FACTORISER À L'AMÉRICAINE 🇺🇸
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- เผยแพร่เมื่อ 29 มิ.ย. 2024
- Dans cette vidé on apprend à gérer les quadratic form, les polynômes du second degré.
On apprend à factoriser sans formule, sans artifice, uniquement avec nos connaissances de la double distributivité.
Cette technique se rapproche d'un travail d'enquêteur / de scientifique. On mène l'enquête pour trouver les bon nombres dans les facteurs.
Plan de la vidéo
00:00 Introduction et enjeu
00:42 Mini rappel sur la factorisation
01:24 Comment aborder cette factorisation ?
02:27 La clé pour comprendre la méthode
03:18 Début de l'exemple 1
06:01 Exemple 2
08:32 Exemple 3
10:17 Exemple 4
12:28 Exemple 5
15:46 Morale de la vidéo
Quelle chance ont ses élèves....Jamais eu un prof aussi limpide dans les explications..Bravo m' sieur!
Merci merci merci
Il faut suivre en classe aussi. Au delà du talent de ce prof et de ses explications , c'est votre concentration qui vous aide à comprendre....
Le fait de choisir soi même de regarder cette vidéo nous libère et ouvre notre esprit
Lui, il devrait être augmenté, quand t'es bon, faut être récompensé; ça encouragerait certains profs à être plus motivé
C’est pas limpide du tout. Quand il dit « 2x - 7 » alors qu’il devrait dire « 2x - 7x », c’est une catastrophe pour les élèves qui écoutent. En gros, il n’y a que les élèves qui ont déjà compris qui peuvent suivre son discours, et ça c’est la marque des mauvais professeurs.
Il n’y a rien de bien dans cette vidéo, tout est à refaire.
D'habitude il est bien meilleur. Il doit être fatigué.
Oui, très habile ! Il y a 60 ans quand j’apprenais à résoudre les équations du 2e degré, on nous faisait d’abord chercher une "racine évidente" qui était en général un entier positif ou négatif entre 1 et 5. Pour vos exemples, ce serait 2 pour le premier et 3 pour le second. La factorisation par (x-2) ou (x-3) devient triviale.
Exact pour moi aussi il y a 30 ans... sauf que cette recherche de racines évidentes (je me souviens juste notée RE dans les corrigés lapidaires du prof) était déjà un reste d'ancien programme qu'un prof consciencieux nous avait soumis après avoir été lobotomisés en début de première S par le discriminant suprême.
Je trouve cette approche RE bien dans l'esprit d'enquêter, de s'amuser à résoudre une énigme comme évoqué ici, elle est vraiment ludique alors que b²-4ac c'est la partie débile des maths où on apprend par cœur sans avoir besoin de se souvenir du pourquoi (et donc finalement de comprendre dès le début). Malheureusement on n'entraîne visiblement plus les élèves à ces réflexes.
Si je puis me permettre je pense qu'au niveau progression pédagogique il faudrait commencer par les RE, généraliser le cas des racines entières avec la méthode "américaine" avant de voir le discriminant. Ca parait tellement logique de partir du plus simple, mais il y a longtemps que la majorité des profs de maths se gargarisent de la "complexité" de leur matière pour faire du prosélytisme, parce que c'est tellement plus simple de faire le programme au pas de course sans se soucier des dommages collatéraux.
@@scarymooch votre suggestion d’approche pédagogique par la RE est exactement celle de mon professeur (agrégé) de maths dans les années 60. On faisait des maths en s’amusant. Un de mes camarades (polytechnicien maintenant) s’amusait tant qu’il voyait immédiatement la RE, calculait vite dans sa tête la 2e racine et c’est cette dernière qu’il énonçait comme RE au professeur sous les rires de la classe. Et personne à l’époque n’osait proférer fièrement qu’il était "nul en maths"…
On nous le disait aussi mais sans proposer de méthode pour trouver l' "evidence" - autrement dit si tu la vois t'as du genie, et sinon ben t'as qu'a étudier autre chose. Ou trier du courrier toute ta vie.
@@cboisvert2J’ai évoqué le principe en testant successivement les valeurs 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4… Les exercices sont généralement faits pour des réponses simples. Le calcul de discriminant compliqué n’a que très peu d’intérêt en maths. C’est la gymnastique mentale qui compte et rend la solution attrayante.
@@cboisvert2 pourtant il y a une manière "simple" de connaître ces racines "évidentes". Il "suffit" de chercher parmi les diviseurs du terme constant. Cette méthode ne marche qu'avec des coefficients entiers relatifs.
La forme canonique reste quand même plus intéressante dans le sens où elle donne directement les coordonnées du maximum/minimun. Là, la tâche est simplifiée car les chiffres sont choisis de manière à éviter les fractions en coef, donc pas sûr que ce système anglo-saxon soit mieux
Pour les solutions évidente comme celle-ci oui
Sinon ils font delta.
Tout est question de programme et d'exigence d'examen. En tant que prof de seconde et de première non spé et techno, je trouve que l'approche recherche et inciter à le faire "à la main" est un bon complément d'introduction/de renforcement.
En tant que prof de Spé (un an sur trois,répartition oblige) la position de notre équipe pédagogique (et je suis totalement raccord) est de mettre l'accent sur le double développement, les IR et le calcul littéral (ainsi que les tableaux de valeurs) en seconde, avec du surplus une fois que les élèves ont choisi leur spé et de leur conseiller de bien revoir ça pour la rentrée en première spé.
En partie à cause de la remarque d'Heda : le choc de rythme et de rapidité "robotique" ;-) exigés est très difficile à encaisser pour les élèves, en plus de celui en seconde.
Mais aussi parce que nous sommes conscient-es en équipe du temps que cela permet de gagner en fin première-terminale (maitrise du tableaux et des études de signes au plus tôt; maitrise calculatoire pour les dérivation de produits quotients).
De toute façon, pour répondre plus précisément à ta remarque @nexoulebg2982 , je pense que tous les collègues et livres font un paragraphe "quelle forme pour quelle utilisation" en première.
Bref, encore une excellente vidéo dont je n'aurais en tout cas aucun scrupule à piquer l'approche marketing pour et à partager à mes élèves pour leurs vacances ,)
J'ai adoré. C'est de la logique, du bon sens et un peu de chance quand on teste la bonne solution du premier coup. Merci Professeur.
bravo
A prendre comme un défi, ok. C'est amusant et tu le présentes très bien, notamment son côté intuitif.
Mais à DÉCONSEILLER TOTALEMENT comme méthode de résolution. En effet, elle est beaucoup plus compliquée qu'elle n'en a l'air, et elle ne marche pas dans de nombreux cas, notamment si une racine carrée ou un quotient doit intervenir.
Si on ne trouve pas la factorisation est-ce parce qu'elle n'existe pas ou parce qu'on n'y est pas arrivé ? En toute logique, (mais ce n'est pas ce qui est recherché ici) , on devrait vérifier que la factorisation existe avant de la calculer.
La méthode générale avec Delta est tellement efficace et rapide, pourquoi s'en priver?
Comme tu l'as dit, pour s'amuser. 😉
Éventuellement, si on ne veut pas passer par le delta, j'aime bien passer par la forme canonique. Quand on maîtrise la factorisation, ça va relativement vite.
Cela va relativement vite si la factorisation se fait avec des nombres entiers et encore, pas trop compliqués. Dans ax²+bx+c, si a et c commencent à avoir chacun 3 décompositions possibles (sans compter les signes), cela devient vite fastidieux.
pour ax² + bx + c
somme = b
produit = ac
trouver m et n tels que ax² + mx + nx + c = ax² + bx + c
cad : m + n = b (somme)
et : m * n = ac (produit)
solutions m et n réelles que si somme carrée moins quatre fois le produit est plus grand que 0.
après on factorise : ax² + mx d'un côté, et nx + c de l'autre. On a une somme de deux facteurs + deux facteurs. [ de forme : ax(bx +c) + d(bx +c) ].
On procède enfin à la deuxième étape : (ax + d)(bx+c) en refactorisant.
salut Iman ! je trouve ça hyper intéressant, mais je dois reconnaître que c'est un peu trop dur pour moi, comme je fais tout de tête devant la vidéo, je dois mettre pause souvent pour distribuer et vérifier afin de comprendre ce que tu expliques. je n'ai pas les automatismes donc je mets du temps et je tombe dans les pièges. c'est vrai aussi que je suis sorti du scolaire depuis + de 20 ans, j'ai oublié beaucoup de choses, j'étais mauvais en maths à l'époque. delta je ne l'ai pas appris, ni pas mal de choses que tu abordes dans tes vidéos, mais je suis en mode maths loisirs (dit comme ça c'est clair que ça fait sourire) et ça me plaît vraiment d'apprendre avec toi, de comprendre des trucs que je ne comprenais pas à l'époque et de réviser mes classiques aussi. en tout cas tu es un excellent prof, on passe des très bons moments avec tes vidéos. attention juste à ralentir un peu le débit de paroles, des fois tu pars à des vitesses faut s'accrocher pour raisonner à ton rythme. sinon ta chaîne est vraiment top, je fais ta pub dans mon entourage ! à bientôt
Je la connaissais deja cette methode depuis longtemps mais cela me fait plaisir que vous en parliez. Pour completer vos explications j'ajoute que la methode c'est de trouver 2 nombres qui respectent ces 2 conditions y+z=b et yz=c et si c'est le cas alors on peut factoriser par les nombres obtenus, par contre sa marche que si a = 1. Par contre si a est different de 1 alors il faut utiliser une autre methode : En resume il faut faire la meme procedure que precedemment sauf que cette fois ci il faut trouver 2 nombres tels que y+z=b et yz=ac, si tel est possible alors on peut decomposer bx en yx+zx ensuite on pourra faire 2 factorisations partielles et le vrai facteur commun apparaitra. Et on pourra enfin tout factoriser
Merci pour cette démonstration / explication. C’est qui manque systématiquement dans les videos de Heda
@@stephanegrabut8018 Avec plaisir 😉😉
@@stephanegrabut8018 et pourtant il en a parlé
L'objectif de Hedacademy est d'enseigner le raisonnement pour résoudre des problèmes sans forcément passer par des formules mathématiques, ce qui manque parfois dans le système français
En Belgique on apprend cette technique à nos élèves de 3e :) on appelle ça "la factorisation somme-produit"
Absolument ! Bravooo
Au Québec aussi, on apprend ces méthodes avant la méthode du discriminant.
Alors en pratique en France on l'utilise sans le dire et/ou en découpant pour que le raisonnement tienne (le pays de Descartes peut aimer les solutions évidentes mais pas les "tâtonnements" et veut de l'induction justifiée ligne par ligne) mais on met surtout le paquet plus tard (notre première) pour l'aspect théorique. Il faut dire qu'en 20 ans les élèves de 15 ans ont perdu l'équivalent horaire d'une année entière de maths et ceux qui passent le bac quasi deux.
Quelle aisance dans votre présentation! Contenu très inspirant!
Aaaahhh le chainon manquant entre la racine évidente et le delta... ils sont trop fort ces américains ! Bravo pour cette vidéo.
Je cherchais cette méthode claire depuis des semaines pour faire réviser mes 3e ! Je n'avais que la méthode du discriminant (plus facile pour moi) en tête. Grâce à ça, il vont pouvoir factoriser ! Merci ;)
Il y a aussi cette méthode : quand on lit x^2+ax+b, on écrit (x+a/2)^2 qu'on développe puis on rajoute ce qu'il faut pour retomber sur le polynôme de départ. En réalité ça revient presque à démontrer la formule avec les discriminants à chaque fois. Bien entendu on ne présentera pas les explications avec le texte (x+a/2)^2 mais avec plusieurs exemple tels que x^2+4x+?, ou x^2-6x+?, ou x^2+5x+?.
Ça peut avoir l'air inutile au premier abord, mais en réalité quand on cherche la signature d'une forme quadratique (à plusieurs variables) "à la main" et qu'on veut réduire l'expression à une somme de carrés (et/ou d'opposés de carrés), c'est pas mal (ça c'est plutôt niveau bac+1).
@@becomepostal Oui, alors certes mais ça c'est ce qu'on faisait quand j'étais en 3ème dans les années 80, je le vois plus comme une approche première spé-éleve de seconde sur d'y aller, d'autant que c'est assez conforme à l'introduction aux preuves du discriminant en Spé.
J'adore hein, et je trouve le lien avec les techniques qu'on va employer pour les formes quadratiques particulièrement pertinent, mais l'immense majorité des élèves entrant en seconde depuis 3 ans maitrisent bien trop peu l'aspect développement et les IR (en fait le tiers d'élèves qui les mobilise bien est le vivier dont une partie ira en spé avec succès). Mais du coup cette approche "américaine" pour des recherches de factorisation par tatonnements me parait en effet cool pour des troisièmes !
Grand plaisir de découvrir cette méthode. Merci !
Pour le dernier exemple, on peut continuer un peu :
(3x + 1)(2x - 3) = 3(x + 1/3) × 2(x - 3/2)
… et on retombe bien sur la forme a(x - x1)(x - x2), avec les deux solutions -1/3 et 3/2.
Bravo pour l'explication de cette approche! C'est vraiment une approche plus basée sur la logique et qui aide à raisonner en math.
Et oui, les mathématiques ne sont pas _que_ des formules. Comme me disait souvent mes professeurs, regarde deux fois où est-ce que tu veux aller avant de sauter dans le premier train. Et c'est ça les maths; réfléchi à ce que tu veux obtenir, les formules ne servent qu'à t'aider dans ton cheminement :)
Merci pour ce cours!
C'est cool ces petits tours d'horizon. Je trouve qd meme plus rapide de chercher la racine R du polynome et de factoriser par (x-R)
Il manque une hypothèse je pense : les nombres cherchés sont entiers car sinon on pourrait aussi factoriser avec des fractions non ?
Oui, ou alors que le delta le Δ soit positif :
Normalement, quand tu as les racines du polynôme à factoriser, tu peux le factoriser comme ça :
ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), x1 et x2 étant les racines du polynôme
Sinon on prend la forme canonique et on la factorise vu qu'on a du a [(x-α)^2 - β] où α=-b/(2a) et β=Δ/(4ac)
Ce qui fait : a(x-α-√β)(x-α+√β)
Think out the box : c'est tellement important de le rappeler, bravo!
Merci ! Toujours de supers conseils.
Brillant comme toujours !
x^2+x-6 = (x+1/2)^2 - (5/2)^2 = (x+1/2-5/2)(x+1/2+5/2) = (x-2)(x+3)
Ben quoi, je vois pas le problème?
OK, j'ai clairement été très formatté pour en arriver là. Cette technique est d'autant plus intéressante qu'en premiere (si on le fait encore?), on commence par la méthode la plus générale (et compliquée), et on finit par apprendre quand meme des propriétés simples comme x2- Sx + P. Apres si les racines ne sont pas entieres, bonne chance
Hello !
La méthode américaine pour le 3ème exemple est appelé méthode ac (a fois c).
On cherche les 2 nombres (m et n) qui multipliés donnent ac, c'est à dire 6x .(-3) =-18, et dont la somme est b soit -7. Il est clair qu'il s'agit de -9 et 2 et on fait :
E 6x² -9x +2x -3 = 3x(2x-3)+1(2x-3) = (2x-3)(3x+1) Les solutions sont 9/6 cad 3/2 et -1/3 c'est à dire -m/a et -n/a.
Il y a 26 ans on voyait l"équation deu second degré en début de seconde. J'ai fait deux fois ma seconde avec deux profs différents, et on a vu ça en seconde, c'était même dans le manuel de seconde. Le fait qu'aujourd'hui ça soit vu en première montre le régressement du niveau. Bientôt on apprendra plus rien.
Une autre preuve du "regressement", on dit regression 😂
J'ai vu ça en troisième, et c'était en 2003. J'ai vite oublié la méthode quand je suis arrivé au lycée car en seconde j'ai appris la (très nulle et très longue et très pénible) méthode par le développement canonique, et en première la méthode avec le discriminant delta.
En vingt ans, on a reculé de deux classes !
J'adore cette astuce ! Nos profs d'antan ne nous avaient jamais expliqué cette méthode, très "à la Colombo" 😊
J'ai eu un excellent prof de maths, mais purée, j'aurais aimé vous avoir comme prof.
depuis que j'ai appris les résolutions d'équation du second degrés (en 3ème dans les années 1975 👆) je trouve que c'est la meilleur méthode, cause si t'as des racines fractionnaires, avec cette méthode, t'as intérêt à prévoir la boite de doliprane....
sinon, cette méthode, c'est un peu comme aller à la pêche en espérant pécher le gros poisson...
Je suis entièrement d'accord ! Mais cette méthode reste intéressante à découvrir, du moment qu'on considère que les coefficients du trinôme sont entier.
Le calcul du discriminant reste intéressant dès que le coefficient de x2 augmente un peu…
C'est du grand magnifique, comme d'habitude, merci professeur
Merci beaucoup 😍
Ha ha j'ai enfin compris ! J'ai grandi dans le système français, puis mes enfants ont grandi au Canada. Je ne comprenais rien quand ils se sont mis à faire ça en math; je leur disait: mais pourquoi votre prof il ne vous montre pas le delta??
Merci pour ce partage 😁
Vraiment très solide la pédagogie 😉
Et merci de nous faire repenser les maths
Mon fils a été dans une école qui lui a enseigné cette méthode au collège (nous habitions à l'étranger). Il m'a "pondu" des trinômes avec des chiffres au hasard et ... je me suis retrouvée à lui expliquer que si, y a des solutions, mais trop compliquées. Le coté satisfaisant, je ne sais pas s'il a vu. Pour ceux de ses copains qui fuyaient les "x", ce fut l'abandon des maths ...
Excellent. Je ne connaissais pas cette approche. Ça vaut la peine de prendre quelques secondes avant de foncer sur un calcul de discriminant.
C'est toujours du génie de pédagogie !
Je ne connaissais pas cette méthode. Super.
Un super bon prof ( Francis 61 ans)
Meilleur prof
x2-Sx+P=0
Avec S la somme et P le produit
évidement que ça ma plu et comme le disent certain quel prof !!!!!
Il y a aussi la méthode qui se base sur le fait que le fonction soit paire et que donc, les racines x1 et x1 peuvent s'exprimer comme u+t et u-t.
Et avec ça on redécouvre la formule du delta.
Pour le polynôme à résoudre 6x²-7x-3=0 , on peut passer de la forme ax²+bx+c à x²+bx+ac (superbe technique) --> nôtre polynôme initial devient alors x²-7x-18=0 puis on factorise par (x-9)(x+2)=0 (Ceci va être ma façon de décomposer bx) , on revient sur le polynôme du départ et on obtient alors 6x²-9x+2x-3=0 puis on factorise par 3x , 3x(2x-3)+(2x-3)=0 et de nouveau, on factorise par 2x-3 , on obtient alors (2x-3)(3x+1)=0 , c'est aussi simple que ça. Ou simplement passer par la complétion du carré: 6(x²-(7/6)x-(1/2))=0 , on résout uniquement x²-(7/6)x-(1/2)=0 ⇔ (x-(7/12))²-(7/12)²=(1/2) ⇔ (x-(7/12))²=(49/144)+(72/144) ⇔ (x-(7/12))²=(121/144) ⇔ √(x-(7/12))²=±√(121/144) ⇔ x-(7/12)=±(11/12) et enfin x=(7/12)±(11/12) ⇔ x=18/12=3/2 ou x=-4/12=-1/3 , le risque d'erreur est plus grand avec la complétion du carré, il faut être à l'aise avec la manipulation des fractions. Pour le polynôme x²-5x+8=0 , on peut utiliser les formules de Viète pour changer : x₁+x₂=-b/a ⇔ x₁+x₂=5 et x₁.x₂=c/a ⇔ x₁.x₂=8 puis on utilise l'identité remarquable (x₁+x₂)²=x₁²+x₂²+2x₁.x₂ ⇔ x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁.x₂=5²-2.8 ⇔ x₁²+x₂²=9 (On peut rapidement remarquer que ce polynôme n'admet pas de solutions réelles). Parce que supposément on a admis que x₁+x₂=5 et donc on pose la condition suivante : si x₁ et x₂ sont des réels, x₁²+x₂²>9 et non égal à 9, donc cela ne tient pas la route, c'est absurde et donc il n'y a pas de solutions dans R.
Super vidéo !
Quand on finit par avoir l'habitude de factoriser, on factorise de cette manière. Il y a aussi la forme canonique qui est très pratique et qui permet également de retrouver la formule du discriminant
Super vidéo mr 😊
Bravo pour votre fluidité magique et merci pour la traduction de "quadratic forms" qui me fait penser aux moments quadratiques, c'est-à-dire à la performance des constructions, proportionnelle à l'éloignement des lieux communs ... dans tous les sens du terme ! Est-ce que cela vous inspire ?
Sympa, cette comparaison, merci :)
J'avoue ne pas être convaincu, la méthode ne marche que si les solutions ont le bon goût d'être entières (à la rigueur fractionnaires, mais la j'ai un doute).
Si je devais utiliser une méthode "facile", je poserais bien les solutions comme étant égales à:
x1 = u + √(v)
x2 = u - √(v)
Comme l'équation s'écrit:
x² - S.x + P = 0
Où S = x1 + x2 et P =x1.x2, on n'a plus qu'à résoudre le système suivant:
S = 2.u
P = u² - v
Je précise quand même que ce n'est pas une méthode que j'utilise habituellement, la méthode par le calcul de Δ est quand même très rapide.
Pour l'instant je suis par terre, quand je suis sorti de réa je te mets un commentaire. 🤣
Toujours très utile de développer des astuces, et avec la perspicacité
Toutefois ça ne marche qu'avec les nombres entiers. En effet si les solutions sont décimales ou complexes, je ne vois pas comment on peut les trouver
Tu veux dire irrationnelles peut être..
Pas seulement irrationnelles, mais toutes les décimales
abordable dès la quatrième, autre méthode: si a annule le trinôme alors (x - a) est un facteur donc l'idée est de chercher des racines "évidentes" de l'expression de départ
Wow! Ça me ramène 50 ans en arrière... ;-)
Très intéressant en effet, pour s'amuser. Un peu comme un sportif de haut niveau dans un sport et qui fait un autre sport en "dérivatif", pour se changer les idées, pour s'amuser.
MAIS, cela doit rester de l'amusement, car la méthode n'est pas SYSTEMATIQUE. Si la solution n'est pas dans les nombres entiers, elle fait juste perdre du temps. Alors que la méthode avec Delta est rigoureuse, ce qui est pour moi la première qualité des mathématiques.
De plus, on peut tomber sur des équations piégeuses, par exemple : x²-2x-1... Les racines sont 1+-sqrt(2)
Dans ces exemples, comment être sûr que les racines sont des nombres entiers ?
Super comme d'habitude. Va falloir demander cette option dans les calculatrices, ce sera plus "american" pour les petits français.
Super explication de la "factorisation américaine". Une idée proche est également de vérifier s'il n'y a pas une racine évidente ( genre +1; +2 ;+3; ... et leur opposé). Cela permet de mettre (x-racine évidente) en facteur puis de compléter avec la même approche: Terme en x² et Terme constant. Méthode cousine de l'américaine 🤔?
Il me sauve la vie
Habile, vraiment plus fun que la forme canonique 🥵
Les équations du 2e degré c'était en seconde. Enfin à la fin des années 80 en tout cas.
Méthode intéressante (et à priori plus "naturelle" et simple que delta), mais il me semble que dès qu'on arrive à des nombres "compliqués" (comme les fractions ou puissances), connaître les formules de delta et des solutions est plus simple et plus efficace que chercher les solutions "à l'anglo-saxonne"
excellent.
On en redemande!
il me semble que mon fils a aussi appris comme ça à l'école (en plus du delta), c'était en Belgisue francophone
Avec des entiers, c'est assez facile, mais avec des fractions ou des réels non entiers, ça se complique.
Tu peux nous la refaire avec des facteurs exp, log et racine ?
Je trouve que ça fait bien fonctionner le cerveau, mais ça a ses limites. Je comprends que le calcul de "delta" fasse robot, mais c'est uniquement parce que les élèves ne se souviennent pas du cours durant lequel on a validé cette méthode, je pense que c'est là qu'est le problème. On devrait ressasser certains cours plus longtemps.
Merci pour tes vidéos 🙂
pour le 1er exemple, dans les candidats possibles qui donnent -6 il y a aussi -racine 6* racine6
Fais une vidéo sur les polynômes svp monsieur 🙏
Intéressant à connaître !
Mais finalement, la méthode française fonctionne tout le temps.
Alors que la méthode américaine ne fonctionne bien que pour les quelques cas de factorisations les plus simples. On est vite limité...
Bilan je préfère la méthode française. L'américaine est un bonus pour les cas simples si on veut.
Sans trop "robotiser", on peut peut-être trouver une manière d'énoncer les différentes combinaisons dans un table, permettant de visualiser rapidement la bonne solution.
Pourquoi ne pas chercher les racines (évidentes ici) ce qui permet de retrouver facilement la factorisation ?
Merci pour l'explication. Sinon, on peut aussi passer par la méthode de la racine évidente et de l'identification. Si r1 est une racine évidente, la factorisation est de la forme (x-r1)(x-r2) ou 'r2' est la deuxième racine. On développe et on a x²-x(r1+r2)+r1r2. D'où la formule aussi x²-Sx+P (où S est la somme des racines et P leur produit).
Deux nombres dont le produit est ac et la somme est b. Il ya aussi une autre method " Complete the square" pour resoudre l'equation et trouver le min ou le max (vertex)
Magnifique.
Je me demande pourquoi on ne peut pas utiliser des fractions (non entières) comme solutions candidates si les coefficients sont entiers.
Soit est ce que ab et a+b dans Z implique a et b dans Z ?
Parce-que sinon ça devient trop compliqué, il y aurait trop de solutions possibles ...
Là ça fonctionne car le nombre de couples solution est réduit.
En prépa j'ai retenu x² - S.x + P où S est la somme des racines du polynome et P le produit des racines. ça aide à trouver le signe des facteurs
J'ai dû avoir un bon prof de math pendant mon adolescence, car avant d'apprendre Delta, je factorisais comme ça, je ne sais plus si je le faisais de moi-même ou si je l'ai appris en cours. (ps : je suis belge)
Aussi les anglais utilise la complétion avec (b/2)²
peut etre que ca a deja ete dit, j'avoue ne pas avoir lu les commentaires precedents, mais pour la derniere il n'y a pas que ces 2 possibilités
en effet, 6=(+ -)3 * (+ -) 2 ou (+ -)6 * (+ -)1 , soit 4 possibilités et pas 2
sinon, tres interessant quand meme, comme d'hab
plutot genial
J'adore la chaîne !
Mais ici, un gros manque de rigueur en calculant delta pour vérifier que ça ne fonctionne pas.
x²+x-1 n'est pas factorisable avec cette méthode mais a bien un discriminant positif.
Pour le 2e exemple, sauf erreur de ma part, (-x+4)(-x+3) fonctionne aussi... :)
C'est également la solution que j'ai trouvée ^^
En seconde je me suis amusé et j'ai pas bien travaillé les formes canoniques. Ça m'a perturbé jusqu'en terminale. Dès que j'ai compris ce truc, les équations et polynômes sont devenus amusants.
PS: même chose pour la division euclidienne. Quand tu as tout ça dans ton arsenal, factoriser une fonction te fait toujours rire.
Merci.
autre particularité française: la manière de poser la division
Et un like à l’Américaine 👍👍👍👍
Je me suis régalé durant toute la vidéo, bien joué prof !
Juste pour savoir, le résultat de la factorisation ça nous fait résoudre les équations entre parenthèses si le polynôme du second degré était égal à 0 ?
Exactement !
C'est ce qu'on appelle la "règle du produit nul" : si un produit est égal à 0 alors au moins un de ses facteurs est obligatoirement égal à 0.
Donc si un polynôme du second degré admet deux racines dans R : x1 et x2
Alors il est factorisable de cette manière : (x - x1).(x - x2)
Car ainsi soit (x - x1) soit (x - x2) sera égal à 0.
Amicalement
@@SingeMalicieux Merci beaucoup pour ta réponse !
@@Mayooo28 Avec plaisir 🙂
Pour la dernière je décompose.
-3×6=-18
-18=-9×2 => -9+2=7
6x²-7x-3=6x²+2x-9x-3
=2x(3x+1)-3(3x+1)
=(2x-3)(3x+1)
Vraiment génial, je fais ça (presque) de tête maintenant :)
Forcément ça me permet de résoudre que les factorisations faciles. C'est comme la complétion du carré ça ne vaut vraiment pas le temps qu'on y passe.
En gros c'est la méthode somme-produit
C'est étrange, en Amérique, on dit Produit-somme!
A mon époque (putain, ça y est, je suis vieux....) on appelait cela chercher les racines évidentes. Et on faisait la factorisation directement
Cerveau explosé
Perso j'ai cherché une solution "évidente" : j'ai trouvé -3 ! J'ai donc factorisé par (x - (-3)), soit (x + 3) et j'ai cherché ce qu'il manque dans l'autre facteur.
Il y a 30 ans les américains avaient un niveau de math inférieur au notre ( J ai fais des études aux usa en master) aujourd'hui avec la baisse de niveau en France ils nous ont rattrapé 😮
Aujourd'hui avec la baisse de niveau en France je pense que
Non, je te rassure ils sont toujours très mauvais, un peu comme la génération post covid en France, ça se vaut.
J’arrive à trouver au feeling les valeurs a et b de sorte qu’on ait : x2 + (a+b)x + a*b , mais sans savoir s’il existe une méthode à suivre.
Le seul souci est que cette méthode marche uniquement quand d'une part c'est factorisable et d'autre part quand il y a des racines évidentes. Nous en France, on s'occupe d'abord de savoir si c'est factorisable, avec le fameux delta. Les anglais saxons utilisent des méthodes applicatives sans forcément comprendre le pourquoi. Les français utilisent des méthodes explicatives pour justement comprendre le pourquoi et ensuite appliquer en sachant ce que l'on fait. Et quand les racines sont 1+ √2 et 1-✓2 comment fait on ?
Une question... quand on a x² à factoriser, n'y a-t-il pas 2 possibilités ? [x * x] et [(-x) * (-x)] ?
En réalité ça ne fonctionne pas car pour que ça fonctionne il faudrait que a=1 et qu'il y ait deux racines entières.
Ce qui n'arrive jamais sauf si le prof s'est arrangé pour que ce soit le cas. Mais si tu l'applique à une situation concrète ce serait une perte de temps de se poser ce genre de questions vu la faible probabilité d'être dans cette situation.
Sinon si tu sais qu'il y a deux racines entières et que a =1 tu peux utiliser x²-Sx+P avec S comme somme des racines et P comme produit tout simplement.
Ouch .... laborieux le système américain.
Tout aussi compliqué pour moi que Delta 😢
Tout à fait d'accord. Mais je ne vois pas ce qu'il y a de compliqué dans Delta. C'est automatique et on se trompe jamais.
@@antoinegrassi3796 Bein il faut se souvenir de la formule, puis se rappeler que s'il est négatif il n'y a pas de solution, et ensuite savoir la formule des solutions .... 🤪
Attention avec cette méthode !!!
Il faut absolument commencer par vérifier qu'il existe une possibilité ; donc que le discriminant est positif b²-4ac >= 0 .
Sinon on peut rester chercher longtemps pour rien.
Par contre il suffit de vérifier que delta >= 0, il n'y a pas besoin de le calculer exactement.
Il n'empêche, le gain de temps est faible, par rapport à la méthode systématique.
Enseigner une méthode qui ne marche que lorsque les exercices sont construits spécifiquement pour elle (entre autre, les racines doivent être entières, même pas des fractions) ; ce n'est pas très sérieux. Cela m'étonne qu'elle ne soit pas imposée par l'éducation nationale !
Bonjour, pourquoi pour la dernière factorisation vous ne proposez pas -3x et -2x ou -6x et -1x pour obtenir le 6x^2?
ça complique la pensée inutilement.
(3x + 1)(2x - 3) c'est aussi (-3x - 1)(-2x + 3) vu que vous aimez les négatifs. Mais là il faut -3x ET -2x. -1 x -1 = +1, on retombe donc sur ses pieds. En degré 3 ça n'irait pas (-1 x -1 x -1 = -1)
acx² + (ad+bc)x + bd => (ax + b)(cx + d)
Je me pose quand même le problème d'expliquer le résultat sur la feuille qui va être corrigée par un prof qui ne va pas voir de raisonnement déductif
Les mathématiques universelles sont une logique de l’imagination.
-Leibniz
Moi je faisais ça en 4ème...
J'ai fait cela au lycée en France. C'était évident à l'époque. Soit avec une racine évidente soit avec le produit et la somme. C'était en 78-79. Alors je n'apprécie pas que cela s'appelle "factorisation américaine".