Io non sono un matematico ma che la x era = 1 lo ho capito dopo meno di 10 secondi. Lo so che può sembrare banale ma questo è quanto. Poi Lei professore fa sempre spiegazioni bellissime.
io l' ho risolto raggruppando con una variabile ausiliaria t= x-4 per poi riscrivere la radice che diventa della forma √(4t+21)= -t. uno nota subito che t deve essere minore di 0 e maggiore di -21/4. si eleva alla seconda e si ottiene l' equazione di secondo grado (t-7)(t+3). l' unica soluzione è t=-3. riportando alle y ottenkamo x=1 come da lei mostrato
Mi pare necessario imporre solo 4 - x maggiore o uguale a zero: Infatti, elevando al quadrato entrambi i membri, il radicando viene eguagliato al quadrato di una "quantità " reale (e dovrà dunque risultare maggiore o uguale a zero).
@@giannantoniofoti6175No. È chiaro che se si vuole trovare il campo di definizione della radice sula sinistra è necessario imporre 5+4x>=0. Il punto è che ai fini della risoluzione dell'equazione non è necessario trovare esplicitamente il campo di esistenza della radice. Elevando al quadrato ad entrambi i membri si ricava 5+4x=(4-x)², che essendo un quadrato e maggiore di zero. In sintesi la soluzione di quest'ultima equazione è necessariamente inclusa nell'insieme di definizione del radicando.
@pietrorizza2537 Ma questo è solo un caso particolare. In generale va imposto anche che il radicando sia positivo. Non è generalizzabile tale ragionamento. In generale bisogna imporre anche che il radicando sia non negativo. Altrimenti se non si vuole calcolare l'insieme di definizione dell'equazione, bisogna sempre fare la verifica delle soluzioni alla fine.
@@pietrorizza2537 va sempre imposto che il radicando sia positivo: ricorda che tu vuoi risolvere l'equazione di partenza con la radice, NON quella successiva in cui hai già elevato al quadrato. Le due equazioni sono equivalenti solo a patto che, tra le soluzioni dell'equazione elevata al quadrato, selezioni solo quelle che soddisfano le condizioni di esistenza dell'equazione di partenza. Se tu elevi al quadrato e trovi soluzioni che non soddisfano le condizioni di esistenza iniziali, vuol dire che poi se le sostituisci nell'equazione di partenza quella non viene soddisfatta! Capisci bene che valori di x che non soddisfano l'equazione che vuoi risolvere non possono essere soluzioni dell'equazione: non la soddisfano!
Scusa un attimo, maa (-7)² = 49 Poi insomma la radice quadrata di un numero nel campo dei numeri Reali ha 2 soluzioni √4 = ±2 √12 =±2√3 .... Vorrei capire perché adesso il secondo risultato deve essere per forza positivo😅
Perché è un'equazione. Le soluzioni di un'equazione sono tutti i numeri che sostituiti al posto dell'incognita rendono vera l'uguaglianza, per dirla alla buona senza troppi formalismi. Prova a sostituire x=11 al posto della x e vedrai che otterrai 7=-7 , uguaglianza non verificata
perché (f(x))^2=(g(x))^2 ammette tutte le soluzioni di f(x)=g(x) ma anche le soluzioni di f(x)=-g(x) in altre parole (f(x))^2=(g(x))^2 equivale a |f(x)|=g(x)
La soluzione estranea nasce dall'elevamento al quadrato.. è un passaggio algebrico necessario ma a volte comporta l'aggiunta di soluzioni " in più " rispetto a quelle dell'equazione iniziale.. come per le equazioni logaritmiche e trigonometriche, quindi, si possono sostituire le soluzioni trovate nell' equazione iniziale, scartando quelle che non la soddisfano.. oppure bisogna determinare il dominio dell'equazione, non necessariamente coincidente con quello delle singole funzioni presenti nell'equazione
Occhio: radice quadrata di 4 fa +2. Punto. Non fa ±2. Una radice quadrata ha come dominio le x positive e come codominio le y positive: il risultato di una radice pari è sempre positivo, non può essere negativo. La radice quadrata di 9 è +3, non ±3
La prima è definita per ogni numero reale. Il suo grafico è l'unione delle parti non negative delle bisettrici dei quadranti, origine compresa. La seconda è definita solo per reali non negativi ed il suo grafico è solo il pezzo nel primo quadrante del grafico precedente, origine compresa.
Ma la difficoltà di capire che le radici quadrate NON hanno segno determinato da dove ti viene? Le radici quadrate hanno come soluzione + o -, quindi entrambi i risultati sono perfettamente corretti.
È una equazione irrazionale. Se metti 11 al posto della x, viene un'uguaglianza falsa. Quindi x=11 non è accettabile come soluzione. 7 non è uguale a -7
Per DEFINIZIONE la radice quadrata di un numero - che deve essere positivo o zero - è una operazione che dà come risultato un numero POSITIVO o ZERO. √49=+7. Trovare le soluzioni dell'equazione x^2=49 NON È la stessa cosa di estrarre la radice quadrata di 49, sono due cose diverse. L'equazione si risolve così: x^2=49 x^2 - 49=0 per la proprietà del prodotto di binomi: (x-7)(x+7)=0 le cui soluzioni sono x=+7 o x=-7 : per risolverla non abbiamo MAI usato l'operazione di radice quadrata! Questa infatti è la soluzione di una equazione, l'altra è il risultato di una operazione (estrazione di radice quadrata). Per dirimere ogni casino, si impone che √(a^2)=|a| (valore assoluto di a). Operazione di potenza: (-7)^2=49 ma l'operazione di radice quadrata: √49=+7 perché l'operazione di radice quadrata NON È SEMPRE l'operazione inversa della potenza: lo è SOLO se la base della potenza è >=0.
@@giorgiogiorgi8931 quanto hai detto è semplicemente falso. Tu puoi definire ciò che vuoi come ti pare, ma stai risolvendo una equazione, e l'equazione non ha alcun obbligo di obbedire alle definizioni che ti piacciono. In soldoni, la radice quadrata di un numero è definita positiva come risultato dell'operazione di radice quadrata in se stessa, all'interno di una equazione quel risultato va valutato nei due casi: positivo e negativo.
@@IoDavide1 guarda, tu puoi dire ciò che ti pare, in matematica l'operazione di radice quadrata di un numero positivo o zero è un numero positivo o zero. Non per niente la soluzione di esercizi come quello di cui stiamo discutendo si fa nel modo descritto dal video, ponendo che la radice quadrata sia >=0. Vattelo a studiare e falla finita di rispondere piccato: le cose non stanno come dici te.
No, perché la radice restituisce sempre risultati positivi. La radice di 49 è solo 7, per quello la soluzione di x^2=49 non è x=rad(49) cioè 7, bensì x=+o-rad(49) Infatti la radice di x^2 non è x, bensì |x| ossia il suo valore assoluto
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Io non sono un matematico ma che la x era = 1 lo ho capito dopo meno di 10 secondi. Lo so che può sembrare banale ma questo è quanto. Poi Lei professore fa sempre spiegazioni bellissime.
Però non era affatto detto fosse l' unica soluzione, essendo equazione di 2° grado
io l' ho risolto raggruppando con una variabile ausiliaria t= x-4 per poi riscrivere la radice che diventa della forma √(4t+21)= -t. uno nota subito che t deve essere minore di 0 e maggiore di -21/4. si eleva alla seconda e si ottiene l' equazione di secondo grado (t-7)(t+3). l' unica soluzione è t=-3. riportando alle y ottenkamo x=1 come da lei mostrato
Mi pare necessario imporre solo 4 - x maggiore o uguale a zero:
Infatti, elevando al quadrato entrambi i membri, il radicando viene eguagliato al quadrato di una "quantità " reale (e dovrà dunque risultare maggiore o uguale a zero).
Purtroppo non basta perché se imponi soltanto 4-x>=0 ottiene come C. E. x
@@giannantoniofoti6175No. È chiaro che se si vuole trovare il campo di definizione della radice sula sinistra è necessario imporre 5+4x>=0.
Il punto è che ai fini della risoluzione dell'equazione non è necessario trovare esplicitamente il campo di esistenza della radice.
Elevando al quadrato ad entrambi i membri si ricava 5+4x=(4-x)², che essendo un quadrato e maggiore di zero. In sintesi la soluzione di quest'ultima equazione è necessariamente inclusa nell'insieme di definizione del radicando.
@pietrorizza2537 Ma questo è solo un caso particolare. In generale va imposto anche che il radicando sia positivo. Non è generalizzabile tale ragionamento. In generale bisogna imporre anche che il radicando sia non negativo. Altrimenti se non si vuole calcolare l'insieme di definizione dell'equazione, bisogna sempre fare la verifica delle soluzioni alla fine.
@@giannantoniofoti6175 no, è generalizzabile eccome. Ogni equazione della forma sqrt(f(x))=g(x) è equivalente al sistema f(x)=g²(x) e g(x)>=0.
@@pietrorizza2537 va sempre imposto che il radicando sia positivo: ricorda che tu vuoi risolvere l'equazione di partenza con la radice, NON quella successiva in cui hai già elevato al quadrato. Le due equazioni sono equivalenti solo a patto che, tra le soluzioni dell'equazione elevata al quadrato, selezioni solo quelle che soddisfano le condizioni di esistenza dell'equazione di partenza. Se tu elevi al quadrato e trovi soluzioni che non soddisfano le condizioni di esistenza iniziali, vuol dire che poi se le sostituisci nell'equazione di partenza quella non viene soddisfatta! Capisci bene che valori di x che non soddisfano l'equazione che vuoi risolvere non possono essere soluzioni dell'equazione: non la soddisfano!
Scusa un attimo, maa (-7)² = 49
Poi insomma la radice quadrata di un numero nel campo dei numeri Reali ha 2 soluzioni
√4 = ±2
√12 =±2√3
....
Vorrei capire perché adesso il secondo risultato deve essere per forza positivo😅
Perché è un'equazione. Le soluzioni di un'equazione sono tutti i numeri che sostituiti al posto dell'incognita rendono vera l'uguaglianza, per dirla alla buona senza troppi formalismi. Prova a sostituire x=11 al posto della x e vedrai che otterrai 7=-7 , uguaglianza non verificata
@@giannantoniofoti6175 ottieni √49 = 7
±7 = 7
Cioè quindi è vera a metà hahaha , va bene credo di aver capito
perché (f(x))^2=(g(x))^2 ammette tutte le soluzioni di f(x)=g(x) ma anche le soluzioni di f(x)=-g(x) in altre parole (f(x))^2=(g(x))^2 equivale a |f(x)|=g(x)
La soluzione estranea nasce dall'elevamento al quadrato.. è un passaggio algebrico necessario ma a volte comporta l'aggiunta di soluzioni " in più " rispetto a quelle dell'equazione iniziale.. come per le equazioni logaritmiche e trigonometriche, quindi, si possono sostituire le soluzioni trovate nell' equazione iniziale, scartando quelle che non la soddisfano.. oppure bisogna determinare il dominio dell'equazione, non necessariamente coincidente con quello delle singole funzioni presenti nell'equazione
Occhio: radice quadrata di 4 fa +2. Punto. Non fa ±2. Una radice quadrata ha come dominio le x positive e come codominio le y positive: il risultato di una radice pari è sempre positivo, non può essere negativo. La radice quadrata di 9 è +3, non ±3
anche con la verifica è ok senza CE entrambi i modi vanno bene
Perché y=sqrt(x^2) NON è uguale a y=[sqrt(x)]^2
La prima è definita per ogni numero reale. Il suo grafico è l'unione delle parti non negative delle bisettrici dei quadranti, origine compresa. La seconda è definita solo per reali non negativi ed il suo grafico è solo il pezzo nel primo quadrante del grafico precedente, origine compresa.
Ma la difficoltà di capire che le radici quadrate NON hanno segno determinato da dove ti viene?
Le radici quadrate hanno come soluzione + o -, quindi entrambi i risultati sono perfettamente corretti.
È una equazione irrazionale. Se metti 11 al posto della x, viene un'uguaglianza falsa. Quindi x=11 non è accettabile come soluzione. 7 non è uguale a -7
Per DEFINIZIONE la radice quadrata di un numero - che deve essere positivo o zero - è una operazione che dà come risultato un numero POSITIVO o ZERO.
√49=+7.
Trovare le soluzioni dell'equazione x^2=49 NON È la stessa cosa di estrarre la radice quadrata di 49, sono due cose diverse.
L'equazione si risolve così:
x^2=49
x^2 - 49=0
per la proprietà del prodotto di binomi:
(x-7)(x+7)=0
le cui soluzioni sono x=+7 o x=-7 : per risolverla non abbiamo MAI usato l'operazione di radice quadrata!
Questa infatti è la soluzione di una equazione, l'altra è il risultato di una operazione (estrazione di radice quadrata).
Per dirimere ogni casino, si impone che √(a^2)=|a| (valore assoluto di a).
Operazione di potenza: (-7)^2=49
ma l'operazione di radice quadrata:
√49=+7
perché l'operazione di radice quadrata NON È SEMPRE l'operazione inversa della potenza: lo è SOLO se la base della potenza è >=0.
@@giorgiogiorgi8931 quanto hai detto è semplicemente falso.
Tu puoi definire ciò che vuoi come ti pare, ma stai risolvendo una equazione, e l'equazione non ha alcun obbligo di obbedire alle definizioni che ti piacciono.
In soldoni, la radice quadrata di un numero è definita positiva come risultato dell'operazione di radice quadrata in se stessa, all'interno di una equazione quel risultato va valutato nei due casi: positivo e negativo.
@@IoDavide1 guarda, tu puoi dire ciò che ti pare, in matematica l'operazione di radice quadrata di un numero positivo o zero è un numero positivo o zero. Non per niente la soluzione di esercizi come quello di cui stiamo discutendo si fa nel modo descritto dal video, ponendo che la radice quadrata sia >=0. Vattelo a studiare e falla finita di rispondere piccato: le cose non stanno come dici te.
Ovviamente se ragioniamo nell'insieme dei numeri reali
però rad49 =+-7
No, perché la radice restituisce sempre risultati positivi. La radice di 49 è solo 7, per quello la soluzione di x^2=49 non è x=rad(49) cioè 7, bensì x=+o-rad(49)
Infatti la radice di x^2 non è x, bensì |x| ossia il suo valore assoluto