№2 . 1:20:21 . При неторопливом и внимательном рассмотрении видно , что первое уравнение не меняется при замене знака у икса и независимо у игрека. Это означает , что достаточно рассмотреть только случай x>=0 ,y>=0 , а потом использовать симметрию относительно осей икс и игрек . ( что у Вас и получилось) . Так слегка короче. С уважением , Лидий
№1. 56:57 . С самого начала можно заметить симметрию при замене знака ‘а’ и решать задачу для а>0 (а=0 - явно не годится) . В ответе заменить ‘а’ на |а| . (1) a^20 . Получаем систему : (2) 0
Из нешкольного- время, которое требуется для решения задания. Там ведь ещё и другие задачи есть, которые надо не только решить, но ещё и оформить. Благодарю за подробный и понятный разбор задач!
Здравствуйте, Анна Георгиевна! Спасибо за интересные задачи! Позвольте внести поправку в решение последней задачи: прямая a = − x/sqrt(2) проходит более круто, чем прямая a=x/2, а значит, точка А будет лежать ниже точки пересечения прямой a = − x/sqrt(2) с окружностью (назовем её С). Нам нужен диапазон от С (включительно) до В. Точке С действительно соответствует а = sqrt(2). А точке А соответствует а = sqrt(6/5) Ответ: [ sqrt(2), sqrt(54/13))
В задаче про окружность: расстояние от центра окружности до прямой нашли d=a^2/sqrt(1+a^2). Радиус окружности известен + - SQRT[ abs(1.6*a) ]. Система имеет два решения когда прямая пересекает окружность в двух точках. Это возможно, когда расстояние строго меньше радиуса a^2/sqrt(1+a^2) < +- SQRT[ abs(1.6*a) ] => a=(-2..0) v (0..2) Вроде так p.s. чем больше Вы учите решать сложные задачи, тем сложнее они будут на ЕГЭ, т.к. перед составителями стоит задача не допустить решений на 100 баллов. В конце концов это может привести решающих к поступлению не в университет, а в психбольницу.
Интересное замечание, что "чем больше я буду решать сложные задачи, тем сложнее они будут на ЕГЭ". Это было бы верно, если бы составители заданий ЕГЭ только и делали, что мониторили мой канал. Но они этого не делают! ))
№1 . 38:55 . Ой ! Не могу надёжно запомнить эту формулу. Придётся её вывести ! Рисовать не могу - описываю рисунок в плоскости (X;Y) . Прямая : ‘L’ A*X+B*Y+C=0 ; точка T(Xo;Yo) . 1) Опускаем перпендикуляр ‘TH’ из точки ‘T’ на прямую ‘L’ . |TH|=d=? . 2) Проводим через точку ‘T’ прямую ‘L1’ , параллельную оси икс , до пересечения с прямой ‘L’ в точке (1) D( [-B*Yo-C ]/A; Yo). «А вдруг А=0 ?» « Тогда прямая L: B*Y+C=0 - параллельна оси икс , и (2) d=|Yo-(-C/B) | » 3) В прямоугольном треугольнике THD : (3) катет |TH|=d=|TD|*|sin(al) |=|Xo-([-B*Yo-C ]/A) |* |sin(al) | ; угол альфа - угол наклона прямой ‘L’ к оси икс. tg(al)=-A/B . « А вдруг : В=0 ? » «Тогда прямая ‘L’ : A*X+C=0 - параллельна оси игрек , и работает формула (3) , в которой sin(al)=1 ». 4) (4) |sin(al)|=sqrt{ sin^2(al)/[ sin^2(al)+cos^2(al) ] }=sqrt{ tg^2(al)/[ 1+tg^2(al) ] }=|tg(al) |/sqrt{1+tg^2(al)=…. (4) …=|A|/sqrt(A^2+B^2)=|sin(al)| . 5) Подставляем (4) в (3) - получаем Вашу формулу . « Легче запомнить ! » «кому как 😊)» В данном случае , воспользовавшись Вашим рисунком , в треугольнике образованном радиусом окружности , касательной и осью игрек : (5) R=sqrt(1,6*|a|)=a^2*|cos(al)|, где tg(al)=a . Тогда : (6) |cos(al)|=sqrt{cos^2(al)/[sin^2(al)+cos^2(al)]}=1/sqrt{1+fg^2(al)}=1/sqrt(1+a^2)=|cos(al)| . Подставляем (6) в (5) - получаем Ваше уравнение . С уважением , Лидий
№1 . Вариант «старого зубрилы» . Подставляем игрек из второго уравнения в первое. Получаем после раскрытия скобок - квадратное уравнение : (1) (1+a^2)*x^2-2*a^3*x+a^4-1,6*|a|=0 . Если уравнение (1) имеет два корня , то и исходная система имеет два решения . Как известно для этого дискриминант квадратного уравнения должен быть больше нуля . Получаем : (2) D/4=a^6-(1+a^2)*(a^4-1,6*|a|>0 . Или , после преобразований и умножения обеих частей на (-5) , получаем : (3) 5*а^4-8*a^2*|a|-8*|a|0 , а в ответе заменить ‘а’ на |а| . Так как а=0 явно не годится , можно для положительных ‘а’ разделить обе части неравенство (3) на а>0 . Получаем : (4) 5*а^3-8*а-8
Хочу просто дополнить Вашу последнюю фразу: "Это решение нисколько не умаляет полезность и важность графического метода", но не все задачи нужно решать, применяя его. И еще: я думаю, что нужно заметить, что если на экзамене встречается уравнение степени 3 или выше, то нужно искать, как попроще разложить многочлен на множители. Т.е. здесь есть "-8", и напрашивается 5*а^3-8*а-8=a^3-8+4a^3-8*a=...
№2 . 1:20:21 . При неторопливом и внимательном рассмотрении видно , что первое уравнение не меняется при замене знака у икса и независимо у игрека.
Это означает , что достаточно рассмотреть только случай x>=0 ,y>=0 , а потом использовать симметрию относительно осей икс и игрек . ( что у Вас и получилось) . Так слегка короче.
С уважением , Лидий
№1. 56:57 . С самого начала можно заметить симметрию при замене знака ‘а’ и решать задачу для а>0 (а=0 - явно не годится) . В ответе заменить ‘а’ на |а| .
(1) a^20 . Получаем систему : (2) 0
Из нешкольного- время, которое требуется для решения задания. Там ведь ещё и другие задачи есть, которые надо не только решить, но ещё и оформить.
Благодарю за подробный и понятный разбор задач!
Здравствуйте, Анна Георгиевна! Спасибо за интересные задачи! Позвольте внести поправку в решение последней задачи: прямая a = − x/sqrt(2) проходит более круто, чем прямая a=x/2, а значит, точка А будет лежать ниже точки пересечения прямой a = − x/sqrt(2) с окружностью (назовем её С). Нам нужен диапазон от С (включительно) до В. Точке С действительно соответствует а = sqrt(2). А точке А соответствует а = sqrt(6/5) Ответ: [ sqrt(2), sqrt(54/13))
В задаче про окружность: расстояние от центра окружности до прямой нашли d=a^2/sqrt(1+a^2). Радиус окружности известен + - SQRT[ abs(1.6*a) ]. Система имеет два решения когда прямая пересекает окружность в двух точках. Это возможно, когда расстояние строго меньше радиуса
a^2/sqrt(1+a^2) < +- SQRT[ abs(1.6*a) ] => a=(-2..0) v (0..2) Вроде так
p.s. чем больше Вы учите решать сложные задачи, тем сложнее они будут на ЕГЭ, т.к. перед составителями стоит задача не допустить решений на 100 баллов. В конце концов это может привести решающих к поступлению не в университет, а в психбольницу.
Интересное замечание, что "чем больше я буду решать сложные задачи, тем сложнее они будут на ЕГЭ". Это было бы верно, если бы составители заданий ЕГЭ только и делали, что мониторили мой канал. Но они этого не делают! ))
@@MalkovaAnna Вас и других марафонцев мониторить совершенно не обязательно.
№1 . 38:55 . Ой ! Не могу надёжно запомнить эту формулу. Придётся её вывести ! Рисовать не могу - описываю рисунок в плоскости (X;Y) .
Прямая : ‘L’ A*X+B*Y+C=0 ; точка T(Xo;Yo) .
1) Опускаем перпендикуляр ‘TH’ из точки ‘T’ на прямую ‘L’ . |TH|=d=? .
2) Проводим через точку ‘T’ прямую ‘L1’ , параллельную оси икс , до пересечения с прямой ‘L’ в точке (1) D( [-B*Yo-C ]/A; Yo).
«А вдруг А=0 ?» « Тогда прямая L: B*Y+C=0 - параллельна оси икс , и (2) d=|Yo-(-C/B) | »
3) В прямоугольном треугольнике THD : (3) катет |TH|=d=|TD|*|sin(al) |=|Xo-([-B*Yo-C ]/A) |* |sin(al) | ; угол альфа - угол наклона прямой ‘L’ к оси икс. tg(al)=-A/B .
« А вдруг : В=0 ? » «Тогда прямая ‘L’ : A*X+C=0 - параллельна оси игрек , и работает формула (3) , в которой sin(al)=1 ».
4) (4) |sin(al)|=sqrt{ sin^2(al)/[ sin^2(al)+cos^2(al) ] }=sqrt{ tg^2(al)/[ 1+tg^2(al) ] }=|tg(al) |/sqrt{1+tg^2(al)=…. (4) …=|A|/sqrt(A^2+B^2)=|sin(al)| .
5) Подставляем (4) в (3) - получаем Вашу формулу .
« Легче запомнить ! » «кому как 😊)»
В данном случае , воспользовавшись Вашим рисунком , в треугольнике образованном радиусом окружности , касательной и осью игрек : (5) R=sqrt(1,6*|a|)=a^2*|cos(al)|, где tg(al)=a . Тогда : (6) |cos(al)|=sqrt{cos^2(al)/[sin^2(al)+cos^2(al)]}=1/sqrt{1+fg^2(al)}=1/sqrt(1+a^2)=|cos(al)| .
Подставляем (6) в (5) - получаем Ваше уравнение .
С уважением , Лидий
Гениально!!! Это ж надо было догадаться! Проще воспользоваться формулами (5) и (6) на мой взгляд. Спасибо за Ваш труд!
№1 . Вариант «старого зубрилы» .
Подставляем игрек из второго уравнения в первое. Получаем после раскрытия скобок - квадратное уравнение : (1) (1+a^2)*x^2-2*a^3*x+a^4-1,6*|a|=0 .
Если уравнение (1) имеет два корня , то и исходная система имеет два решения . Как известно для этого дискриминант квадратного уравнения должен быть больше нуля .
Получаем : (2) D/4=a^6-(1+a^2)*(a^4-1,6*|a|>0 . Или , после преобразований и умножения обеих частей на (-5) , получаем : (3) 5*а^4-8*a^2*|a|-8*|a|0 , а в ответе заменить ‘а’ на |а| .
Так как а=0 явно не годится , можно для положительных ‘а’ разделить обе части неравенство (3) на а>0 . Получаем : (4) 5*а^3-8*а-8
Хочу просто дополнить Вашу последнюю фразу: "Это решение нисколько не умаляет полезность и важность графического метода", но не все задачи нужно решать, применяя его. И еще: я думаю, что нужно заметить, что если на экзамене встречается уравнение степени 3 или выше, то нужно искать, как попроще разложить многочлен на множители. Т.е. здесь есть "-8", и напрашивается 5*а^3-8*а-8=a^3-8+4a^3-8*a=...