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補充知識:老師給的方法之所以是對的 是因為高等微積分裡的均勻連續的等價敘述也就是如果A包含於R 而且A有界 則對任意A中的柯希序列{Xn} 來說 他的{f(Xn)}也會是柯希序列 若且唯若 f在R上均勻連續老師在這裡用cos函數 cos是均勻連續在[0 pi] 所以 對任何[0 pi]的柯希序列 (影片裡的是數列{pi/2^n} n為自然數)他的f(Xn)也是柯希序列(對應到影片裡的{根號2/2,根號(2+根號2)/2,…})因此這個題目我們可以說從數列的角度來看他確實是收斂的 (若有錯誤歡迎糾正)
很完整的講解,給你置頂
推,現在數學系大二剛學到🤣
@@小伯特 辛苦你了 我們數學系比較特別 我們大三才有 我跟你一樣大二 不過有先知道一點
印象中有一個"sequential characterization of continuity"只要求f在bounded ball B內是連續的只要B內任何Xn收斂到a in B就可以保證f(Xn)收斂到f(a)不需要到均勻連續這麼強的假設
@@yuhsuan227 你是對的 我條件放太嚴格了
另解 需先證收斂考慮一遞迴式{ a(1) = sqrt(2){ a(n+1) = sqrt(2+a(n)) ,for all n 為正整數先證有上界a(1) ≦ 2 成立如果 a(k) ≦ 2 成立 則 a(k+1) = sqrt(2+a(k)) ≦ sqrt(2+2) = 2by math induction a(n) ≦ 2 ,for all n 為正整數再證遞增a(1) = sqrt(2) < a(2) = sqrt(2+sqrt(2)) 成立如果 a(k) < a(k+1) = sqrt(2+a(k)) 成立則 a(k+2) = sqrt(2+a(k+1)) = sqrt(2+sqrt(2+a(k))) > sqrt(2+a(k)) = a(k+1)by math induction a(n+1) > a(n) ,for all n 為正整數所以 {a(n)} 嚴格遞增 by 單調收斂定理(M.C.T){a(n)} 收斂
好棒的補充,謝謝
實數是完備的,在實數裡,具備 Cauchy Sequence 會收斂至某一個實數值,那就能稱為完備性了~~其實換個說法意味著「數列存在著最小上界sup」或是「有界遞增數列」他們在實數裡都具備收斂至某一個實數值的特性~~其實要從定義上說明它存在最小上界或是有界遞增並不會太困難,不過我覺得它牽涉到實數的建構0.0...
謝謝你
wow 謝謝老師 學到好多
感恩感恩
五次方的版書是不是少一個加號
就一定是正的,就不加了
@@gary0617 第一個和第二個根號中間少一個+
另解的算法是不是跟老師在之前台中一中加分題觀念一樣
是的,一樣概念
5:50我有沒有聽錯😂
絕對聽錯😅😅😅
另解有遞迴的概念
可以這樣想
幾何求解:y=√x與y=x-x0的交點
這有點難
這題要嚴謹的話 尚須證明收斂的部分
謝謝
第一種算法我早學過,但對高中生來講還是學第二種較好
要會完備性公設
謝謝,的確會第二種就好
另解才是最快的正解根號裡面不是2也可解
推導我都看的懂,但是要怎麼光是看到題目就知道要用半角公式QQ
所以說是特殊題
才剛回覆國外的一則留言,關於線性不等式計算方法的
@@gary0617 ??
對五年級的我說,這是根式單元的經典題。做法:將分子令為x。然後等式的兩邊平方,得x2=x+2,解一元二次方程式得x=2 。所以此題之解為2/2=1
我的第二個解法
有點像f(f(f(....f(x))))的感覺
差不多
另解不正確,要先證明收斂
高中生就沒想這麼多,謝謝提醒
補充知識:老師給的方法之所以是對的
是因為高等微積分裡的均勻連續的等價敘述
也就是
如果A包含於R 而且A有界 則對任意A中的柯希序列{Xn} 來說 他的{f(Xn)}也會是柯希序列 若且唯若 f在R上均勻連續
老師在這裡用cos函數 cos是均勻連續在[0 pi] 所以 對任何[0 pi]的柯希序列 (影片裡的是數列{pi/2^n} n為自然數)
他的f(Xn)也是柯希序列(對應到影片裡的{根號2/2,根號(2+根號2)/2,…})
因此這個題目我們可以說從數列的角度來看他確實是收斂的
(若有錯誤歡迎糾正)
很完整的講解,給你置頂
推,現在數學系大二剛學到🤣
@@小伯特 辛苦你了 我們數學系比較特別 我們大三才有 我跟你一樣大二 不過有先知道一點
印象中有一個"sequential characterization of continuity"
只要求f在bounded ball B內是連續的
只要B內任何Xn收斂到a in B
就可以保證f(Xn)收斂到f(a)
不需要到均勻連續這麼強的假設
@@yuhsuan227 你是對的 我條件放太嚴格了
另解 需先證收斂
考慮一遞迴式
{ a(1) = sqrt(2)
{ a(n+1) = sqrt(2+a(n)) ,for all n 為正整數
先證有上界
a(1) ≦ 2 成立
如果 a(k) ≦ 2 成立
則 a(k+1) = sqrt(2+a(k)) ≦ sqrt(2+2) = 2
by math induction
a(n) ≦ 2 ,for all n 為正整數
再證遞增
a(1) = sqrt(2) < a(2) = sqrt(2+sqrt(2)) 成立
如果 a(k) < a(k+1) = sqrt(2+a(k)) 成立
則 a(k+2) = sqrt(2+a(k+1)) = sqrt(2+sqrt(2+a(k))) > sqrt(2+a(k)) = a(k+1)
by math induction a(n+1) > a(n) ,for all n 為正整數
所以 {a(n)} 嚴格遞增
by 單調收斂定理(M.C.T)
{a(n)} 收斂
好棒的補充,謝謝
實數是完備的,
在實數裡,具備 Cauchy Sequence 會收斂至某一個實數值,那就能稱為完備性了~~
其實換個說法意味著「數列存在著最小上界sup」或是「有界遞增數列」他們在實數裡都具備收斂至某一個實數值的特性~~
其實要從定義上說明它存在最小上界或是有界遞增並不會太困難,不過我覺得它牽涉到實數的建構0.0...
謝謝你
wow 謝謝老師 學到好多
感恩感恩
五次方的版書是不是少一個加號
就一定是正的,就不加了
@@gary0617 第一個和第二個根號中間少一個+
另解的算法
是不是跟老師在之前台中一中加分題觀念一樣
是的,一樣概念
5:50我有沒有聽錯😂
絕對聽錯😅😅😅
另解有遞迴的概念
可以這樣想
幾何求解:y=√x與y=x-x0的交點
這有點難
這題要嚴謹的話 尚須證明收斂的部分
謝謝
第一種算法我早學過,但對高中生來講還是學第二種較好
要會完備性公設
謝謝,的確會第二種就好
另解才是最快的正解
根號裡面不是2也可解
謝謝你
推導我都看的懂,但是要怎麼光是看到題目就知道要用半角公式QQ
所以說是特殊題
才剛回覆國外的一則留言,關於線性不等式計算方法的
謝謝
@@gary0617 ??
對五年級的我說,這是根式單元的經典題。做法:將分子令為x。然後等式的兩邊平方,得x2=x+2,解一元二次方程式得x=2 。所以此題之解為2/2=1
我的第二個解法
有點像f(f(f(....f(x))))的感覺
差不多
另解不正確,要先證明收斂
高中生就沒想這麼多,謝謝提醒