100 тренировочных задач #31 x^12-x^9+x^4-x+1=0
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 8 ก.พ. 2025
- Сто тренировочных задач абитуриента #31.
Задание из книги Ткачука В.В. "Математика - абитуриенту". Индивидуальные занятия по Скайпу для школьников, студентов, учителей, репетиторов. ЕГЭ, ОГЭ, высшая математика. Начальный уровень значения не имеет.
Поддержать Проект: donationalerts....
Новая Группа ВКонтакте: volkovv...
Почта: uroki64@mail.ru
Метод группировки и исследование на промежутках помогают в решении. Спасибо.
Спасибо вам Валерий за то что вы делаете такие видео!
Чтобы не было вопросов насчёт комплексных корней нужно уточнить: уравнение не имеет действительных корней ( в множестве действительных чисел). Спасибо за решение👏👏👏
Опять же, если бы требовали комплексные решения, то это бы уточнили в условии задачи.
Молодцы! Очень познавательно! Продолжайте в том же духе...
Хорошее начало для мат. анализа
Обозначим S(x)=x^12+x^4 и T(x)=x^9+x-1
Тогда уравнение можно записать: S(x)=T(x)
Далее: S(-x)=S(x); T(-x) = -x^9-x-1=-(x^9+x+1)=-(x^9+x-1+2)=-T(x)-2.
А т.к. S(x)=T(x), то T(x)=-T(x)-2 или T(x) = -1. Итак
x^9+x-1=-1, откуда x^9+x=0, откуда получаем x=0; x=1; x=-1
Ни одно значение не подходит. Противоречие - уравнение корней не имеет.
Офигенное решение. Только вот подскажите пожалуйста почему: " т.к. S(x)=T(x), то T(x)=-T(x)-2"
Спасибо, что напомнили! Конечно это всё неверно. Глубокой ночью зачем-то взялся писать. А утром не проверил.:)
Можно так: перепишем уравнение: x^12-x^9+x^4-x^2+x^2-x+1=0. минимум функции x^12-x^9 - -27/256. Минимум функции x^4-x^2 - -1/4. Минимум функции x^2-x - -1/4. Тогда изначальное уравнение не принимает значения меньше -27/256-1/4-1/4+1=101/256 больше 0, следовательно, уравнение не имеет действительных корней
Спасибо большое!
Пункты 1 и 2 получились легко. А третий было лень так как слету не вышло и стал смотреть ))).
Спасибо!
А степени все выше и выше:)
Ага. А потом дойдем до бесконечной степени, до степенных рядов
@@mathphys685 числом Грэма завоняло
метод подбора корней через делители свободного члена в данном примере актуален?
Как весело рассматривать кучу промежутков, когда графически за 5 секунд решается
графики никогда ничего не доказывают. Они помогают увидеть, как строить решение, но само решение должно иметь аналитическое доказательство.
А вот более короткий способ решения задачи. Очевидно, что уравнения F(x) =0 и F(-x) =0, где F(x) - полином степени n > 0, имеют взаимно-сопряженные корни. Но F(-x) = x^12+x^9+x^4+x+1= 0 действительных корней не имеет, поскольку все его члены при любом действительном x неотрицательны. Следовательно, и вся сумма F(-x) будет больше нуля. Но тогда и исходное уравнение F(x) = 0 действительных корней не имеет.
Олег Абрамов, а с чего ты взял, что F(-x) действительных корней не имеет? А вдруг имеет? Если насчёт x^12 и x^4 нет вопросов, они при любом x будут положительные, но с чего ты взял, что x^9 и x будут положительные при любом x? Только при положительном x можно быть уверенным, что x положительный и x^9 тоже положительный только при положительном x. Так что, совершенно ничего очевидного в F(-x) нет.
Конечно, после того, как доказали, что F(x)=0 не имеет решений в действительных числах, то и F(-x) тоже не имеет решений в действительных числах. Но не наоборот. Не ставьте телегу впереди лошади. Не доказывайте утверждение с помощью его следствия.
Как выбрать какие промежутки исследовать? Всегда будут промежтки до нуля, от нуля до единицы и от единицы?
А ты кроме этих.3 другие знаешь?
ну здесь все уравнение равно нулю, после всех операций с корнями к ним прибавляется единица, а т.к. ты разложил корни на произведение, то, если в произведении корней будет 0 и к ним прибавить единицу - это будет больше 0, поэтому тут ты рассматриваешь ближайшие два целых числа, это 1 и -1, смотришь, получится ли в произведении корней при подстановке -1 - получить эту -1, что бы -1+1 было равно 0, с 1 тоже самое, если нет, то корней нету. Не знаю как ещё пояснить, тут все строго ситуативно было)
Здесь выбор интервалов обусловлен тем, что после вынесения общих множителей получилось выражение:
x(x^3-1)(x^8+1)+1=0, или x(x^3-1)(x^8+1)=-1. Далее:
при x≤0 решения нет, т.к. x(x^3-1)≥0 и (x^8+1)>0
при x≥1 решения нет, т.к. все множители больше или равны 0
Решение может быть только в промежутке 0
@@alexeytsoy2159 , человек другой вопрос задавал, про промежутки, а не решение)
Добра
@@СерегаКирюхин-ж2ь Так и я про промежутки: как и почему они появились при решении этого уравнения. Вторая часть вопроса ведь была: почему именно такие?
Всё делаете для детей. А давайте это уравнение решим для взрослых и найдём все 6 пар комплексно-сопряжённых корней?! Слабо?
Спасибо, но трудно
Лайк за то, что нет корней)
Решали-решали, а в результате никаких решений не нашли🤣
А комплексные?
Розклад на множники абсолютно зайвий. Все набагато простіше.
х=0, 1>0.
00, 1-x>0.
x>=1. x^12-x^9>=0, x^4-x>=0, 1>0.
у автора логика определения промежутков мне не понятна. Как я решал:
Приводим уравнение к виду
x(x^3-1)(x^8+1)=-1
Теперь исследуем, на каких промежутках левая часть может быть отрицательной
Так как вторая скобка строго больше нуля, то для отрицательности требуется:
x(x^3-1)
Почему не понятно? На промежутке (0,1) х^n (n>0) убывает, на промежутке (1,∞) - возрастает. Стало быть, простейший анализ делаем на этих промежутках, а также для отрицательных чисел.
Задача простая. Опытным взглядом сразу видно, что решений нет: коэффициенты все равны ±1 - тогда все слагаемые анализируются в уме.
@@АлександрБурла-б4ю у нас нет чистой функции х в степени n. Поэтому наше выражение может вести себя по разному. Откуда автор взял границы исследования функции ноль и один, а не ноль и минус один, и не два и минус семь - в ролике не раскрыто.
@@Almashina у нас всё есть. Выше я написал как ведёт себя степенная функция на указанных участках. Это значит, что разность х^n-x^k для n>k имеет конкретный знак.
Знак произведения x(x^3-1)(x^8+1) можно было методом интервалов исследовать
Там ещё плюс один, если бы нулю равно, тогда да.
Так он им и делал)
А где 12 комплексных корней?
А можно методом подбора,если не треб решение?
А как вы подберёте корни, которых нет?
@@ВасилийДрагунов-н8т правильно Вы говорите,но я постаралась подобрать,но не вышло.. значит-нет корней. Это верно?Может математически неграмотно...
@@leylililey5603, к сожалению, не думаю, что возможно подбором установить отсутствие корней у уравнения. Можно найти корни подбором, если докажешь, что их может быть определенное кол-во
@@nicelych спасибо,что ответили
@@leylililey5603 Числа бесконечны, нельзя сделать бесконечно много подборов)
Или имеет 12 комплексных корней :)
А куда делись комплексные корни
В ЕГЭ нет комплексных чисел. Совсем.
@@ВасилийДрагунов-н8т это задание не егэ, просто если в условии как то не указаны комплексные числа, ими пренебрегают
@@999bigsmoke это очевидно школьная задача, а комплексные числа в школьную программу не входят.
Диванный эксперт это я и имел ввиду
Никуда не девались, они как были, так и есть, целых 12 штук.
P.s. Уравнение имеет 12 комплексных корней.
Комплексно сопряжённых
схема Горнера сэкономила время
Дурацкие эти задачи с решением полиномиальных уравнений степеней выше 2, когда просят решить. Потому что совершенно непонятно как решать, вдруг корень угадывается и степень понижается, а может это возвратное уравнение, а может корней нет, а может формула Кардано итд, времени можно угробить много, и ничему особо такие задачи не учат
Чтобы было проще думать, надо сначала построить график.
@@koleso1v вручную. А для этого надо найти нули...
@@andreybyl как раз не надо. Подставляее 0 - получаете 1. Подставляете 1 - получаете опять 1. Подставляете -1 - получаете 5. Уже три точки есть. Берете производную и находите её значение в этих точках. Теперь у вас не только есть сами точки, но и еще направления в них. Берете вторые производные и находите кривизны в этих точках. Неужели по трем точкам, трем касательным и трем кривизнам не сможете примерно построить график? Нет? Тогда возьмите пять точек! А примерный график - это очень много. Вы сразу поймёте, где потенциально могут быть корни, а где точно нет.
Тут может быть 12 действительных корней и чтобы понять где они есть, а где их нет, с помощью графика, построенного по точкам, может потребоваться очень большой объем вычислений и даже если удасться найти промежуток где есть какой-то корень, он может быть иррациональным и его не подберешь... В таких задачах заранее непонятно как действовать и никаких наводок нет, поэтому я и говорю, что они совершенно не интересны...ни в идейном плане ни в техническом
@@andreybyl какой объем вычислений требуется, чтобы найти три точки, про которые я сказал, с первыми и вторыми производными в них? Я это сделал на четвертинке листочка бумаги за пару минут без калькулятора.
В таких задачах всегда есть много подсказок. Надо понимать, что алгебраическое уравнение выше 4-й степени не имеет общей формулы для нахождения корней. Из этого следует, что раз уж это уравнение попало в качестве задания, то у него либо нет корней вообще, либо они должны находиться каким-либо нормальным способом. Поэтому рецепт всегда такой.
1. Проверяем, является ли делитель коэффициента при нулевой степени решением. Проверяем все положительные и отрицательные делители. Если он подходит, то делим наше уравнение на (х - решение), и получаем новое, более низкой степени.
2. Если он не подходит, то пробуем приблизительно накидать график. Это легко сделать, используя описанный мной ранее способ.
3. Из графика можно понять, есть ли корни вообще, если есть, то примерно где. Поскольку это задание школьное, то иррациональные корни скорее всего будут встречаться парами, как решения некого квадратного уравнения. Есть исключения, типа уравнения х^4-х^3-2х+2=0, где иррациональный корень один 2^(1/3), но это редкость.
4. И только теперь начинается импровизация по перегруппировке членов в уравнении и попытках выделения всяких квадратов, кубов и т.д.
Легче применить теорему Горнера, т.к. среди среди делителей свободного члена нет корней, то и многочлен не имеет действительных корней. Ну и чётная старшая степень подсказывает это))
Так что учите теоремы в алгебре.
Не имеет рациональных корней*
Если нет целых корней -ещё не факт что нет иррациональных корней.
@@ТатьянаЛарина-ф7я или дробных.)
@@sacredabdulla5698 Разве дроби,не рациональные числа?
@@ferenecroma9963 выше было сказано "ИРрациональные" корни. ))
Не нравится мне эта задача
Что попало
Не понятно.По этому дислайк.