【式は立つのに...】1989京大 数学 後期 文[5]【解の配置と整数】

[@モウ信者]

f(x) = ax^2 - bx + 3c とし、f(x)の頂点の時のx座標をpとする。
この時、p = b/2a
また、αを実数として、x = p + α の時にf(x) = 0 の解になるとする。
この時、二次関数の対称性より、x = p-α もまたf(x) = 0 の解になる。
よって、 1< p- α < 2 かつ 5 < p + α < 6
よって、3 < p < 4 すなわち、 6a < b < 8a
b が一桁の自然数になるのは、a = 1 の時のみ。
したがって、b = 7 もいえる。後は、各不等式に代入して、c = 3 も言える。
二次関数f(x)が(p,q) で頂点となるとき、 f(x)は x = p に対して線対称という事実は、たまに共通テストで聞かれたりしているぞ！！

[@tekkinoho]

最初から解と係数の関係のような解き方でもできるんですね！スマートです。

[@うっちゃん-e8e]

f(1)

[@tekkinoho]

解と係数の関係を用いない場合、式だけでやると大変ですよね。
別解ありがとうございます！

[@soumenoishii1637]

今の私には難しいです😢でも頑張ります😊先生、字がキレイです📝

[@tekkinoho]

いえいえ！背伸びしてチャレンジしていただいたことがうれしいです。
また何かあればご質問ください！

[@epsom2024]

f(x)=ax^2-bx+3c とおくと a>0 より y=f(x) は下に凸の放物線である。中間値の定理より
f(1)=a-b+3c>0 , f(2)=4a-2b+3c

[@tekkinoho]

丁寧な解答ありがとうございます。みなさん解と係数の関係ですね！

[@みふゆもあ]

簡単に考えたんですけど〜、あかんのやろか？🤔
a≠0だから問題の2次方程式は
xx-(b/a)x+3(c/a)=0 ..(1)
と変形できる。
2解がα,βである2次方程式は
xx-(α+β)x+αβ=0 ..(2)
αとβの範囲から
6

[@太郎太郎-d2y]

ほぼ合ってると思うけど、c=4だと不等式の時点で成立しない

[@みふゆもあ]

あうう…😂

[@tekkinoho]

今回は解と係数の関係が早いんですね！解の配置にこだわりすぎない柔軟な考え方も大事ですね。

[@p-1math38]

(9/2

[@tekkinoho]

α+βから絞った方が速いんですね。いつも解答ありがとうございます！

[@TomoK-fv6kl]

同じ方法で解きました。解と係数の関係のありがたさ…