10. Klasse Gymnasium - Trigonometrie
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- เผยแพร่เมื่อ 2 ส.ค. 2024
- 10. Klasse Geometrie
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne)
eine Aufgabe über ein gleichschenkliges Dreieck, wovon eine fehlende Seite berechnet werden soll. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Geometrie Aufgabe
0:28 Gleichschenkliges Dreieck
5:39 Gleichung lösen
8:13 Bis zum nächsten Video :)
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Ich sehe dich zurzeit öfters als meine Eltern. Du bereitest mich mit deinen Videos super auf das Matheabitur vor.
Wow! Das war ein super Schachzug, wie du aus zwei Unbekannten eine Unbekannte gemacht hast!
Hallo Susanne,
zunächst hoffe ich, dass Du einen schönen ersten Mai hattest und den Tag genießen konntest.
Hier mein Lösungsvorschlag
gegeben.: gleichschenkliges Dreieck mit den Basiswinkeln Alpha und Beta mit jeweils 65° und der Flächeninhalt des Dreiecks mit 11,5 cm^2
ges.: Länge der Basis-Seite AB
Bei einem gleichschenkligen Dreieck halbiert die auf der Basisseite senkrecht stehende Höhe die Basis-Seite.
g sei die Basis-Seite AB
h sei die auf diese Basis-Seite stehende Höhe des Dreiecks
es gilt dann:
A = 1/2*g*h
mit dem gegebenen Basiswinkel Alpha =65° gilt außerdem:
tan(Alpha) = tan(65°) = h/(1/2) = 2h/g.
Dies führt zu den Gleichungen
1) A = 1/2 * g * h = 11,5 cm^2 = 1/2 * g * h = 23 cm^2 * g *h
2) tan(65°) = 2h/g
Ab hier rechne ich mit gerundeten Werten, weswegen es zu rundungsbedingten Abweichungen kommt.
NR: tan(65°) = gerundet 2,1445
2.1) 2,1445 = 2h/g |*g, :2,1445
2.2) g = 2h / 2,1445
2.2) in 1)
1.1) 23 cm^2 = (2h / 2,1445) * h |
1.2) 2h^2 /2,1445 = 23 cm^2|*2,1445
1.3) 2h^2 = 49,3237cm^2|:2
1.4) h^2 = 24,6619cm^2|Wurzel ziehen. Es ist nur der positive Wert relevant, da h eine Strecke repräsentiert.
1.5) h = 4,9661 cm
1,5) in 2.2)
g = (2 * 4,9661)/2,1445 = 4,6315 cm
Auf eine Nachkommastelle gerundet ergibt dies für g:
g = 4,6 cm
Probe mit h = 5,0 cm und g = 4,6 cm:
A = 1/2 * g * h = 1/2 * 4,6cm * 5,0 cm = 1/2 * 23 cm^2 = 11,5cm^2 wahre Aussage
LG aus dem Schwabenland.
Klasse - wieder einmal eine eigentlich einfache Lösung.
Hallo Susanne,
als Mathe-Fan sehe ich Deine Videos sehr gerne; vorher rechne ich natürlich selbst. War bis jetzt immer erfolgreich (Abitur vor 51 Jahren). Diesmal habe ich allerdings nicht an die neg. Lösung gedacht.
Abitur haben wir übrigens noch mit dem Rechenschieber von aristo und den Schülkes Logharithmentafeln (habe ich heute noch) gemacht.
Freue mich auf die nächsten Videos.
Unser Berufsschullehrer hatte auch den Rechenschieber und die Tabellen, dass war vor 40jahren. Immer wenn jemand dem Taschenrechner die Batterie aus war hat er sich gefreut.
" Na, eure Prothese hat keinen Strom ", aber wir haben uns gegenseitig geholfen😅
Was passiert heute wenn der Herrgott uns den Stecker zieht? Zum Glück haben wir noch Finger 😅
Wie rechnet ihr diese Trigonometrie-Aufgaben aus? Sinus, Kosinus und Tangens haben doch diese irrwitzigen Taylorreihen als Definition, die Umkehrfunktionen sind noch "größer". Und alles bis unendlich. Ich kenn auch gerne die Rechenwege, weil Taschenrechner nicht immer recht haben, aber dabei... *(o.O)"*
@@spikeb.3627 Dafür gab/gibt es Tabellen in denen die Werte für die Winkelfunktionen aufgeführt sind.
@@Califahrer67 .....siehe z.B. die sogenannten "Schülkes Tafeln", in denen die Tabellen für Winkelfunktionen enthalten sind.
Also ebenfalls ablesen und vertrauen.
Nun gut. *\(-_-)/*
Diese Taylorreihen mit den Binomialkoeffizienten, der Doppelfaktultät und den Potenzen sind halt echt krass...
A = 0,5*x²*sin 50° (x sind die Schenkel), und dann mit dem cos-Satz die gesuchte Strecke berechnen.
Habe auch in diese 2 Dreiecke geteilt. Das kleine Stück mal die Höhe = 11,5 gesetzt. Dann cos(65°) = kleine Strecke geteilt durch AC , sin(65°) = Höhe geteilt durch AC. Umgestellt : Kleine Strecke = cos(65°)* AC, Höhe = sin(65°)* AC So ist Kurze Strecke * Höhe = 11,5 = cos(65°)* sin(65°)* AC² . Umgestellt zu AC. So ist AC = Wurzel (11,5/cos(65°)*sin(65°)) ist ca 5,48. Dann die Strecke AC in die Gleichung cos(65°)* AC eingesetzt und verdoppelt. Ich hoffe es ist nicht zu verwirrend, was ich geschrieben habe.
Das bringt mich auf die Idee, die Kreiszahl Pi zu simulieren. Einen Startpunkt A und einen Winkel zufällig wählen, die Stecke AC ist 1, wo liegt dann der Punkt C und schneidet er die parallelen Linien? Das machen wir 10000-mal und prüfen, wie nahe wir Pi kommen. Susanne, hast du Lust auf ein Video? So ein bisschen wie das Buffonsche Nadelproblem?
Ja, ich hab das auch so berechnet, habe aber anstatt des Tangens, den Cosinus verwendet und damit ein falsches Ergebnis.
hi, ich bin echt ein riesen Fan deines Kanals, so auch etliche meiner Schüler, daher BITTE BITTE lass nicht immer die Einheiten beim Endergebnis weg. 4,6 ohne CM hat keine Aussagekraft.
vielen Dank 😊 und ich freu mich schon aufs nächste Video.
Schau deine Videos echt gerne. 😊
Dankeschön, das freut mich sehr! 🥰
Mit einer Dreieckshöhe hc von 5 cm und der Hypothenuse 5,5 cm (ermittelt durch γ/2 und entstanden aus der konstruierten Dreieckshälfte), gelangt man über den Pythagoras b'^2=c'^2-a'^2 zur Basislänge x/2. Mit der Verdoppelung der selben erhält man schließlich die Länge von x mit 4,6cm. Die Dreieckskonstruktion beweist die Richtigkeit des Ergebnisses
Und wie kommt man auf die Höhe von 5 cm? Die war nicht angegeben, kann dann aber aus der Fläche und der Länge der Grundseite bestimmt werden 😉
Vielen Dank, du eekärst so verständlich, danke danke❤❤❤❤❤
Bitte mehr Videos❤❤❤❤❤❤
ohne die Gaga Hummelhummel AG hätte ich nicht folgen können :D
Herzlihen Dank für diese Aufgabe 🙂🙏
Lösung ▶
gegeben sind:
α = β = 65°
A(ABC)= 11,5 cm²
Wenn man die Höhe einzeichnet, wird sofort deutlich, dass sie die Basis [AB] in zwei gleiche Teile teilt. Basierend auf den Grundsätzen der Trigonometrie lässt sich folgendes festhalten:
[BC]= [CA]= a
cos(65°)≈ 0,42262
⇒
0,42262= (AB/2)/[CA]
⇒
0,42262= [AB]/2[CA]
[CA]= a
⇒
[AB]= 2a*0,42262
[AB]= 0,8452 a
sin(65°)= h/[CA]
sin(65°)= 0,90631
⇒
0,90631= h/[CA]
[CA]= a
⇒
0,90631= h/a
h= 0,90631a
A(ABC)= [AB]*h/2
11,5= (0,8452a)*(0,90631a)/2
a²= 30,02559
a≈ 5,48 cm
[AB]= 0,8452 a
[AB]≈ 4,63 cm ist der gesuchter Wert ✅
h= 0,90631a
h= 0,90631*5,48
h≈ 4,97 cm
Das geht viel einfacher und schneller... Da es ein gleichschenkliges Dreieck ist, ist der Winkel bei C = 50° und wird durch zwei gleich lange Seiten (y) eingeschlossen. Dann gilt A = 1/2*y*y*sin(50°). Für y ergibt sich 5,48 LE. Den gleichen Schritt nochmals für einen der beiden 65° Winkel und schon hat man das Ergebnis von 4,63 LE.
Das war auch meine Lösung, die einfachste Lösung ist wahrscheinlich für jeden diejenige, auf die er zuerst 'kommt'.
Allerdings fürchte ich, daß die Meisten die von uns benutzte Flächenformel nicht kennen.
Lösung:
AB = g
Es ist also:
(1) g*h/2 = 11,5
(2) tan(65°) = h/(g/2) = 2h/g |*g/2 ⟹
(2a) h = tan(65°)*g/2 |in (1) ⟹
(1a) g*tan(65°)*g/4 = 11,5 |*4/tan(65°) ⟹
(1b) g² = 46/tan(65°) |√() ⟹
(1c) g = +√[46/tan(65°)] ≈ +4,6314 [Geometrie]
Mein Lösungsweg war identisch, aber natürlich habe ich vergessen auszuweisen, dass es nach dem Wurzel ziehen noch den bösen Bruder, die negative Länge, gegeben hätte.
Also ich habe 11,5 einfach in zwei aufgeteilt und kam sofort auf 4,6😊❤
Die Fläche beträgt 11,5 cm² und die Länge von AB beträgt cm. Es ist nicht möglich, sie in zwei Teile zu teilen. Außerdem würde das Ergebnis 5,75 cm² betragen und nicht 4,63 cm......
Immer diese nerdige Detailverliebtheit! Das "Ergebnis" kommt doch hin. Fast schon wie LLM.
@@Birol731Die lange der Bases ist dennoch ×=4,6
Ich tippe Wurzel 46/Tan65 in Taschenrechner ein und ergibt 0.07. Ich weiß nicht, warum komme ich nicht auf 4.6.😢 Kann jemand mir helfen? Vielen Dank
keine klammern
Die einzige Fehlerquelle, die es hier geben kann, ist, wenn statt Winkelgröße der Taschenrechner auf Winkelangaben in Pi-Anteilen eingestellt ist (Deg vs Rad in den Einstellungen). Da wird dann eine imaginäre Zahl angezeigt. Bei mir kommt auch ohne das Verwenden von Klammern die 4,63 raus. Deine 0,07 konnte ich als Ergebnis nicht nachstellen.
Wie auch Susanne geschrieben hat, muss man zuerst 46 durch den Tangens (65°) teilen und dann die Wurzel ziehen.
Und man sollte sich angewöhnen, statt geteilt lieber mit dem Bruchzeichen zu arbeiten im Taschenrechner, dann kann man sich bei meiner Version zumindest die Klammern beim Wurzelziehen sparen. Mit geteilt ohne KLammern wurde bei mir 3,16 ausgegeben, was noch immer nicht den 0,07 entspricht.
Die heutigen Taschenrechner sind ja schon halbe Computer. Auf dem Teil, das ich in meiner Schulzeit benutzt habe, hätte ich wie folgt getippt:
46, /, 65, tan, =, √
ist A nun der Flächeninhalt oder einer der Eckpunkte? tststs
Habe ich geschafft, aber mit marginal anderem Lösungsweg.
Warum leitest du dir einen Zusammenhang für h her und verwendest nicht 1/2 a*b*sin Alpha? Andererseits führt dieser Term natürlich zum Ziel
Wenn ich das Dreieck zu einem Viereck umwandle. also Fläche x2 und dann die Quadratwurzel ziehe komme ich auf 4,79. Wo ist der Denkfehler? :D
Das Viereck das du erhältst ist kein Quadrat, obwohl es vier gleicheSeiten hat, sondern ein Rhombus oder auch Raute genannt. Da kannst du nicht die Flächenformel für das Quadrat anwenden.
Susanne schafft es immer, alle nur erdenklichen Matheaufgaben zu lösen. Ich würde gerne mal erleben, wie Susanne live (also ohne Vorbereitung) eine komplexe Matheaufgabe berechnet. Bekommt sie das dann auch so super hin, oder kommt sie dann ins Wanken? 🤔
X = 2 A / WURZEL AUS A/ TAN 25° = 4 , 64 CM . ICH HABE VOR 70 JAHREN DIE VOLKSCHULE BESUCH SUSANCHEN ❤❤
8:05: Ups, ich habe x = 4,6 cm herausbekommen, nicht (nur) x = 4,6.
Mein alter Lehrer hätte bei der Lösung gefragt ob es denn 4,6 Eier oder Äpfel oder Birnen sind😂😉
Meiner: Zwetschkenknödel?
Funktioniert das auch mit Promille? Wie schnell muss ich nach 5 Bier fahren, damit ich bei einer Kontrolle 0 Promille habe?
@@ichsteffen7177 Und wieder ma fehlen die Einheiten! Liter? Fässer? Tropfen?
@@walter_kunz Standard-Behälter 0,5 Liter (Ausnahme Dänemark=1 Liter Faxe, Malle=10 Liter-Eimer)
Und am 3. Oktober reichen nur die Zahlenwerte, ist ja „Tag der Einheit“ (SI-Einheiten?)
Is des ein Lautern Pulli??? ❤🤍❤️
Mathematrick, ich habe eine Bitte. Könntest du einmal eine richtige Abschlussprüfung Schritt für Schritt durchgehen. Ein Wunsch von mir wäre zum beispiel eine Mathe Abschlussprüfung der Realschule Bayern 10. Klasse. Das wäre ein Idee 💡 . Bitte bitte bitte Oh und ich finde deine Videos haben mr super geholfen.
Da mir während meiner Schulzeit immer eingebläut wurde, die Einheiten mitzunehmen, fehlt mir das irgendwie hier. Denn durch die Einheiten sehe ich ja, ob ich auf dem richtigen Weg bin, meine ich. Ansonsten super erklärt!
1:16. Ich habe x gefunden. Es ist unten!
11,5 was? Äpfel, Birnen, Bananen?
Da werden Erinnerungen wach ❤
Du hast aber leider nicht die volle Punktzahl erreicht. Die Strecke ist durch Wert und Einheit definiert.
😂😂😂 genau das hätte mein Mathelehrer auch gesagt...
Richtig, weil nämlich die gegebene Fläche eine Maßeinheit hat.
Ein Mathelehrer würden fragen: 4,6? Äpfel oder Birnen???
ist doch logisch, dass Aepfel in diesem Fall als Masdeinheit nicht taugen😂@@Redux66
Abzüge in der B-Note: Keine Einheiten, diesmal nicht mal in der Lösung!!!!!
😢
Das zu berechnen ist schon komplex und ein breites mathematisches Wissen und Verständnis ist dazu notwendig.
Ich hätte mir den dritten Winkel erst einmal ausgerechnet.
180-130=50
50°, wegen der Winkelsumme. Und was hättest du dann damit gemacht?
4,6 Was? Äpfel? Birnen?
stellt euch mal vor, eure freundin liegt so abends neben euch im bett 🤣 ich finds ja süss........
Rote Teufel!!👹🥰
Oh, wie ich diese Trigonometrie hasse. *(-_-)"* Ich mag es nicht, mich auf Taschenrechner zu verlassen, weil manche falsche Regeln programmiert haben, wie ich selbst mal feststellen musste. Klar kann man sich tan(alpha) = Gegenkathete / Ankathete und die anderen zwei merken, aber das Lösen wird nur mit Taschenrechner beigebracht, weil die dazugehörigen Taylorreihen (auch die der Umkehrfunktionen, wenn alpha gesucht ist) die Hölle sind und bis unendlich gehen...
Poese Mathematikerin laesst mal wieder die Einheiten weg.