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- เผยแพร่เมื่อ 26 มิ.ย. 2024
- Mais qu'est-ce qu'une algèbre de Hopf ? Et quel rapport avec la physique quantique ? Découvrons cela ensemble dans ce quatrième MQD niveau Master sur les groupes quantiques. Plus précisément :
0:00 I- Symétries en Mécanique Quantique
- - - - Généralités
2:48 Mécanique Quantique
6:25 Espace de Fock
8:26 II- Structures algébriques
- - - - Comultiplication
10:04 Algèbre de groupe
12:12 Coassociativité
15:02 Antipode
17:11 III- Algèbre de Hopf
- - - - - Définitions
20:00 Exemple de groupe quantique
22:45 Ouverture + recherche actuelle
Sources / pour aller plus loin :
- Partie 5 du livre de Balachandran-Jo-Marmo "Group Theory and Hopf Algebras", World Scientific, 2010
- le livre de Chari-Pressley "A guide to Quantum Groups", Cambridge University Press, 1994
- le livre de C. Kassel "Quantum Groups", Springer, 1995
- la parenthèse philosophique est inspirée d'une interview de Werner Heisenberg (1968)
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L'image dans la miniature provient de Jurik Peter via Shutterstock, les autres images viennent de Wikimedia Commons ou ont été conçues spécialement pour l'épisode.
Superbe vidéo, j’espère qu’il y aura une suite sur ces sujets!
Vidéo super intéressante. Quelle aisance dans la présentation de ce sujet assez complexe! Je vais reprendre ces explications de manière plus posée. Bravo en tout cas pour cette présentation.
J’adore, j’y comprends rien mais j’adore 😂 Votre voix est captivante!
Salut, elle est incroyable cette vidéo ! Bon je parle du point du vue d'un élève en master qui veut faire de la recherche en géométrie non commutative, donc je suis peut-être biaisé 😂
En tout cas je trouve ça formidable de pouvoir prendre un format proche de la vulgarisation, et l'utiliser y compris à destination d'un public très avancé. Ça manque dans le monde de la recherche.
Merci pour le commentaire ! C'est justement ce que j'essaie de faire dans les vidéos 3 tomates : "vulgariser" des concepts de recherche. Je recommande vivement la chaîne Scientia Egregia, qui fait des vidéos plus longues dans le même esprit. - Alex
@@Thomaths Oui je connais très bien Scientia Egregia !
Bonjour, je suis actuellement en m2 avec preference/penchant vers algèbre. La video donne beaucoup de sens à des cours vu l'année dernière en représentation ou encore sur l'algèbre tensorielle, cest vraiment un plaisir.
Je viens de decouvrir les idées de commultiplication et coassociativité, la dessus ca permet de jeter un coup doeil sur ce qui se passera ptet dans la suite de mes études, cest jolie, merci énormément!
Magnifique !!!! c'est clair, structuré, et raconté avec une belle énergie. Du coup ça donne très envie d'aller voir en détail comment soi même on va s'approprier un raisonnement de la sorte dit avec une telle aisance. Parce que dans un premier temps on se sent un peu maladroit dans cette superbe construction. Mille fois merci de nous donner cette envie.
@20.00 "un groupe quantique, c'est juste une algèbre de Hopf, mais pas trop facile" : mais c'est au moins 4 ou 5 tomates !
J'avoue que la vidéo est bien au-delà de mes capacités....
En tout cas bravo, on sent un réel effort de clarification et de présentation progressive des concepts 👍👏
12:08 maintenant j'en suis à essayer de comprendre pourquoi une application bilinéaire de V*V dans V devient une application linéaire de (V tenseur V) dans V. Merci pour toutes ces vidéos, je suis en train de dévorer le contenu de la chaîne !
C'est une des propriétés les plus importantes du produit tensoriel (on l'appelle une propriété universelle) : chaque forme bilinéaire sur le produit direct B: V x W -> K (où K est le corps de base) s'étend en une application linéaire beta: (V tensor W) -> K. Pour un tensor simple, qui est de la forme v tensor w (avec v dans V et w dans W), beta est donné par beta(v tensor w) = B(v,w). Vous pouvez vérifier que la linéarité de beta est équivalente à la bilinéarité de B.
@@Thomaths D'accord, merci beaucoup encore une fois, c'est impressionnant ! Je viens de le réaliser mais en fait on peut remarquer ça directement avec le fait que le produit tensoriel est lui-même bilinéaire (donc n-linéaire dans le cas général d'un produit avec n tenseurs), même s'il n'est pas du tout une *forme* bilinéaire. Quelque part en décomposant l'application B(v,w) en (v,w) ı-> v tenseur w composé avec β : (v tenseur w) ı-> B(v,w), on sépare le caractère "bilinéaire" du caractère "forme (à valeur dans K)", on fait un détour mais on rend chaque étape plus "élémentaire" en un sens. Une autre façon de le voir c'est qu'une forme bilinéaire appliquée au couple de vecteurs (v,w) est linéaire par rapport à chaque produit vi*wj d'un couple de coordonnées (vi,wj) des vecteurs, et une collection de tous ces produits deux à deux c'est précisément les coordonnées de (v tenseur w), donc l'extension de B(w,v) en β(T) en devient presque trivial.
La vidéo est très complexe je pense être à une année lumière de ce niveau… mais très intéressante bravo
C'est fantastique, j'adore cette série !
J'aimerais par contre bien comprendre pourquoi "deux particules au lieu d'une" c'est un produit tensoriel… et pas un simple couple de vecteurs : intuitivement si un vecteur décrit la première, l'autre décrit la seconde, je me doute que la raison est profonde mais je n'arrive pas à en comprendre le sens intuitivement, Merci beaucoup d'avance !
Edit : j'ai vu dans la dernière vidéo que la justification passait par le principe de superposition, mais je ne vois cependant toujours pas clairement la raison qui fait apparaitre le produit du nombre de degrés de libertés, plutôt que la somme, comme nombre de degrés de liberté de l'union de deux systèmes.
Merci !
C'est en effet moins facile que je ne pensais au début. Dans des systèmes classiques, les degrés de libertés s'additionnent, mais dans des systèmes quantiques ils se multiplient.
La raison est la suivante : d'après le principe de superposition, si deux états peuvent apparaître alors toute combinaison linéaire (non nulle) doit exister également comme état.
Considérons deux systèmes, et pour chacun un état est représenté par un vecteur non-nul dans un espace vectoriel, disons V pour le premier et W pour le second. Si on prenait la somme directe V+W, alors il y a des combinaisons linéaires nulles qui ne devraient pas l'être : par exemple (v_1+w_1)+(v_2-w_1)+(-v_1+w_2)-(v_2+w_2) = 0.
Dans un produit tensoriel, une base est donné par les "couples" (e_i, f_j) mais il n'y a aucune relation entre ces couples (elles forment une base). Dans la somme directe, ces couples sont linéairement dépendants.
@@Thomaths Aaaah, je crois que j'ai compris l'idée, merci beaucoup !
Sinon , Présentation très claire , merci 👍🏽🙏🏼
On est sur 🍅🍅🍅🍅 là 😅
Mais pourquoi pas, il en faut pour tout le monde 🙂
Une bonne partie est au niveau Master, mais j'ai essayé de rendre le début assez accessible (2 tomates?). - Alex
@@Thomathsniveau master? J’ai des doutes…
Étant en master, je confirme que c'était pas trivial mais j'ai pu suivre tout du long :)
tres interessant, mais il faudra quand meme que je revisionne
Petite question quelles études a tu entreprises ? Sinon super vidéo vraiment
Bonjour, j'ai fait des études de mathématiques. A côté, j'ai suivi des cours de physique.
La définition de l Espace de Hilbert est donc trinitaire : géométrique, vectorielle et algébrique , mais s il apparaît assez clair que la géométrie peut représenter l intrication et l opération scalaire , la probabilité , il n est pas si clair de voir dans l espace algébrique complexe les interactions particulaires , peut être que la définition de cet espace est incomplète
Je découvre votre chaine.
Exposé très didactique, et très clair.
Cette histoire de co-produit, je me suis toujours demandée comment on obtenait l'unicité de l'image, et si elle a lieu d'être ....
je pense avoir eu un début de réponse.
On fait un choix possible, et on s'y tient pour la définition de Delta.
J'ai bon ?
Bonjour,
Je ne suis pas sûr de bien comprendre la question. Un coproduit Delta sur un espace vectoriel M est une application de M vers le produit tensoriel de M avec lui-même (avec certaines propriétés). En particulier pour un élément m de M, Delta(m) a une seule valeur, une certaine combinaison linéaire de paires d'éléments de M.
Je suis d'accord que la notion de coproduit est beaucoup moins intuitive que celle du produit. - Alex
@@Thomaths
je prends un exemple.
Soit R, ensemble des nombres réels
Delta(6) peut être égal à (2, 3), (3, 2), (1.5, 4), (1.2, 5), (1.4, 4.2857143) ...
Donc, pour définir Delta en 6, je suppose qu'on va choisir une de ces valeurs, et s'y tenir .... d'où la bonne définition de Delta comme application ....
Pas évident à suivre en ayant fait prépa + école d'ingé, mais bon j'ai cliqué sur 3 tomates, j'assume ^^
Les diagrammes de Kuperberg ont piqué ma curiosité, est-ce que tu sais s'il y a un lien (même juste une inspiration) avec les diagrammes de Feynman ? J'en suis pas expert non plus mais ça m'y fait furieusement penser...
Oui il y a un lien vague : les deux types de diagrammes (Feynman et Kuperberg) sont inspirés par la création et l'annihilation de particules. Quand deux particules s'entrechoquent et fusionnent en une seule particule, cela correspond à la multiplication. Si au contraire une particule se désintègre en deux autres, c'est la comultiplication. Ces interactions sont décrites par des graphes trivalents (avec trois arêtes autour de chaque sommet) et avec arêtes orientés. - Alex
C'est vraiment très intéressant merci beaucoup, mais le choix de ce nombre q a pour déformer un groupe vers un autr pour le rendre quantique, qu'elle est l'effet de cette déformation sur la structure mathématique de la physique? C-à-d comment dire tout ça physiquement au sens de la matière(fermions) et énergie (bosons)?
Merci encore une fois.
Merci pour le commentaire ! C'est une excellente question à laquelle je ne connais pas la réponse. Pour refomuler : Comment une symétrie déformée peut être réinterprétée physiquement ?
Une piste de réflexion : pour combiner relativité générale et physique quantique, beaucoup de physiciens espèrent utiliser un principe de symétrie pour l'unification. Or, le théorème de Coleman-Mandula stipule qu'il n'y a pas de symétrie sous forme d'un groupe qui unifie les deux (autre que juste prendre le produit direct des symétries). Après ce théorème, deux échappatoires ont été trouvés : la supersymétrie (qui combiné à la théorie des cordes a mené vers un bon candidat d'une théorie unificatrice) et les groupes quantiques (qui sont justement pas des groupes). Construire une théorie unificatrice basé sur ce concept reste à faire ! - Alex
Finalement on parcours de nombreux cheminement logiques mais avec certains acquis conceptuel qui en toute rigueur ne le sont pas et donc de faille rationnelle en faille rationnelle on arrive à un concept global avec défaut de cohérence
Question : mais pourquoi 1 agit il « trivialement » ?
Ok donc ça veut dire que si on construit un peu arbitrairement un espace de Hilbert donné possédant des symétries, alors on a les recettes de cuisine pour construire les symétries du groupe de Fock associé, et pour déterminer les représentations irréductibles de cet objet capturant ces symétries (le groupe quantique). Et donc in fine on peut dresser l'inventaire des particules élémentaires (représentations irréductibles) peuplant la théorie associée à cet espace de Hilbert initial. Intéressant comme procédure car on peut produire des théories physiques à la pelle avec :-D !
Est-elle utilisée pour explorer plein d'espaces de Hilbert arbitraires (avec l'informatique en mode brute force) afin de comparer le contenu en particules élémentaires qu'ils génèrent avec les particules que mère nature à décider de faire exister ? Y-a-t-il des recettes de cuisine pour construire des espaces de Hilbert non triviaux ? Est-ce qu'on sait construire des espaces de Hilbert avec le moins possible de symétrie (pour voir s'il y a des symétries qui "résistent" plus que d'autres voire qui sont insupprimables) ?
Très intéressant merci pour cette vulgarisation qui donne envie de creuser !
Merci pour votre réaction ! Classifier des espaces de Hilbert est étonnamment simple : il y a un pour chaque dimension finie, puis un en dimension infinie. Càd dans l'espace de Hilbert lui-même, il n'y a pas beaucoup d'informations. Par contre, étant donné un groupe, par exemple le groupe de Poincaré qui décrit les symétries en relativité restreinte, classifier ses représentations irréducitbles est une tâche non-triviale. Dans cet exemple, les représentations sont classifiées par un réel positif m (qu'on interprète comme la masse) et un demi-entier s (qu'on interprète comme un spin). - Alex
@@Thomathsmerci ! Ça éclaire ma lanterne car je pensais à tord que le contenu interessant était dans l’espace de Hilbert alors qu’il a l’air plutôt dans le groupe de symétrie (et il faut que je me documente sur la théorie des représentations). Si vous avez des conseils de lecture (notamment la détermination des représentations irréductibles du groupe de Poincaré) je suis preneur🙏. Merci encore pour votre travail et pour le temps passé à répondre.
@@fabienleguen Une bonne référence pour la théorie des groupes en Physique est le livre de Steinberg "Group Theory and Physics". Dans le chapitre 3.8 et 3.9, il explique les représentations du groupe de Poincaré.
Une source en ligne est le cours de Peter Woit : citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.437.7725&rep=rep1&type=pdf
Un point qui m'échappe : si l'espace de Hilbert capture déjà les notions physiques de probabilité, d'interférences et de superposition, pourquoi est-ce fondamental (physiquement) que l'algèbre de Hopf soit non commutative et non cocommutative pour qu'elle soit qualifiée de groupe quantique ? J'ai en tête le principe d'indétermination d'Heisenberg et le lien avec la non commutativité des opérateurs liés à la mesure des grandeurs physiques associées mais ce comportement est déjà généré quand la théorie est basée sur un simple espace de Hilbert comme en mécanique quantique non relativiste non ?
C'est une bonne question. Ce qui est le plus utilisé comme symétrie en physique quantique, cela reste l'algèbre du group C[G], une algèbre de Hopf cocommutative (donc pas ce que les mathématiciens appellent un groupe quantique). Souvent les matheux appellent quelque chose "quantique" quand c'est une déformation non-triviale. - Alex
Merci ! Donc si je reformule pour être sûr d’avoir bien compris c’est quantique au sens des mathématiques et pas au sens de la physique (comprendre objet mathématique rencontré en physique quantique dans le modèle standard actuel).
@@fabienleguen Oui en effet. Les groupes quantiques sont utilisés en physique (géométrie non-commutative, systèmes intégrables quantiques, ...), mais pas dans le modèle standard à ma connaissance.
A propos des particules élémentaires indivisibles, si on considère que par ex l'électron est élémentaire donc indivisible et donc il n'a pas d'extension spatiale, on dit qu'il est ponctuel, discret , mais l'espace temps est lui infiniment divisible ou continue mais alors quel est la notion de particule discrète ponctuelle ou du point dans un espace continu, en réalité peut on considérer vraiment un point dans un espace continu, je ne vois pas très bien ce que physiquement ça donne, et je ne parle pas du moment cinétique d'une particule ponctuelle ça n'a strictement aucun sens et de même comment une particule ponctuelle peut elle avoir une masse? sa densité est infine? il y a un manque de définition et que dire si en plus on le caractérise par une fonction d'onde continue d'un espace continue de Hilbert donc infiniment divisible...on aurait un objet indivisible ponctuel décrit par un autre objet qui lui serait continu... vous voyez le mélange, c'est le cas du photon bref de tous ces objets physiques qui sont représentés par 2 objets mathématiques aux propriétés différentes, à la fois ondes continues et particules discontinues, on voit que là il y a un sérieux PB de cohérence mathématique en physique à la base .
Bonjour,
Le point de la "parenthèse philosophique" était que les particules élémentaires sont divisibles. Même si elles étaient indivisibles, comment pouvez-vous en déduire que leur extension spatiale est nulle ? Pourquoi dites-vous que l'espacetemps est continu ? C'est une hypothèse assez discuté en physique théorique. Enfin, le problème des particules pontuelles peut être résolu de différentes manières : voir une particule comme une onde (qui a toujours une extension, donc pas de densité infinie), soit via la théorie des cordes. - Alex
@@Thomaths si une particule avait une extension spatiale connu alors elle serait divisible spatialement, comme ce n'est pas le cas on dit que les particules élémentaires sont ponctuelles, une particule élémentaire n'a pas de structure interne comme le point qui est par définition sans structure interne.
L'espace-temps est continu par définition, car c'est un objet mathématique qui est un instrument de mesure continue.
Si on prend 2 points A et B choisis différents et qu'il n' y a rien entre les 2 alors A et B identifient le même point A=B et c'est contradictoire. Si on déclare qu'il y a une différence aussi minime qu'on veut alors on est obligé de postuler l'existence d'une distance réelle non nulle aussi minime entre les 2.
Je constate que si on fait le choix d'admettre l'existence de au moins 2 objets ponctuels différents alors on est obligé d'admettre l'existence d'une mesure continue.
Autrement dit *one peut pas se passer du continu si on a des objets ponctuels et vice versa*
Je ne fais que reprendre le 1er postulat d'Euclide qui dit qu'entre 2 points on peut toujours tracer une ligne qui est par def continue. c'est un postulat au minimum nécessaire pour comprendre logiquement la physique sinon on se plante.
Euclid c'est extraordinaire, tout est déjà là.
Vous n'avez pas fait de video sur Euclide?
En résumé ça veut dire que même si la physique était discontinue, ce qui n'est pas prouvé , on ne pourra se passer de toute façon d'un espace mathématique continue pour la représenter, à partir de là on peut se demander si effectivement il n' y a pas également un espace physique réellement continue.
--> théorie quantique des champs
Adresser un Espace à 1 ou à 0 , est déjà une opération en soi , qui là , n est pas clairement définie
J’ai essayé de comprendre la géométrie non commutative d’Alain Connes mais sans succès… et sur cette vidéo, honnêtement, je n’ai rien compris…
Moi non plus, je n'ai rien compris :)
Essaye peut-être de commencer par un cours d'algèbre un peu général sur les groupes, puis un bout de cours de topologie (et un tt petit peu de topologie algébrique), un cours sur les groupes de Lie et sur les représentations de groupes, et après ça sera plus clair 🙃 (ça risque de te prendre un peu de temps, mais le chemin en vaut la peine)
@@paulquinones9834 j’avoue que cela fait quelques temps que je cherche une vidéo sur les groupes de Lie… sur le fond, je reste perplexe sur la complexité des outils mathématiques développés pour appréhender la physique de l’infiniment petit.
Je suis un grand fan de tes vidéos mais c'est vrai que là, c'est pas de tout repos du tout. On dirait une version courte encore plus mathématiques des vidéos de scientia egregia
Je suis flatté de la comparaison avec Scientia Egregia :) Il est vrai que la vidéo est probablement la plus poussée sur la chaîne.
Je n'ai absolument rien compris à cette vidéo. Tu ne voudrais pas se mettre au Python?
Bonjour,
Super, cela me permet de comprendre un peu mieux les cours de Michael Penn dans ce domaine. Il y a pas mal de choses sur lesquelles j'étais bloqué, ta présentation m'a fait un peu avancer 😁👏
www.youtube.com/@MichaelPennMath/videos