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學到傅立葉級數需要用到，時隔兩年回來找李祥老師學習，感謝老師教學讓我快速記住!
謝謝你
十幾年前我高中數學沒學好 花錢補習也救不起來十幾年後想重新自學 才發現youtube上有這麼棒的頻道 從此成為李祥老師的粉絲
謝謝你，歡迎分享
啊最終還不是救不起來
可憐 幫你按個讚吧
好久沒有看老師的影片，寫微積分時遇到和差化積看到推倒的部分頭疼得不得了，點進來看這部影片後秒記起來！謝謝老師！
感謝你
老師你說的一點都沒錯，若用背的，這“和差化積”及“積化和差”沒有點口訣真的是背不起來，在積分或工數真的是很好用，大學老師也不會告訴學生這公式該如何記憶，全憑個人本事，所以非常感謝老師提供這背法技巧，相信你的另一好友張旭老師會非常感謝你替他解決這單元積分的技巧。
@@胡永國 108課堂誤人喔
@user-no6bm1iq6x 99課綱就開始誤人了
@@gary0617 或許電子計算機功能強大造成某些單元就捨棄不教，例如開根號不就是因電子計算機功能強，毋須一步一步計算，所以自然而然學生運算能力就弱了。
感謝老師的口訣救了我的傅立葉！
謝謝
分享最近想到的口訣：結合理財 積化和差，半和差(係數是1/2，而不是2)。和差化積，和差半(和角的一半；差角的一半；共2個一半)。貸貸相加，先理債(先寫sin)貸貸相減，有後代(後寫sin)摳摳相加，放口袋(諧音cos)摳摳相減，負二代(係數是-2，諧音sin)
讚👍
@@gary0617 貸貸相減，有夠派(先寫cos)
@@gary0617 補充。貸貸相減，有夠派(先寫cos)
這個口訣超好用！！！想問積化和差的那個係數是1/2是什麼意思？
@@虫合-m8o 為了形式上的一致性，把公式寫成 sin(α) cos(β)= 1/2 [ sin(α+β) + sin(α-β) ]
謝謝老師！記憶是第一步，接下來請教我們如何應用它們來解決實際的問題，再次感謝您的耐心！
真的謝謝你！！！現在的小大一表示：「高中沒教，大學又推給高中，已經困擾一個學期了，謝謝🙏」
加油
太有趣了，真的有用！感謝老師在我考研的路上助我一臂之力，補習的時候老師都說高中有交，才怪哈哈
舊課程是有啦
退休後有打算繼續進修嗎
三角函數公式要全部自己推導再加上老師的記憶法才記得久不論是和差化積或積化和差，在和差側的加減運算都是相同的三角函數
是的
三角函數公式推導是由作圖推導--->和角公式和角公式--->倍角公式和角公式--->積化和差積化和差--->和差化積依照這個順序推導記憶會記得牢記得久
感謝老師!!!
感謝老師！！高中真的沒學過😵💫
背這個已經困擾我好幾年了 感謝老師讓我一下就記起來
謝謝🙏
感謝你的總整理～
我背了一個月背不起來..現在秒懂。謝謝老師
我个人是这么记的：不管它哪个对应哪个，先记住有哪些式子。等号左边四个，右边四个，由于都差不多应该不难记。然后记住每个式子都是第几行的就好。比如看到sinα-sinβ，我不是去想sinα-sinβ等于什么，我会想这是第二行的，然后去想右边第二行是什么，就出来了
不錯
这个东西在大陆高中也是不在教材里的，但是重点中学都会特地将它插进来讲，作为一个课时，并配备习题。高考是不会直接考这些公式的，只是有时掌握和差化积和积化和差会给解题带来方便和快捷，算是一个小窍门吧。但是近年来它的用武之地也越来越少了，所以都是在淡化它了。
謝謝補充
无意中看到这个视频，哈哈。我的口诀是：ko加ko，等于两koko（cos），ko减ko，等于负二赛赛（sin），赛加赛，等于两赛ko，赛减赛，等于两ko赛。同理，积化和差，和差化积，就是反过来，所以，就只需要背诵上面四句话。读二三十遍，就记住了。二十年过去了，我依然还记得。哈哈。
好厲害
感覺會很有趣，先按讚
別這樣，不有趣也賞我一個讚
這些高中時代勉強背起來了，上了大學後就全都忘光啦！這讓我想到電影「角頭」的一句台詞：「今天公祭，明天忘記」
哈哈哈哈哈
高中背過，和差化積、積化和差，是我背過最難記住的三角函數公式，很容易忘記！
是啊
1:16處，疊多了一橫
李老师啊，最近要考研了，有没有麦克劳林（泰勒）公式的记法吖！求一个，考上一定报喜（我记得但是偶尔就是会忘啦）
這個我要想一想
我發現其實這東西不太需要記欸，積化和差超級好推，和差化積就是積化和差後對角度做變數變換就好了
這是88課綱年代才出現的，但我都習慣直接用和角推......（只要背熟和角就推得出來了XD）
沒錯
我七十學年度進高中 當時部編本基礎數學也有 ~~快瘋掉
打錯了 是七十六學年度 (七十學年度可能還沒有 )
要擴大客群 可以多結合生活相關的冷知識 用數學證明 李永樂老師就是從這裡出發的
其實我一開始只是想讓學生方便線上補課而已，既然已經有這麼多人訂閱，你的建議我會很認真的參考的，謝謝你
老師請問模擬考到底要怎麼有效的破題 我目前都在寫模擬考題加強實力 只不過難度真的頗高 寫得很吃力 我該怎麼辦 快學測了真的很緊張
不用緊張，模擬考本來就比學測還難，先把講義的基本題先弄懂，這樣會比較有效
李祥數學,堪稱一絕 我們數學老師也是外面的補教老師 他叫我們做大考題型的題目 他說做複習講義的題目不會進步 因為太固定了沒什麼變化 所以我連複習講義都沒有買 但是我觀念都還算可以 我有必要特別在買一本講義來做嗎
如果你基本觀念不好，做大考題目會挫折感太重，我覺到你不一定每個章節都要做複習講義，觀念不好的，再做複習講義練基本觀念
謝老師
在立志的時候直接愛上現在更愛ㄌ
感謝厚愛
會推薦記這個來對付學測或數甲嗎?
不會，大學才會有用
想請問這些高一用的到嗎
用不到歐
我们老师叫我们这么记和差化积:口口之和仍口口，赛赛之和赛口留，口口之差负赛赛，赛赛之差口赛收，半和半差积都有，积前系数二为首。我家住在东北，用我们这里的方言念特别顺口(用『国语』应该也不错😂😂😂)
還蠻押韻的
6分多那段也太帥了，已濕
三人行，必有我濕焉
我们当时是要背的，现在国外的高中是不需要记住的，试卷居然把公式写在那里的😂
台灣的考試也是類似
6:00 又來了，又理解？肚子餓了當場種稻子?稻子熟了發現沒有筷子才跑去種竹子?要吃胡椒餅才在後院養豬? 那你不是餓死了
好比喻
想問老師一下 sinX微分證明用的是積化和差還是和差化積～
都不是，單純的和角公式
為何理科老師都很忌諱用"背"這個字? 明明科學中要背誦的東西非常多 ,數學有三角 微積分方程, 物理中也是 化學生物更不用說 ! 背書本身不是罪 背的目的是要活用 (說實在 有些東西背不熟 根本無法活用 像三角就是)
我比較喜歡這用「記」，因為那代表你觀念弄懂
學測總複習系列還有嗎
lJx 觀看率很低，做的有點灰心
我記得老師說95課綱後就刪了
背左不背右，左到右和差化積，右到左積化和差
太神了吧請問有三角的和差角公式口訣嗎🙏🙏
你去頻道找，我上星期才發
背過這個公式...夭壽難背但好像也不太考這個公式果然被刪了（已透露年紀🤣
這個年紀應該有囉
今天我刚学这个
很好很好
這108課綱沒了吧謝謝出影片才能知道這些
99課綱開始就沒了
这个口诀不好，我当年记前面sccs，ccss；后面ss+-cc+-，（傻哭哭啥，哭哭傻傻）
也可以
學測若無數學科，人人可為臺大客，
我好像真沒記過和差化積的部分
OK的
@@gary0617 應該還是可以拿來以後我解三角函數積分的考量
可以
@@broytingaravsol 你說的沒錯，在積分中sin及cos 互乘就真的要用積化和差來解，例如這積分sinxsin2x cos 3x dx 我看過某位補教名師在教微積分時解此題用分部積分法求解求完後附註寫了“XYZ”，然後另解用積化和差求解附註“ABCD"，所以這公式解積分是相當好用。
@@胡永國 我怎麼看不懂你在寫的
今年學測生來報到(不過好像用不到
增加觀看數
這對我的兩個只懂英文，中文只有小一程度的小犬，難是難在教他們中文... 😅
哎呀
我兩年前他們 8, 9 年級學的時候聽這個，沒想到現在還能記得，這對他們這種 ABC 還真有出奇的效果th-cam.com/video/kAoZoFO_mHU/w-d-xo.html
哈哈哈，好啊好啊
你說不要笑我就笑了
忍住啊
越尷尬記越久
哈哈哈😂
總算不用再每次都用右邊加加減減推導左邊了(昏頭為什麼高中老師跟大學教授可以成為互相信任的陌生人啦(掀桌
哈哈哈哈
大陆的数学课程也把这个删了，不过我们老师拓展还是教
這樣做其實很棒
@@gary0617 对，有一些难题很好用，我厦门人听这集超亲切的
對吼，廈門閩南語通的啦！
大一真的問號高中有學過?趕快來查。還以為是自己忘記哈哈哈
感覺比張旭的好背（抱歉了張旭...
沒有推導 感覺少了點甚麼
推導過程中沒什麼難的，難在背起來
佛曰⋯⋯What？
施主有意見？
為了數學？廢棄我才高興
啊
學到傅立葉級數需要用到，時隔兩年回來找李祥老師學習，感謝老師教學讓我快速記住!
謝謝你
十幾年前我高中數學沒學好 花錢補習也救不起來
十幾年後想重新自學 才發現youtube上有這麼棒的頻道 從此成為李祥老師的粉絲
謝謝你，歡迎分享
啊最終還不是救不起來
可憐 幫你按個讚吧
好久沒有看老師的影片，寫微積分時遇到和差化積看到推倒的部分頭疼得不得了，點進來看這部影片後秒記起來！謝謝老師！
感謝你
老師你說的一點都沒錯，若用背的，這“和差化積”及“積化和差”沒有點口訣真的是背不起來，在積分或工數真的是很好用，大學老師也不會告訴學生這公式該如何記憶，全憑個人本事，所以非常感謝老師提供這背法技巧，相信你的另一好友張旭老師會非常感謝你替他解決這單元積分的技巧。
謝謝你
@@胡永國 108課堂誤人喔
@user-no6bm1iq6x 99課綱就開始誤人了
@@gary0617 或許電子計算機功能強大造成某些單元就捨棄不教，例如開根號不就是因電子計算機功能強，毋須一步一步計算，所以自然而然學生運算能力就弱了。
感謝老師的口訣救了我的傅立葉！
謝謝
分享最近想到的口訣：結合理財
積化和差，半和差(係數是1/2，而不是2)。
和差化積，和差半(和角的一半；差角的一半；共2個一半)。
貸貸相加，先理債(先寫sin)
貸貸相減，有後代(後寫sin)
摳摳相加，放口袋(諧音cos)
摳摳相減，負二代(係數是-2，諧音sin)
讚👍
@@gary0617 貸貸相減，有夠派(先寫cos)
@@gary0617 補充。貸貸相減，有夠派(先寫cos)
這個口訣超好用！！！想問積化和差的那個係數是1/2是什麼意思？
@@虫合-m8o 為了形式上的一致性，把公式寫成 sin(α) cos(β)= 1/2 [ sin(α+β) + sin(α-β) ]
謝謝老師！記憶是第一步，接下來請教我們如何應用它們來解決實際的問題，再次感謝您的耐心！
謝謝你
真的謝謝你！！！現在的小大一表示：「高中沒教，大學又推給高中，已經困擾一個學期了，謝謝🙏」
加油
太有趣了，真的有用！感謝老師在我考研的路上助我一臂之力，補習的時候老師都說高中有交，才怪哈哈
舊課程是有啦
退休後有打算繼續進修嗎
三角函數公式要全部自己推導再加上老師的記憶法才記得久
不論是和差化積或積化和差，在和差側的加減運算都是相同的三角函數
是的
三角函數公式推導是由
作圖推導--->和角公式
和角公式--->倍角公式
和角公式--->積化和差
積化和差--->和差化積
依照這個順序推導記憶
會記得牢記得久
感謝老師!!!
謝謝
感謝老師！！
高中真的沒學過😵💫
謝謝
背這個已經困擾我好幾年了 感謝老師讓我一下就記起來
謝謝🙏
感謝你的總整理～
謝謝
我背了一個月背不起來..現在秒懂。謝謝老師
謝謝你，歡迎分享
我个人是这么记的：不管它哪个对应哪个，先记住有哪些式子。等号左边四个，右边四个，由于都差不多应该不难记。然后记住每个式子都是第几行的就好。
比如看到sinα-sinβ，我不是去想sinα-sinβ等于什么，我会想这是第二行的，然后去想右边第二行是什么，就出来了
不錯
这个东西在大陆高中也是不在教材里的，但是重点中学都会特地将它插进来讲，作为一个课时，并配备习题。高考是不会直接考这些公式的，只是有时掌握和差化积和积化和差会给解题带来方便和快捷，算是一个小窍门吧。但是近年来它的用武之地也越来越少了，所以都是在淡化它了。
謝謝補充
无意中看到这个视频，哈哈。我的口诀是：
ko加ko，等于两koko（cos），
ko减ko，等于负二赛赛（sin），
赛加赛，等于两赛ko，
赛减赛，等于两ko赛。
同理，积化和差，和差化积，就是反过来，所以，就只需要背诵上面四句话。读二三十遍，就记住了。二十年过去了，我依然还记得。哈哈。
好厲害
感覺會很有趣，先按讚
別這樣，不有趣也賞我一個讚
這些高中時代勉強背起來了，上了大學後就全都忘光啦！這讓我想到電影「角頭」的一句台詞：「今天公祭，明天忘記」
哈哈哈哈哈
高中背過，和差化積、積化和差，是我背過最難記住的三角函數公式，很容易忘記！
是啊
1:16處，疊多了一橫
謝謝
李老师啊，最近要考研了，有没有麦克劳林（泰勒）公式的记法吖！求一个，考上一定报喜（我记得但是偶尔就是会忘啦）
這個我要想一想
我發現其實這東西不太需要記欸，積化和差超級好推，和差化積就是積化和差後對角度做變數變換就好了
謝謝
這是88課綱年代才出現的，但我都習慣直接用和角推......（只要背熟和角就推得出來了XD）
沒錯
我七十學年度進高中 當時部編本基礎數學也有 ~~快瘋掉
打錯了 是七十六學年度 (七十學年度可能還沒有 )
要擴大客群 可以多結合生活相關的冷知識 用數學證明 李永樂老師就是從這裡出發的
其實我一開始只是想讓學生方便線上補課而已，既然已經有這麼多人訂閱，你的建議我會很認真的參考的，謝謝你
老師請問模擬考到底要怎麼有效的破題 我目前都在寫模擬考題加強實力 只不過難度真的頗高 寫得很吃力 我該怎麼辦 快學測了真的很緊張
不用緊張，模擬考本來就比學測還難，先把講義的基本題先弄懂，這樣會比較有效
李祥數學,堪稱一絕 我們數學老師也是外面的補教老師 他叫我們做大考題型的題目 他說做複習講義的題目不會進步 因為太固定了沒什麼變化 所以我連複習講義都沒有買 但是我觀念都還算可以 我有必要特別在買一本講義來做嗎
如果你基本觀念不好，做大考題目會挫折感太重，我覺到你不一定每個章節都要做複習講義，觀念不好的，再做複習講義練基本觀念
謝老師
謝謝你，歡迎分享
在立志的時候直接愛上現在更愛ㄌ
感謝厚愛
會推薦記這個來對付學測或數甲嗎?
不會，大學才會有用
想請問這些高一用的到嗎
用不到歐
我们老师叫我们这么记和差化积:
口口之和仍口口，
赛赛之和赛口留，
口口之差负赛赛，
赛赛之差口赛收，
半和半差积都有，
积前系数二为首。
我家住在东北，
用我们这里的方言念特别顺口
(用『国语』应该也不错😂😂😂)
還蠻押韻的
6分多那段也太帥了，已濕
三人行，必有我濕焉
我们当时是要背的，现在国外的高中是不需要记住的，试卷居然把公式写在那里的😂
台灣的考試也是類似
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好比喻
想問老師一下 sinX微分證明用的是積化和差還是和差化積～
都不是，單純的和角公式
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我比較喜歡這用「記」，因為那代表你觀念弄懂
學測總複習系列還有嗎
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我記得老師說95課綱後就刪了
沒錯
背左不背右，左到右和差化積，右到左積化和差
謝謝
太神了吧
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但好像也不太考
這個公式果然被刪了（已透露年紀🤣
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这个口诀不好，我当年记前面sccs，ccss；后面ss+-cc+-，（傻哭哭啥，哭哭傻傻）
也可以
學測若無數學科，人人可為臺大客，
謝謝
我好像真沒記過和差化積的部分
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@@gary0617 應該還是可以拿來以後我解三角函數積分的考量
可以
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@@胡永國 我怎麼看不懂你在寫的
今年學測生來報到(不過好像用不到
增加觀看數
這對我的兩個只懂英文，中文只有小一程度的小犬，難是難在教他們中文... 😅
哎呀
我兩年前他們 8, 9 年級學的時候聽這個，沒想到現在還能記得，這對他們這種 ABC 還真有出奇的效果
th-cam.com/video/kAoZoFO_mHU/w-d-xo.html
哈哈哈，好啊好啊
你說不要笑我就笑了
忍住啊
越尷尬記越久
哈哈哈😂
總算不用再每次都用右邊加加減減推導左邊了(昏頭
為什麼高中老師跟大學教授可以成為互相信任的陌生人啦(掀桌
哈哈哈哈
大陆的数学课程也把这个删了，不过我们老师拓展还是教
這樣做其實很棒
@@gary0617 对，有一些难题很好用，我厦门人听这集超亲切的
對吼，廈門閩南語通的啦！
大一真的問號高中有學過?趕快來查。還以為是自己忘記哈哈哈
謝謝
感覺比張旭的好背（抱歉了張旭...
哎呀
沒有推導 感覺少了點甚麼
推導過程中沒什麼難的，難在背起來
佛曰⋯⋯What？
施主有意見？
為了數學？廢棄我才高興
啊