@@mik5482 , всем бы такой кризис среднего возраста. Думаю, что Вы поспешили с таким заявлением. Если рассмотреть определение кризиса среднего возраста, то говорится о связи с молодостью, а именно: важные идеи, мечты, которые не сбылись, однако Борис в детстве, в молодости не любил спорт, исходя из слов Бориса. Следовательно, это не подходит под критерий кризиса среднего возраста. Если что, худеть можно и без спорта, но теперь у Бориса есть спорт в жизни. И думаю, что Борис прекрасно знает, что можно худеть без спорта, но, видимо, взгляды поменялись, что и нормально.
Пока смотрел видео, захотел рассчитать точное математическое ожидание, через сумму ряда, но потупив пару минут решил влезть в питон и провести компьютерную симуляцию того, что происходит. Запускается цикл на 1 миллион итераций - внутри каждой итерации реализуется еще один цикл для создания последовательности из орлов и решек, которые извлекаются из распределения Бернулли (или просто равновероятно) и остановки внутреннего цикла, когда получена комбинация ‘OR’ - среднее значение длин таких последовательностей оказалось 4.000933. Аналогично реализовал цикл для случая ‘OO’ - среднее значение 5.996921. Спасибо за ролик, было интересно)
Видео сподвигло вспомнить аналитический метод. Сумму ряда считать не нужно. Нужно составить систему. Будем считать мат. ожидание орёл орёл ОО. При первых двух бросках получаем 4 комбинации ОО - серия окончена РР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М1 не считая первых двух бросков РО - серия продолжается с условным мат. ожиданием М2 не считая первых двух бросков ОР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М3 не считая первых двух бросков Продолжится все может так РРО РРР РОО РОР ОРР ОРО Составляем систему 0.5*(М2+1)+0.5*(М1+1)=М1 0.5*1+0.5*(М3+1)=М2 0.5*(М1+1)+0.5*(М2+1)=М3 её решение М1=6 М2=4 М3=6 Находим мат. ожидание длины серии 0.5²(2+(М1+2)+(М2+2)+(М3+2))=6 Программа в маткаде даёт тот же результат.
А мне больше было интересно посмотреть минимальную и максимальную последовательность для 1 миллион итераций. (Понятное дело, что минималка 2 и там, и там). Для 'OR' максимальные последовательности в диапазоне 25-30 бросков. Для 'OO' максимальные последовательности в диапазоне 70-80 бросков. Т.е. при мат. ожидании в 6 бросков, может случиться так, что нужно будет сделать 60 бросков. ;)
Последний раз, когда я заходил на этот канал, Борис ещё был с хвостом). И я бы очень удивился, если бы не был подписан на его Инстаграм. Вот и вы подписывайтесь - такая вот внезапная интеграция.
Это потрясающе полезная тема, потому что она развивает критическое мышление. После всех этих софизмов и парадоксов уже по-другому воспринимаешь жизнь, прогнозы и суждения. С удовольствием посмотрел, хотя мне уже далеко за 30. Спасибо!❤ А школьникам это нужно изучать обязательно, наряду с когнитивными искажениями.
Крутая задача. Очень интересный метод - понимание зависимости неизвестной от самой себя, и потом решение. Было бы здорово посмотреть еще решений с таким подходом, не только по вероятностям. Может, и в каких-то классических задачах можно применять такой метод? Спасибо, Борис!
Хоть и простая, но достаточно интересная задачка. Надо сказать, что сначала (до включения логики) действительно рефлекторно хочется сказать, что одинаково :) Мне очень нравится, что вы доступно доносите мысль даже тем, кто не силён в математике. Большой вам респект, Борис! Вас интересно и приятно слушать
Борис Викторович, огромное спасибо за новое видео! Ваш вклад в популяризацию математики среди молодежи трудно переоценить. Сам я ещё учусь в школе, но очень интересуюсь тригонометрией. Очень бы хотел увидеть ролик, в котором вы расскажите про редко используемые тригонометрические функции, а то информации в интернете о них не так много. Спасибо за труд!❤
Ура! Новое видео! Вы всегда интересно объясняйте теорию вероятностей. А ещё я начал изучать вашу книгу по теории чисел, очень доступно и интересно, спасибо за труд!😊
Вот это преображение) Приятно смотреть. Сначала подумал, что кто-то другой канал вести начал )) Удачи в развитии! Уже много лет ваши видео подогревают интерес к математике)
Есть, кстати, смежная задача с тоже очень контринтуитивным ответом (я вообще изначально подумал, что ролик будет про неё): Вася и Петя подбрасывают монетку, Вася выиграет если сначала появится ОО, Петя выиграет, если сначала появится РО. Хотя казалось бы игра симметричная, как не сложно убедиться Петя на самом деле имеет 75% шанс выигрыша. А для последовательностей длины хотя бы 3 оказывается, что для любой последовательности из орлов и решек, есть другая последовательность, которая её строго выигрывает, это в Википедии по статье Penney's game можно почитать со ссылками.
Для РР тоже можно использовать геометрическое распределение. Случайная величина устроена так оор(ооороооорр) и ещё один пример р(ооорорр) т.е. сумма двух геометрических распределений. Первое по порядку обычное где первый успех это решка. Второе устроено похитрее. Здесь неудача это цепочка геометрического распределения его запускает орёл и успешное событие это решка. Вероятности событий "цепочка" "решка" 50/50. Номер первого успеха 1/p=2 . Мат ожидание длины успешного события const и равно 1. Неуспешного = 1 (т.е собственно орёл запускающий цепочку) плюс 1/p мат. ожидание "хвостика" дополняющего орёл, в итоге поучаем 1+1/p=3. т.к. мат ожидание номера первого успеха равно 2 и в нем 1 последнее событие то в итоге мат. ожидание длины всей цепочки (1+1/p)+1=4. Итак получили мат ожидание двух событий певой цепочки 2 и второй "хитрой" цепочки 4 складываем оба эти мат ожидания 2+4 и получаем 6.
Не досмотрел еще видео до конца, но скормил задачу в ChatGPT. Его ответ следующий: - Мат. ожидание для ОО равно 6 - Мат. ожидание для ОР равно 4 Для нахождения мат. ожидания использовался метод марковских цепей. Теперь пойду досматривать видео, прав ли окажется ИИ ))
Афигеть! ИЧСХ, я с начала думал: одинаково. Но включил видео, посмотрел, что Борис говорит именно о том, о чём я подумал и понял что сейчас будет вывод, что не одинаково, ибо Борис шуток не шутит и тут всё серьёзно. Так оно и оказалось.
Из парадоксов: если ничего не путаю, то вероятность того, что два орла подряд выпадут сразу равна вероятности того, что два орла подряд выпад после 100 "неудач" (все решки, решки чередуются с орлами и т. д.). Второй, про который было бы интересно послушать - "парадокс дней рождения".
Для двух орлов вероятность "ровно 5 бросков" = 3/32. В общем случае получается следующее: n=2: 1/2^2 n=3: 1/2^3 n=4: 2/2^4 n=5: 3/2^5 n=6: 5/2^6 ....... n=k: (k-1)-е число Фибоначчи/2^k Для последовательности "орёл-решка": n=k: (n-1)/2^k
Второе ведь очень доступно объясняют любые источники, шанс что у двух не совпадут дни рождения 364/365, у трёх 364*363/365^2.. Таким образом достаточно быстро эта цифра становится меньше 1/2
Абалдеть, мне задавали задачу с двумя орлами в школе. И я не понял как решить, мне учитель сказала, что понадобиться 4 броска, но как оказывается задача гораздо глубже и интереснее!
Думаю исходили из того, что есть всего 4 исхода, то есть равносильно броску четырёхгранного кубика. Правда учитывая, что один бросок кубика это два броска монетки и мы игнорируем предыдущий бросок, то мат ожидание в итоге получается 4х2=8.
Можно и проще посчитать. Для ОР там нужно посчитать сколько в среднем подбрасываем чтобы выпал орел (просто один) потом нужно сколько в среднем подбрасываем до решки (немного подумав понимаем это столько же подбрасываний). Сумма n/2^n это 2 (известная задача) ну значит ОР это 2+2. Для ОО из видео решение наверное самое простое
Я сразу прикинул 4 варианта. РР РО ОО ОР В первом случае, где нам нужно выбить орлов, у нас один исход оставляет половинку нашей цели, это - РО, а второй победный - ОО. Во втором случае, нам два варианта оставлют половинку цели - РО и ОО, а ещё один победный - ОР. То есть очевидно здесь больше положительных исходов и в среднем это чаще выпадет.
Клевая задача) Я по интуиции делал так: Всего может быть 4 комбинации ОО, ОО (но перевернутые), ОР и РО. А поскольку ОО и ОО одинаковые, то и выпадать будут чаще.
Кстати для ОР. Есть такая штука как геометрическое распределение. если первым выпадает орёл то будет это распределение. Мат. ожилание длины цепочки до первого успеха 1/p=1/0.5=2 и нужно учесть что первый раз уже бросили 1+1/p=3 если выпала решка то сначала должна пройти серия (условно) рррррро и затем ooooр (может и так быть pppo p) мат. ожидание суммы этих случайных величин по свойствам мат ожидания (1+1/p) + 1/p=5 Найденные мат ожидания условные поэтому искомое мат. ожидание 0.5*3+0.5*5=4 Но здесь правда пользуемся готовыми формулами для известного распределения.
Я, наверное, рассуждал неверно, но со следующей логикой: Вероятность выпадения О или Р = 50/50, т.е. при 10 бросках = 5/5 При выпадении первого О (а это необходимое условие), выпадение О в следующих 9 ходах ниже чем выпадение Р)
Ожидаемое число бросков до ОР меньше, чем до ОО. Но если двое поспорили, что раньше выпадет, то вероятности выиграть у обоих равны. Тоже (псевдо)парадокс.
@@ЮраПельманесли мы с вами поспорили на эти две комбинации, то мы оба будем ждать первого орла (вне зависимости от того, каким он выпадет, первым, десятым, сотым, и т.д.), а сразу после первого орла наступит равновероятная победа любого из нас в зависимости от следующего броска. Суть парадокса как раз не в вероятности выпадения отдельной комбинации, а в том, что результат противоречит приведённому топикстартером примеру.
Ну для случая ОР понятно, что как только случился первый орёл, победа близка: последующий орёл оставит нас в том же самом состоянии, а решка даст-таки победу С двумя орлами решка всё обнуляет, поэтому бросков будет требоваться больше
Интересная закономерность. Что интересно, не смотря на разное среднее количество бросков, если рассматривать, что выпадет первее в одной последовательности, то шансы 50/50 и в среднем занимает три броска: X = (x+1)/2 + 2/2 => в случае, если выпадает решка, то у нас получается x+1, а если выпадает орёл, то следующий бросок точно создаст либо ОО, либо ОР.
@@longpastgone что ты имеешь в виду под "какой-либо" и "конкретной" комбинацией? Если после очередного броска выпал орёл, то, если следующий бросок был орёл - инкрементировал ОО, а если - решка - инкрементировал ОР, и начинал считать заново. Возможно, так сильно повлияли на смещение результатов кривые броски - похоже, что я кидаю так, что та же сторона выпадает чаще, чем другая (я всегда монетку клал на указательный палец той стороной, которой она упала в прошлый раз).
@@DiIovну вы все же считали не то, потому что если считать как вы, должно получиться примерно одинаково, ведь в обоих случаях нужно ждать О, а затем с одинаковой вероятностью выпадает О/Р, нужно было считать именно сколько бросков занимает получение каждой из последовательностей
Цепи Маркова в помощь... Почти то, что нужно рисовалось, граф цепи Маркова. Нужно ещё дополнительное состояние цепи дорисовать ОО для первой задачи и ОР для второй.
Видео сподвигло вспомнить аналитический метод. Ряд можно не составлять. Можно решить через СЛАУ. Будем считать мат. ожидание орёл орёл ОО. При первых двух бросках получаем 4 комбинации ОО - серия окончена РР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М1 не считая первых двух бросков РО - серия продолжается с условным мат. ожиданием М2 не считая первых двух бросков ОР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М3 не считая первых двух бросков Продолжится все может так РРО РРР РОО РОР ОРР ОРО Составляем систему 0.5*(М2+1)+0.5*(М1+1)=М1 0.5*1+0.5*(М3+1)=М2 0.5*(М1+1)+0.5*(М2+1)=М3 её решение М1=6 М2=4 М3=6 Находим мат. ожидание длины серии 0.5²(2+(М1+2)+(М2+2)+(М3+2))=6 Программа в маткаде даёт тот же результат. PS Посмотрел видео. Немного я усложнил решение, но суть такая же. Надеюсь моё решение тоже кому-то поможет понять задачу лучше.
Не знаю, уместно ли, но хотел бы поправить Бориса, что в первом случае если после выпавшего орла выпадает решка, то нужно заканчивать эксперимент и начинать новый. Заканчивать не нужно, а нужно ждать когда снова выпадет орёл. Другое дело, что если после выпавшего орла выпадает решка, то как минимум на следующий бросок ситуации ОО уже не будет. А вот во втором случае, если выпал ОО, ОР может выпасть уже на следующий бросок. Тут и разница.
Добрый день, Борис! Спасибо вам за ваши видео. Прохожу курс Data Science на Udemy и там много статистики - вероятности, распределения, расчёт мат.ожиданий, регрессий и т.д. Вроде бы английский знаю свободно, но голова сломалась. Пришёл к вам смотреть на русском. Вроде что-то становится понятнее. Спасибо огромное! Но, я так понимаю, околостатистических тем у вас не много. Может быть вы могли бы посоветовать мне какие-нибудь хорошие материалы или курсы на русском языке?
Шанс выпадения орла 50%, шанс выпадения решки 50%. На всех последующих бросках шанс выпадения того или иного 50%. Другими словами с равной долей вероятности может выпасть орел миллион раз подряд или решка миллион раз подряд, потому что после каждого броска шанс выпадения обнуляется до 50%
Поставил на паузу. Произвёл подбрасывание монеты и 33 раза записывал и тот, и другой результат. У меня вышло, что очерёдность ОО в среднем выходит три подбрасывания. Очерёдность ОР - 3-4 подбрасывания. То есть, в среднем, одинаково
@@trushinbv Наверное, проще всего на вики ссылку дать. ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B3%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8 Не уверен, что ссылка в комменте работать будет, так что можно просто в поиске вики вбить "Игра Пенни".
@trushinbv Не знаю, отправился ли предыдущий комментарий со ссылкой, не вижу что-то.( Вот цитата с вики, там Игра Пенни легко находится. "Суть этого парадокса сводится к следующему: пусть А и Б играют в такую игру - сначала А выбирает произвольную двоичную последовательность (например, из нулей и единиц) длины 3 и показывает её игроку Б. Затем Б делает то же самое. Далее игроки строят случайную двоичную последовательность, в которой появление 0 и 1 равновероятно (например, бросают монету, считая выпадение орла за 1 и решки за 0). Выигрывает тот игрок, чья последовательность встретится раньше в этой случайной последовательности. Например, пусть игрок А выбрал тройку 001, а игрок Б - тройку 100. Пусть при 5-кратном бросании монеты получилась случайная последовательность 10100. Последние 3 цифры в ней - 100 - совпадают с тройкой, выбранной игроком Б, а тройка А не встретилась, поэтому после 5-го бросания монеты игрок Б выигрывает. Парадокс заключается в том, что для любой тройки игрока А найдётся такая тройка, которая выигрывает у неё с вероятностью, большей 1/2."
Чтобы выпало "орёл-решка", после выкинутой монетки с орлом может выпадать что угодно, и это не будет сбрасывать начавшуюся комбинацию. Например, выпадет 4 орла, и после них решка. А в первом случае выпадение "орёл-орёл" явно меньше, т.к. вся комбинация при неправильном броске будет обнуляться.
Борис, добрый день! Увеличил количество экспериментов в 1000 раз! Вариант РО выпадает раньше ОО в 3/4 случаев!!! При увеличении количества экспериментов 3/4 не меняется! Вывод: в 3/4 случаев выпадение последовательности РО наступает раньше!!! ОО!
Две случайные величины. Вероятность что они равны нулевая. Вероятность что первая меньше второй равна вероятности что вторая меньше первой и равно 1/2. При этом одна в среднем 4 другая в среднем 6. Контринтуитивная часть не в цифрах.
Интересно, что если два человека решат играть в игру - кидать монетку, и если первым случится ОО то один платит другому рубль, а если первым случится ОР, то наоборот - то это будет совершенно равная игра. Несмотря на результат из ролика.
Борис стал буквально за год изменений выглядеть с 40-летнего на 25-летнего аспиранта. Красавчик)
Борис, да Вы похудели)
Наверное в зал ходит, железо тягает. Или бегает... Ещё бы до Панчина это дошло.
@@ИванВоронин-и2м Помню его пост про его первые 3 км в беге) Был очень рад за Бориса. Я думаю он продолжает заниматься активно
@@ИванВоронин-и2мУ Панчина как раз только что видео по теме вышло)
кризис среднего возраста, но выглядит отлично и объясняет ещё лучше.
@@mik5482 , всем бы такой кризис среднего возраста. Думаю, что Вы поспешили с таким заявлением. Если рассмотреть определение кризиса среднего возраста, то говорится о связи с молодостью, а именно: важные идеи, мечты, которые не сбылись, однако Борис в детстве, в молодости не любил спорт, исходя из слов Бориса. Следовательно, это не подходит под критерий кризиса среднего возраста. Если что, худеть можно и без спорта, но теперь у Бориса есть спорт в жизни. И думаю, что Борис прекрасно знает, что можно худеть без спорта, но, видимо, взгляды поменялись, что и нормально.
Смотрю переодически вас с 2018. Выглыдите моложе и энергичнее чем 6 лет назад! Борис, вы пример хорошего человека
Внешний вид поменялся в лучшую сторону.
А содержание всегда на высоте
прежний больше заходил, мне
важно чтоб ему нравилось, а тоо не важно
у него глаза блестят
Пока смотрел видео, захотел рассчитать точное математическое ожидание, через сумму ряда, но потупив пару минут решил влезть в питон и провести компьютерную симуляцию того, что происходит.
Запускается цикл на 1 миллион итераций - внутри каждой итерации реализуется еще один цикл для создания последовательности из орлов и решек, которые извлекаются из распределения Бернулли (или просто равновероятно) и остановки внутреннего цикла, когда получена комбинация ‘OR’ - среднее значение длин таких последовательностей оказалось 4.000933.
Аналогично реализовал цикл для случая ‘OO’ - среднее значение 5.996921.
Спасибо за ролик, было интересно)
Я бы тоже имитировала. Формулы ТЫ плохо понимаю
Вы применили продвинутый метод Монте-Карло, а не просто тупо бросали монетки!
Видео сподвигло вспомнить аналитический метод. Сумму ряда считать не нужно. Нужно составить систему. Будем считать мат. ожидание орёл орёл ОО. При первых двух бросках получаем 4 комбинации
ОО - серия окончена
РР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М1 не считая первых двух бросков
РО - серия продолжается с условным мат. ожиданием М2 не считая первых двух бросков
ОР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М3 не считая первых двух бросков
Продолжится все может так
РРО
РРР
РОО
РОР
ОРР
ОРО
Составляем систему
0.5*(М2+1)+0.5*(М1+1)=М1
0.5*1+0.5*(М3+1)=М2
0.5*(М1+1)+0.5*(М2+1)=М3
её решение М1=6 М2=4 М3=6
Находим мат. ожидание длины серии
0.5²(2+(М1+2)+(М2+2)+(М3+2))=6
Программа в маткаде даёт тот же результат.
А мне больше было интересно посмотреть минимальную и максимальную последовательность для 1 миллион итераций. (Понятное дело, что минималка 2 и там, и там).
Для 'OR' максимальные последовательности в диапазоне 25-30 бросков.
Для 'OO' максимальные последовательности в диапазоне 70-80 бросков.
Т.е. при мат. ожидании в 6 бросков, может случиться так, что нужно будет сделать 60 бросков. ;)
Кто мне Аполлона в телефон засунул😮
Последний раз, когда я заходил на этот канал, Борис ещё был с хвостом). И я бы очень удивился, если бы не был подписан на его Инстаграм. Вот и вы подписывайтесь - такая вот внезапная интеграция.
Если бы ты смотрел все видео, увидел бы преображение на видео
Это потрясающе полезная тема, потому что она развивает критическое мышление. После всех этих софизмов и парадоксов уже по-другому воспринимаешь жизнь, прогнозы и суждения. С удовольствием посмотрел, хотя мне уже далеко за 30. Спасибо!❤
А школьникам это нужно изучать обязательно, наряду с когнитивными искажениями.
Борис, да вы прямо похорошели)) Так держать! 👍 Спасибо за новое видео
Раньше Трушин был металлюга, а теперь хипстер какой-то)
С пива на смузи перешёл))
Ужасные репрессии!!😅
Хипстером в хорошем смысле.
Может просто жене в карты проиграл???
Но металлюга, окончивший попутно семинарию, замечу!
Борис Трушин просто легенда
Очень классная задача и очень спасибо Борису!
По-моему контент становится по современному стильным, респект всем, кто там на бэке.
не бэке - это где? )
@@trushinbv Предположительно - кто-то помогает организовывать, снимать, монтировать, оформлять и продвигать?
Или вы один всё это делаете??
@@goge- Сам )
Но организовывать ничего особо не нужно, а продвижением я не занимаюсь
@@trushinbv Очень здорово получается, интегральная услада головы!
Как всегда, огромное спасибо вам за повышение квалификации и просто мега интересный контент! Саша, магистр математики, 41 годик
Борис, да вы помолодели! Респект! Главное- интеллект только «не похудел»! ❤
до сих пор в голове не укладывается. парадокс практически. здорово.
Крутая задача. Очень интересный метод - понимание зависимости неизвестной от самой себя, и потом решение. Было бы здорово посмотреть еще решений с таким подходом, не только по вероятностям. Может, и в каких-то классических задачах можно применять такой метод? Спасибо, Борис!
Хоть и простая, но достаточно интересная задачка. Надо сказать, что сначала (до включения логики) действительно рефлекторно хочется сказать, что одинаково :)
Мне очень нравится, что вы доступно доносите мысль даже тем, кто не силён в математике.
Большой вам респект, Борис! Вас интересно и приятно слушать
Борис Викторович, огромное спасибо за новое видео! Ваш вклад в популяризацию математики среди молодежи трудно переоценить. Сам я ещё учусь в школе, но очень интересуюсь тригонометрией. Очень бы хотел увидеть ролик, в котором вы расскажите про редко используемые тригонометрические функции, а то информации в интернете о них не так много. Спасибо за труд!❤
Конечно, давайте подобные сюжеты, очень интересно
Ура! Новое видео! Вы всегда интересно объясняйте теорию вероятностей. А ещё я начал изучать вашу книгу по теории чисел, очень доступно и интересно, спасибо за труд!😊
привет из Невьянска!
можно ссылку на книгу?
@@kent1723 bombora.ru/books/serie/matematika_s_borisom_trushinym/
какой же кайф
контент - золото!
спасибо ❤
Спасибо и побольше сюжетов из теории остатков!
Отлично выглядишь Борис! В здоровом теле здоровый дух!
вот что Тбилиси с людьми делает)
отлично выглядите, Борис
Он че либераха бежавшая?
Борис краш 😮😍
Видела недавно еще фото в молодости, красавец
Вот это преображение)
Приятно смотреть. Сначала подумал, что кто-то другой канал вести начал ))
Удачи в развитии! Уже много лет ваши видео подогревают интерес к математике)
Борис Викторович - математически строгий, но при этом невероятно добрый
Борис, Вы выглядите отлично. Так держать!
Спасибо за видео. Задача интересная. Савватеев уже не разбирал как-то. Это очень интересные задачи. Ждём видео про такие задачи
Красивая задача. Спасибо, Борис! Меня сразу потянуло на распределения Бернули и биномиальное, но все как-то проще получилось :)
Я Вас сначала не узнала!🤣🤣🤣 Красавчик!!!
отличная тема про вероятности, побольше таких сюжетов.
спасибо за разбор, очень познавательно!
такие задачки очень интересны. Эти рассуждения объясняют почему люди не верят, что "снова выпадет красное"
Да, интересны такие задачки. Давайте ещё.
Есть, кстати, смежная задача с тоже очень контринтуитивным ответом (я вообще изначально подумал, что ролик будет про неё): Вася и Петя подбрасывают монетку, Вася выиграет если сначала появится ОО, Петя выиграет, если сначала появится РО. Хотя казалось бы игра симметричная, как не сложно убедиться Петя на самом деле имеет 75% шанс выигрыша. А для последовательностей длины хотя бы 3 оказывается, что для любой последовательности из орлов и решек, есть другая последовательность, которая её строго выигрывает, это в Википедии по статье Penney's game можно почитать со ссылками.
Для РР тоже можно использовать геометрическое распределение.
Случайная величина устроена так
оор(ооороооорр)
и ещё один пример р(ооорорр)
т.е. сумма двух геометрических распределений. Первое по порядку обычное где первый успех это решка. Второе устроено похитрее. Здесь неудача это цепочка геометрического распределения его запускает орёл и успешное событие это решка. Вероятности событий "цепочка" "решка" 50/50. Номер первого успеха 1/p=2 . Мат ожидание длины успешного события const и равно 1. Неуспешного = 1 (т.е собственно орёл запускающий цепочку) плюс 1/p мат. ожидание "хвостика" дополняющего орёл, в итоге поучаем 1+1/p=3. т.к. мат ожидание номера первого успеха равно 2 и в нем 1 последнее событие то в итоге мат. ожидание длины всей цепочки (1+1/p)+1=4. Итак получили мат ожидание двух событий певой цепочки 2 и второй "хитрой" цепочки 4 складываем оба эти мат ожидания 2+4 и получаем 6.
очень интересны подобные задачи. спасибо!
Борис, Вы чего так помолодели? Молодец!
Не досмотрел еще видео до конца, но скормил задачу в ChatGPT. Его ответ следующий:
- Мат. ожидание для ОО равно 6
- Мат. ожидание для ОР равно 4
Для нахождения мат. ожидания использовался метод марковских цепей. Теперь пойду досматривать видео, прав ли окажется ИИ ))
Я тоже скормил эту задачку GPT. И он выдал мат ожидание 6 для обоих двух случаев. Причём с решениями.
Борис красавчик!
Вас не узнать, вы красавчик!
Отлично выглядите!
Афигеть!
ИЧСХ, я с начала думал: одинаково. Но включил видео, посмотрел, что Борис говорит именно о том, о чём я подумал и понял что сейчас будет вывод, что не одинаково, ибо Борис шуток не шутит и тут всё серьёзно.
Так оно и оказалось.
Из парадоксов: если ничего не путаю, то вероятность того, что два орла подряд выпадут сразу равна вероятности того, что два орла подряд выпад после 100 "неудач" (все решки, решки чередуются с орлами и т. д.).
Второй, про который было бы интересно послушать - "парадокс дней рождения".
Для двух орлов вероятность "ровно 5 бросков" = 3/32. В общем случае получается следующее:
n=2: 1/2^2
n=3: 1/2^3
n=4: 2/2^4
n=5: 3/2^5
n=6: 5/2^6
.......
n=k: (k-1)-е число Фибоначчи/2^k
Для последовательности "орёл-решка":
n=k: (n-1)/2^k
Второе ведь очень доступно объясняют любые источники, шанс что у двух не совпадут дни рождения 364/365, у трёх 364*363/365^2.. Таким образом достаточно быстро эта цифра становится меньше 1/2
Абалдеть, мне задавали задачу с двумя орлами в школе. И я не понял как решить, мне учитель сказала, что понадобиться 4 броска, но как оказывается задача гораздо глубже и интереснее!
Без Ь
@@sergeyshmargilov1535 ?
Думаю исходили из того, что есть всего 4 исхода, то есть равносильно броску четырёхгранного кубика.
Правда учитывая, что один бросок кубика это два броска монетки и мы игнорируем предыдущий бросок, то мат ожидание в итоге получается 4х2=8.
Офигенное. Больше парадоксов👍
Интересуют такие задачки!😮
Можно и проще посчитать. Для ОР там нужно посчитать сколько в среднем подбрасываем чтобы выпал орел (просто один) потом нужно сколько в среднем подбрасываем до решки (немного подумав понимаем это столько же подбрасываний). Сумма n/2^n это 2 (известная задача) ну значит ОР это 2+2. Для ОО из видео решение наверное самое простое
Борис, отлично выглядите!
Спасибо за контент
Я сразу прикинул 4 варианта.
РР
РО
ОО
ОР
В первом случае, где нам нужно выбить орлов, у нас один исход оставляет половинку нашей цели, это - РО, а второй победный - ОО.
Во втором случае, нам два варианта оставлют половинку цели - РО и ОО, а ещё один победный - ОР. То есть очевидно здесь больше положительных исходов и в среднем это чаще выпадет.
Даже не узнал, как увидел вас
В мгновение подумал, что новый ведущий появился 😅
мощно похудели, круто
Клевая задача) Я по интуиции делал так:
Всего может быть 4 комбинации ОО, ОО (но перевернутые), ОР и РО. А поскольку ОО и ОО одинаковые, то и выпадать будут чаще.
Офигенно элегантное решение
Очень крутое видео, спасибо!
о, вот тут доходчиво объяснили!
Кстати для ОР. Есть такая штука как геометрическое распределение.
если первым выпадает орёл то будет это распределение. Мат. ожилание длины цепочки до первого успеха 1/p=1/0.5=2 и нужно учесть что первый раз уже бросили 1+1/p=3
если выпала решка то сначала должна пройти серия (условно)
рррррро и затем ooooр (может и так быть pppo p)
мат. ожидание суммы этих случайных величин по свойствам мат ожидания (1+1/p) + 1/p=5
Найденные мат ожидания условные поэтому искомое мат. ожидание
0.5*3+0.5*5=4
Но здесь правда пользуемся готовыми формулами для известного распределения.
вау! вы молодец ❤
Я, наверное, рассуждал неверно, но со следующей логикой:
Вероятность выпадения О или Р = 50/50, т.е. при 10 бросках = 5/5
При выпадении первого О (а это необходимое условие), выпадение О в следующих 9 ходах ниже чем выпадение Р)
Круто, спасибо большое!
looking good, BV :) It is a fun problem 😎
Ожидаемое число бросков до ОР меньше, чем до ОО. Но если двое поспорили, что раньше выпадет, то вероятности выиграть у обоих равны. Тоже (псевдо)парадокс.
Нет, вероятность у ОР больше
@@ЮраПельман подумай ещё разок
Просто формулировка задачи недостаточно четкая.
@@ЮраПельманнет, после любого броска состояние двух последних монет равновероятно
@@ЮраПельманесли мы с вами поспорили на эти две комбинации, то мы оба будем ждать первого орла (вне зависимости от того, каким он выпадет, первым, десятым, сотым, и т.д.), а сразу после первого орла наступит равновероятная победа любого из нас в зависимости от следующего броска. Суть парадокса как раз не в вероятности выпадения отдельной комбинации, а в том, что результат противоречит приведённому топикстартером примеру.
😮 Борис, да вас не узнать. Похудел, помолодел, сменил имидж 🔥💣👍
Если ещё и качаться начнёт, то получится Коваль2 😅
@@Татьяна-щ2г3б Главное - не сменил пол)))
Ну для случая ОР понятно, что как только случился первый орёл, победа близка: последующий орёл оставит нас в том же самом состоянии, а решка даст-таки победу
С двумя орлами решка всё обнуляет, поэтому бросков будет требоваться больше
Интересная закономерность. Что интересно, не смотря на разное среднее количество бросков, если рассматривать, что выпадет первее в одной последовательности, то шансы 50/50 и в среднем занимает три броска: X = (x+1)/2 + 2/2 => в случае, если выпадает решка, то у нас получается x+1, а если выпадает орёл, то следующий бросок точно создаст либо ОО, либо ОР.
Подбрасывал монетку до 50 исходов, итог следующий:
31 ОО,
19 ОР.
Видео ещё не смотрел, интересно, насколько близок эксперимент к реальности?
А ты что считал?) Первое появление КАКОЙ-ЛИБО комбинации, или первое появление КОНКРЕТНОЙ комбинации?
@@longpastgone что ты имеешь в виду под "какой-либо" и "конкретной" комбинацией?
Если после очередного броска выпал орёл, то,
если следующий бросок был орёл - инкрементировал ОО,
а если - решка - инкрементировал ОР,
и начинал считать заново.
Возможно, так сильно повлияли на смещение результатов кривые броски - похоже, что я кидаю так, что та же сторона выпадает чаще, чем другая (я всегда монетку клал на указательный палец той стороной, которой она упала в прошлый раз).
@@DiIovну вы все же считали не то, потому что если считать как вы, должно получиться примерно одинаково, ведь в обоих случаях нужно ждать О, а затем с одинаковой вероятностью выпадает О/Р, нужно было считать именно сколько бросков занимает получение каждой из последовательностей
Красивое решение.
Красавчик!!! Вот ,что значит ГОООРЫ
Так, ну схема понятна, пошел за горстью монет и картонкой. Потом к метро )
Офигеть, вообще не узнал. Молодец)
Гениально!
Цепи Маркова в помощь... Почти то, что нужно рисовалось, граф цепи Маркова. Нужно ещё дополнительное состояние цепи дорисовать ОО для первой задачи и ОР для второй.
Очень понравилось
По теории вероятности 50 на 50
Видео сподвигло вспомнить аналитический метод. Ряд можно не составлять. Можно решить через СЛАУ. Будем считать мат. ожидание орёл орёл ОО. При первых двух бросках получаем 4 комбинации
ОО - серия окончена
РР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М1 не считая первых двух бросков
РО - серия продолжается с условным мат. ожиданием М2 не считая первых двух бросков
ОР - серия продолжается с условным мат. ожиданием М3 не считая первых двух бросков
Продолжится все может так
РРО
РРР
РОО
РОР
ОРР
ОРО
Составляем систему
0.5*(М2+1)+0.5*(М1+1)=М1
0.5*1+0.5*(М3+1)=М2
0.5*(М1+1)+0.5*(М2+1)=М3
её решение М1=6 М2=4 М3=6
Находим мат. ожидание длины серии
0.5²(2+(М1+2)+(М2+2)+(М3+2))=6
Программа в маткаде даёт тот же результат.
PS
Посмотрел видео. Немного я усложнил решение, но суть такая же. Надеюсь моё решение тоже кому-то поможет понять задачу лучше.
Для ОР
0.5*1+0.5(М1+1)=М1
0.5(М2+1)+0.5(М3+1)=М2
0.5(М1+1)+0.5(М2+1)=М3
Решение системы М1=2 М2=4 М3=2
М=0.5²(2+(М1+2)+(М2+2)+(М3+2))=4
Борис помолодел лет так на 10 точно
О, наконец написали как решается задача про лохотрона, 1 проба - 1 рубль, въигръш при 00 - 5 рубля! Спасибо!
Спасибо! Очень интересно! Ещё, дядя! Хочу ещё!))0000))00
Ну почему Трушин мне попадается перед тем, как собираюсь идти спать? ПОЧЕМУ?!
Трушинлендер😍
Не знаю, уместно ли, но хотел бы поправить Бориса, что в первом случае если после выпавшего орла выпадает решка, то нужно заканчивать эксперимент и начинать новый. Заканчивать не нужно, а нужно ждать когда снова выпадет орёл. Другое дело, что если после выпавшего орла выпадает решка, то как минимум на следующий бросок ситуации ОО уже не будет. А вот во втором случае, если выпал ОО, ОР может выпасть уже на следующий бросок. Тут и разница.
Добрый день, Борис!
Спасибо вам за ваши видео. Прохожу курс Data Science на Udemy и там много статистики - вероятности, распределения, расчёт мат.ожиданий, регрессий и т.д. Вроде бы английский знаю свободно, но голова сломалась. Пришёл к вам смотреть на русском. Вроде что-то становится понятнее. Спасибо огромное! Но, я так понимаю, околостатистических тем у вас не много. Может быть вы могли бы посоветовать мне какие-нибудь хорошие материалы или курсы на русском языке?
Шанс выпадения орла 50%, шанс выпадения решки 50%. На всех последующих бросках шанс выпадения того или иного 50%. Другими словами с равной долей вероятности может выпасть орел миллион раз подряд или решка миллион раз подряд, потому что после каждого броска шанс выпадения обнуляется до 50%
Поставил на паузу. Произвёл подбрасывание монеты и 33 раза записывал и тот, и другой результат.
У меня вышло, что очерёдность ОО в среднем выходит три подбрасывания.
Очерёдность ОР - 3-4 подбрасывания. То есть, в среднем, одинаково
X = sum((n+1)*F(n)/2^(n+1)) = 6, n = 1:inf;
Y = sum((n+1)* n /2^(n+1)) = 4, n = 1:inf.
А "Игру Пенни" рассмотрите в качестве продолжения темы?)
А можно условие? )
@@trushinbv
Наверное, проще всего на вики ссылку дать. ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B3%D1%80%D0%B0_%D0%9F%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8
Не уверен, что ссылка в комменте работать будет, так что можно просто в поиске вики вбить "Игра Пенни".
@trushinbv
Не знаю, отправился ли предыдущий комментарий со ссылкой, не вижу что-то.(
Вот цитата с вики, там Игра Пенни легко находится.
"Суть этого парадокса сводится к следующему: пусть А и Б играют в такую игру - сначала А выбирает произвольную двоичную последовательность (например, из нулей и единиц) длины 3 и показывает её игроку Б. Затем Б делает то же самое. Далее игроки строят случайную двоичную последовательность, в которой появление 0 и 1 равновероятно (например, бросают монету, считая выпадение орла за 1 и решки за 0). Выигрывает тот игрок, чья последовательность встретится раньше в этой случайной последовательности. Например, пусть игрок А выбрал тройку 001, а игрок Б - тройку 100. Пусть при 5-кратном бросании монеты получилась случайная последовательность 10100. Последние 3 цифры в ней - 100 - совпадают с тройкой, выбранной игроком Б, а тройка А не встретилась, поэтому после 5-го бросания монеты игрок Б выигрывает. Парадокс заключается в том, что для любой тройки игрока А найдётся такая тройка, которая выигрывает у неё с вероятностью, большей 1/2."
Чтобы выпало "орёл-решка", после выкинутой монетки с орлом может выпадать что угодно, и это не будет сбрасывать начавшуюся комбинацию. Например, выпадет 4 орла, и после них решка. А в первом случае выпадение "орёл-орёл" явно меньше, т.к. вся комбинация при неправильном броске будет обнуляться.
Чего то я вас не понял, не согласны с результатами?
@@bgdnsrg я полностью видео не смотрел, извините, если ошибся.
@@findexgames5178 Ну что вы, не надо извинений. Я уже собрался с вами поспорить)
Даёшь больше теории вероятности
Честно, кликнул только потому, что не узнал человека на превью канала с видео "Борис Трушин"
Борис, добрый день! Увеличил количество экспериментов в 1000 раз! Вариант РО выпадает раньше ОО в 3/4 случаев!!! При увеличении количества экспериментов 3/4 не меняется! Вывод: в 3/4 случаев выпадение последовательности РО наступает раньше!!! ОО!
Две случайные величины. Вероятность что они равны нулевая. Вероятность что первая меньше второй равна вероятности что вторая меньше первой и равно 1/2. При этом одна в среднем 4 другая в среднем 6. Контринтуитивная часть не в цифрах.
Да вы сегодня Модный )) Зачёт !!
Лайк подписка продвиженье!
Хороший стиль, прям Джельсомино!) Комбинаторикой не быстрей это решить?
я вот тоже в комбинаторику сначала полезла, я хз, как там высчитать средннее число бросков, но сравнить с помощью нее точно легко, даже не считая
Интересно, что если два человека решат играть в игру - кидать монетку, и если первым случится ОО то один платит другому рубль, а если первым случится ОР, то наоборот - то это будет совершенно равная игра. Несмотря на результат из ролика.
Сделал 39 ходов, 39й ход был "победным". в среднем получилось 4.875, это было 5 рублёвой монетой.
Вау! Сложно, но я даже понял!
Не смотря видео дальше 4ой минуты и не проделывая каких-то вычислений, заявляю, что комбинация ОО будет более вероятной
upd: ну я и дибил
С одной стороны очень интересно, но с другой теории вероятностей у меня в голове не укладываются. Почему то математика мне именно этим и нравится