【誘導あり】ギリギリ高校範囲の不定積分【数III積分】

[@モウ信者]

別解を考えてみました
1 / 1+tanx = cosx / sinx+cosx と式変形してみます。
次に、求めたい積分を I = ∫ cosx / sinx+cosx dx として、J = sinx / sinx+cosx dx を用意します。
この時、 I + J = ∫ 1 dx = x+A , I - J = ∫(cosx - sinx) / (cosx + sinx) dx =log |cosx + sinx| +B
ここで、A,Bは積分定数
よって、I = (log|cosx+sinx| + x) / 2 +C となる。Cはもちろん積分定数。
三角関数の積分は基本的に有理関数の形に変形させるのがデフォルトだよね～。

[@tekkinoho]

おおお、eˣsinxの積分で使う手法の応用って感じですね。そういう誘導でも面白かったかも！

[@froggggggggggggggggggg]

きれええええ

[@hitsuki_karasuyama]

キングルールは偉大だな、知らなきゃ無理だけど

[@p-1math38]

他の方も投稿されていますが、
1/(1+tanx)=cosx/(cosx+sinx)
=1-sinx/(cosx+sinx)より、
2cosx/(cosx+sinx)=1+(cosx+sinx)'/(cosx+sinx)
と変形して解きました。
この問題は不定積分よりも0からπ/2までの定積分の問題の方が有名そうですねｗｗ
他にもcosxとsinxの式に変形した後分母分子に(cosx-sinx)をかけて倍角の公式でも解けますね。

[@tekkinoho]

なるほど！
これも変形すると cos2x, sin2x で表せるからtanxの置換でいけるんですね。

[@4732matha]

慣れた人用の部分分数分解
1=(1/2){(1+t²)+(1+t)(1-t)}
より
1/(1+t)(1+t²)=(1/2){1/(1+t)+(1-t)/(1+t²)}

[@tekkinoho]

ありがとうございます！スマート。

[@juran_spl]

可愛いんだよなぁ

[@user-fr9gf4cw8x]

ハイ理にある

[@tekkinoho]

情報ありがとうございます！また見てみますね。

[@d月]

網羅系にありそうで無いやつ

[@4732matha]

いや、バリバリあるよ。探してみな。
ワイエルシュトラス置換という名前もある。

[@tekkinoho]

不定積分のパターンはあんまり見ませんね！定積分で出題されることが多そうです。

[@YY-nf3ys]

勉強しか出来ないというのは大変そう

[@otexinpo]

こういう｢勉強しかできない｣みたいなレッテル貼りたがる人いるけど、学歴にコンプレックスでもあるんですか？

[@tekkinoho]

ご感想ありがとうございます。人生、得意なもので勝負していきましょう！