Quem ÃĐ o maior: 5âīÂģÂēÂđ ou 4âĩÂģÂēÂđ ? (5^4321 ou 4^5321)
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Nesse vÃdeo, vamos comparar duas potÊncias aparentemente inofensivas, mas que tÊm valores enormes: a batalha entre 5âīÂģÂēÂđ e 4âĩÂģÂēÂđ tem tudo para ser ÃĐpica! VocÊ saberia dizer qual dessas duas potÊncias apresenta o maior resultado? ðĪðļðĨ
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Eu tentei fazer antes de ver, mas esse pulo do gato de separar o 1000 em 321 + 679 nem de longe passou pela minha cabeça! à por isso que ÃĐ bom assistir o seu conteÚdo. Ajuda a gente a se manter afiado e a ver as coisas por uma perspectiva inesperada! Abraço e obrigado pela aula.
Pse eu tbm
Eu usei de algumas propriedades.
1)Para quaisquer 3 nÚmeros positivos a, b e c com a>b, a/b >(a+c)/(b+c).
2) Para 2 nÚmeros quaisquer x e y maiores que 1 com x>y e um nÚmero z positivo x^z>y^z.
Mais as propriedades mais conhecidas da exponenciaçÃĢo.
Assim 4^(5321/4321) > 4^(6000/5000)=4^6/5 =(4^6)^â =4096^â >
(3125)^â =(5âĩ)^â =5
EntÃĢo por associaçÃĢo 4^(5321/4321)> 5
E tem como consequÊncia 4^5321>5^4321.
à impressionante a sutileza do pensamento matemÃĄtico durante o desenvolvimento da questÃĢo. NÃĢo dÃĄ para ser simplesmente intuitivo.
DemonstraçÃĢo ELEGANTE, simples, direta, precisa. NÃĢo ÃĐ aula de MatemÃĄtica. à um SHOW!
ReÚno aqui os verdadeiros fÃĢs do Estude MatemÃĄtica, os que estÃĢo vendo o vÃdeo de noite e de madrugada ðŠ
Fino demais cavalheiro ð·ðŋ
Fino ðŋð·
Um sujeito fino e elegante ð·ðŋ
Eu vendo o vÃdeo as 3 da manhÃĢ kk
E amanhÃĢ ou melhor HOJE terei OBMEP
Gustavo, parabÃĐns por sua didÃĄtica. VocÊ consegue com leveza "desconstruir" os "monstros" da MatemÃĄtica.
Concluà meu ensino mÃĐdio hÃĄ mais de 30 anos e enveredei pelas CiÊncias MÃĐdicas e pelas CiÊncias Humanas, mas nunca esqueci da MatemÃĄtica.
Obrigado por sua excelÊncia no ensino. Traga-nos sempre questÃĩes interessantes.
Abraço fraterno.
Como sÃģ descobri esse canal agora???? Apaixonada por matemÃĄtica hÃĄ mais de 50 anos, estou a cada vÃdeo reavivando minha paixÃĢo e vendo quanta coisa eu esqueci, quanta eu ainda sei e quanta eu nunca soube rsrs! Obrigada!!! âšïļ
Muito obrigado, Tania! E obrigado tambÃĐm por vocÊ ter escolhido se tornar membro do canal! ð
SÃģ de bater o olho eu jÃĄ vi que o 4 elevado ao expoente 5000 e pouco era muito maior. A base nÃĢo faz tanta diferença quanto a potÊncia. Chuto atÃĐ que se o outro nÚmero fosse 10, elevado ao mesmo valor, ainda nÃĢo seria maior que esse ( o maior do vÃdeo)
Sim, pode ser atÃĐ intuitivo, mas o objetivo da questÃĢo era demonstrar, e mesmo demonstraçÃĩes simples podem ser difÃceis de fazer.
@@walmirneto3728bom dia irmÃĢo. Eu sei, se pareceu que eu quis contestar isso , entÃĢo me expressei mal. SÃģ quis comentar mesmo, nÃĢo quis tirar de modo algum o crÃĐdito da demonstraçÃĢo, que afinal de contas ÃĐ o que vai provar mesmo. A paz do Senhor Jesus Cristo esteja com vocÊ irmÃĢo.
O problema, que em concurso, normalmente, eles deixam uma diferença razoavelmente pequena, que ao deduzirmos, somos induzidos ao erro com facilidade!
Se fosse comparaçÃĢo entre 99Âđ°° e 100 elevado a 99, vocÊ ainda arriscaria o palpite considerando a base?
@@manuelmachado687 sim. Eu arriscaria. 99 pra 100 sÃĢo quase o mesmo nÚmero, mas do expoente 99 pro expoente 100 a diferença ÃĐ esmagadora
Ele usou as propriedades das potÊncias de forma magnÃfica. Me faz lembrar os tempos de curso preparatÃģrio para a prova de sargento da aeronÃĄutica no começo dos anos 2000 quando tinha 17 a 18 anos. Lembro tambÃĐm que eram 120 questÃĩes sendo 30 de matemÃĄtica, portuguÊs, fÃsica e quÃmica em 4 horas.
Espetacular aula de matemÃĄtica..... verdadeiro show.....
CÃĄlculo muito top e inteligente! Um dos melhores professores de matemÃĄtica da atualidade! ParabÃĐns!
Cara, eu nem consigo fazer a maioria das questÃĩes que o prof Gustavo Reis propÃĩe, mas gosto demais de assistir esse canal, quando estava doente com dengue braba e fiquei umas 2 semanas sÃģ na cama, maratonei esse canal, muito bom mesmo, nunca achei que seria meu entretenimento. AliÃĄs, vendo esses vÃdeos de potÊncia inclusive me levaram a acertar questÃĩes nas minhas provas kkkkk
Ãtimo vÃdeo e uma das melhores didÃĄtica que vi no TH-cam!!!ððððððððððð. Te acompanho hÃĄ dias, Professor!!!ð
Embora eu nÃĢo sendo estudante, gosto de aprender matemÃĄtica. A matemÃĄtica faz vocÊ pensar e sua aula ÃĐ um show!
Ãtimo exercÃcio, Professor. Consegui atÃĐ antecipar alguns movimentos. MatemÃĄtica ÃĐ legal demais!
ParabÃĐns pelo conteÚdo ð muito didÃĄtico.
Divida os expoentes por 1000 4^5,321 5^4,321 4^5 = 1024 5^4 = 625 4^5321 > 5 ^ 4321 em prova tempo ÃĐ fundamental
Curto demais suas aulas... ParabÃĐns
Muito obrigado, e seja bem-vindo à nossa confraria de membros do canal! ð
Eu vi na antiga RPM - Revista do Professor de MatemÃĄtica, um estudo bem legal da comparaçÃĢo de "a elevado a b" com "b elevado a a", e a regra apresentada. Para concursos, ajudaria bastante. Sem a dica, daria trabalho saber se 7,1 elevado a 7,2 ÃĐ maior ou menor que 7,2 elevado a 7,1 (e olhe que a diferença excede 124 mil unidades).
Eu teria parado na quarta reescrita e simplesmente concluÃdo que (625 X 5) ÃĐ menor que (1024 X 4). NÃĢo sei se meu raciocÃnio estÃĄ correto, mas teria acertado. ððð
ImbatÃvel em raciocÃnio claro e direto. AdmirÃĄvel precisÃĢo de linguagem. Um professor nota dez.
AlguÃĐm sabe como fazer a divisÃĢo de 2650 por 132 na mÃĢo? Como funciona a regra de acrescentar os zeros na divisÃĢo?
Muito bom !!! Quando chego em casa ao invÃĐs de perder tempo com a programaçÃĢo da TV , acompanho estas aulas fantÃĄstica
Espectacular. Me gustÃģ mucho. Excelente demostraciÃģn
QuestÃĢo interessante e uma aula genial e muito agradÃĄvel de assistir.
Excelente explicaçÃĢo Professor! ParabÃĐns !ð
Boa..... pode reescrever 321 como 300+21
Boa professor. Excelente artifÃcio utilizado para resolver a questÃĢo. Isso requer muita experiÊncia e visÃĢo para "enxergar" o caminho certo. ParabÃĐns
Aprende-se em logaritmos decimais - e isso somos obrigados a decorar - que: -> log 2=0,301;
-> log 5=0,699.
EntÃĢo:
-> log 5âīÂģÂēÂđ = 4321.0,699 = 3020,379;
-> log 4 = 2log2 = 0,602 -> log 4âĩÂģÂēÂđ = 5321.0,602 = 3023,242.
Sabemos que se log a > log b, entÃĢo a > b.
-> 3023 > 3020.
ConclusÃĢo:
-> 4âĩÂģÂēÂđ > 5âīÂģÂēÂđ.
Neste caso, apenas era necessÃĄrio o log 2, jÃĄ que log 5 = log 10/2 = log10 - log 2 = 1 - log 2...
Sensacional, parabÃĐns pela eloquÊncia e transparÊncia em suas explicaçÃĩes!!
Como ÃĐ importante conhecermos as propriedades das operaçÃĩes, muiito mais muiito rico !! Show
fiz mentalmente em poucos segundos e tambÃĐm cheguei atÃĐ o ponto das potÊncias de 1000 e 321, entÃĢo dividi um pelo outro:
(1024/625)^1000 x (4/5)^321
1,7^1000 x 0,8^321 (coloco 1,7 visto que com esses expoentes o valor exato nÃĢo ÃĐ relevante)
1,7^1000 / 1,25^321
(1,7/1,25)^321 x 1,7^679
os dois termos sÃĢo maiores que 1, portanto, 4^5321 ÃĐ o maior dos dois
Muito show. ParabÃĐns, professor.
Amei a soluçÃĢo. Muito fera!
Isso nÃĢo ÃĐ uma Aula, isso ÃĐ um Show
Muito bom! ParabÃĐns pela explicaçÃĢo!
O interessante ÃĐ perceber tambÃĐm que como existem algumas potÊncias iguais. E se fazer a seguinte pergunta ? âSe a divisÃĢo for mais do que 1, entÃĢo, o nÚmero ÃĐ maior â.
Essa foi inacreditÃĄvel
Excelente explicaçÃĢo. Professor Gustavo, teria outra forma de demonstrar que a potÊncia do lado direito ÃĐ maior, uma forma mais rÃĄpida?
âĒ Usar logaritmos naturais ou de base 10 para comparar diretamente os expoentes transformados.
âĒ Comparar a razÃĢo e verificar a potÊncia resultante para determinar a relaçÃĢo entre os nÚmeros.
AmanhÃĢ tenho q acordar 5:20h da manhÃĢ, mas nÃĢo deixo de assistir este incrÃvel vÃdeo! Ãtimo trabalho mestre!
Na etapa do cÃĄlculo em que a expressÃĢo era 625Âđâ°â°â°.5ÂģÂēÂđ e 1024Âđâ°â°â°.4ÂģÂēÂđ, eu jÃĄ imaginei que o lado direito seria maior, uma vez que os expoentes estavam iguais para amabas as bases aos lados direito e esquerdo. Assim, poderÃamos cortar os expoentes e comparar os produtos. Claro, o resultado, cortando os expoentes, seria ligeiramente menor, mas, em termos de comparaçÃĢo de valor, jÃĄ seria notÃĄvel que o lado direito era maior.
7:16
Quando eu vi a questÃĢo no TH-cam pensei depois de analisar por alguns minutos.
Posso elevar 5^ 4000Ã 5^321 e do outro lado 4^5000 Ã 4^321. JÃĄ sabemos que 5^ 321> 4^321.
Depois fica ( 5^ 4)^1000 e ( 4^5)1000 e depois
(625) ^1000 < (1024)^1000.
Agora acrescentar o 5^ 321 > 4^321. Como ÃĐ o mesmo valor no expoente e sÃģ queremos comparar. Podemos dispor (4^3)^100 e ( 5^3)^100 ___> (5^3) >(4^3) _ (4^5)^1000 Ã 4^3 e (5^4)^1000 Ã (5^3). Poderiamos tirar raiz de 1000 de ambos os lados sÃģ dos expoentes 1000 . E a partir desse ponto perdi o interesse.
Entendo numa prova de concurso ou ENEM nao dispomos de 14 minutos para resolver uma questÃĢo. As vezes se faz necessÃĄrio usar a intuiçÃĢo.
Mas a intuiçÃĢo muitas vezes falha. Portanto precisamos arrumar uma forma cientÃfica para acertarmos a questÃĢo em 3 minutos no mÃĄximo.
Eu quando estudei LOGARITMOS fiz força de decorar os LOGARITMOS de 2 .. ...3 . .. e 7.
Pelo menos umas 2 ou 3 casas decimais.
Sendo assim log2 = 0.30 e log5 = log10-log2 = 1-0.30= 0.7
Log4= 2xlog2= 0.6
Dai sÃģ temos que multiplicar e veremos que a base 4 do problema ÃĐ maior que a base 5.
Esta decoreba dos LOGARITMOS destes 3 nÚmeros ja me ajudou bastante em varias resoluçÃĩes de problemas que nao exigem exatidÃĢo mas ÃĐ necessÃĄria uma resposta confiÃĄvel e certeira sem chutes.
Uma experiÊncia hoje:
Eu fui na escola e descobri de ultima hora que tinha OBMEP... A escola nÃĢo mencionou e nÃĢo avisou nada, resumo:acertei sÃģ 8, sendo que todas que eu tentei(o resto eu chutei), que foram ao total 14, eu usei o maximo de matemÃĄtica que eu tinha e uma logica medÃocre... Mas nÃĢo estou frustrado com a escola ou com a prova, mas sim comigo, que so acertei 8 questÃĢo(acertei 9, mas 1 foi no chute, entÃĢo nÃĢo vale)... Percebi que o melhor a fazer ÃĐ escolher:desistir mais uma evz em algo que nÃĢo me acho suficiente, ou me tornar um mestre naquilo.
Diferente de futebol, matemÃĄtica ÃĐ um amor na minha vida e obrigado professor, por mostrar que matemÃĄtica ÃĐ tÃĢo maravilhosa
O certo ÃĐ "Qual ÃĐ o maior"
Quem: Usado para perguntar sobre pessoas ou seres animados.
Exemplo: "Quem ÃĐ vocÊ?" ou "Quem ganhou o jogo?"
Qual: Usado para perguntar sobre uma escolha entre opçÃĩes ou identificar algo em particular.
Exemplo: "Qual ÃĐ o seu nome?" ou "Qual desses livros vocÊ prefere?"
Tenho a tendÊncia de preferir soluçÃĩes mais computacionais, com menos truques. Primeiramente, eu multiplicaria os dois lados da desigualdade por 2^4321. Como esse nÚmero ÃĐ positivo, ele nÃĢo altera o sentido da expressÃĢo. De um lado, temos 10^2431, e do outro, 4^5321 * 2^4321 = 2^(2*5321 + 4321) = 2^14963. Eu sei de memÃģria que log10(2) = 0,30103, entÃĢo temos que 2^14963 = 10^(0,30103*14963) = 10^4504. Portanto, o termo da direita ÃĐ maior que o da esquerda.
Que vÃdeo maravilhoso, tinha um palpite certo, mas no primeiro "justifique sua resposta", seriam sÃģ medos e traumas kskskssksk
Preclaro mestre, uma dÚvida deste modesto discente. "Colando" um log em cada lado da expressÃĢo e sabendo-se que o log2 ÃĐ 0,30103 e o log4 060206 (2xlog2)nÃĢo resolveria tambÃĐm, admitindo-se que o log5=log10-log2 e claro, depois, de "descer" os dois expoentes para o lado de cada log? Agradeço sua atençÃĢo e as Ãģtimas resoluçÃĩes. ParabÃĐns!
Espetacular vÃdeo. Por mais conteÚdos como esse...
Isso ÃĐ, alÃĐm de matemÃĄtica, arte!!!
Show, Prof.
Que isso, fera!! ðð
ParabÃĐns. Muito bem explicado.
Show de bola. Excelente aula.
NÃĢo foi uma aula, foi um show ððūððūððū
A matemÃĄtica ÃĐ incrÃvel... ððð
Imagina se no final ele falasse que as duas sÃĢo iguais ðĪŊðĪŊ maior plot twist da histÃģria
Ahhh como eu adoro esses vÃdeos.
Professor
Em 1 minuto resolvi isso em um programa de python que eu fiz
E fica claro que a tecnologia venceu de novo
Eu acerteið. Simplesmente pensei que o 4 ser multiplicado 1000 vezes daria maior. Mas que vÃdeo legal kkkkkkk
Com esse vÃdeo maravilhoso eu concluo que: matemÃĄtica = arte
ParabÃĐns pela didÃĄtÃca
Muito obrigado! ð
rapaz nem terminei a primeira cerveja ÃĐ jÃĄ estava tonto kkkk, deduzi que o a da direita era maior pq teria que multiplicar o 4 1000 vezes a mais que o 5!
George Orwell estava mais do que certo: Existem uns bichos mais iguais do que os outros. Esse professor sempre arraza!
PRECISO e DIDÃTICO !
Eu teria subtraÃdo os 321 de cada expoente e dividido o depoente por 1000, ficando 5e4 e 4e5 o que ÃĐ viÃĄvel de calcular o e resultado seria o mesmo, pois nÃĢo se pergunta o valor final e sim quem ÃĐ o maior
PoderÃamos intuitivamente pensar que 1000 fatores 4 a mais pesaria muito pra o lado da 2a opçÃĢo.
Professor, tentei ver quem ÃĐ o maior entre 8^90 e 9^80 e tive dificuldades em resolver. O senhor poderia me ajudar a encontrar a resposta? Grato.
sendo 8 igual a 2 ao cubo e 9 3 ao quadrado, podemos modificar essas bases obtendo, pelas regras de potÊncia:
2^270 e 3^160
podemos tambÃĐm calcular a raiz dÃĐcimas dos dois lados para simplificaçÃĢo:
2^27 e 3^16
sendo que 2^9 = 512 e 3^6 = 729, 3^6/2^8 ÃĐ aproximadamente 1,42, prÃģximo de raiz de 2, portanto, elevando o quociente ao quadrado,
3^12/2^18 ~= 2, entÃĢo, 3^12/2^19 ~= 1
dividindo os termos por esses expoentes, poderÃamos comparar
2^(27-19) = 2^8 e 3^(16-12) = 3^4
2^8 = 256 > 3^4=81
portanto concluiria que 8^90 ÃĐ maior
nÃĢo a maneira mais elegante do mundo, alguns diriam, mas numa prova de concurso resolveria dessa forma
à muito legal o processo mas intuitivamente o 4 na 5000 e poucas tem que ser maior pq tu tem 1000 unidades a mais no expoente e mano, crescimento exponencial ÃĐ muito rÃĄpido
Muito didÃĄtico!
eu acertei a resposta 2 vezes, a 1 na proposiçÃĢo pq o expoente do 4 ÃĐ 1000 unidades maior que o do 5 logo ele vai dar um resultado maior e depois no 625^1000 e 1024^1000, 1024 ÃĐ muito maior q 625 logo o termo dele vai ser maior por natureza
matemÃĄtica ÃĐ um bagulho muito louco.
à um show de aula!
Show!
Obrigado!
O 4 com expoente ÃĐ Maior ðĪððŧð
SÃģ pÃīr na calculadora...mas no olho sÃģ expoente da base 4 sendo mil nÚmeros maior, suspeito que a potÊncia de base 4 ÃĐ maior. Mas isso ÃĐ palpite
Vdd sÃģ tem o risco de ser pego colando kk
JÊnio, usar a calculadora... Pq ninguÃĐm pensou isso antes?!
se caso eliminar a centena e ficar 5^4 e 4^5, logo da pra saber q nesse caso a opçÃĢo 4^5321 ÃĐ maior. oq acha?
Elegante, como se diz frequentemente aqui.
Valeu professor!
Gostei muito da resoluçÃĢo
A "regra" ÃĐ: o de maior expoente sempre ganha. HÃĄ exceçÃĩes, mas na maioria desses problemas essa ÃĐ a verdade.
Muito Top.!
.....Bravo novamente ðŪðŪðŪððððððð
E se usar logaritmos para fazer a comparaçÃĢo?
log 5âīÂģÂēÂđ vs. log 4âĩÂģÂēÂđ
4321â log 5 vs. 5321 â log 4
â 4321 Ã 0,7 vs. 5321 Ã 0,6
â 3024,7 vs. 3192
Funciona, tambÃĐm. HÃĄ outras maneiras que podem comparar.
Funciona, mas aà vocÊ estaria usando uma tabela ou uma calculadora para determinar os logaritmos de 4 e de 5. Melhor usar as relaçÃĩes
log(8)=3log(2) e log(4)=2log(2) e fazer uma interpolaçÃĢo linear ente log(4) e log(8) para encontrar uma aproximaçÃĢo para log(5):
log(5) ~ (log(2))/4 + 2log(2)
ou
log(5) ~ 9/4 log(2) (nÃĢo importa a base)
O valor aproximado serÃĄ ligeiramente menor que o exato, mas apenas uns 3% menor.
Fica fÃĄcil de ver que
5321 log(2) x 2 > 4321 log(2) x 9/4
[ 10642 log(2) > 9722.25 log(2) ]
e que, portanto,
4âĩÂģÂēÂđ > 5âīÂģÂēÂđ
ParabÃĐns professor âĪ
Resumo: Quanto maior a potÊncia, maior o valor, independentemente da base.
Resolvo esse problema usando logaritmos na base 10.
Existe um mÃĐtodo para resolver genericamente a^b e c^d?
Perfeito desenvolvimento
Mago da matemÃĄtica
Nossa, soluçÃĢo bem diferente no vÃdeo. Interessante.
Excelente!!!!!
MAGNIFICO!!!!
QuestÃĢo linda.
Muito bom.
EU quem sempre agradece Prof.
eu tinha descartado a centena , e fiz 4^5 e 5^4, e depois conparei, n sei se estaria certo essa abordagem
4^6 continua sendo maior que 5^5
portanto para qualquer expoente do 4 (x+5), e para o 5 de (x+4)
sendo 0 < x < 1
a parte do 4 serÃĄ maior, como neste caso, se considerarmos x = 0,321
Brilhante
ParabÃĐn's saudaçÃĩes