞增
    a(1) = sqrt(2) < a(2) = sqrt(2+sqrt(2)) 成立
    如果 a(k) < a(k+1) = sqrt(2+a(k)) 成立
    則 a(k+2) = sqrt(2+a(k+1)) = sqrt(2+sqrt(2+a(k))) > sqrt(2+a(k)) = a(k+1)
    by math induction a(n+1) > a(n) ,for all n 為正整數
    所以 {a(n)} 嚴格遞增
    by 單調收斂定理(M.C.T)
    {a(n)} 收斂

    • @gary0617
      @gary0617  2 ปีที่แล้ว

      好棒的補充,謝謝

  • @哈囉-n8x
    @哈囉-n8x 2 ปีที่แล้ว +4

    實數是完備的,
    在實數裡,具備 Cauchy Sequence 會收斂至某一個實數值,那就能稱為完備性了~~
    其實換個說法意味著「數列存在著最小上界sup」或是「有界遞增數列」他們在實數裡都具備收斂至某一個實數值的特性~~
    其實要從定義上說明它存在最小上界或是有界遞增並不會太困難,不過我覺得它牽涉到實數的建構0.0...

    • @gary0617
      @gary0617  2 ปีที่แล้ว

      謝謝你

  • @Hysn-q8u
    @Hysn-q8u 2 ปีที่แล้ว +2

    wow 謝謝老師 學到好多

    • @gary0617
      @gary0617  2 ปีที่แล้ว

      感恩感恩

  • @竹一-x3i
    @竹一-x3i 2 ปีที่แล้ว +8

    五次方的版書是不是少一個加號

    • @gary0617
      @gary0617  2 ปีที่แล้ว +2

      就一定是正的,就不加了

    • @yuchunOAO
      @yuchunOAO 2 ปีที่แล้ว +4

      @@gary0617 第一個和第二個根號中間少一個+

  • @軒-y3j
    @軒-y3j 2 ปีที่แล้ว +3

    另解的算法
    是不是跟老師在之前台中一中加分題觀念一樣

    • @gary0617
      @gary0617  2 ปีที่แล้ว

      是的,一樣概念

  • @劉智-i5h
    @劉智-i5h 2 ปีที่แล้ว +4

    5:50我有沒有聽錯😂

    • @gary0617
      @gary0617  2 ปีที่แล้ว

      絕對聽錯😅😅😅

  • @timtsai6860
    @timtsai6860 2 ปีที่แล้ว +2

    另解有遞迴的概念

    • @gary0617
      @gary0617  2 ปีที่แล้ว

      可以這樣想

  • @a0989627116
    @a0989627116 2 ปีที่แล้ว +2

    幾何求解:y=√x與y=x-x0的交點

    • @gary0617
      @gary0617  2 ปีที่แล้ว

      這有點難

  • @鄭雷丘-l4g
    @鄭雷丘-l4g ปีที่แล้ว +1

    這題要嚴謹的話 尚須證明收斂的部分

  • @李振誠-q8o
    @李振誠-q8o 2 ปีที่แล้ว +3

    第一種算法我早學過,但對高中生來講還是學第二種較好

    • @linapretion5991
      @linapretion5991 2 ปีที่แล้ว +1

      要會完備性公設

    • @gary0617
      @gary0617  2 ปีที่แล้ว +1

      謝謝,的確會第二種就好

  • @黃耀斌-c8y
    @黃耀斌-c8y 2 ปีที่แล้ว +2

    另解才是最快的正解
    根號裡面不是2也可解

    • @gary0617
      @gary0617  2 ปีที่แล้ว

      謝謝你

  • @linschannel2631
    @linschannel2631 2 ปีที่แล้ว +3

    推導我都看的懂,但是要怎麼光是看到題目就知道要用半角公式QQ

    • @gary0617
      @gary0617  2 ปีที่แล้ว +2

      所以說是特殊題

  • @broytingaravsol
    @broytingaravsol 2 ปีที่แล้ว +1

    才剛回覆國外的一則留言,關於線性不等式計算方法的

  • @jjyu168
    @jjyu168 2 ปีที่แล้ว +4

    對五年級的我說,這是根式單元的經典題。做法:將分子令為x。然後等式的兩邊平方,得x2=x+2,解一元二次方程式得x=2 。所以此題之解為2/2=1

    • @gary0617
      @gary0617  2 ปีที่แล้ว +1

      我的第二個解法

  • @d9780750
    @d9780750 2 ปีที่แล้ว +1

    有點像f(f(f(....f(x))))的感覺

    • @gary0617
      @gary0617  2 ปีที่แล้ว +1

      差不多

  • @ianw.3705
    @ianw.3705 2 ปีที่แล้ว +5

    另解不正確,要先證明收斂

    • @gary0617
      @gary0617  2 ปีที่แล้ว +2

      高中生就沒想這麼多,謝謝提醒